Phân loại dạng toán liên quan tới phương trình bậc II

SKKN: Phân loại dạng toán liên quan tới phơng trình bậc hai 2
phần I : Đặt vấn đề
1) Lí do chọn đề tài:
Trong các môn học ở trờng phổ thông cùng với môn Văn Tiếng Việt,
môn toán có vị trí rất quan trọng. Toán học, với t cách là môn khoa học nghiên
cứu một số mặt của thế giới thực, toán học có hệ thống kiến thức cơ bản và phơng
pháp nhận thức cần thiết cho đời sống sinh hoạt và lao động. Nó cũng là công cụ
cần thiết cho các môn khoa học khác và để tiếp tục nhận thức thế giới xung
quanh, đồng thời giúp chúng ta hoạt động có hiệu quả trong thực tiễn đời sống.
Toán học có nhiều tác dụng trong việc phát triển trí thông minh, t duy độc lập,
linh hoạt, sáng tạo trong mọi lĩnh vực hoạt động của con ng ời. Toán còn góp
phần giáo dục ý chí và đức tính tốt nh : Cần cù, nhẫn nại, ý thức vợt khó khăn .
Phơng trình bậc hai và ứng dung của nó là một mảng rất quan trọng trong
chơng trình toán THCS., Phơng trình bậc hai có ứng dụng rất rộng trong khi giải
toán đối với học sinh lớp 9. Không những thế phơng trình bậc hai còn đợc ứng
dụng nhiều cho học sinh tiếp tục học lên lớp trên.
Qua thực tế một số năm giảng dạy toán 9 tôi nhận thấy việc Giải một phơng
trình bậc hai , hay xác định dấu các nghiệm của phơng rình bậc hai không phải
là vấn đề khó đối với học sinh , song với các dạng toán có liên quan nh tìm hệ
thức giã các nghiệm hoặc tìm m để thoả mãn diều kiện cho trớc của nghiệm hay
giải các phơng trình quy về phơng trình bậc hai ... các em thờng lúng túng hay
nhầm lẫn (phần các dạng toán rất đa dạng , phần vì trong SGK không trang bị các
phơng pháp giải cụ thể) đặc biệt mắc nhiều sai sót trong khi giải, rất ít học sinh
có lời giải đầy đủ và chặt chẽ. Tuy nhiên các dạng toấn này lại có vai trò vô
cùng quan trọng trong việc bồi dỡng và nâng cao năng lực trí tuệ cho học sinh.
Đặc biệt nó thờng xuyên xuất hiện trong các đề thi cuối kì , cuối năm, thi tuyển
sinh vào 10, đề thi phát hiện học sinh giỏi.
Các bài tập phơng trình bậc hai rất đa dạng phong phú, nó đòi hỏi học sinh
phải nắm chắc các kiến thức cơ bản và có kỹ năng tổng hợp nhất định. Cho nên
Giáo viên : Dơng Thị Ngọc Trờng THCS Dũng tiến

