CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Chuyên đề : Rèn kó năng phân tích đa thức thành nhân tử Tổ : Toán – THCS Hoà Bắc
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
III/ NHỮNG SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG MẮC PHẢI KHI SỬ DỤNG
PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG:
1 . Tìm nhân tử chung sai hoặc thiếu .
2 . Không biến đổi đa thức để làm xuất hiện nhân tứ chung .
3 . Phân tích thành nhân tử chưa triệt để.
4 . Tìm và xác đònh các số hạng trong ngoặc sau nhân tử chung sai .
5 . Khi nhân tử chung là một đa thức học sinh cha rằng đó không phải là nhân tử chung .
IV/ PHƯƠNG PHÁP TÌM VÀ XÁC ĐỊNH NHÂN TỬ CHUNG :
Bước 1 : Hệ số của nhân tử chung chính là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các
hạng tử .
Bước 2 : Biến (nếu có ) của nhân tử chung phải có mặt trong tất cả các hạng tử , với số
mũ nhỏ nhất
Bước 3 : Lập tích các hệ số và biến chung có ở trên .
V / Một số minh họa về các sai lầm :
1/ 33x
5
y
3
+ 15 x
3
y +3xy = 3xy (11x
4
y
2
+5x
2
)
2/ 7x(3y-5) – 8 (5-3y) không tìm được nhân tử chung .

3/ 24x(x+5) – 39(x+5) = (x+5)(24x – 39)
4/ 24x
5
y
4
+ 30x
3
y
2
– 42x
2
y
7
= 3xy
2
(8x
4
y
2
+10x
2
y – 14xy
5
)
5/ 9z
2
(2xy
2
– 3y + 8 ) + 4z (2xy
2

– 3y + 8 )+5(2xy
2
– 3y + 8 ).
VI / BÀI TẬP RÈN LUYỆN :
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
I/ LÝ THUYẾT :
Liệt kê 7 hằng đẳng thức :
1/ A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
.
2/ A
2
– 2AB + B
2
= (A – B)
2
.
3/ (A – B ) (A + B) = A
2
– B
2
.
4/ (A + B)
3
= A

3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
.
5/ (A – B)
3
= A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
– B
3
.
6/ (A – B ) (A
2
+ AB + B
2
) = A
3
– B
3
.
7/ (A + B ) (A
2

– AB + B
2
) = A
3
+ B
3
.
Để phân tích một đa thức thành nhân tử nhờ phương pháp vận dụng hằng đẳng thức trước tiên ta
quan sát và xác đònh đa thức đó thuộc vào dạng nào trong 7 hằng đẳng thức đã học sau đó áp dụng
theo .
Bài 1 : Hoàn thiện các hằng đẳng thức sau :
A
2
+ 2AB + B
2
= ......................................................................
Trường THCS Hòa Bắc Năm học: 2006 - 2007
1
Chuyên đề : Rèn kó năng phân tích đa thức thành nhân tử Tổ : Toán – THCS Hoà Bắc
A
2
– 2AB + B
2
= ......................................................................
A
2
– B
2
=....................................................................................
A

3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
=...........................................................
A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
– B
3
=.........................................................
A
3
– B
3
=...................................................................................
A
3
+ B
3
= ...................................................................................
Ví dụ : Phân tích đa thức x
2
– 6x + 9 thành nhân tử

Đa thức x
2
– 6x + 9 thuộc dạng hằng đẳng thức A
2
– 2 A B + B
2

Biến đổi x
2
– 6x + 9 = x
2
–2 . x . 3 + 3
2
= ( x – 3)
2
A
2
– 2.A .B + B
2
= (A – B)
2
Xác đònh A ,B trong biểu thức x
2
–2 . x . 3 + 3
2
?
Ví dụ : Phân tích đa thức 4x
2
– 9 thành nhân tử
Đa thức 4x

2
– 9 có dạng hằng đẳng thức A
2
– B
2

Đa thức 4x
2
– 9 = (2x)
2
– 3
2
= (2x – 3 )(2x + 3).
Ví dụ : Phân tích đa thức 8x
3
– y
3
thành nhân tử
1/ 8x
3
– y
3
= (2x)
3
– y
3
= (2x – y )[ (2x)
2
+2x . y + y
2

] .
2/ 8x
3
– y
3
= (2x)
3
– y
3
= (2x – y )( 2x
2
+2x . y + y
2
) .
Trong hai cách phân tích trên , hãy xác đònh cách làm đúng ? Chỉ rõ chỗ sai trong cách làm sai ?

