bai toan dac biet su tuong giao ham phan thuc

Bài toán đặc biệt về Giao điểm của đồ thị hàm số phân
thức với đờng thẳng
a.Chú ý:
Xột hm s
( )
0 0
ax
( ) ,
b
y C ac ad bc
cx d
+
=
+
th hm s cú tim cn ng l
c
x
d
=
. Khi ú th hm s gm cú hai nhỏnh: mt nhỏnh nm bờn trỏi ng
thng
c
x
d
=
v mt nhỏnh nm bờn phi ng thng
c
x
d
=
.

Gi d l ng thng cú phng trỡnh:
y kx p= +
Xột phng trỡnh honh giao im ca (C) v (d):
ax b
kx m
cx d
+
= +
+
(1)
Bin i thu gn phng trỡnh (1) v dng
2
0( )x px qx r

= + + =
(2)
Khi ú, ta cú mt s trng hp c bit sau cn lu ý:
d ct
( )C
ti hai im phõn bit

pt(2) cú hai nghim phõn bit khỏc
c
d

0
0
c
d

>





ữ



d ct
( )C
ti hai im phõn bit nm v hai nhỏnh ca
( )C

pt(2) cú hai nghim phõn bit
1 2
,x x

1 2
( )x x<
tha món:
1 2
c
x x
d
< <
.
d ct

( )C
ti hai im phõn bit nm v nhỏnh trỏi ca
( )C

pt(2) cú hai nghim phõn bit
1 2
,x x

1 2
( )x x<
tha món:
1 2
c
x x
d
< <
.
d ct
( )C
ti hai im phõn bit nm v nhỏnh phi ca
( )C

pt(2) cú hai nghim phõn bit
1 2
,x x

1 2
( )x x<
tha món:
1 2

c
x x
d
< <
.
d ct
( )C
ti hai im phõn bit nm v 1 nhỏnh ca
( )C

pt(2) cú hai nghim phõn bit
1 2
,x x

1 2
( )x x<

tha món:
1 2
c
x x
d
< <
hoc
1 2
c
x x
d
< <
B.Bài tập

Bi 1. Cho hm s
mx
y
x
+
=

1
2 3
m
(C )
. Tỡm m
m
(C )
ct ng thng
: y x = 2
:
a. 1 nhỏnh ca
m
(C )
b. 2 nhỏnh ca
m
(C )
c. nhỏnh phi ca
m
(C )
d. nhỏnh trỏi ca
m
(C )
.

GII
Xột hm s
( )
3 3
2 3 1 1
1
2 2 2
2 3 2 3 2 2 3
m m
x m
mx m
y
x x x
+ + +
+
= = = +

th
m
(C )
cú tim cn ng

3 2
1 0
2 3
m
m+
. Khi ú th hm s cú tim cõn ng l
3
2

x =
.
Xột phng trỡnh honh giao im ca

v
m
(C )
:
2
1
2 2 7 5 0 1
2 3
( ) ( )
mx
x x m x
x
+
= + + =

Giỏo viờn: Nguyn Th T Nga
a) Để
m
(C )
cắt đường thẳng
: y x∆ = − 2
ở 1 nhánh của
m
(C )
thì pt (1) có hai nghiệm
1 2

,x x
1 2
( )x x≤
thỏa mãn:
1 2
3
2
x x≤ <
hoặc
1 2
3
2
x x≤ <

( )
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
0
7 40 7 40
7 40 7 40
3 3
0
3 3
2 2
3 9
0
0
3 3

2 2
2 4
0
2 2
,
,
m m
m m
x x
x x
x x x x
x x

∆ ≥



≤ − − ≥ − +
≤ − − ≥ − +



 
− ≤ − <

⇔ ⇔ ⇔
  
  

− − >

− + + >
  ÷ ÷ 


  


< − ≤ −





Theo định lý Viet ta có:
1 2
1 2
7
2
5
2
m
x x
x x

+
+ =





=


,
thay vào ta có
7 40 7 40
2
3
,m m
m

≤ − − ≥ − +


−
<



2
7 40
3
m⇔ − + ≤ < −
hoặc
7 40m ≤ − −
.
c) Để
m
(C )
cắt

: y x∆ = −2
ở 2 nhánh của
m
(C )
thì pt (1) có hai no phân biệ
1 2
,x x
1 2
x x<( )
thỏa mãn:
1 2
3
2
x x< <