SKKN: Phân loại dạng toán liên quan tới phơng trình bậc hai 3
ngay từ đầu giáo viên ôn tập ngay cho học sinh các bài tập tổng hợp thì nhiều em
khó có khả năng tiếp thu bài học, dẫn đến kết quả bài làm thấp.
Vấn đề đặt ra là ngời thầy phải giảng dạy các bài tập có liên quan đến ph-
ơng trình bậc hai nh thế nào để từng đối tợng học sinh có khả năng tiếp thu đợc,
góp phần nâng cao chất lợng cho học sinh khá giỏi và học sinh đại trà có kiến
thức về phơng trình bậc hai đủ để thi vào THPT.
Nâng cao chất lợng giáo dục trong nhà trờng đối với tất cả các khối lớp là
nhiệm vụ cơ bản của mỗi giáo viên, đặc biệt là vấn đề chất lợng đối với học sinh
lớp 9. Là một giáo viên tham gia giảng dạy bộ môn toán 9, trong những năm
qua tôi luôn trăn trở là làm thế nào để nâng cao chất lợng bộ môn. Tôi cho rằng
ngời thầy phải nâng cao chất lợng từng giờ lên lớp, chú trọng đổi mới phơng
pháp dạy học, tích cực kiểm tra và theo dõi sát sao việc học tập của học sinh. Từ
đó ngời thầy uốn nắn giải đáp vớng mắc cho các em và điều chỉnh phơng pháp
dạy học sao cho phù hợp nhất. Đồng thời ngời thày phải thờng xuyên ôn tập hệ
thống kiến thức, phân loại bài tập, hình thành phơng pháp và kỹ năng giải toán
cho học sinh.
Chính vì thế tôi chọn vấn đề Phân loại dạng toán có liên quan tới ph ơng
trình bậc hai nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh lớp 9 .
2) Mục đích của đề tài:
1. Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải toán liên quan đến phơng
trình bậc hai phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh Giỏi-khá -trung bình -
yếu.
2. Giúp các em tiếp thu kiến thức một cách có hệ thống, chủ động, sáng tạo,
rèn khả năng tự học, tự đọc.
3. Tháo gỡ những vớng mắc, khó khăn, tránh đợc một số sai lầm khi giải toán
liên quan đến phơng trình bậc hai một ẩn để có lời giải đảm bảo chặt chẽ, Logíc
4. Thông qua việc giải các bài toán về phơng trình bậc hai một ẩn và các bài
toán có liên quan học sinh thấy rõ hơn mục đích của việc học tập toán, đồng thời
Giáo viên : Dơng Thị Ngọc Trờng THCS Dũng tiến

SKKN: Phân loại dạng toán liên quan tới phơng trình bậc hai 4
góp phần nâng cao năng lực trí tuệ cho học sinh, nâng cao chất lợng giáo dục đại
chà và bồi dỡng học sinh giỏi.
3) Đối t ợng nghiên cứu và phạm vi ứng dụng :
Đề tài đợc nghiên cứu trong chơng trình toán lớp 9 và áp dụng ôn thi vào 10,
ôn tập và bồi dỡng học sinh giỏi.
4) Ph ơng pháp nghiên cứu:
1. Tham khảo , thu thập tài liệu
2. Phân tích , tổng kết kinh nghiêm.
3. Kiểm tra kết quả : qua dự giờ , kiểm tra chất lợng học sinh , nghiên cứu hồ
sơ giảng dạy , điều tra trực tiếp thông qua các giờ học .
5) Ph ơng pháp tiến hành
Trong giờ học chính khoá tôi lồng ghép các bài tập theo từng phơng pháp,
từng dạng , cơ sở giải cùng lời giải mẫu, để học sinh hình thành kỹ năng giải
từng loại toán này . Cho học sinh thực hành bài tập tơng tự ngay tại lớp .
Đặc biệt , trong các giờ luyện tập , ôn tập chơng giáo viên tiếp tục cho học sinh
giải các bài tập tổng hợp , bài tập nâng cao , làm thử các đề thi ttốt nghiệp , để thi
tuyển sinh vào 10 . Qua đó học sinh thấy đợc tầm quan trọng của loại toán này ,
tự rèn luyện tạo kỹ năng cho mình . Bằng rèn luyện thực hành giải các dạng bài
tập , học sinh giải các bài tập tổng hợp phức tạp hơn . Các em đợc nâng cao kiến
thức , hình thành kỹ năng phản xạ khi gặp các bài toán tơng tự .
Sau đây tôi xin đa ra một số nội dung mà tôi đã thực hiện, áp dụng và đạt
hiệu quả nhất định trong giảng dạy.
Phần II : Nội dung
Giáo viên : Dơng Thị Ngọc Trờng THCS Dũng tiến