II/ BÀI TẬP :
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ
Dùng các tính chất : giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức ta kết hợp những hạng tử của
đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác phân tích thành nhân tử theo
từng nhóm rồi phân tích chung đối với các nhóm .
AC – AD + BC – BD = (AC – AD ) + (BC – BD ) = A(C – D ) + B (C –D )= (C –D )(A +B).
*Một số sai lầm khi sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương
pháp nhóm hạng tử :
+ Sau khi nhóm các nhóm đều phân tích tiếp được nhưng các nhóm không có nhân tử
chung .
+
*Lưu ý nhóm những hạng tử thích hợp :
+ Trước tiên ta xét các hệ số sau đóta quan tâm đến các biến z , y. Nếu có tích xy ,xz ,yz

thì ta nhóm các hạng tử có chứa x , y hoặc x, z hoặc y, z lại thành từng nhóm .
+ Mỗi nhóm có thể phân tích được .
+ Sau khi phân tích mỗi nhóm thì quá trình phân tích đa thức đã cho tiếp tục được .
+ Nghóa là nhóm những hạng tử thích hợp để xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng
thức sau đó lại xuất hiện nhân tử chung một lần nữa .
+ Khi các hạng tử của đa thức đã cho không có nhân tử chung hoặc không có dạng hằng
đẳng thức thì ta mới dùng phương pháp nhóm .
+ Khi dùng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cần phân tích triệt để .
Trường THCS Hòa Bắc Năm học: 2006 - 2007
2
Chuyên đề : Rèn kó năng phân tích đa thức thành nhân tử Tổ : Toán – THCS Hoà Bắc
+ Khi đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc thì trong ngoặc không cón nhân tử chung nữa
và chỉ được viết (nhân tử chung )một lần .
********************************************************************
Phương pháp đặt nhân tử chung :
Dùng ví dụ minh họa :
+ 5a + 10b – 5c = 5 (a + 2b – c ).
+ 7x
5
y
4
+ 25x
4
y
6
– 10x
3
y
3
= x

3
y
3
(7x
2
y + 25xy
3
– 10 ).
+ 8x – 16y + 8 = 8( x – 2y + 1 ).
+ 3x
4
y
3
– 15x
2
y
5
+ 24xy
2
z = 3xy
2
( x
3
y – 5xy
3
+ 8z ).
+ x(x – 3 ) + 11 ( x – 3 ) = ( x – 3 )(x + 11).
+ 5x
3
(2x +1 ) – 6x

2
(2x + 1) + (2x + 1) = (2x + 1)( 5x
3
– 6x
2
+ 1).
Như vậy : + Khi nhân tử chung là biến thì biến đó phải có mặt trong tất cả các hạng
tử và chỉ lấy với số mũ nhỏ nhất .
+ Khi đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc thì trong ngoặc không cón
nhân tử chung nữa và chỉ được viết (nhân tử chung )một lần .
Phương pháp dùng hằng đẳng thức :
Ta biến đổi các đa thức về dạng cơ bản của hằng đẳng thức và áp dụng hằng đẳng
thức để đưa về vế còn lại của hằng đẳng thức mà có dạng tích như :
A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B )
2
A
2
– 2AB + B
2
= (A – B )
2
A
2
– B
2
= (A – B) (A + B)

A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
= (A + B)
3
A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
– B
3
= (A – B )
3
A
3
– B
3
= (A – B )(A
2
+ AB + B
2
)
A

3
+ B
3
= (A +B)(A
2
– AB +B
2
).
Như vậy khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp sử dụng hằng đẳng thức
trước tiên ta cho học sinh nhận dạng xem đa thức đó có dạng của hằng đẳng thức nào rồi sau đó
biến đổi theo dạng đó (của hằng đẳng thức ).
Ví dụ : Phân tích đa thức x
2
+ 6x + 9 thành nhân tử .
Ta thấy đa thức x
2
+ 6x + 9 có dạng của hằng đẳng thức A
2
+ 2A B + B
2
nên ta phân
tích : x
2
= (x)
2
→ A là x còn 9 = 3
2
→ B là 3 và 6x = 2 . x . 3
Hay x
2

+ 6x + 9 = (x)
2
+ 2 . x . 3 + (3)
2
= (x + 3 )
2
A
2
+ 2 . A . B + B
2
= ( A + B )
2

Ví dụ : Phân tích đa thức 4x
2
– 9 thành nhân tử .
Đa thức 4x
2
– 9 có dạng hằng đẳng thức A
2
– B
2
Đa thức 4x
2
– 9 = (2x)
2
– 3
2
= (2x – 3 )(2x + 3).
A

