Ba dạng toán thường gặp liên quan đến phương trình bậc hai

1

DÀNH CHO THCS


BA DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP LIÊN QUAN
ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Họ và tên: Trịnh Xuân Tình
GV THPT Phú Xuyên B , Hà Nội

Như chúng ta đã biết liên quan đến phương trình (pt) bậc hai có rất nhiều dạng toán khác
nhau.Trong bài viết này tôi xin giới thiệu ba dạng toán thường hay xuất hiện trong các đề
thi vào lớp 10 và các đề tthi học sinh giỏi.
Dạng 1: Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai
2
0
ax bx c
  
và
/ 2 / /
0
a x b x c
  
có nghiệm chung
Phương pháp
Điều kiện cần: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là
0
x
thì
2

0 0
/ 2 / /
0 0
0
0
ax bx c
a x b x c

  


  



Giải hệ tìm được
0
x
,suy ra giá trị của tham số
Điều kiện đủ: Thế giá trị của tham số tìm được vào hai phương trình để kiểm tra
Ví dụ 1:Tìm tất cả các giá trị của
a
để hai phương trình
2
1 0
x ax
  
và
2
0

x x a
  
có
nghiệm chung
Lời giải:
Điều kiện cần: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là
0
x
thì
 
2
0 0
0
2
0 0
1 0
1 1 0
0
x ax
a x a
x x a

  

    

  



Nếu
1
a

thay vào hai phương trình ta thấy chúng vô nghiệm
Nếu
1
a

thì
0
1 2
x a
   

Điều kiện đủ: Với
2
a
 
thì hai phương trình trở thành
2
2 1 0
x x
  
và
2
2 0
x x
  

Giải hai pt này ta thấy chúng có nghiệm chung là
1
x


Vậy
2
a
 
là giá trị cần tìm
Ví dụ 2:Tìm tất cả các giá trị của
m
để phương trình
4 2 2
2 0
x mx x m m
    
có 4
nghiệm phân biệt
Lời giải: Phương trình tương đương với
  


 
2
2 2
2
1 0 1
1 0
1 0 2

x x m
x x m x x m
x x m

   
      

   



Phương trình đầu có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai pt


1
và


2
mỗi pt phải có hai
nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung
Điều kiện để cả hai pt


1
và


2
có hai nghiệm phân biệt là :

1
2
4 3 0
3
4 1 0
4
m
m
m
   

 

   


2

Giả sử hai pt


1
và


2
có nghiệm chung là
0
x
thì

2
0 0
0 0
2
0 0
1 0
1 3
2 1 0
2 4
0
x x m
x x m
x x m

   


      

  


.Điều này chứng tỏ khi
3
4
m

thì hai
pt



1
và


2
không có nghiệm chung
Vậy để pt đầu có 4 nghiệm phân biệt thì
3
4
m


Dạng 2: Chứng minh trong một hệ thống các phương trình bậc hai có ít nhất một
phương trình có nghiệm
Phương pháp:Để giải quyết dạng toán này chúng ta sẽ đi chứng minh tổng các biệt thức
Delta là một số không âm
Ví dụ 3:Cho các số dương
, ,
a b c
thỏa mãn diệu kiện
2 3 1
a b c
  
.Chứng minh rằng có
ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm



 

2 2
2 2
4 4 2 1 4 192 1 0
4 4 2 1 4 96 1 0
x a x a abc
x b x a abc
     
     

Lời giải
Hai pt trên lần lượt có




/ /
1 2
16 1 48 , 16 1 24
a bc b ac
     
Vì
,
a b
là các số dương nên
/ /
1 2
,
 
lần lượt cùng dấu với
1 48

bc

và
1 24
ac


Mặt khác ta lại có






2
1 48 1 24 2 24 2 2 24 1 3 2 6 1 0
bc ac c a b c c c
           

Dẫn đến
/ /
1 2
0
   

Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm
Ví dụ 4:Cho các số
, ,
a b c
thỏa mãn điệu kiện

6
a b c
  
.Chứng minh rằng có ít nhất
một trong ba phương trình sau có nghiệm

2
2
2
1 0
1 0
1 0
x ax
x bx
x cx
  
  
  