SKKN: Phân loại dạng toán liên quan tới phơng trình bậc hai 5
A - Kiến thức cơ bản về ph ơng trình bậc hai
Để học sinh làm đợc các bài tập về phơng trình bậc hai, trớc tiên giáo viên phải

giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản sau .
I - Định nghĩa và cách giải ph ơng trình bậc hai một ẩn số
1 -Định nghĩa
Là phơng trình dạng ax
2
+ bx + c = 0
x : ẩn ;
a, b, c, là các số đã cho và a 0
2- Ph ơng trình bậc hai đặc biệt
2.1. Dạng khuyết a x
2
= 0 (b = c = 0 ; a 0)
Phơng trình có nghiệm kép x
1
= x
2
= 0

2.2 . Dạng khuyết b : ax
2
+ c = 0 (b = 0 ; a, c 0)
Ta có : ax
2
+ c = 0 x
2
=
a
c

+ Nếu

a
c

> 0 ( a , c trái dấu ) , phơng trình có 2 nghiệm đối nhau
x
1
=
a
c
-
; x
2
= -
a
c
-
+ Nếu
a
c

< 0 (a , c cùng dấu ) phơng trình vô nghiệm
2.3. Dạng khuyết c : ax
2
+ bx = 0 ( c = 0 ; a , b 0)
Ta có : ax
2
+ bx = 0 x ( ax + b ) = 0
x
1
= 0 ; x

2
=
a
b

=> Phơng trình có hai nghiệm
3- Ph ơng trình bậc hai đầy đủ : ax
2
+ bx + c = 0
Cách giải : Sử dụng công thức nghiệm tổng quát
Lập biệt thức = b
2
4ac
* < 0 Phơng trình vô nghiệm
* = 0 Phơng trình có nghiệm kép x
1
= x
2
= -
a
b
2
* > 0 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
x
1
=
a
b
2
+

; x
2
= =
a
b
2


Trờng hợp Đặc biệt khi b = 2b


Lập biệt thức = b
2
ac
*

< 0 Phơng trình vô nghiệm
Giáo viên : Dơng Thị Ngọc Trờng THCS Dũng tiến

SKKN: Phân loại dạng toán liên quan tới phơng trình bậc hai 6
*

= 0 Phơng trình có nghiệm kép x
1
= x
2
= -
a
b
'

*

> 0 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
x
1
=
a
b
''
+
; x
2
=
a
b
''


3 - Chú ý quan trọng
3.1. Nếu a và c trái dấu phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
3.2. Nếu phơng trình có 2 nghiệm x
1
và x
2
thì : ax
2
+ bx + c = a (x-x
1
)( x-x
2

)
3.3 Nếu phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 không có nghiệm thực thì tam thức

(x)
= ax
2
+ bx + c luôn luôn đồng dấu với hệ số a
hay
< 0
(x)
= ax
2
+ bx + c đồng dấu với hệ số a x R
II - Định lý Vi-ét .
1 - Định lý thuận
a - Nếu x
1
; x
2
là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
thì S = x
1
+ x
2
= -
b

a
P = x
1
.x
2
=
a
c
b ứng dụng
+ Nếu a + b +c = 0 thì x
1
= 1 ; x
2
=
a
c
Ngợc lại nếu x
1
= 1 thì a + b + c = 0
+ Nếu a - b +c = 0 thì x
1
= - 1 ; x
2
=-
a
c
Ngợc lại nếu x
1
= -1 thì a - b +c = 0
2 - Định lý đảo

Nếu S = x
1
+x
2
(S
2
4 P )
P = x
1
.x
2

Thì x
1
; x
2
là 2 nghiệm của phơng trình : X
2
SX + P = 0
III - Điều kiện về nghiệm của ph ơng trình bậc hai

Cho phơng trình ax
2
+ bx + c =0 (a 0)
3.1 Phơng trình vô nghiệm < 0 ( hoặc

< 0 )
3.2 Phơng trình có nghiệm kép = 0 ( hoặc

= 0 )