( )
1 2
1 2
1 2 1 2
7 40 7 40
0
7 40 7 40
7 40 7 40
2
3 3 3 3
2
3 9
3
0
0

0
2 2
2 2
32 4
,
,
,
m m
m m
m m
m
x x
x x
m
x x x x



< − − ≥ − +

∆ >
< − − > − +
< − − ≥ − +

  
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ > −
   
  
−
− < < −

− − <
>
− + + <
  ÷ ÷  



  


c) Để
m
(C )
cắt
: y x∆ = −2
ở nhánh phải của
m
(C )
thì pt (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
1 2
( )x x≤
thỏa mãn:
1 2
3
2
x x< ≤

( )

2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
14 9 0
7 40 7 40
0
3 3 3 9
0 0
3 3
2 2 2 4
0
2 2
3 0
3 3
0
2 2
,
m m
m m
x x x x x x
x x
x x
x x



+ + ≥
≤ − − ≥ − +




∆ ≥
  
  
⇔ ⇔ − − > ⇔ − + + >
  
 ÷ ÷
< − ≤ −
  
  

+ − >
 

− + − >


7 40 7 40 7 40 7 40
5 3 7 9 2 2
0 7 40
2 2 2 4 3 3
7
1
3 0
2
, ,
.
m m m m

m
m m
m
m



≤ − − ≥ − + ≤ − − ≥ − +


+ −
 
⇔ − + > ⇔ < ⇔ − + ≤ < −
 
 
+
> −
 
− >



d) Để
m
(C )
cắt
: y x∆ = − 2
ở nhánh trái của
m
(C )

thì pt (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thỏa mãn:
1 2
3
2
x x≤ <

( )
2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
14 9 0
7 40 7 40 7 40 7 40
0
3 3 3 9 2
0 0
3 3
2 2 2 4 3
0
2 2
3 0
1
3 3
0
2 2
m m

m m m m
x x x x x x m
x x
x x
m
x x


 
+ + ≥
≤ − − ≥ − + ≤ − − ≥ − +

 

∆ ≥
  
−
   
⇔ ⇔ − − > ⇔ − + + > ⇔ <
   
 ÷ ÷
− ≤ − <
  
   

+ − <
< −
  
 
− + − <



, ,
7 40m⇔ ≤ − −
C.NhËn xÐt:
Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga
1. Trong lời giải trên học sinh thường quên mất điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đó là
2
3
m ≠ −
. Thật vậy
nếu
2
3
m = −
ta có hàm số
1
3
y = −
là hàm hằng nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
• Tổng quát hơn, ta có lưu ý sau khi làm bài:
Nếu hàm số có dạng
ax
( , ) ( )
b
y f x m C
cx d
+
= =
+

có chứa tham số m thì đồ thị hàm số chưa chắc đã có tiệm cận đứng,
tiệm cận ngang. Thật vây:
 Xét
0c
≠
:t a phân tích
( )
ax
( , )
( )
a ad
cx d b
b a bc ad
c c
y f x m
cx d cx d c c cx d
+ + −
+ −
= = = = +
+ + +
+ Nếu
0bc ad− =
ta có hàm số
a
y
c
=
là hàm hằng nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang
+ Nếu
0bc ad

− ≠
thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
c
x
d
= −
.
 Xét c = 0, ta có hàm số
ax b
y
d
+
=
là hàm đa thức nên đồ thị hàm số không có TCĐ, TCN.
Tóm lại: điều kiện để đồ thị hàm số
ax
( , ) ( )
b
y f x m C
cx d
+
= =
+
có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang là
0bc ad
− ≠
. Khi
đó tiệm cận đứng là đường thẳng
c
x

d
= −
, tiệm cận ngang:
a
y
c
=
.
2. Ta có thể giải bài trên theo cách khác:
 Tìm điều kiện để pt (1) có hai nghiệm khác
c
d
−
⇒
Tính rõ hai nghiệm
1 2 1 2
x x x x≤, ( )

1 2
3
2
x x≤ <
hoặc
1 2
3
2
x x< ≤

⇔

2
3
2
x <
hoặc
1
3
2
x >

⇒
Chuyển về giải các bpt vô tỉ ẩn m.
⇒
Đối chiếu với đk

1 2
3
2
x x≤ <
khi và chỉ chi
2
3
2
x <

⇒
Chuyển về giải bpt vô tỉ ẩn m
⇒
Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.


1 2
3
2
x x< ≤
khi và chỉ chi
1
3
2
x >

⇒
Chuyển về giải bpt vô tỉ ẩn m.
⇒
Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

1 2
3
2
x x< <
khi và chỉ chi
1
3
2
x <
và
2
3
2
x >

⇒
Chuyển về giải hệ bpt vô tỉ ẩn m.
⇒
Đối chiếu với điều kiện rồi
kết luận.
Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga