CHUYÊN ĐÊ ĐẠI SÔ K10

®Ò c¬ng «n tËp khèi 10
I.ĐẠI SỐ
CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Bất phương trình
Khái niệm bất phương trình.
Nghiệm của bất phương trình.
Bất phương trình tương đương.
Phép biến đổi tương đương các bất
phương trình.
2. Dấu của một nhị thức bậc nhất
Dấu của một nhị thức bậc nhất.
Hệ bất phương trình bậc nhất một
ẩn.
3. Dấu của tam thức bậc hai
Dấu của tam thức bậc hai.
Bất phương trình bậc hai.
Bài tập.
1. Xét dấu biểu thức
f(x) = (2x - 1)(5 -x)(x - 7).
g(x)=
1 1
3 3
−
− +
x x
h(x) = -3x
2
+ 2x – 7
k(x) = x
2
- 8x + 15

2. Giải bất phương trình
a)
1
7) -x)(x - (5
−x
> 0
b) –x
2
+ 6x - 9 > 0;
c) -12x
2
+ 3x + 1 < 0.
d)
3 1
2
2 1
− +
≤ −
+
x
x
e)
2 2
3 1 2 1
+ −
≤
+ −
x x
x x
f/

1 1 1
1 2 2
+ >
− + −
x x x
g) (2x - 8)(x
2
- 4x + 3) > 0
h)
2
11 3
0
5 7
x
x x
+
>
− + −
k)
2
2
3 2
0
1
x x
x x
− −
≤
− + −

l). (1 – x )( x
2
+ x – 6 ) > 0
m).
1 2
2 3 5
+
≥
+ −
x
x x

3. Giải bất phương trình
a/
3 1
− ≥ −
x
b/
5 8 11
− ≤
x
c/
3 5 2
− <
x
d/
2 2 3
− > −
x x
e/

5 3 8
+ + − ≤
x x
4) Giải hệ bất phương trình sau
a)
5
6 4 7
7
8 3
2 5
2
x x
x
x

+ < +



+

< +


.
b)
( )
1
15 2 2
3

3 14
2 4
2
x x
x
x

− > +



−

− <


.
c)
3 1 2 7
4 3 2 19
x x
x x
+ ≥ +


+ < +

d)
2 3
1

1
( 2)(3 )
0
1
x
x
x x
x
+

>


−

+ −

<

−

1
®Ị c¬ng «n tËp khèi 10
5) Với giá trị nào của m,
phương trình sau có nghiệm?
a) x
2
+ (3 - m)x + 3 - 2m = 0.
b)
2

(m 1)x 2(m 3)x m 2 0− − + − + =
6) Cho phương trình :
2
( 5) 4 2 0m x mx m− − + − =
Với giá nào của m thì :
a) Phương trình vơ nghiệm
b) Phương trình có các nghiệm
trái dấu
7) Tìm m để bpt sau có tập
nghiệm là R: a)
2 2
2x (m 9)x m 3m 4 0− − + + + ≥
b)
2
(m 4)x (m 6)x m 5 0− − − + − ≤

8) Xác định giá trị tham số m
để phương trình sau vơ nghiệm:
x
2
– 2 (m – 1 ) x – m
2
– 3m + 1 = 0.
9) Cho
f (x ) = ( m + 1 ) x
2
– 2 ( m +1) x – 1
a) Tìm m để phương trình f (x ) = 0
có nghiệm
b). Tìm m để f (x)

≥
0 ,
∀ ∈¡x
CHƯƠNG 5. THỐNG KÊ
1.Bảng phân bố tần số - tần suất.
2. Biểu đồ
Biểu đồ tần số, tần suất hình cột.
Đường gấp khúc tần số, tần suất.
Biểu đồ tần suất hình quạt.
3. Số trung bình
Số trung bình.
Số trung vị và mốt.
4. Phương sai và độ lệch chuẩn của dãy số liệu thống kê
Bài tập.
1. Cho các số liệu ghi trong bảng sau
Thời gian hoàn thành một sản phẩm ở một nhóm công nhân (đơn vò:phút)
42 42 42 42 44 44 44 44 44 45
45 45 45 45 45 45 45 45 45 45
45 45 45 45 45 45 45 45 45 54
54 54 50 50 50 50 48 48 48 48
48 48 48 48 48 48 50 50 50 50
a/Hãy lập bảng phân bố tần số ,bảng phân bố tần suất.
b/Trong 50 công nhân được khảo sát ,những công nhân có thời gian hoàn
thành một sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm bao nhiêu phần trăm?
2
®Ò c¬ng «n tËp khèi 10
2. Chiều cao của 30 học sinh lớp 10 được liệt kê ở bảng sau (đơn vị cm):
145 158 161 152 152 167
150 160 165 155 155 164
147 170 173 159 162 156

148 148 158 155 149 152
152 150 160 150 163 171
a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với các lớp là: [145; 155);
[155; 165); [165; 175).
b) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất
c) Phương sai và độ lệch chuẩn
3. Điểm thi học kì II môn Toán của một tổ học sinh lớp 10A (quy ước rằng
điểm kiểm tra học kì có thể làm tròn đến 0,5 điểm) được liệt kê như sau:
2 ; 5 ; 7,5 ; 8 ; 5 ; 7 ; 6,5 ; 9 ; 4,5 ; 10.
a) Tính điểm trung bình của 10 học sinh đó (chỉ lấy đến một chữ số thập
phân sau khi đã làm tròn).
b) Tính số trung vị của dãy số liệu trên.
4. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau :
Thành tích chạy 500m của học sinh lớp 10A ờ trường THPT C. ( đơn vị : giây )
a). Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với các lớp :
[ 6,0 ; 6,5 ) ; [ 6,5 ; 7,0 ) ; [ 7,0 ; 7,5 ) ; [ 7,5 ; 8,0 ) ; [ 8,0 ; 8,5 ) ; [ 8,5 ; 9,0 ]
b). Vẽ biểu đồ tần số hình cột, đường gấp khúc về thành tích chạy của học
sinh.
c). Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của bảng phân bố.
5 Số lượng khách đến tham quan một điểm du lịch trong 12 tháng được thống
kê như ở bảng sau:
Tháng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Số
khách
43
0
55
0
43
0

52
0
55
0
515 55
0
11
0
52
0
43
0
55
0
880

a). Lập bảng phân bố tần số, tần suất và tìm số trung bình

b). Tìm mốt, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn.
3
®Ò c¬ng «n tËp khèi 10
CHƯƠNG 6. GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Góc và cung lượng giác
Độ và rađian.
Góc và cung lượng giác.
Số đo của góc và cung lượng
giác.
Đường tròn lượng giác.
2. Giá trị lượng giác của một
góc (cung)

Giá trị lượng giác sin, côsin,
tang, côtang và ý nghĩa hình
học.
Bảng các giá trị lượng giác của
các góc thường gặp.
Quan hệ giữa các giá trị lượng
giác.
3. Công thức lượng giác
Công thức cộng.
Công thức nhân đôi.
Công thức biến đổi tích thành
tổng.
Công thức biến đổi tổng thành
tích.
Bài tập
1. Đổi số đo của các góc sau đây
sang ra-đian:
105° ; 108° ; 57°37'.
2. Một đường tròn có bán kính
10cm. Tìm độ dài của các cung
trên đường tròn có số đo:
a)
12
7
π
b) 45°.
3. cho sinα =
5
3
; và

πα
π
<<
2
a) Cho Tính cosα, tanα,
cotα.
b) Cho tanα = 2 và
2
3
π
απ
<<
Tính sinα, cosα.
4. Chứng minh rằng:
a) (cotx + tanx)2 - (cotx - tanx)2 = 4;
b) cos4x - sin4x = 1 - 2sin2x
5. Chứng minh rằng trong tam giác
ABC ta có:
a) sin(A + B) = sinC
b) sin






+
2
BA
= cos

2
C
6. Tính: cos105°; tan15°.
7. Tính sin2a nếu sinα - cosα = 1/5
8. Chứng minh rằng:
cos4x - sin4x = cos2x.
4
Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
Dạng



=+
=+
''' cybxa
cbyax
1. Giải hệ phơng trình
1)





=+
=+
3)12(4
12)12(
yx
yx
2)

=
=+
5
3
1
7
3
1
3
2
5
3
yx
yx
2. Giải và biện luận hệ phơng trình
1)



=+
=+
55
55

myx
ymx
2)



=++
=
mmyxm
myxm
3)1(
72)5(
3. Tìm giá trị của tham số để
hệ phơng trình có vô số nghiệm
1)



+=++
=++
23)12(
3)12(
mmyxm
mymmx
2)



=+
+=+

mnmynx
nmnymx
2
22

4. Tìm m để hai đờng thẳng sau song song

my
m
xmyx =++=++
1
)1(,046
5. Tìm m để hai đờng thẳng sau cắt nhau trên Oy

mymxmmyx 3)32(,2 =+++=

Hệ gồm một phơng trình bậc nhất vàmột phơng trình bậc hai hai ẩn
Dạng



=++++
=+
)2(
)1(
22
khygxeydxycx
cbyax
PP giải: Rút x hoặc y ở (1) rồi thế vào (2).
1. Giải hệ phơng trình

1)



=
=
423
532
22
yyx
yx
2)



=+
=+
5)(3
0143
yxxy
yx
3)



=+++
=
100121052
132
22

yxyxyx
yx
2. Giải và biện luận hệ phơng trình
1)



=+
=
22
12
22
yx
ymx
2)



=+
=
22
12
22
yx
ymx
3. Tìm m để đờng thẳng
0)1(88 =++ mymx

cắt parabol
02

2
=++ xyx
tại hai điểm phân biệt. ##
Hệ phơng trình đối xứng loại I
Dạng



=
=
0),(
0),(
2
1
yxf
yxf
; với
),( yxf
i
=
),( xyf
i
.
PP giải: đặt
PS
Pxy
Syx
4;
2

=
=+
1. Giải hệ phơng trình
1)



=++
=++
7
5
22
xyyx
xyyx
2)



=+
=++
30
11
22
xyyx
xyyx
3)

=++
=+
931
19
2244
22
yxyx
xyyx
4)





=+
=+
243
2
111
33
yx
yx
5)

=








++
=








++
49
1
1)(
5
1
1)(

22
22
yx
yx
xy
yx
6)





=+
=+
2
5
17
22
y
x
y
x
yx
2. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm
1)

=+
=+
myx
yx
66
22
1
2)



=++
=+++
mxyyx
yxyx
)1)(1(
8)
22
3. Cho hệ phơng trình



=++
=+
3
2
22
xyyx
myx

Giả sử
( )
yx;
là một nghiệm của hệ. Tìm m để biểu thức F=
xyyx +
22
đạt max, đạt min.
Hệ phơng trình đối xứng loại II
Dạng



=
=
0),(
0),(
xyf
yxf

PP giải: hệ tơng đơng



=
=
0),(),(
0),(
xyfyxf
yxf
hay

=
=+
0),(),(
0),(),(
xyfyxf
xyfyxf
1. Giải hệ phơng trình
1)





=
=
yxx
xyy
43
43
2
2
2)

=
=
yxyx
xxyy
3
3
2
2
3)





=+
=+
yxyx
xyxy
40
40
23
23
4)





+=
+=

yxx
xyy
83
83
3
3

2. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.
1)





=+
=+
myxx
myxy
2)(
2)(
2
2
2)





+=
+=

myyyx
mxxxy
232
232
4
4

Hệ phơng trình đẳng cấp (cấp 2)
Dạng





=++
=++
)2(''''
)1(
22
22
dycxybxa
dcybxyax
PP giải: đặt
txy =
nếu
0x
1. Giải hệ phơng trình
1)

=++
=++
932
222
22
22
yxyx
yxyx
2)





=+
=+
42
1332
22
22
yxyx
yxyx
3)

=
=+
16
17243
22
22
yx
yxyx
4)





=
=
137
15
2
22
xyy
yx
2. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm
1)

+=++
=++
myxyx
yxyx
1732
1123
22
22
2)





=+
=+
myxyx
yxyx
22
22
54
132
Một số Hệ phơng trình khác
1. Giải hệ phơng trình
1)



=+
=

7
1
22
yxyx
yx
2)



=
=
180
49
22
xyyx
xyyx
3)



=
=
7
2)(
33
yx
yxxy
4)

=+
=+
0)(9)(8
012
33
yxyx
xy
5)





=
=+
21
1
22
yx
yx
6)





=+
=
yxyx

xyxy
10)(
3)(2
22
22
2. Giải hệ phơng trình
1)





=++
=+++
12
527
yxyx
yxyx
3)





=++
=
=++
7
14
2

222
zyx
yxz
zyx
2)





=
+=++
523
5
3
2
323
22
yx
x
xyy

3. Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung
a)
mx 31 =
và
124
22
= mx
b)

01)2()1(
2
= xmxm
và
012
2
=+ mxx
4. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm



=+++
+=
02
)1(
xyyx
xyayx






=++
=++
11
1
xy
myx
4. Tìm m, n để hệ phơng trình sau có nhiều

hơn 5 nghiệm phân biệt






+=++
=++
myxyyxmx
ynxyx
22
22
)(
1

II.HèNH HC.
CHNG II. TCH Vễ HNG CA HAI VECT V NG DNG
1.Tích vô hướng của hai vectơ.
Định nghĩa
Tính chất của tích vô hướng.
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
Độ dài của vectơ và khoảng cách
giữa hai điểm.
2. Các hệ thức lượng trong tam giác
Định lí côsin, định lí sin.
Độ dài đường trung tuyến trong
một tam giác.
Diện tích tam giác.
Giải tam giác.

CHƯƠNG III.PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1.Phương trình đường thẳng
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
Phương trình tổng quát của đường
thẳng.
Góc giữa hai vectơ.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Phương trình tham số của đường
thẳng.
Điều kiện để hai đường thẳng cắt
nhau, song song, trùng nhau, vuông
góc với nhau.
Khoảng cách từ một điểm đến một
đường thẳng.
Góc giữa hai đường thẳng.
2.Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn với tâm cho
trước và bán kính cho trước.
Nhận dạng phương trình đường tròn.
Phương trình tiếp tuyến của đường
tròn.
Bài tập
Bài 1. Cho tam giác ABC có
µ
0
60A =
, cạnh CA = 8, cạnh AB = 5
1) Tính cạnh BC
2) Tính diện tích tam giác
ABC

3) Xét xem góc B tù hay nhọn
4) Tính độ dài đường cao AH
5) Tính bán kính đường tròn
ngoại tiếp tam giác
B i 2à . Cho tam giác ABC có
a = 13 ; b = 14 ; c = 15
a) Tính diện tích tam giác
ABC
b) Góc B nhọn hay tù
c) Tính bán kính đường tròn
nội tiếp r và bán kính
đường tròn ngoại tiếp R
của tam giác
d) Tính độ dài đường trung
tuyến m
a

Bài 3 Cho tam giác ABC có a =
3 ; b = 4 và góc C = 60
0
; Tính
các góc A, B, bán kính R của
đường tròn ngoại tiếp và trung
tuyến m
a
.
Bài 4 Viết phương trình tổng
qt, phương trình tham số của
đường thẳng trong mỗi trường
hợp sau:

a) Đi qua A(1;-2) và //
với đường thẳng 2x - 3y - 3 = 0.
b) Đi qua hai điểm M(1;-1) và
N(3;2).
c) Đi qua điểm P(2;1) và vng
góc với đường thẳng x - y + 5 =
0.
Bài 5. Cho tam giác ABC biết
A(-4;1), B(2;4), C(2;-2).
Tính khoảng cách từ điểm C
đến đường thẳng AB.
Bài 6. Cho tam giác ABC có:
A(3;-5), B(1;-3), C(2;-2).Viết
phương trình tổng quát của:
a) 3 cạnh AB, AC, BC
b) Đường thẳng qua A và song
song với BC
c) Trung tuyến AM và đường
cao AH của tam giác ABC
d) Đường thẳng qua trọng tâm
G của tam giác ABC và
vuông góc với AC
e) Đường trung trực của cạnh
BC
B i 7à . Cho tam giác ABC có:
A(1 ; 3), B(5 ; 6), C(7 ; 0).:
a) Viết phương trình tổng quát
của 3 cạnh AB, AC, BC
b) Viết phương trình đường
trung bình song song cạnh AB

c) Viết phương trình đường
thẳng qua A và cắt hai trục
tọa độ tại M,N sao cho AM
= AN
d) Tìm tọa độ điểm A’ là chân
đường cao kẻ từ A trong
tam giác ABC
Bài 8. Viết phương trình đường
tròn có tâm I(1; -2) và
a) đi qua điểm A(3;5).
b) tiếp xúc với đường
thẳng có pt x + y = 1.
Bài 9. Xác định tâm và bán
kính của đường tròn có phương trình:
x
2
+ y
2
- 4x - 6y + 9 = 0.
Bài 10. Cho đường tròn có
phương trình:
x
2
+ y
2
- 4x + 8y - 5 = 0.
Viết phương trình tiếp
tuyến của đường tròn tại điểm
A(-1;0).
Bài 11. Viết phương trình

đường tròn (C) qua A(5 ; 3) và tiếp
xúc với
(d): x + 3y + 2 = 0 tại
điểm B(1 ; –1)
Bài 12 : Cho đường thẳng d :
2 4 0x y− + =
và điểm A(4;1)
a) Tìm tọa độ điểm H là hình
chiếu của A xuống d
b) Tìm tọa độ điểm A’ đối
xứng với A qua d
Bài 13 Cho đường thẳng d :
2 2 0x y− + =
và điểm M(1;4)
a) Tìm tọa độ hình chiếu H
của M lên d
b) Tìm tọa độ điểm M’ đối
xứng với M qua d
Bài 14 Cho đường thẳng d có
phương trình tham số :
2 2
3
x t
y t
= +


= +

a) Tìm điểm M trên d sao

cho M cách điểm A(0;1)
một khoảng bằng 5
b) Tìm giao điểm của d và
đường thẳng
: 1 0x y∆ + + =
Bài 15 Tính bán kính đường
tròn tâm I(3;5) biết đường
tròn đó tiếp xúc với đường
thẳng
:3 4 4 0x y∆ − − =

PHƯƠNG PH P TỐ Ạ ĐỘ TRONG
MẶT PHẲNG.
Chuyªn ®Ị 1 : VÐc tơ và tọa độ vÐc tơ.
A. tãm t¾t lÝ thut.
I. Hệ Trục toạ độ
II. Tọa độ vÐc tơ.
1. Đị nh ngh ĩ a .

( ; )u x y u xi y j= ⇔ = +
r r r r
2. C¸c tÝnh ch ấ t .
Trong mặt phẳng
Oxy
cho
( ; ); ( '; ')u x y v x y= =
r r
, ta cã :
a.
( '; ')u v x x y y+ = + +

r r
b.
( ; )ku kx ky=
r
.
c.
. ' 'u v xx yy= +
r r
.
d.
2
2 2 2 2
' ' .u x x u x x= + ⇒ = +
r r
e.
. 0 ' ' 0.u v u v xx yy⊥ ⇔ = ⇔ + =
r r r r
f
,u v
r r
cïng phương
.
' '
x y
x y
⇔ =
g.
'
'
x x

u v
y y
=

= ⇔

=

r r
.
3. VÝ d ụ .
VÝ dụ 1. T×mm tọa độ cđa vÐc tơ sau :
;a i= −
r r

5 ;b j=
r r

3 4 ;c i j= −
r r r

1
( );
2
d j i= −
ur r r

0,15 1,3 ;e i j= +
r r r

0
(cos24 ) .f i j
π
= −
ur r r
VÝ dụ 2. Cho c¸c vÐc tơ :
(2;1); (3;4); (7;2)a b c= = =
r r r
.
a. T×m toạ độ của vÐc tơ
2 3 .u a b c= − +
r r r r
b. T×m toạ độ của vÐc tơ
x
r
sao cho
.x a b c+ = −
r r r r
c. T×m c¸c số
,k l
để
c ka lb= +
r r r
.
VÝ dơ. Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
cho
c¸c vÐc tơ :
(3;2); ( 1;5); ( 2' 5)a b c= = − = − −
r r r

.
a. T×m toạ độ cđa vÐc tơ sau

2 4 .u a b c= + −
r r r r

2 5v a b c= − + +
r r r r
;
w 2( ) 4 .a b c= + +
uur r r r
b. T×m c¸c số
,x y
sao cho
.c xa yb= +
r r r
c. TÝnh c¸c tÝch v« hướng
. ; . ; ( ); ( )a b b c a b c b a c+ −
r r rr r r r r r r
Ví d 4. Cho
1
5 ; 4 .
2
u i j v ki j= =
r r r r r r
Tìm
k

,u v
r r

cùng phng.
III. To ca im.
1. nh ngh a .
( ; ) ( ; ) .M x y OM x y OM xi y j= = = +
uuuur uuuur r r
2. M i liên h gi a to i m v to
c a véc t .
Trong mt phng to
Oxy
cho hai
im
1 1 2 2 3 3
( ; ); ( ; ); ( ; )A x y B x y C x y
. Khi đó:
a.
2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
( ; ) ( ) ( )AB x x y y AB x x y y= = +
uuur uuur
.
b. To trung im
I
ca on
AB
l
:
1 2 1 2
( ; )
2 2
x x y y

I
+ +
.
c. To trng tâm
G
ca
ABC

l :
1 2 3 1 2 3
( ; )
3 3
x x x y y y
G
+ + + +
.
d. Ba im
, ,A B C
thng hng
,AB AC
uuur uuur
cùng phng.
3. Ví d .
Ví d 1. Cho ba im
( 4;1), (2;4), (2; 2)A B C
.
a. Chng minh ba im không thẳng
h ng.
b. Tính chu vi
ABC

.
c. Tìm ta trc tâm
H
.
Ví d 2. Cho ba im
( 3;4), (1;1), (9; 5)A B C
.
a. Chng minh
, ,A B C
thẳng h ng.
b. Tìm to
D
sao cho
A
l trung
im ca
BD
.
c. Tìm to iểm
E
trên
Ox
sao cho
, ,A B E
thẳng h ng.
Ví d 3. Cho ba im
( 4;1), (2;4), (2; 2)A B C
.
a. Chng minh ba im

, ,A B C
to
thành tam giác.
b. Tìm to trng tâm
ABC
.
c. Tìm to im
E
sao cho
ABCE

l hình bình hình.
đờng thẳng.
Chuyên đề 1: phơng trình đờng
thẳng.
A. kiến thức cơ bản.
I. Véc tơ chỉ ph ơng và véc tơ pháp tuyến
của đ ờng thẳng.
1) Véc tơ pháp tuyến: Véc tơ
0n
r r
đợc
gọi là véc tơ pháp tuyến ( vtpt ) của đờng
thẳng

nếu nó có giá


.
2) Véc tơ chỉ phơng: Véc tơ

0u
r r
đợc
gọi là véc tơ chỉ phơng( vtcp) của đờng thẳng

nếu nó có giá song song hoặc trùng với đ-
ờng thẳng

.
* Chú ý:
- Nếu
;n u
r r
là véc tơ pháp tuyến và chỉ ph-
ơng của đờng thẳng

thì
0k
các véc tơ
;kn ku
r r
cũng tơng ứng là các véc tơ pháp
tuyến và chỉ phơng của đờng thẳng

.
- Nếu
( ; )n a b=
r
là véc tơ pháp tuyến của đ-
ờng thẳng

thì véc tơ chỉ phơng là
( ; )u b a=
r
hoặc
( ; )u b a=
r
.
- Nếu
1 2
( ; )u u u=
r
là véc tơ chỉ phơng của đ-
ờng thẳng

thì véc tơ pháp tuyến là
2 1
( ; )n u u=
r
hoặc
2 1
( ; )n u u=
r
.
II. Ph ơng trình tổng quát của đ ờng
thẳng .
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng


đi qua

);(
000
yxM
và có véc tơ pháp tuyến
);( ban =
r
. Khi đó phơng trình tổng quát của

đợc xác định bởi phơng trình :

0)()(
00
=+ yybxxa
(1). (
.0
22
+ ba
)
III. Ph ơng trình tham số của đ ờng thẳng .
Trong mặt phẳng Oxy, cho đờng thẳng

đi
qua
);(
000
yxM
và có véc tơ chỉ phơng
);(
21
uuu =

r
. Khi đó phơng trình tham số của

đợc xác định bởi phơng trình :



+=
+=
tuyy
tuxx
20
10
(2) . (
.Rt

)
* Chú ý : Nếu đờng thẳng

có hệ số góc k
thì có véc tơ chỉ phơng là
);1( ku =
r
IV. Chuyển đổi giữa ph ơng trình tổng
quát và ph ơng trình tham số .

1. Nếu đờng thẳng

có phơng trình dạng
(1) thì

);( ban =

r
. Từ đó đờng thẳng

có
vtcp là
);( abu =

r
hoặc
);( abu =

r
.
Cho
0
xx =
thay vào phơng trình (2)
.
0
yy =
Khi đó ptts của

là :




=

+=
atyy
btxx
0
0
(
t Ă
).
2. Nếu đờng thẳng

có phơng trình dạng
(2) thì vtcp
);(
21
uuu =

r
. Từ đó đờng thẳng

có vtpt là
);(
12
uun =

r
hoặc
);(
12
uun =

r
. Và phơng trình tổng quát của

đợc xác định bởi :

0)()(
0102
= yyuxxu
.
* Chú ý :
- Nếu
0
1
=u
thì pttq của

là :
0
0
= xx
.
- Nếu
0
2
=u
thì pttq của

là :
.0
0

= yy
B. bài tập cơ bản.
I. Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua
0 0
( ; )M x y
và có một vtcp
1 2
( ; )u u u=
r
.
Ví dụ 1 : Viết phơng trình đờng thẳng


trong các trờng hợp sau :
a. Đi qua
(1; 2)M
và có một
vtcp
(2; 1)u =
r
.
b. Đi qua hai điểm
(1;2)A
và
(3;4)B
;
( 1;2)A
và

( 1;4)B
;
(1;2)A
và
(3;2)B
.
c. Đi qua
(3;2)M
và
1 2
// : ( )
x t
d t
y t
= +



=

Ă
.
d. Đi qua
(2; 3)M
và
: 2 5 3 0d x y + =
.
II. Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua

0 0
( ; )M x y
và có một vtpt
( ; )n a b=
r
.
Ví dụ 2 : Viết phơng trình tổng quát của đ-
ờng thẳng

trong các trờng hợp sau :
a. Đi qua
(1;2)M
và có một vtpt
(2; 3)n =
r
.
b. Đi qua
(3;2)A
và
// : 2 1 0.d x y =
c. Đi qua
(4; 3)B
và
1 2
: ( )
x t
d t R
y t
= +

=

Ă
.
III. Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua
0 0
( ; )M x y
và có hệ số góc k cho trớc.
+ Phơng trình đờng thẳng

có dạng
y kx m= +
.
+ áp dụng điều kiện đi qua
0 0
( ; )M x y
m
.
Ví dụ 3 : Viết phơng trình đờng thẳng


trong các trờng hợp sau :
a. Đi qua
( 1;2)M
và có hệ số
góc

3k =
.
b. Đi qua
(3;2)A
và tạo với
chiều dơng trục
Ox
góc
0
45
.
III. Luyện tập.
1. Viết phơng trình đờng thẳng

trong
các trờng hợp sau :
a. Đi qua
(3;2)A
và
( 1; 5)B
;
( 3;1)M

và
(1; 6)N
;
b. Đi qua
A
và có vtcp
u

r
, nếu :
+
(2;3)A
và
( 1;2)u =
r
.
+
( 1;4)A
và
(0;1)u =
r
.
c. Đi qua
(3; 1)A
và
// : 2 3 1 0d x y+ =
.
d. Đi qua
(3;2)M
và
(2;2)n =
r
.
e. Đi qua
(1;2)N
và

với :

+ Trục
Ox
.
+ Trục
.Oy
f. Đi qua
(1;1)A
và có hệ số góc
2k
=
.
g. Đi qua
(1;2)B
và tạo với chiều dơng
trục
Ox
góc
0
60
.
2. Viết phơng trình các cạnh
ABC
biết :
a.
(2;1); (5;3); (3; 4).A B C
b. Trung điểm các cạnh là :
( 1; 1); (1;9); (9;1).M N P
c.
( 4; 5)C
và hai đờng cao