3.3 Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt > 0 ( hoặc

> 0 )
3.4 Phơng trình có nghiệm 0 ( hoặc

0 )
Giáo viên : Dơng Thị Ngọc Trờng THCS Dũng tiến

SKKN: Phân loại dạng toán liên quan tới phơng trình bậc hai 7
3.5 Phơng trình có 2 nghiệm trái dấu P =
a
c
<0
3.6 Phơng trình có 2 nghiệm cùng dấu 0
P > 0
3.7 Phơng trình có 2 nghiệm đối nhau S = 0
P < 0
3.8 Phơng trình có 2 nghiệm dơng 0
P > 0
S > 0
3.9 Phơng trình có 2 nghiệm âm 0
P > 0
S < 0
= 0
3.10 Vế trái là phơng trình của một nhị thức a > 0
3.11 Phơng trình có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn x

1
= g(x
2
)
(áp dụng Viét để giải)
B - các dạng bài tập cơ bản
I - Ph ơng trình bậc hai không chứa tham số .
Yêu cầu
- Học sinh giải thành thạo các phơng trình bậc hai khuyết, phơng trình bậc hai đầy đủ
- Học sinh thuộc công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn, hệ thức Viét và úng
dụng của nó
Ví dụ 1 : Giải các phơng trình
a. 5x
2
20 = 0
b. 0,4x
2
+ 1 = 0
c. 2x
2
+
2
x = 0
H ớng dẫn kết quả
a. x
2
= 4 => x
1
= 2 ; x
2

= -2
b. x
2
= -2,5 < 0 => phơng trình vô nghiệm .
c.
2
x (
2
x + 1) = 0 => x
1
= 0 ; x
2
= -1/
2

Ví dụ 2 : Giải các phơng trình sau
a. 3x
2
2
3
x 3 = 0
b. x
2
x(1 +
2
) +
2
= 0
c. x
2

x
- 6 = 0
H ớng dẫn kết quả
a.

= (
3
)
2
(- 3) .3 = 12
3212
'
==

x
1
=
3
; x
2
= -
3
3
Giáo viên : Dơng Thị Ngọc Trờng THCS Dũng tiến

SKKN: Phân loại dạng toán liên quan tới phơng trình bậc hai 8
b. a + b + c = 0 x
1
=1 ; x

2
=
2
c. x
2

x
- 6 = 0 (1)
Nếu x 0 (1) x
2
x - 6 = 0 x
1
=3 ; x
2
= -2 (loại)
Nếu x 0 (1) x
2
+ x - 6 = 0 x
3
=2 (loại) ; x
4
= -3
Kết luận phơng trình x
2

x
- 6 = 0 có 2 nghiệm x
1
=3 ; x
4

= -3
Ví dụ 3 : Giải các phơng trình bậc hai sau bằng cách nhẩm nhanh nhất
a. x
2
11x 30 = 0
b. 5x
2
17x + 12 = 0
c. x
2
(1 +
2
).x +
2
= 0
H ớng dẫn kết quả
a. P = 30
S = 11 x
1
=5 ; x
2
= 6
b. 5x
2
17x + 12 = 0
Ta có 5 + (-7) + 12 = 0 x
1
=1; x
2
=

5
12
c. x
2
(1 +
2
).x +
2
= 0
Ta có 1 + (1 +
2
). +
2
= 0 x
1
=1 ; x
2
=
2
Ví dụ 4: Cho phơng trình 5x
2
+
3
x -
5
= 0 (1)
Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2

.
Không giải phơng trình hãy tính giá trị của biểu thức sau
a.
22
11
xx
+
b. x
1
2
+x
2
2
c.
2
2
2
2
11
xx
+
d. x
1
3
+x
2
H ớng dẫn :
Phơng trình (1) chắc chắn có 2 nghiệm (a . c <0 )
Theo Vi ét ta có x
1

+ x
2
= -
3
x
1
. x
2
= -
5
a. .
22
11
xx
+
=
21
21
.xx
xx
+
=
5
15
b. x
1
2
+x
2
2

= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1.
x
2
= 3+2
5
c.
2
2
2
2
11
xx
+
=
2
2
2
1
2
2
2
1
.xx

xx
+
=
5
5.23
+
d. x
1
3
+x
2
3
= (x
1
+ x
2
).( x
1
2
+x
2
2
- x
1
. x
2
)
= -3.(
3
+

5
)
II Giải và biện luận các ph ơng trình bậc hai chứa tham số
Ví dụ 1 : Cho phơng trình (1- m)x
2
2mx + m - 2 = 0 (1)
a. Với giá trị nào của m thì (1) là phơng trình bậc hai
b. Giải (1) khi m = 0,5
H ớng dẫn :
Giáo viên : Dơng Thị Ngọc Trờng THCS Dũng tiến

SKKN: Phân loại dạng toán liên quan tới phơng trình bậc hai 9
a. 1- m 0 m 1
b. Giải (1) khi m = 0,5
Với m = 0,5 thì (1) x
2
2x 3 = 0
x
1
= - 1 ; x
2
= 3
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phơng trình sau theo tham số m
(m-1)x
2
2(m+1)x +(m-2) = 0 (2)
H ớng dẫn :
m-1 = 0 m = 1 Thì (2) trở thành 4x-1 = 0 có nghiệm x =
1
4

-
m 1
ạ
0
Xét

= 5m - 1
+ Nếu 5m - 1 < 0 m

<
1
5
Thì phơng trình (2) vô nghiệm
+ Nếu 5m - 1 = 0 m

=
1
5

Thì phơng trình (2) có nghiệm kép x
1
= x
2
=
m 1
m 1
+
-

+ Nếu 5m - 1 > 0 m

>
1
5
Thì phơng trình (2) có 2 nghiệm phân biệt x
1,2
=
m 1 5m 1
m 1
+ -
-

III - Dạng toán có liên quan tới nghiệm của ph ơng trình bậc hai
III . 1 Dấu của nghiệm số của ph ơng trình bậc hai
Ph ơng pháp
Sử dụng các điều kiện ở mục III phần A. lu ý điều kiện a 0
Ví dụ 1 : Cho phơng trình bậc hai (ẩn x)
(m+1) x
2
2(m-1)x +m-3 = 0 (1)
a. Tìm m để phơng (1) trình có 2 nghiệm phân biệt
c. Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm : Cùng dấu, trái
dấu , hai nghiệm dơng, hai nghiệm âm , hai nghiệm đối nhau .
H ớng dẫn :
a. Để (1) là phơng trình bậc hai thì m+1 0 m 1 (*)


= 4 > 0 . Vậy với m 1 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt
b.
+ Để phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu thì

a
c
< 0
0
1
3
<
+

m
m
-1 < m < 3 và m 1
+ Để phơng trình (1) có 2 nghiệm cùng dấu thì

a
c
> 0
0
1
3
>
+

m
m
m > 3 ; m < -1
Giáo viên : Dơng Thị Ngọc Trờng THCS Dũng tiến

SKKN: Phân loại dạng toán liên quan tới phơng trình bậc hai 10

+ Để phơng trình (1) có 2 nghiệm dơng thì
S > 0
P > 0

0
1
)1(2
>
+

m
m
m > 3

0
1
3
>
+

m
m
m <-1
Chú ý : cần luôn lu ý HS đối chiếu với điều kiện (*)
Ví dụ 2 : Cho phơng trình
x
2
2(k-1)x + 2k -5 = 0
a, Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi k
b. Tìm k để phơng trình có hai nghiẹm cùng dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?