Lời giải
Ba pt trên lần lượt có
 
 
2 2 2
1 2 3
2
2 2 2 2
1 2 3
2
2

1 2 3
4 , 4 , 4
12 2 12
6 2 12
a b c
a b c a b c bc
a a bc
        
              
         

Ta xét hai trường hợp
TH1: Nếu
0 0
0
0 0
b b
bc
c c
 
 
  
 
 
 


Khi
0
0

b
c





áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
   
2 2
6
4 4
b c a
bc
 
 
3

Dẫn đến
   
 
 
2
2 2 2
2 2
1 2 3
6
3
6 2 12 6 12 2 0
2 2

a
a a bc a a a

                 

Do đó có ít nhất một trong ba phương trình có nghiệm

Khi
0
0
b
c





vì
6 6
a b c a
    
nên
2
1
4 0
a
   
nên phương trình thứ nhất có
nghiệm
TH2: Nếu

0
bc

thì




2 2
2 2
1 2 3
6 2 12 2 12 24 2 2 3 6 2 0
a a bc a a bc a bc
                  
Do
đó có ít nhất một trong ba phương trình có nghiệm
Vậy với
, ,
a b c
thỏa mãn điệu kiện
6
a b c
  
thì có ít nhất một trong ba phương trình
có nghiệm
Dạng 3: Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai
2
0
ax bx c
  

và
/ 2 / /
0
a x b x c
  
có nghiệm xen kẽ nhau
Phương pháp
B1: Tìm điều kiện để hai pt có hai nghiệm phân biệt.Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của pt thứ
nhất
3 4
,
x x
là hai nghiệm của pt thứ hai
B2: Lập luận nếu một trong hai số
3 4
,
x x
nằm giữa
1
x
và
2
x
và số kia nằm ngoài thì có thể
xảy ra một trong các trường hợp sau:Hoặc
3 1 3 2

,
x x x x
 
cùng dấu và
4 1 4 2
,
x x x x
 
trái
dấu hoặc ngược lại.Trong cả hai trường hợp ta đều có








3 1 3 2 4 1 4 2
0
x x x x x x x x
    

B3: Áp dụng định lý Viét để từ









3 1 3 2 4 1 4 2
0
x x x x x x x x
    
ta tìm được các giá
trị của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 5 :Tìm điều kiện của để hai phương trình
2
2 0
x x a
  
và
2
4 6 0
x x a
  
có
nghiệm xen kẽ nhau
Lời giải
Hai pt đồng thời có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
 
/
1
/
2
1 0
2
1 *

3
4 6 0
a
a
a

   


  

   


Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của pt thứ nhất
3 4
,
x x
là hai
nghiệm của pt thứ hai
Nếu một trong hai số
3 4
,
x x
nằm giữa
1

x
và
2
x
và số kia nằm ngoài thì có thể xảy ra một
trong các trường hợp sau:Hoặc
3 1 3 2
,
x x x x
 
cùng dấu và
4 1 4 2
,
x x x x
 
trái dấu hoặc
ngược lại.Trong cả hai trường hợp ta đều có










3 1 3 2 4 1 4 2
0 **
x x x x x x x x    

Theo định lí Viét ta có
1 2 1 2 3 4 3 4
2 , , 4 , 6
x x x x a x x x x a
       

Ta có






    
2 2
3 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3 3
2 2
4 1 4 2 4 1 2 4 1 2 4 4
2
2
x x x x x x x x x x x x a
x x x x x x x x x x x x a
        
        

Dẫn đến
4








   
 
 
2 2
3 3 4 4
2
2 2 2
3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4
2
** 2 2 0
2 4 2 0
48
49 48 0 0
49
x x a x x a
x x x x x x x x a x x a x x a
a a a
     
         
     

Kết hợp với


*
ta được

48
0
49
a  thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của
a
để hai phương trình
2
(2 1) 2 2 0
x a x a
    
và
2
2 3 1 0
x ax a
   
có nghiệm chung
Bài 2:Cho các số
1 2 1 2
, , ,
a a b b
thỏa mãn điệu kiện


1 2 1 2
2
a a b b
  .Chứng minh rằng có ít
nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm

2
1 1
2
2 2
0
0
x a x b
x a x b
  
  

Bài 3:Tìm điều kiện của
a
để hai phương trình
2
3 2 0
x x a
  
và
2
6 5 0
x x a
  
có
nghiệm xen kẽ nhau