2
– B
2
= (A – B) (A + B)
Ví dụ : Phân tích đa thức 8x
3
– y
3
thành nhân tử
1/ 8x
3
– y
3
= (2x)
3
– y
3
= (2x – y )[ (2x)
2
+ 2x . y + y
2
] .
Trường THCS Hòa Bắc Năm học: 2006 - 2007
3
Chuyên đề : Rèn kó năng phân tích đa thức thành nhân tử Tổ : Toán – THCS Hoà Bắc
2/ 8x
3
– y
3
= (2x)

3
– y
3
= (2x – y )( 2x
2
+ 2x . y + y
2
) .
Trong hai cách phân tích trên , hãy xác đònh cách làm đúng ? Chỉ rõ chỗ sai trong cách làm sai ?
Tìm biểu thức A,biểu thức B trong hằng đẳng thức trên ?
Phương pháp nhóm hạng tử :
Để phân tích một đa thức thành nhân tử trước tiên ta xét các phương pháp đặt nhân tử
chung trước rồi đến phương pháp dùng hằng đẳng thức nếu đa thức không sử dụng được hai
phương pháp trên thì ta xét đến phương pháp nhóm hạng tử .
Đặc điểm của phương pháp nhóm hạng tử là đa thức phải có từ 4 hạng tử trở lên . Dùng
các tính chất : giao hoán, kết hợp của phép cộng các đa thức ta kết hợp những hạng tử của đa
thức thành từng nhóm thích hợp ,sau khi nhóm hạng tử thì mỗi nhóm phải xuất hiện nhân tử
chung hoặc hằng đẳng thức và tất cả các nhóm sau khi phân tích phải xuất hiện nhân tử chung
chẳng hạn như .
AC – AD + BC – BD = (AC – AD ) + (BC – BD ) = A(C – D ) + B (C –D )= (C – D )(A +B).
+Ví dụ : Phân tích đa thức 4ax – 4bx – a + b thành nhân tử .
Ta có 4ax – 4bx – a + b = (4ax – 4bx) – (a – b ) = 4x (a – b ) – (a – b )= (a – b )( 4x – 1).
+Ví dụ : Phân tích đa thức x
2
+ 6x – y
2
+ 9 thành nhân tử .
Ta có x
2
+ 6x – y

2
+ 9 = (x
2
+ 6x + 9)– y
2
= (x + 3 )
2
– y
2
=( x + 3 – y )( x + 3 + y)
+ Ví dụ : Phân tích đa thức x
2
– xz – 9y
2
+3yz thành nhân tử .
Ta có x
2
– xz – 9y
2
+3yz = (x
2
– 9y
2
) – (xz – 3yz) =(x – 3y )( x + 3y) – z(x – 3y) =
= (x – 3y )( x + 3y – z).
********************************************************************
Để phân tích một đa thức thành nhân tử , ngoài các phương pháp thông thường người ta
còn sử dụng một vài phương pháp khác như : tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; thêm ,bớt
cùng một hạng tử thích hợp ; xét giá trò riêng ( trò số riêng ); dùng hệ số bất đònh ; tìm nghiệm
của đa thức ; đổi biến;…

Trong khuôn khổ chuyên đề này, để phục vụ cho mục đích rèn kó năng phân tích đa thức
thành nhân tử bằng những phương pháp được học trên lớp chúng tôi chỉ bổ sung thêm phương
pháp :
* Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử:
- Đối với đa thức là tam thức bậc hai một ẩn ax
2
+ bx + c :
+Ta thường tách hạng tử ở giữa thành hai hạng tử dựa vào hằng đẳng thức sau : mpx
2
+
( mq + np )x + nq = (mx + n )(px + q) . Như vậy trong tam thức ax
2
+ bx + c , hệ số b được tách
thành b
1
+ b
2
sao cho b
1
. b
2
= ac . Trong thực hành ta làm như sau :
1. Tìm tích ac.
2. Phân tích ac ra thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách .
3. Chọn hai thừa số mà tổng bằng b .
Ví dụ : Phân tích đa thức 6x
2
– 11x +3 thành nhân tử .
Trong đa thức 6x
2

– 11x + 3 thì a = 6, b = – 11 ,c = 3 .
Bước 1 : Tích ac = 6.3 = 18
Bước 2 : Phân tích 18 ra tích hai thừa số cùng dấu và cùng âm ( để tổng bằng 11).
Bước 3 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng –11 , đó là –2 và –9.
Khi đó 6x
2
– 11x + 3 = 6x
2
– 2x –9x + 3 = 2x (3x –1) – 3(3x –1) = (3x –1) (2x – 3).
Trường THCS Hòa Bắc Năm học: 2006 - 2007
4
Chuyên đề : Rèn kó năng phân tích đa thức thành nhân tử Tổ : Toán – THCS Hoà Bắc
Ngoài ra ta có thể tách một hạng tử thành nhiều hạng tử theo nhiều cách .
Chẳng hạn phân tích x
2
– 6x + 8 thành nhân tử ta có thể làm như sau :
x
2
– 6x + 8 = x
2
– 2x – 4x + 8.
x
2
– 6x + 8 = (x
2
– 6x + 9 ) – 1 .
x
2
– 6x + 8 = (x
2

– 4 ) – 6x +12 .
x
2
– 6x + 8 = (x
2
– 16 ) – 6x + 24 .
x
2
– 6x + 8 = (x
2
– 4x + 4 ) – 2x + 4 .
- Đối với đa thức bậc cao một ẩn dạng a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ a
n-2
x
n-2
+ … + a
1
x + a
0

:
Đặt f(x) = a

n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ a
n-2
x
n-2
+ … + a
1
x + a
0
.
+ Nhẩm nghiệm của đa thức tức là nếu a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(a) = 0 và khi đó
f(x) = (x – a ).M trong đó M là đa thức .
- Nếu f(x) có nghiệm nguyên (x = a) thì a là ước của a
0
và khi đó ta tách các hạng
tử để làm xuất hiện nhân tử chung là x – a .
- Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức f(x) chia hết cho x – 1hay f(x) = (x – 1).M
hay x = 1 là nghiệm của đa thức f(x) .
- Nếu tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ
thì đa thức f(x) chia hết cho x +1 hay f(x) = (x + 1).M hay x = – 1 là nghiệm
- Nếu f(x) không có nghiệm nguyên tức là nghiệm của f(x) có dạng x =
p
q
(tối

giản) thì p là ước của a
0
còn q là ước của hạng tử có bậc cao nhất a
n
khi đó ta tìm cách tách các
hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung là qx – p .
- Nếu a
n
= 1và các ước của a
0
không là nghiệm của f(x) thì đa thức f(x) không có
nghiệm (vô nghiệm).
*Ví dụ : Phân tích thành nhân tử : x
3
+ x
2
+ 4.
Trước hết ta kiểm tra các ước của 4 là ± 1, ± 2 , ± 4 . Qua kiểm tra ta thấy – 2 là nghiệm
của đa thức , do đó ta tách các hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung x + 2 .
Cách 1 : x
3
+ x
2
+ 4 = x
3
+ 2x
2
– x
2
+ 4 = (x

3
+ 2x
2
) – (x
2
– 4) = x
2
(x + 2 ) – (x
2
– 2
2
) =
= x
2
(x + 2 ) – (x + 2 ) (x – 2 ) = (x + 2 ) [x
2
– (x – 2 )] = (x + 2 ) (x
2
– x + 2 )
Cách 2 : x
3
+ x
2
+ 4 = x
3
+ 8 + x
2
– 4 = (x
3
+ 2

3
) + ( x
2
– 2
2
) = (x + 2 )(x
2
– 2x + 4 ) +
+ (x + 2 ) (x – 2 ) = (x + 2 )[(x
2
– 2x + 4 )+ (x – 2 )] = (x + 2 ) (x
2
– x + 2 ) .
* Ví dụ : Phân tích đa thức 2x
3
– 5x
2
+ 8x – 3 thành nhân tử .
Kiểm tra các số ± 1, ± 3 không là nghiệm của đa thức . Như vậy đa thức không có nghiệm
nguyên , nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ , nghiệm hữu tỉ (nếu có) của đa thức trên là ±
1 3
,
2 2
±
. Sau khi kiểm tra ta thấy x =
1
2
là một nghiệm nên đa thức chứa nhân tử x -
1
2

hay 2x –
1 do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x – 1 .
2x
3
– 5x
2
+ 8x – 3 = 2x
3
– x
2
– 4x
2
+ 2x + 6x – 3 = (2x
3
– x
2
) – (4x
2
– 2x) + (6x – 3 ) =
= x
2
(2x – 1) – 2x (2x – 1) + 3 (2x – 1) = (2x – 1) (x
2
– 2x + 3 ).
* Ví dụ : phân tích thành nhân tử : x
3
+ 3x
2
– 4 .
Do đa thức có tổng các hệ số bằng 0 nên đa thức có một nhân tử là x – 1 .

Do đó ta có x
3
+ 3x
2
– 4 = x
3
– 1 + 3x
2
– 3 = (x – 1 )(x
2
+ x + 1) + 3 (x – 1 ) (x + 1 )=
= (x – 1 )(x
2
+ x + 1 + 3x + 3 ) = (x – 1 ) (x
2
+ 4x + 4) =(x – 1 ) (x + 2 )
2
.
* Ví dụ : Phân tích đa thức x
2
– 5x – 14 thành nhân tử.
Trường THCS Hòa Bắc Năm học: 2006 - 2007
5