H ớng dẫn :
a. Phơng trình đã cho có bậc hai
Xét

= = k
2
4k + 6 = (k -2)
2
+ 2 > 0 với mọi k
Vậy phơng trình luôn có nghiệm với mọi k
b. Đã có

> 0 để pt có hai nghiệm cùng dấu thì P =
a
c
> 0 2k-5 > 0 k >
5
2
Lại có S = -
b
a
= 2(k-1) . Với k >
5
2
thì 2(k-1) > 0 nên S > 0
Vậy hai nghiệm cùng dấu đó là hai nghiệm dơng

Ví dụ 3 : Tìm m để phơng trình x
2
2(m + 5)x + m

2
- 4m + 47 = 0 (1)
Có hai nghiệm lớn hơn 3
H ớng dẫn :
Đặt x = t + 3 (t > 0) thay vào (1) ta đợc phơng trình
t
2
2(m + 2)t + m
2
- 10m + 26 = 0 (2)
Bài toán trở thành tìm m để phơng trình (2) có hai nghiệm dơng phân biệt
Nh vậy phải có
0 14m -22 > 0
P > 0 m
2
- 10m + 26 > 0 m
11
7

S > 0 m + 2 > 0
III . 2 . Tìm hệ thức độc lập ( với tham số m ) giữa các nghiệm của ph ơng
trình

Ph ơng pháp
B1 : Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
B2 : áp dụng Viet lập S , P (phụ thuộc vào m)
Giáo viên : Dơng Thị Ngọc Trờng THCS Dũng tiến

SKKN: Phân loại dạng toán liên quan tới phơng trình bậc hai 11
B3 : Khử m để lập một hệ thức giữa S và P

B4 : Thay S = x
1
+ x
2
; P = x
1
. x
2
thì đợc hệ thức phải tìm
Nếu S hay P là hằng số thì đó chính là hệ thức cần tìm , khôkhông cần
làm hai bớc tiếp theo
Ví dụ 1 : Cho phơng trình
x
2
2(m + 1)x + m
2
+ 3 = 0
Tìm một hệ thức giữa các nghiệm x
1
, x
2
của phơng trình không phụ thuộc vào m
H ớng dẫn :
Có

= = 2m 2
Pt đã cho có nghiệm khi

> 0 m > 1
Khi đó S = x

1
+ x
2
= 2m + 2 (1)
P = x
1
. x
2
= m
2
+ 3 (2)
Từ (`1) suy ra m =
1
2
(S - 2) thế vào (2) đợc 4P = S
2
4S + 16
Hệ thức phải tìm là (x
1
+ x
2
)
2
- 4(x
1
+ x
2
) - 4 x
1
. x

2
+ 16 = 0
Ví dụ 2
Cho phơng trình x
2
+ mx + n = 0 , biết rằng n
Ê
m-1
CMR phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
;
CMR x
1
2
+x
2
2


1 với mọi m, n thoả mãn điều kiện đó .
H ớng dẫn :
+ Với n
Ê
m-1 ta có = m
2
4n

m

2
4(m-1) = (m 2)
2

0
=> phơng trình x
2
+ mx + n = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
+ theo vi et có x
1
+ x
2
= - m ; x
1
. x
2
= n
x
1
2
+x
2
2
= (x
1
+ x
2

)
2
- 2x
1.
x
2

= m
2
2n
Vì n
Ê
m-1 x
1
2
+x
2
2
= m
2
2n

m
2
2(m-1) = (m 1)
2
+ 1


1

III . 3 . Tìm m để ph ơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2

thoả mãn hệ thức đối
xứng giữa các nghiệm .

Ph ơng pháp
Hệ thức đối xứng gữa các nghiệm dạng

22
11
xx
+
; x
1
2
+x
2
2
;
2
2
2
2
11
xx
+
; x

1
3
+x
2
3
Khi gặp các hệ thức này cần nhớ các kết quả áp dụng hệ thức viét
x
1
2
+x
2
2
= S
2
2P
22
11
xx
+
=
S
P
x
1
3
+x
2
3
= S (S
2

3P)
2
2
2
2
11
xx
+
=
2
2
S 2P
P
-
Giáo viên : Dơng Thị Ngọc Trờng THCS Dũng tiến