( ) : 5 3 4 0;( ) :3 8 13 0AH x y BK x y+ = + + =
.
d.
( ):5 3 2 0AB x y + =
và hai đờng cao
( ) : 4 3 1 0;( ) : 7 2 22 0AH x y BK x y + = + =
.
e.
(1;3)A
hai trung tuyến
( ) : 2 1 0;( ) : 1 0BM x y CN y + = =
.
f.
(4; 1)C
đờng cao
( ) : 2 3 0AH x y =

trung tuyến
( ) : 2 3 0.BM x y+ =
Chuyên đề 2: vị trí tơng đối của
hai đờng thẳng.
A. tóm tắtlí thuyết.
I. Bài toán: Trong mặt phẳng
Oxy
cho hai
đờng thẳng
1 2
;
có phơng trình
( )

( )
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2
( ) : 0, 0
( ) : 0, 0
a x b y c a b
a x b y c a b
+ + = +
+ + = +
Hỏi: Hai đờng thẳng trên cắt nhau, song
song hay rùng nhau ?
Trả lời câu hỏi trên chính là bài toán
xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
II. Phơng pháp.
1. Cách 1:
Nếu
1 2
1 2
a a
b b

thì hai đờng thẳng cắt
nhau.
Nếu
1 2 1
1 2 2
a a c
b b c

=
thì hai đờng thẳng
song song nhau.
Nếu
1 2 1
1 2 2
a a c
b b c
= =
thì hai đờng thẳng
trùng nhau.
2. Cách 2:
Xét hệ phơng trình
1 1 1
2 2 2
0
0
a x b y c
a x b y c
+ + =


+ + =

(1)
Nếu hệ (1) có một nghiệm thì hai đờng
thẳng cắt nhau và toạ độ giao điểm là
nghiệm của hệ.
Nếu hệ (1) vô nghiệm thì hai đờng
thẳng song song nhau.

Nếu hệ (1) nghiệm đúng với mọi
( )
;x y

thì hai đờng thẳng trùng nhau.
* Chú ý: Nếu bài toán không quan tâm đến
toạ độ giao điểm, ta nên dùng cách 1.
b. bài tập cơ bản.
I. Xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng.
Ví dụ 1: Xét vị trí tơng đối các cặp đờng
thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong tr-
ờng hợp cắt nhau:
a)
1 2
: 2 0; : 2 3 0x y x y + = + =
.
b)
1 2
1 4
: 2 4 10 0; : ( )
2 2
x t
x y t
y t
=

+ =

= +

Ă
c)
1
1 5 6 5 '
: ( ) : ( ' )
2 4 2 4 '
2
x t x t
t t
y t y t
= = +



= + =

Ă Ă
II. Biện luận theo tham số vị trí tơng đối
của hai đờng thẳng.
Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng
2 2
1 2
: ( 3) 2 1 0; : ( 1) 0m x y m x my m + + = + + =
Tìm
m
để hai đờng thẳng cắt nhau.
Ví dụ 2: Cho hai đờng thẳng
1 2
: 1 0; : 2 0mx y m x my + = + + =
Biện luận theo

m
vị trí tơng đối của
hai đờng thẳng.
III. Luyện tập.
Bài 1: Xét vị trí tơng đối các cặp đờng
thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong tr-
ờng hợp cắt nhau:
a)
1 2
:8 10 12 0; : 4 3 16 0x y x y + = + =
.
b)
1 2
5
:12 6 10 0; : ( )
3 2
x t
x y t
y t
= +

+ =

= +

Ă
c)
1
6 5 '
: ( ) : ( ' )

1 2
2 4 '
10 5
2
x t
x t
t t
y t
y t
=

= +




=
= +



Ă Ă
Bài 2: Biện luận theo
m
vị trí các cặp đ-
ờng thẳng sau
a)
1 2
: 2 0; : 1 0mx y m x my m + = + =
b)

1 2
: 2 0; : 1 0mx y x my m + + = + + + =
Chuyên đề 3: góc giữa hai đờng
thẳng.
A. tóm tắt lí thuyết.
I. Định nghĩa: Giả sử hai đờng thẳng
1 2
;
cắt nhau. Khi đó góc giữa
1 2
;
là
góc nhọn và đợc kí hiệu là:
( )
1 2
,
.
* Đặc biệt:
- Nếu
( )
1 2
, 90
o
=
thì
1 2

.
- Nếu
( )

1 2
, 0
o
=
thì
1 2
//
hoặc
1 2

.
II. Công thức xác định góc giữa hai đờng
thẳng trong mặt phẳng toạ độ.
Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, giả sử đ-
ờng thẳng
1 2
;
có phơng trình
( )
( )
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2 2
( ) : 0, 0
( ) : 0, 0
a x b y c a b
a x b y c a b

+ + = +
+ + = +
Khi đó góc giữa hai đờng thẳng
( )
1 2
,
đợc xác định theo công thức:
( )
1 2 1 2
1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos ,
a a b b
a b a b
+
=
+ +
* Nhận xét: Để xác định góc giữa hai đờng
thẳng ta chỉ cần biết véc tơ chỉ phơng của
chúng.
b. bài tập cơ bản.
I. Xác định góc giữa hai đờng thẳng.
Ví dụ: Xác định góc giữa hai đờng thẳng
1 2
: 4 2 6 0; : 3 1 0x y x y + = + =
( )
1 2
:3 2 1 0; :
7 5

x t
x y t
y t
=

+ =

=

Ă
( ) ( )
1 2
'
: : '
9 1
1 3
'
5 5
2 2
x t
x t
t t
y t
y t
=
=

=
= +



Ă Ă
II. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
một điểm cho trớc và tạo với đờng thẳng
cho trớc một góc cho trớc.
Ví dụ 1: Cho đờng thẳng
:3 2 1 0d x y + =
và
( )
1;2M
.
Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua
M
và tạo với
d
một góc
45
o
.
Ví dụ 2: Cho
ABC

cân đỉnh

A
. Biết
( ) ( )
: 1 0; : 2 3 5 0AB x y BC x y+ + = =
.
Viết phơng trình cạnh
AC
biết nó đi
qua
( )
1;1M
.
Ví dụ 3: Cho hình vuông
ABCD
biết
( )
3; 2A
và
( )
: 7 27 0BD x y+ =
.
Viết phơng trình các cạnh và các đờng
chéo còn lại.
III. Luyện tập.
Bài 1: Xác định góc giữa các cặp đờng
thẳng sau
a)
1 2
: 2 5 0; :3 0x y x y + = =
b)

1 2
: 2 4 0; :2 6 0x y x y + + = + =
c)
1 2
: 4 2 5 0; : 3 1 0x y x y + = + =
Bài 2: Cho hai đờng thẳng
1 2
: 3 7 0; : 1 0x y mx y + = + + =
Tìm
m
để
( )
1 2
, 30
o
=
.
Bài 3: Cho đờng thẳng
: 2 3 0d x y + =

và
( )
3;1M
.
Viết phơng trình đờng thẳng

đi qua
M
và tạo với
d

một góc
45
o
.
Bài 4: Cho
ABC

cân đỉnh
A
, biết:
( ) ( )
: 2 5 0 :3 6 1 0AB x y ; AC x y + = + =
Viết phơng trình
BC
đi qua
( )
2; 1M
.
Bài 5: Cho hình vuông tâm
( )
2;3I
và
( )
: 2 1 0AB x y =
.
Viết phơng trình các cạnh, các đờng chéo
còn lại .
Bài 6: Cho
ABC
cân đỉnh

A
, biết:
( ) ( )
:5 2 13 0 : 4 0AB x y ; BC x y+ = =
Viết phơng trình
AC
đi qua
( )
11;0M
.
Bµi 7: Cho
ABC
∆
®Òu, biÕt:
( )
2;6A
vµ
( )
: 3 3 6 0 BC x y− + =
ViÕt ph¬ng tr×nh c¸c c¹nh cßn l¹i.
§êng trßn.
A. Tãm t ắ t lý thuy ế t.
1. Ph ươ ng tr×nh chÝnh t ắ c.
Trong mặt phẳng
Oxy
cho đường trßn t©m
( ; )I a b
b¸n kÝnh
R
. Khi đã phương tr×nh

chÝnh tắc của đường trßn là :
2 2 2
( ) ( ) .x a y b R− + − =
2. Ph ươ ng tr×nh tæng qu¸t.
Là phương tr×nh cã dạng :
2 2
2 2 0x y Ax By C+ + + + =
Với
2 2
A B C+ >
. Khi ®ã t©m
( ; )I A B− −
,
b¸n kÝnh
2 2
R A B C= + −
.

3. B à i to¸n vi ế t ph ươ ng tr×nh đườ ng trßn.
VÝ dụ 1. Viết phương tr×nh đường trßn
đường kÝnh
AB
, với
(1;1), (7;5)A B
.
§¸p số :
2 2
( 4) ( 3) 13x y− + − =
hay
2 2

8 6 12 0x y x y+ − − + =
.
VÝ dụ 2. Viết phương tr×nh đường trßn
ngoại tiếp
ABC∆
, với
( 2;4), (5;5), (6; 2)A B C− −
.
§¸p số :
2 2
4 2 20 0x y x y+ − − − =
.
VÝ dụ 3. Viết phương trình đường tròn có
tâm
( 1;2)I −
và tiếp xóc với đường thẳng
: 2 7 0x y∆ − + =
.
§¸p số :
2 2
4
( 1) ( 2)
5
x y+ + − =
.
VÝ dụ 4. Viết phương tr×nh đường trßn qua
( 4;2)A −
và tiếp xóc với hai trục toạ độ.
§¸p số :
2 2

( 2) ( 2) 4x y+ + − =
hoặc
2 2
( 10) ( 10) 100x y+ + − =
.
4. B à i toán tìm tham s ố để ph ươ ng trình
d ạ ng
2 2
2 2 0x y Ax By C+ + + + =
l à
ph ươ ng trình c ủ a m ộ t đườ ng tròn.
Điều kiện :
2 2
A B C+ >
.
VÝ dụ 1. Trong c¸c phương tr×nh sau đ©y,
phương tr×nh nào là phương tr×nh của một
đường trßn. X¸c định t©m và tÝnh b¸n kÝnh.
a.
2 2
4 2 6 0x y x y+ − + + =
. c.
2 2
6 8 16 0x y x y+ + − + =
.
b.
2 2
4 5 1 0x y x y− + − + =
. d.
2 2

2 2 3 2 0x y x+ − − =

§¸p số : c )
( 3;4), 3I R− =
. d)
3 5
( ;0), .
4 4
I R =
VÝ dụ 2. Cho phương tr×nh :
2 2 2
6 2( 1) 11 2 4 0x y mx m y m m+ + − − + + − =
.
a. T×m điều kiện của
m
để pt trªn là
đường trßn.
b. T×m quĩ tÝch t©m đường trßn.
VÝ dụ 3. Cho phương tr×nh
2 2
( 15) ( 5) 0x y m x m y m+ + − − − + =
.
a. T×m điều kiện của
m
để pt trªn là
đường trßn.
b. T×m quĩ tÝch t©m đường trßn.
VÝ dụ 4. Cho phương tr×nh
( )
m

C
:
2 2
2( 1) 2( 3) 2 0x y m x m y+ + − − − + =
.
a. T×m
m
để
( )
m
C
là phương tr×nh của
một đường trßn.
b. T×m
m
để
( )
m
C
là đường trßn t©m
(1; 3).I −
Viết phương tr×nh đường
trßn này.
c. T×m
m
để
( )
m
C
là đường trßn cã

b¸n kÝnh
5 2.R =
Viết phương tr×nh
đường trßn này.
d. T×m tập hợp t©m c¸c đường trßn
( )
m
C
.
II. B I TÀ ẬP.
1. T×m phương tr×nh đường trßn
( )C
biết
rằng :
a.
( )C
tiếp xóc với hai trục toạ độ và cã
b¸n kÝnh
3R =
.
b.
( )C
tiếp xóc với
Ox
tại
(5;0)A
và
cã b¸n kÝnh
3R
=

.
c. Tiếp xóc với
Oy
tại
(0;5)B
và đi
qua
(5;2)C
.
2. T×m phương tr×nh đường trßn
( )C
biết
rằng :
a. T×m
(1; 5)I −
và qua gốc toạ độ.
b. Tiếp xóc với trục tung và tại gốc
O

và cã
2R =
.
c. Ngoại tiếp
OAB
∆
với
(4;0), (0; 2)A B −
.
d. Tiếp xóc với
Ox

tại
(6;0)A
và qua
(9;3)B
.
3. Cho hai đi ểm
( 1;6), ( 5;2)A B− −
. Lập
phương tr×nh đường trßn
( )C
, biết :
a. Đường kÝnh
AB
.
b. T©m
O
và đi qua
A
; T ©m
O
và đi
qua
B
.
c.
( )C
ngoại tiếp
OAB∆
.
4. Viết phương tr×nh đường trßn đi qua ba

điểm :
a.
(8;0) , (9;3) , (0;6)A B C
.
b.
(1;2) , (5;2) , (1; 3)A B C −
.
B. B à i t ậ p c ơ b ả n.

1. Viết phương tr×nh đường trßn
( )C
cã t©m
là điểm
(2;3)I
và thoả m·n điều kiện
sau :
a.
( )C
cã b¸n kÝnh
5.R
=
b.
( )C
tiếp xóc với
Ox
.
c.
( )C
đi qua gốc toạ độ
O

.
d.
( )C
tiếp xóc với
Oy
.
e.
( )C
tiếp xóc với đường th¼ng
: 4 3 12 0.x y
∆ + − =
2. Cho ba điểm
(1;4) , ( 7;4) , (2; 5)A B C
− −
.
a. Lập phương tr×nh đường trßn
( )C

ngoại tiếp
ABC
∆
.
b. T×m toạ độ t©m và tÝnh b¸n kÝnh.
3. Cho đường trßn
( )C
đi qua điểm
( 1;2) , ( 2;3)A B
− −
và cã t©m ở trªn đường
thẳng

:3 10 0x y
∆ − + =
.
a. T×m toạ độ t©m của đường trßn
( )C
.
b. TÝnh b¸n kÝnh
R
.
c. Viết phương tr×nh của
( )C
.
4. Lập phương tr×nh đường trßn
( )C
đi qua
hai điểm
(1;2) , (3;4)A B
và tiếp xóc với
đường thẳng
:3 3 0x y
∆ + − =
.
5. Lập phương tr×nh đường trßn đường kÝnh
AB
trong c¸c trường hợp sau :
a.
( 1;1) , (5;3)A B
−
. b.
( 1; 2) , (2;1)A B

− −
.
6. Lập phương tr×nh đường trßn
( )C
tiếp
xóc với c¸c trục toạ độ và đi qua điểm
(4;2)M
.
7. T×m tọa độ t©m và tÝnh b¸n kÝnh của c¸c
đường trßn sau :
a.
2 2
( 4) ( 2) 7x y+ + − =
d.
2 2
10 10 55x y x y+ − − =
b.
2 2
( 5) ( 7) 15x y− + + =
e.
2 2
8 6 8 0x y x y+ + − + =
c.
2 2
6 4 36x y x y+ − − =
.
f.
2 2
4 10 15 0x y x y+ + + + =
8. Viết phương tr×nh đường trßn đường

kÝnh
AB
trong c¸c trường hợp sau :
a.
(7; 3) , (1;7)A B
−
b.
( 3;2) , (7; 4)A B
− −
9. Viết phương tr×nh đường trßn ngoại tiếp
ABC
∆
biết :
(1;3) , (5;6) , (7;0)A B C
10. Viết phương tr×nh đường trßn
( )C
tiếp
xóc với c¸c trục toạ độ và :
a. Đi qua
(2; 1).A
−
b. Cã t©m thuộc đường th¼ng
:3 5 8 0x y
∆ − − =
.
11. Viết phương tr×nh đường trßn
( )C
tiếp
xóc với trục hoành tại điểm
(6;0)A

và đi
qua điểm
(9;9).B
12. Viết phương tr×nh đường trßn
( )C
đi
qua hai điÓm
( 1;0) , (1;2)A B
−
và tiếp xóc
với đường thẳng
: 1 0x y
∆ − − =
.
Phơng trình bậc hai &
hệ thức Vi-ét
Bài tập 1 : Định giá trị của tham số m để phơng
trình

2
( 1) 5 20 0x m m x m+ + + + =
Có một nghiệm x = - 5 . Tìm nghiệm kia.
Bài tập 2 : Cho phơng trình

2
3 0x mx+ + =
(1)
a) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân
biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có

một nghiệm bằng 1? Tìm nghiệm kia.
Bài tập 3 : Cho phơng trình

2
8 5 0x x m + + =
(1)
a) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân
biệt.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có
một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia? Tìm các
nghiệm của phơng trình trong trờng hợp này.
Bài tập 4 : Cho phơng trình

2
( 4) 2 2 0m x mx m + =

(1)
a) m = ? thì (1) có nghiệm là x =
2
.
b) m = ? thì (1) có nghiệm kép.
Bài tập 5 : Cho phơng trình

2
2( 1) 4 0x m x m + + =

(1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với mọi m.
b) m =? thì (1) có hai nghiệm trái dấu .
c) Giả sử

1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình (1)
CMR : M =
( ) ( )
2 1 1 2
1 1x x x x +
không phụ
thuộc m.
Bài tập 6 : Cho phơng trình

2
2( 1) 3 0x m x m + =

(1)
a) Chứng minh (1) có nghiệm với mọi m.
b) Đặt M =
2 2
1 2
x x+
(
1 2
,x x
là nghiệm của phơng
trình (1)). Tìm min M.
Bài tập 7: Cho 3 phơng trình

2
2
2

1 0(1);
1 0(2);
1 0(3).
x ax b
x bx c
x cx a
+ + =
+ + =
+ + =

Chứng minh rằng trong 3 phơng trình ít nhất
một phơng trình có nghiệm.
Bài tập 8: Cho phơng trình

2 2
( 1) 2 0x a x a a + =

(1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm trái
dấuvới mọi a.
b)
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình (1) . Tìm
min B =
2 2
1 2
x x+
.
Bài tập 9: Cho phơng trình

2
2( 1) 2 5 0x a x a + =
(1)
a) Chứng minh (1) có hai nghiệm với mọi a
b) a = ? thì (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
1 2
1x x< <
.
c) a = ? thì (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
2 2
1 2
x x+
= 6.
Bài tập 10: Cho phơng trình

2
2 (2 1) 1 0x m x m+ + =
(1)
a) m = ? thì (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
1 2

3 4 11x x =
.
b) Chứng minh (1) không có hai nghiệm dơng.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa
1 2
,x x
không phụ
thuộc m.
Gợi ý: Giả sử (1) có hai nghiệm dơng -> vô lý
Bài tập 11: Cho hai phơng trình

2
2
(2 ) 3 0(1)
( 3 ) 6 0(2)
x m n x m
x m n x
+ =
+ =

Tìm m và n để (1) và (2) tơng đơng .
Bài tập 12: Cho phơng trình

2
0( 0)ax bx c a+ + =
(1)
điều kiện cần và đủ để phơng trình (1) có
nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là
2 2
( 1) 0( 0)kb k ac k + =

Bài tập 13: Cho phơng trình

2
2( 4) 7 0mx m x m+ + + =
(1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
phân biệt
1 2
,x x
.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
1 2
2 0x x =
.
c) Tìm một hệ thức giữa
1 2
,x x
độc lập với
m.
Bài tập 14: Cho phơng trình

2 2
(2 3) 3 2 0x m x m m + + + + =
(1)
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với
mọi m.
b) Tìm m để phong trình có hai nghiệm đối

nhau .
c) Tìm một hệ thức giữa
1 2
,x x
độc lập với m.
Bài tập 15: Cho phơng trình

2
( 2) 2( 4) ( 4)( 2) 0m x m x m m + + + =
(1)
a) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1)
có nghiệm kép.
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
.
Tìm một hệ thức giữa
1 2
,x x
độc lập với
m.
c) Tính theo m biểu thức
1 2
1 1
1 1
A
x x
= +
+ +
;

d) Tìm m để A = 2.
Bài tập 16: Cho phơng trình

2
4 0x mx =
(1)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt
với mọi .
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2
2 2
1 2
2( ) 7x x
A
x x
+ +
=
+
.
c) Tìm các giá trị của m sao cho hai nghiệm của
phơng trình đều là nghiệm nguyên.
Bài tập 17: Với giá trị nào của k thì phơng trình
2
7 0x kx+ + =
có hai nghiệm hơn kém nhau
một đơn vị.
Bài tập 18: Cho phơng trình

2
( 2) 1 0x m x m + + + =

(1)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái
dấu.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng
phân biệt.
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm âm.
Bài tập 19: Cho phơng trình

2
( 1) 0x m x m + + =
(1)
a) CMR phơng rình (1) luôn có nghiệm phân
biệt với mọi m
b) Gọi
1 2
,x x
là hai nghiệm của phơng trình .
Tính
2 2
1 2
x x+
theo m.
c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
2 2
1 2
x x+
= 5.

Bài tập 20: Cho phơng trình

2 2
(2 1) 3 0x m x m m+ + + + =
(1)
a) Giải phơng trình (1) với m = -3.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm và tích
hai nghiệm đó bằng 4. Tìm hai nghiệm đó .
Bài tập 21: Cho phơng trình

2
12 0x x m + =
(1)
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
toả
mãn
2
2 1
x x=
.
Bài tập 22: Cho phơng trình

2
( 2) 2 1 0m x mx + =
(1)
a) Giải phơng trình với m = 2.
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân

biệt .
d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x

thoả mãn
( ) ( )
1 2
1 2 1 2 1x x+ + =
.
Bài tập 23: Cho phơng trình

2
2( 1) 3 0x m x m + =
(1)
a) Giải phơng trình với m = 5.
b) CMR phơng trình (1) luôn có hai nghiêm
phân biệt với mọi m.
c) Tính A =
3 3
1 2
1 1
x x
+
theo m.
d) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm
đối nhau.
Bài tập 24: Cho phơng trình

2

( 2) 2 4 0m x mx m + =
(1)
a) Tìm m để phơng trình (1) là phơng trình
bậc hai.
b) Giải phơng trình khi m =
3
2
.
c) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm
phân biệt không âm.
Bài tập 25: Cho phơng trình

2
0x px q+ + =
(1)
a) Giải phơng trình khi p =
( )
3 3 +
; q =
3 3
.
b) Tìm p , q để phơng trình (1) có hai
nghiệm :
1 2
2, 1x x= =
c) CMR : nếu (1) có hai nghiệm dơng
1 2
,x x
thì phơng trình
2

1 0qx px+ + =
có hai
nghiệm dơng
3 4
,x x
d) Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là
1 2
3 3x va x
;
2
1
1
x
và
2
2
1
x
;
1
2
x
x
và
2
1
x
x
Bài tập 26: Cho phơng trình

2
(2 1) 0x m x m =
(1)
a) CMR phơng trình (1) luôn có hai nghiêm
phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoả
mãn :
1 2
1x x =
;
c) Tìm m để
2 2
1 2 1 2
6x x x x+
đạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài tập 27: Cho phơng trình

2
2( 1) 2 10 0x m x m + + + =

(1)
a) Giải phơng trình với m = -6.
b) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
. Tìm GTNN của biểu thức
2 2
1 2 1 2
10A x x x x= + +

Bài tập 28: Cho phơng trình

2
( 1) (2 3) 2 0m x m x m+ + + =
(1)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
. Hãy
tính nghiệm này theo nghiệm kia.
Bài tập 29: Cho phơng trình

2 2
2( 2) ( 2 3) 0x m x m m + + =
(1)
Tìm m để (1) có hai nghiệm
1 2
,x x
phân biệt
thoả mãn
1 2
1 2
1 1
5
x x
x x
+
+ =
Bài tập 30: Cho phơng trình

2
0x mx n+ + =
có 3
2
m
= 16n.
CMR hai nghiệm của phơng trình , có một
nghiệm gấp ba lần nghiệm kia.
Bài tập 31 : Gọi
1 2
,x x
là các nghiệm của phơng
trình
2
2 3 5 0x x =
. Không giải phơng trình , hãy
tính : a)
1 2
1 1
x x
+
; b)
2
1 2
( )x x
;
c)
3 3
1 2

x x
+
d)
1 2
x x
Bài tập 32 : Lập phơng trình bậc hai có các
nghiệm bằng :
a)
3
và 2
3
;
b) 2 -
3
và 2 +
3
.
Bài tập 33 : CMR tồn tại một phơng trình có các
hệ số hữu tỷ nhận một trong các nghiệm là :
a)
3 5
3 5

+
; b)
2 3
2 3
+

;

c)
2 3+
Bài tập 33 : Lập phơng trình bậc hai có các
nghiệm bằng :
a) Bình phơng của các nghiệm của phơng trình
2
2 1 0x x =
;
b) Nghịch đảo của các nghiệm của phơng trình
2
2 0x mx+ =
Bài tập 34 : Xác định các số m và n sao cho các
nghiệm của phơng trình

2
0x mx n+ + =
cũng là m và n.
Bài tập 35: Cho phơng trình

2 3
2 ( 1) 0x mx m + =
(1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = -1.
b) Xác định m để phơng trình (1) có hai
nghiệm phân biệt , trong đó một nghiệm
bằng bình phuơng nghiệm còn lại.
Bài tập 36: Cho phơng trình

2
2 5 1 0x x + =

(1)
Tính
1 2 2 1
x x x x+
( Với
1 2
,x x
là hai nghiệm
của phơng trình)
Bài tập 37: Cho phơng trình

2
(2 1) 2 1 0m x mx + =
(1)
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm
thuộc khoảng ( -1; 0 ).
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn
2 2
1 2
1x x =
Bài tập 38 : Cho phng trỡnh x
2
- (2k - 1)x +2k -2
= 0 (k l tham s).
Chng minh rng phng trỡnh luụn luụn
cú nghim.
Bài tập 39:

Tìm các giá rị của a để ptrình :

( )
032)3(
222
=++ axaxaa
Nhận x=2 là nghiệm .Tìm nghiệm còn lại của
ptrình ?
Bài tập 40 Xác định giá trị của m trong phơng
trình bậc hai :

2
8 0x x m + =

để 4 +
3
là nghiệm của phơng
trình . Với m vừa tìm đợc , phơng trình đã
cho còn một nghiệm nữa . Tìm nghiệm còn
lại ấy?
Bài tập 41: Cho phơng trình :
2
2( 1) 4 0x m x m + + =
(1) , (m là tham số).
1) Giải phơng trình (1) với m = -5.
2) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai
nghiệm
1 2
,x x
phân biệt mọi m.

3) Tìm m để
1 2
x x
đạt giá trị nhỏ nhất (
1 2
,x x
là hai nghiệm của phơng trình (1) nói trong
phần 2/ ) .
Bài tập 42:
Cho phng trỡnh
1. Gii phng trỡnh khi b= -3 v c=2
2. Tỡm b,c phng trỡnh ó cho cú hai
nghim phõn bit v tớch ca chỳng bng 1
Bài tập 43:
Cho phng trỡnh x
2
2mx + m
2
m + 1 = 0 vi m
l tham s v x l n s.
a) Gii phng trỡnh vi m = 1.
b) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn
bit x
1
,x
2
.
c) Vi iu kin ca cõu b hóy tỡm m biu
thc A = x
1

x
2
- x
1
- x
2
t giỏ tr nh nht.
Bài tập 44:
Cho phơng trình ( ẩn x) : x
4
- 2mx
2
+ m
2
3 = 0
1) Giải phơng trình với m =
3
2) Tìm m để phơng trình có đúng 3
nghiệm phân biệt
Bài tập 45: Cho phơng trình ( ẩn x) : x
2
- 2mx +
2


2
1
= 0 (1)
1) Tìm m để phơng trình (1) có
nghiệm và các nghiệm của ptrình có

giá trị tuyệt đối bằng nhau
2) Tìm m để phơng trình (1) có
nghiệm và các nghiệm ấy là số đo của
2 cạnh góc vuông của một tam giác
vuông có cạnh huyền bằng 3.
Bài tập 46: Lập phơng trình bậc hai với hệ số
nguyên có hai nghiệm là:

53
4
1
+
=x
và
53
4
2

=x
1) Tính : P =
44
53
4
53
4

+








+
Bài tập 47: Tìm m để phơng trình :
012
2
=+ mxxx
có đúng hai nghiệm phân
biệt.
Bài tập 48: Cho hai phơng trình sau :
2
2
(2 3) 6 0
2 5 0
x m x
x x m
+ =
+ + =
( x là ẩn , m là tham số )

Tìm m để hai phơng trình đã cho có đúng
một nghiệm chung.
Bài tập 49:
Cho phơng trình :
2 2
2( 1) 1 0x m x m + + =
với x là ẩn , m là
tham số cho trớc
1) Giải phơng trình đã cho kho m = 0.
2) Tìm m để phơng trình đã cho có hai
nghiệm dơng
1 2
,x x
phân biệt thoả mãn
điều kiện
2 2
1 2
4 2x x =
Bài tập 50: Cho phơng trình :

( ) ( )
2
2 1 2 3 0m x m x m+ + + =
( x
là ẩn ; m là tham số ).
1) Giải phơng trình khi m = -
9
2

2) CMR phơng trình đã cho có nghiệm

với mọi m.
3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho
phơng trình có hai nghiệm phân biệt
và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.
Bài tập 52: Cho phơng trình x
2
+ x 1 = 0 .
a) Chứng minh rằng phơng trình có hai
nghiệm trái dấu .
b) Gọi
1
x
là nghiệm âm của phơng trình
. Hãy tính giá trị biểu thức :
8
1 1 1
10 13P x x x= + + +

Bài tập 53: Cho phơng trình với ẩn số thực x:
x
2
- 2(m 2 ) x + m - 2
=0. (1)
Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép. Tính
nghiệm kép đó.
Bài tập 54:
Cho phơng trình : x
2
+ 2(m-1) x +2m - 5 =0.
(1)

a) CMR phơng trình (1) luôn có 2
nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để 2 nghiệm
1 2
,x x
của (1) thoả
mãn :
2 2
1 2
14x x+ =
.
Bài tập 55:
a) Cho a =
11 6 2 , 11 6 2b+ =
. CMR
a, ,b là hai nghiệm của phơng trình bậc hai với
hệ số nguyên.
b) Cho
3 3
6 3 10, 6 3 10c d= + =
. CMR
2 2
,c d
là hai nghiệm của phơng trình bậc hai với
hệ số nguyên.
Bài tập 56: Cho phơng trình bậc hai :

2 2
2( 1) 1 0x m x m m+ + + + + =
(x

là ẩn, m là tham số).
1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
phơng trình có 2 nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn :
1 2
3x x+ =
.
3) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
tập giá trị của hàm số
y=
2 2
2( 1) 1x m x m m+ + + + +
chứa đoạn
[ ]
2;3
.
Bài tập 57:Cho phơng trình :
x
2
- 2(m-1) x +2m - 3 =0.
a) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm
trái dấu.
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm
này bằng bình phơng nghiệm kia.
Bài tập 58: Cho phơng trình :
2 2

6 6 0.x x a a+ + =
1) Với giá trị nào của a thì phơng trình có
nghiệm.
2) Giả sử
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình này.
Hãy tìm giá trị của a sao cho
3
2 1 1
8x x x=
Bài tập 59: Cho phơng trình :
mx
2
-5x ( m + 5) = 0 (1) trong đó
m là tham số, x là ẩn.
a) Giải phơng trình khi m = 5.
b) Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm
với mọi m.
c) Trong trờng hợp phơng trình (1) có hai
nghiệm phân biệt
1 2
,x x
, hãy tính theo m giá trị
của biểu thức B =
2 2
1 2 1 2
10 3( )x x x x +
. Tìm m để
B = 0.

Bài tập 60:
a) Cho phơng trình :
2 2
2 1 0x mx m + =

( m là tham số ,x là ẩn số). Tìm tất cả các giá trị
nguyên của m để phơng trình có hai nghiệm
1 2
,x x
thoả mãn điều kiện
1 2
2000 2007x x< < <
b) Cho a, b, c, d

R . CMR ít nhất một
trong 4 phơng trình sau có nghiệm

2
2
2
2
2 0;
2 0;
2 0;
2 0;
ax bx c
bx cx d
cx dx a
dx ax b
+ + =

+ + =
+ + =
+ + =
Bài tập 61:
1) Cho a, b , c, là các số dơng thoả mãn
đẳng thức
2 2 2
a b ab c+ =
. CMR phơng trình
2
2 ( )( ) 0x x a c b c + =
có hai nghiệm phân
biệt.
Cho phơng trình
2
0x x p + =
có hai nghiệm d-
ơng
1 2
,x x
. Xác định giá trị của p khi
4 4 5 5
1 2 1 2
x x x x+
đạt giá trị lớn nhất.
Bài tập 62: Cho phơng trình :
(m + 1 ) x
2

( 2m + 3 ) x +2 = 0 , với m là tham

số.
a) Giải phơng trình với m = 1.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân
biệt sao cho nghiệm này gấp 4 lần nghiệm kia.
Bài tập 63: Cho phơng trình
:
2 2
3 2 2 10 4 0x y xy x y + + =
(1)
1) Tìm nghiệm ( x ; y ) của phơng trình ( 1
) thoả mãn
2 2
10x y+ =
2) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình
(1).
Bài tập 64: Giả sử hai phơng trình bậc hai ẩn x :

2
1 1 1
0a x b x c+ + =
và
2
2 2 2
0a x b x c+ + =

Có nghiệm chung. CMR
:
( ) ( ) ( )
2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

.a c a c a b a b b c b c =
Bài tập 65: Cho phơng trình bậc hai ẩn x :

2 2
2( 1) 2 3 1 0x m x m m + + =

a) Chứng minh phơng trình có nghiệm khi và chỉ
khi
0 1m

b) Gọi
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình , chứng
minh :
1 2 1 2
9
8
x x x x+ +
Bài tập 66: Cho phơng trình bậc hai ẩn x :

2 2
2 2 2 0x mx m+ + =

a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm.
b) Gọi
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình , tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức :

1 2 1 2
2 4A x x x x= + +
.
Bài tập 67: Cho phơng trình bậc hai ẩn x :

2
( 1) 2( 1) 3 0m x m x m+ + =
với
m

1. (1)
a) CMR (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
m.
b) Gọi
1 2
,x x
là nghiệm của phơng trình (1) , tìm
m để
1 2
0x x >
và
1 2
2x x=
Bài tập 68: Cho a , b , c là đọ dài 3 cạnh của 1 tam
giác . CMR phơng trình

2
( ) 0x a b c x ab bc ac+ + + + + + =

vô nghiệm .

Bài tập 69: Cho các phơng trình bậc hai ẩn x :

2
2
0(1);
0(2).
ax bx c
cx dx a
+ + =
+ + =

Biết rằng (1) có các nghiệm m và n, (2) có các
nghiệm p và q. CMR :
2 2 2 2
4m n p q+ + +
.
Bài tập 70: Cho các phơng trình bậc hai ẩn x :

2
0x bx c+ + =
có các nghiệm
1 2
,x x
; phơng
trình
2 2
0x b x bc + =
có các nghiệm
3 4
,x x

.
Biết
3 1 4 2
1x x x x = =
. Xác định b, c.
Bài tập 71 : Giải các phơng trình sau
a) 3x
4
- 5x
2
+2 = 0
b) x
6
-7x
2
+6 = 0
c) (x
2
+x +2)
2
-12 (x
2
+x +2) +35 = 0
d) (x
2
+ 3x +2)(x
2
+7x +12)=24
e) 3x
2

+ 3x =
xx +
2
+1
f) (x +
x
1
) - 4 (
)
1
x
x +
+6 =0
g)
121
2
= xx
h)
20204 = xx
i)
(10
48
3
2
2
=+
x
x
)
4

3 x
x

Bài tập 72. giải các phơng trình sau.
a) x
2
-
5
x - 5 =0 b)
-
5
.x
2
- 2 x +1=0
c) ( 1 -
03)13()3
2
=++x

d)5x
4
- 7x
2
+2 = 0
e) (x
2
+2x +1)
2
-12 (x
2

+2x +1) +35 = 0 f)
(x
2
-4x +3)(x
2
-12x +35)=-16
g) 2x
2
+ 2x =
xx +
2
+1 .
Bài tập 73.Cho phơng trình bậc hai 4x
2
-5x+1=0 (*) có
hai nghiệm là

x
1
, x
2
.
1/ không giải phơng trình tính giá trị của các
biểu thức sau:
2
2
2
1
11
xx

A +=
;
=B
2
2
2
2
1
1
44
x
x
x
x
+

;
5
2
5
1
xxC +=
;
7
2
7
1
xxD +=
2/ lập phơng trình bậc hai có các nghiệm bằng:
a) u = 2x

1
- 3, v = 2x
2
-3
b) u =
1x
1
1

, v =
1x
1
2

.
Bài tập 74 . Cho hai phơng trình : x
2
- mx +3 = 0 và x
2
-
x +m+2= 0 .
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm chung.
b) Tìm m để hai phơng trình tơng đơng.
Bài tập 75. Cho phơng trình (a-3)x
2
- 2(a-1)x +a-5 = 0 .
a) tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân
biệt x
1
, x

2
.
b) Tìm a sao cho
1
x
1
+
2
x
1
<3 .
c) Tìm một hệ thức độc lập giữa x
1
, x
2
.
Bài tập 76. Cho phơng trình bậc hai: x
2
+(m+2)x +m= 0
.
a) Giải phơng trình với m =-
2
.
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
2

