Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử (PP cơ bản) Môn Đại số 8

TRƯỜNG THCS TÂN HIỆP A5
Tổ: Toán – lý - tin
CHUYÊN ĐỀ
CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN 8

I. Phương pháp đặt nhân tử chung
1. Cách tìm nhân tử chung: nhân tử chung thường gồm hai phần là hệ số và phần biến.
- Hệ số (nếu có): là ƯCLN của các hệ số.
- Phần biến (nếu có): là biến có mặt trong tất cả các hạng tử với số mũ nhỏ nhất.
(Lập tích hệ số và phần biến để có nhân tử chung của biểu thức).
2. Ví dụ minh họa: Phân tích đa thức thành nhân tử
Tìm nhân tử chung
Bài toán
Hệ số Phần biến Lập tích
Kết quả
a) 33x
5
y
3
+ 15 x
3
y +3xy 3 xy 3xy
= 3xy.(11x
4
y
2
+ 5x
2
+ 1)

b) x
5
y
3
+ 2x
3
y + xy xy
=
xy
.(x
4
y
2
+ 2x
2
+ 1)
c) 5a + 10b – 5c 5 = 5 (a + 2b – c ).

d) 24x(x+5) – 18(x+5)

6
(x+5)

6.(x+5)

= 6.(x+5).(4x – 3)
II. Phương pháp dùng hằng đẳng thức
1. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
1. A
2

+ 2AB + B
2
= (A + B)
2


2. A
2
– 2AB + B
2
= (A – B)
2

3. (A – B ) (A + B) = A
2
– B
2

4. (A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3

5. (A – B)

3
= A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
– B
3

6. (A – B ) (A
2
+ AB + B
2
) = A
3
– B
3

7. (A + B ) (A
2
– AB + B
2
) = A
3
+ B
3

2. Cách làm
Để phân tích một đa thức thành nhân tử nhờ phương pháp vận dụng hằng đẳng thức

trước tiên ta quan sát và xác định đa thức đó thuộc vào dạng nào trong 7 hằng đẳng thức đã
học; sau đó, xác định A, B tương ứng trong biểu thức.
3. Ví dụ
Bài 1: Hoàn thiện các hằng đẳng thức sau :
A
2
+ 2AB + B
2
= ………………… ……………….
A
2
– 2AB + B
2
= ………………… ………………
A
2
– B
2
=…………………………… ………………
A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
=………… ……………….
A
3

– 3A
2
B + 3AB
2
– B
3
= ………….………………
A
3
– B
3
=…………………………….………………
A
3
+ B
3
=…………………………………………….
Bài 2: Phân tích đa thức x
2
– 6x + 9 thành nhân tử
Ta thấy đa thức x
2
+ 6x + 9 có dạng của hằng đẳng thức A
2
+ 2AB + B
2
nên ta phân tích:
x
2
= (x)

2
 A là x; còn 9 = 3
2
 B là 3 và 6x = 2 . x . 3
Hay: x
2
+ 6x + 9 = (x)
2
+ 2 . x . 3 + (3)
2
= (x + 3)
2



A
2
+ 2 . A . B + B
2
= (A + B)
2



Trường THCS Tân Hiệp A5 Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8

Nguyễn Thanh Phong Năm học: 2014 - 2015
2

Bài 3: Phân tích đa thức 4x

2
– 9 thành nhân tử
Đa thức 4x
2
– 9 có dạng hằng đẳng thức A
2
– B
2
4x
2
= (2x)
2
 A là 2x; còn 9 = 3
2
 B là 3
Đa thức: 4x
2
– 9 = (2x)
2
– 3
2
= (2x – 3 )(2x + 3).


A
2
– B
2
= (A – B) (A + B)
Bài 4: Phân tích đa thức 8x

3
– y
3
thành nhân tử
1/ 8x
3
– y
3
= (2x)
3
– y
3
= (2x – y )[ (2x)
2
+2x . y + y
2
] .
2/ 8x
3
– y
3
= (2x)
3
– y
3
= (2x – y )( 2x
2
+2x . y + y
2
) .

Trong hai cách phân tích trên , hãy xác định cách làm đúng? Chỉ rõ chỗ sai
trong cách làm sai ?
III. Phương pháp nhóm các hạng tử
1. Cách nhóm các hạng tử
Dùng các tính chất: giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức ta kết hợp những hạng
tử của đa thức thành từng nhóm sao cho trong từng nhóm xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất
hiện dạng hằng đẳng thức.
Khi nhóm các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung ta thường gặp dạng bài toán sau:
AC – AD + BC – BD
= (AC – AD ) + (BC – BD )
= A(C – D) + B (C –D )
= (C –D).(A +B)
2. Ví dụ
Nhóm xuất hiện nhân tử chung

Nhóm xuất hiện dạng hằng đẳng thức
4ax – 4bx – a + b
= (4ax – 4bx) – (a – b )
= 4x (a – b ) – (a – b )
= (a – b )( 4x – 1).

x
2
+ 6x – y
2
+ 9
= (x
2
+ 6x + 9)– y
2

= (x + 3 )
2
– y
2

=( x + 3 – y )( x + 3 + y)
Nhóm xuất hiện nhân tử chung và dạng hằng đẳng thức
x
2
– xz – 9y
2
+3yz
= (x
2
– 9y
2
) – (xz – 3yz)
=(x – 3y )( x + 3y) – z(x – 3y)
= (x – 3y )( x + 3y – z).
3. Lưu ý
- Đặc điểm của phương pháp nhóm hạng tử là đa thức phải có từ 4 hạng tử trở lên.
- Khi các hạng tử của đa thức đã cho không có nhân tử chung hoặc không có dạng hằng
đẳng thức thì ta mới dùng phương pháp nhóm.
- Sau khi phân tích mỗi nhóm thì quá trình phân tích đa thức đã cho tiếp tục được.
- Khi đặt nhân tử chung ra ngồi dấu ngoặc thì trong ngoặc không cón nhân tử chung nữa
và chỉ được viết (nhân tử chung) một lần.
IV. Kết hợp nhiều phương pháp: Vận dụng các phương pháp đã biết: đặt nhân tử chung, dùng
hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử và phối hợp chúng để phân tích thành nhân tử.
Ngoài ra, để phân tích một đa thức thành nhân tử người ta còn sử dụng một vài phương

pháp khác như: tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; thêm, bớt cùng một hạng tử thích hợp; xét
giá trị riêng (trị số riêng); dùng hệ số bất định; tìm nghiệm của đa thức; đổi biến số… Trong
chuyên đề này tôi chỉ nhằm giúp các em nắm vững các phương pháp phân tích thành nhân tử cơ
bản nên những phương pháp nâng cao trên đây tôi sẽ đề cập trong chuyên đề tiếp theo.
Trường THCS Tân Hiệp A5 Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8

Nguyễn Thanh Phong Năm học: 2014 - 2015
3

BÀI TẬP THỰC HÀNH

1. Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử .
a) 2x + 2y f) x(x+y) – (2x+2y) k) x
2
– x + 1 + 7x (x
2
– x + 1)
b) 5x + 20y g) 2x(x+y) – 10x – 10y l) – x
2
y
2
z – 6x
3
y – 8x
4
z
2
– 9x
5

y
5
z
5

c) 6xy – 30y h) 5x (x – 2y) + 2 ( 2y – x ) m) 7x(y– 4)
2
– (4 – y)
3

d) x
3
– 4x
2
+ x i) a
2
b
4
+ a
3
b – abc
e) x
2
y
3
–
1
2
x
4

y
8

j) 5x (x – 11 ) – 10y(x – 11
)
n) 5x
5
(y
3
+3y – 13 ) – 4y (y
3
+3y –
13 ) – 2x(y
3
+3y – 13 ).

Bài 2: Tính nhanh
a) 85 . 12,7 + 5 . 3 . 12,7 .
b) 47 . 9,9 + 53 . 9,9 .
c) 52 . 143 – 52 . 39 – 8 . 26 .
d) 13 . 49 + 38 . 49 – 25 . 49 + 49 . 74 .
e) 37 . 80 + 41 . 40 – 40 . 15 .
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau
a) x
2
+ xy + x tại x = 77 , y = 22 .
b) x (x – y) + y (y – x) tại x = 53 , y = 3 .
c) x (x – 6 ) – y (6 – x ) tại x = 006 , y = 2002 .
d) 5x (x – y) – y (x – y) tại x = 60 , y = 5 .
Bài 4: Tìm x biết .

a) x + x
2
= 0 g) 15y( 4y – 9) – 3 ( 4y – 9 ) = 0.
b) x +1 – (x+1)
2
= 0 h) 8(25z + 7) – 27z ( 25z + 7) = 0 .
c) x
3
+ x = 0 i) 13y ( x – 8 ) – 2y + 16 = 0 .
d) 2x ( x – 9 ) + 3 ( x – 9 ) = 0 j) –10x (y + 2) – y – 2 = 0 .
e) 6x
2
– 3x = 0 k) (6x + 11)(5y – 12) – 42x + 66 = 0 .
f) 5x
3
(7x + 1) – 10x
2
(7x + 1) = 0 l) x (x + 19)
2
– (x + 19)
2
= 0.
Bài 5: Chứng minh rằng
a) 43
2
+ 43 .17 chia hết cho 60.
b) n
2
(n+1) + 2n (n+1) luôn chia hết cho 6 với mọi n  Z.
c) 25n (n – 1) – 50 ( n – 1) luôn chia hết cho 150 với mọi n là số nguyên.

2. Sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức để phân tích .
Bài 1: vận dụng hằng đẳng thức ( A + B )
2
để phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
2
+ 10x + 25 . e) x
2
+ 6xy + 9y
2
.
b) x
2
+ 14x + 49 . f) 16x
2
+ 24xy +9y
2
.
c) 4x
2
+ 4x + 1 . g) ( 2x +1)
2
+12 (2x + 1) + 36 .
d) 9x
2
+ 30x +25 . h) (x
2
+ 2x)
2

+ 2(x
2
+ 2x) + 1 .
Bài 2: Điền vào chỗ trống để được kết quả đúng
a) x
2
+ ……… + 81 = (……… + …………)
2

b) …………+ 8x + 16 = (………….+ ………….)
2

c) y
2
– 20 y + …………= (………….– ………….)
2

d) z
4
+ …………….+ 64 = (………….+ ………….)
2

e) 25x
2
– ………+ ……… = (………….+ 7)
2

f) 36 y
2
– 49z

2
=(…….)
2
– (…… )
2
= (… – … )(…… + …….)
g) m
3
– 125 = m
3
– …
3
= (…… – ……. )(…… +………+…… )
h) 8x
3
+ 12x
2
+ 6x +1 = (….)
3
+3 (….)
2
… + 3 ……. + ….
3
= (….+….)
3

i) 1 +
1
64
x

3
= …
3
+ (… )
3
= (…. + ….)(… – … + …….)
Trường THCS Tân Hiệp A5 Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp 8

Nguyễn Thanh Phong Năm học: 2014 - 2015
4

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau
A = x
2
+ 12x + 36 tại x = 64.
B = x
2
+ 4xy +4y
2
tại x = 2,8 ; y = 3,6 .
C = y
2
+ 2yz + z
2
tại y = 4,19 ; z = 5,81 .
D = (3x – 7 )
2
+10(3x – 7 ) +25 tại x = 16.
E = 8x
3

– 12x
2
+ 6x – 1 tại x = -
1
2
.
G= (1 – 2x )
2
– (3x + 1)
2
tại x = – 2
Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
2
+ 6xy + 9y
2

b) x
6
+ y
2
– 2x
3
y
c) 25x
4
– 10x
2
y
2

+ y
4

d) – a
2
– 2a – 1
e) 27b
3
– 8a
3

f) x
3
+ 9x
2
y+ 27xy
2
+ 27y
3

g) 16x
2
– 9 (x + y)
2

h) (a – b)
2
– 1
i) a
6

–b
6

j) 4a
4
– 4a
2
b
2
+ b
4

k) (x + y)
3
– (x – y )
3


3. Dùng phương pháp nhóm hạng tử
Bài 1: Tính nhanh
a) 3,71 . 34 + 66 .3,71
b) 36 . 28 + 36 . 82 + 64 . 69 + 64 . 41
c) 13,5 . 5,8 – 8,3 . 4,2 – 5,8 . 8,3 + 4,2 . 13,5
d) 4,8 . 13,3 + 4,8 . 6,7 + 5,2 . 13,3 + 5,2 . 6,7
e) 7,8 . 55,1 + 92,2 . 55,1 – 7,8 . 5,1 – 92,2 . 5,1
f) 170 . 22,89 – 128,9 . 17
g) 45
2
+ 40
2

– 15
2
+ 80 . 45
Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 2x
2
+ 4x + xy +2y
b) a(x – y ) + bx – by
c) x
2
+xy – 7x – 7y
d) ac + bc + a + b
e) x
2
+ 2xy + y
2
– 4
f) 5a
2
– 5ax – 7a + 7x
g) 1 – y
3
+ 6xy
2
– 12x
2
y + 8x
3

h) 7z

2
– 7yz – 4z + 4y
i) b
2
c + bc
2
+ ac
2
– a
2
c –ab(a +b)
j) x
3
+ 3x
2
+ 3x + 9
k) 30ax – 34bx – 15a + 17b
l) x
3
– x
2
– 5x + 125
m) x
3
– x
2
y

- x
2

z – xyz
n) x
3
+ 2x
2
– 6x – 27
o) pq – p
2
– 5(p – q )
p) 12x
3
+ 4x
2
– 27x – 9
q) y(a - b) – 2a + 2b
r) x
4
– 25x
2
+ 20x – 4
s) y
2
+ 1+ 2y – 49
t) x
2
(x
2
– 6 ) – x
2
+ 9

u) 36 a
2
– c
2
– 9b
2
– 6bc
v) x
6
– x
4
+ 2x
3
+ 2x
2

w) ab(a –b)+ b
2
c – bc
2
+ c
2
a – ca
2
x) 2a
2
b + 4ab
2
– a
2

c – 2abc + ac
2
+ 2bc
2
– 4b
2
c – 2abc
Bài 3: Tìm x biết
a) 4x
2
– 25 – (2x – 5 )(2x + 7) = 0
b) x
3
+ 27 + (x + 3)(x – 9 ) = 0
c) 2x
3
+ 3x
2
+ 2x + 3 = 0
d) x
2
(x + 7) – 4 (x + 7) = 0
Bài 4: Chứng minh đẳng thức
a) Cho x + y + z = 0 . Chứnh minh rằng : x
3
+ x
2
z + y
2
z – xyz + y

3
= 0
b) (a + b +c )
3
– a
3
– b
3
– c
3
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
c) a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc với a+ b + c = 0