2
2
1
xxC
+=
Bài tập 77:
Cho phơng trình:
mx
2
2( m + 1) x + (m- 4) = 0 (1)
a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm
b) Tìm m để PT(1) có hai nghiệm trái
dấu . Khi đó trong hai nghiệm nào
có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?
c) Xác định m để nghiệm x
1
; x
2
của PT
(1) có hai nghiệm thoả mãn x
1
+ 4x
2

= 3
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
; x
2

không phụ thuộc vào m
Bài tập 78: Cho phơng trình mx
2
2( m -2) x + (m
3) = Tìm các giá trị của m để nghiệm x
1
;x
2
của PT thoả
mãn điều kiện x
1
2
+ x
2
2
= 1
Bài tập 79: Xác định giá trị m để PT sau có hai
nghiệm phân biệt trái đấu
(m 1)x
2
2x + 3 = 0
Bài tập 80 Cho PT : x
2
2(m-2) x + ( m
2
+ m 3) =
Tìm các GT của m để PT có hai nghiệm x
1
; x
2

thoả mãn :

1 2
1 2
1 1
5
x x
x x
+
+ =
Bài tập 81 .Cho PT : x
2
(m+2) x + ( 2m 1) = 0 có
các nghiệm x
1
; x
2
. Lập hệ thức liên hệ giữa x
1
;
x
2
độc lập với m .
Bài tập 82Cho PT x
2
2(a 1) x + 2a 5 = 0 (1)
a) Chứng minh (1) có nghiệm với mọi a
b) Với mọi giá trị của a thì (1) có hai
nghiệm x

1
; x
2
thoả mãn x
1
< 1 < x
2

c) Với GT nào của a thì (1) có hai nghiệm
x
1
; x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 6.
Bài tập 83: Cho PT : x
2
10x m
2
= 0 (1)
mx
2
+ 10x 1 = 0 (2) ( m khác
không )
1) Chứng minh rằng nghiệm PT (1) là nghịch

đảo các nghiệm của PT hai
2) Với GT nào của m thì PT (1) có hai nghiệm
x
1
; x
2
thoả mãn điều kiện 6x
1
+ x
2
= 5
Bài tập 84: Cho Phơng trình x
2
2(m+1) x 3m
2

2m 1 = 0 (1)
1) C/mr với mọi m PT luôn có hai nghiệm
trái dấu
2) Tìm GT của m để PT (1) có một nghiệm x
= -1
3) Tìm các GT của m để PT (1) có hai
nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 2x
1
+ 3x
2

= 5
4) Tìm các GT m để PT (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= m
2
2m + 3 .
Bài tập 85: Cho PT : x
2
(a- 1) x + a = 0
a) Tìm các GT của a sao cho tổng lập phơng
các nghiệm bằng 9
b) Với GT nào của a thì tổng các bình phơng
các nghiệm có GTNN
Bài 14: Cho PT x
2
5x + 6 = 0 (1) . Không giải
PT lập phơng trình bậc hai có các nghiệm y
1
; y
2

a) Đều là số đối các nghiệm của PT

(1)
b) Đều lớn hơn các nghiệm cảu
PT(1) là 2
Bài tập 87. Cho Phơng trình x
2
(m 1) x m
2
+m
2 = 0
a) Giải PT khi m = 2
b) C/mr phgơng trình đã cho có hai
nghiệm trái dấu với mọi GT của m
c) Gọi hai nghiệm cảu PT đã cho là x
1
; x
2
.Tìm m để hai nghiệm đó thoả mãn

3 3
1 2
2 1
x x
x x

+
ữ ữ

đạt GTLN
Bài tập 88: Cho Phơng trình : x
2

mx m 1 = 0
(*)
a) C/mr PT (*) có nghiệm x
1
; x
2
với mọi GT
của m ; tính nghiệm kép ( nếu có ) của PT
và GT m tơng ớng .
b) Đặt A = x
1
2
+ x
2
2
6x
1
.x
2

1) Chứng minh A = m
2

-8m + 8
2) Tìm m sao cho A= 8
3) Tìm GTNN của a và GT m tơng ứng
.
Bài tập 89: Cho phơng trình x
2
2(a- 1) x + 2a 5 =

0 (1)
a) C/mr PT(1) có nghiệm với mọi a
b) Với giá trị nào của a thì (1) có nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn x
1
< 1 < x
2

c) Với giá trị nào của a thì phơng trình (1)
có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
x
1
2
+ x
2
2
=6
Bài tập 90: Cho phơng trình : x
2
2(m+1)x + m 4
= 0 ( *)
a) Chứng minh (*) có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị của m để PT (*) có hai nghiệm

trái dáu
c) Giả sử x
1
; x
2
là nghiệm của PT (*)
Chứn minh rằng : M = (1 x
1
) x
2
+ (1
x
2
)x
1

Bài tập 91: Cho phơng trình : x
2
(1- 2n) x + n 5 =
a) Giải PT khi m = 0
b) Chứng minh rằng PT có nghiệm với mọi
giá trị của n
c) Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm cảu PT đã cho
Chứng minh rằng biểu thức : x
1
(1 + x

2
) +
x
2
(1 +x
1
)
Bài tập 92: Các nghiệm của phơng trình
2
+ ax + b + 1 = 0 (b khác -1) là những số nguyên
Chứng minh rằng a
2
+ b
2
là hợp số
Bài tập 93: Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác .C/m:
x
2
+ ( a + b + c) x + ab + bc + ca = 0
vô nghiệm
Bài tập 94: Cho các phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a.c

0) và cx
2
+ dx + a = 0 có các nghiệm x
1
; x
2

và y
1
; y
2
ơng ớng C/m x
1
2
+ x
2
2
+ y
1
2
+ y
2
2


4
Bài tập 95: Cho các phơng trình x
2
+ bx +c =0 (1) và x
2

+cx +b = 0 (2)
Trong đó
2
111
=+
cb

Bài tập 96: Cho p,q là hai số dơng .Gọi x
1
; x
2
là hai
nghiệm của phơng trình
px
2
+ x +q = 0 và x
3
; x
4
là nghiệm của phơng
trình qx
2
+ x + p = 0
C/m :
1 2 3 4
. . 2x x x x+
Bài tập 97: Cho a,b,c là ba số thực bất kỳ .Chứng minh
rằng ít nhất một trong ba phơng trình sau có nghiệm :
2 2 2
1 0; 1 0; 1 0x ax b x bx c x cx a+ + = + + = + + =
Bài tập 98: Cho phơng trình bậc hai :x
2
+ (m+2) x + 2m
= 0 (1)
a) C/m phơng trình luôn luôn có
nnghiệm
b) Gọi x

1
; x
2
là hai nghiệm của phơng
trình . Tìm m để 2(x
1
2
+ x
2
2
) =
5x
1
x
2

Bài tập 99: Cho phơng trình x
2
+ a
1
x + b
1
= 0 (1) ;
x
2
+ a
2
x + b
2
= 0 (2)

Có các hệ số thoả mãn
( )
1 2 1 2
2a a b b +
.Cmr
ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm
Bài tập 100: Chứng minh rằng phơng trình :
( )
2 2 2 2 2 2
0a x b a c x b+ + + =
Vô nghiệm
Nếu a + b > c và
a b c >
Bài tập 101: Cho hai phơng trình :
x
2
+ mx + 1 = 0 (1) x
2
+ x + m = 0 (2)
a) Tìm m để hai phơng trình trên có ít nhất
một nghiệm chung
b) Tìm m để hai phơng trình trên tơng đơng
Bài tập 102: Cho phơng trình:
x
2
2( a + b +c) x + 3( ab + bc+ ca) = 0 (1)
a) C/mr phơng trình (1) luôn có nghiệm
Trong trờng hợp phơng trình (1) có nghiệm kép
xác định a,b,c .Biết a
2

+ b
2
+ c
2
= 14
Bài tập 103: Chứng minh rằng nếu phơng trình :x
2
+ ax
+ b = 0 và x
2
+ cx + d = 0 có nghiệm chung thì : (b
d)
2
+ (a- c)(ad bc) = 0
Bài tập 104: Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 .C/mr
nếu b > a + c thì phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
Bài tập 105: G/s x
1
, x
2
là hai nghiệm của hai phơng
trình x
2
+ ax + bc = 0 và x
2
, x
3
là hai nghiệm của phơng

trình x
2
+ bx + ac = 0 ( với bc khác ac ) . Chứng minh
x
1
, x
3
là nghiệm của phơng trình x
2

+ cx + ab = 0 .
Bài tập 106: Cho phơng trình x
2
+ px + q = 0 (1) .Tìm
p,q và các nghiệm của phơng trình (1) biết rằng khi
thêm 1 vào các nghiệm của nó chúng chở thành nghiệm
của phơng trình : x
2
p
2
x + pq = 0
Bài tập 107: Chứng minh rằng phơng trình :
(x- a) (x- b) + (x-c) (x- b) + (x-c) (x- a) = 0
Luôn có nghiệm với mọi a,b,c.
Bài tập 108: Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình :
2x

2
+ 2(m +1) x + m
2
+4m + 3 = 0
Tìm GTLN của biểu thức A =
1 2 1 2
2 2x x x x
Bài tập 109: Cho a

0 .G/s x
1
; x
2
là nghiệm của ph-
ơng trình
2
2
1
0
2
x ax
a
=
Chứng minh rằng :
4 4
1 2
2 2x x+ +
Bài tập 110 Cho phơng trình
2
2

1
0x ax
a
+ =
.Gọi
x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
Tìm GTNN của E =
4 4
1 2
x x+
Bài tập 111: Cho pt x
2
+ 2(a + 3) x + 4( a + 3) = 0
a) Với giá trị nào của a thì phơng trình có
nghiệm kép
b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm
lớn hơn 1