chuyên đề đạI số 8

Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử
I- Ph ơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác:
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
, 5 6 d, 13 36
, 3 8 4 e, 3 18
, 8 7 f, 5 24
,3 16 5 h, 8 30 7
, 2 5 12 k, 6 7 20
a x x x x
b x x x x
c x x x x
g x x x x
i x x x x
+ +
+ +
+ +
+ + +

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
(Đa thức đã cho có nhiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ)
II- Ph ơng pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu
của hai bình phơng: A
2
B

2
= (A B)(A + B)
3 2 3
3 2 3
3 2 3 2
3 2 3 2
1, 5 8 4 2, 2 3
3, 5 8 4 4, 7 6
5, 9 6 16 6, 4 13 9 18
7, 4 8 8 8, 6 6 1
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
+ +
+ + + +
+ + +
+ + +
3 2 3
3 3 2
3 2 3 2
3 3
9, 6 486 81 10, 7 6
11, 3 2 12, 5 3 9
13, 8 17 10 14, 3 6 4
15, 2 4 16, 2
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x

+
+ + +
+ + + + + +

2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 4 3 2
12 17 2
17, 4 18, 3 3 2
19, 9 26 24 20, 2 3 3 1
21, 3 14 4 3 22, 2 1


x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
+
+ + + + +
+ + + +
+ + + + + +
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử:
2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử:
III- Ph ơng pháp đổi biến
Các bài toán
Bài 1:Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử

Bài 2: Phân tích các đâ thức sau thành nhân tử
( )
2
2 2 2 2
4 4
4 4
4 4 4
4 4 4 2
1, (1 ) 4 (1 ) 2, 8 36
3, 4 4, 64
5, 64 1 6, 81 4
7, 4 81 8, 64
9, 4 10,
x x x x
x x
x x
x x y
x y x x
+ +
+ +
+ +
+ +
+ + +
1
7 2 7 5
5 4 5
8 7 5 4
5 10 5
1, 1 2, 1
3, 1 4, 1

5, 1 6, 1
7, 1 8, 1
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + +
+ + + +
+ +
+ + +
2 2 2 2 2 2 2
2 2 4
4
1, ( 4)( 6)( 10) 128 2, ( 1)( 2)( 3)( 4) 24
3, ( 4 8) 3 ( 4 8) 2 4, ( ) 4 4 12
5, 2 2 2 15 6, ( )( 2 )( 3 )( 4 )
7, 6 11
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x xy y x y x a x a x a x a a
x x
+ + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + +

2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
3 8, ( ) 3( ) 2
9, 2 3 3 10 10, ( 2 ) 9 18 20

11, 4 4 2 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16
x x x x
x xy y x y x x x x
x xy y x y x x x x
+ + + + +
+ + + + + +
+ + + + + + +
4 3 2
2 2 2 2 2
1, 6 7 6 1
2,( )( ) ( )
x x x x
x y z x y z xy yz zx
+ + +
+ + + + + + +
IV- Ph ơng pháp xét giá trị riêng
Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi
gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Giải
a, Giả sử thay x bởi y thì P =
2 2
( ) ( ) 0y y z y z y + =
Nh vậy P chứa thừa số x y
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa
thức P có thể hoán vị vòng quanh bởi các biến x, y, z). Do đó nếu P đã chúa
thùa số x y thì cũng chúa thừa số y z, z x. Vậy P phải có dạng
P = k(x y)(y z)(z x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì P
có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x y)(y z)(z x) cũng
có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức

đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn
x = 2, y = 1, z = 0
ta đợc k = -1
Vy P =- (x y)(y z)(z x) = (x y)(y z)(x - z)
Các bài toán
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )M a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b= + + + + + + + + +
2 2 2
( ) ( ) ( )N a m a b m b c m c abc= + +
, vi 2m = a+ b + c.
B i 2: Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t
3 3
2 2 2 2 2 2
3 2 3 2 3 2
3 3 3
2 2
) ( )( ) .
) ( 2 ) (2 ) .
) ( ) ( ) ( ).
) ( )( ) ( )( ) ( )( )
) ( ) ( ) ( ) ( 1).
) ( ) ( ) ( ) .
) (
a A a b c ab bc ca abc
b B a a b b a b
c C ab a b bc b c ac a c
d D a b a b b c b c c a c a
e E a c b b a c c b a abc abc
f f a b c b c a c a b

g G a b a b
= + + + +
= + +
= + + +
= + + + + +
= + + +
= + +
=
2 2 2 2
4 4 4
) ( ) ( ).
) ( ) ( ) ( ).
b c b c a c c a
h H a b c b c a c a b
+ +
= + +
2 2 2
2 2 2
, P = ( ) ( ) ( )
, Q = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
a x y z y z x z x y
b a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b
+ +
+ + + + + + + + +
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )x y z y z x z x y k x y y z z x
+ + =
V- Ph ong pháp hệ số bất định
Các bài toán
Bi 1: Phõn tớch cỏc a thc thnh nhõn t

4 3 2
4 3 2
2 2
4 3 2
4
) 6 12 14 3
) 4 4 5 2 1
) 3 22 11 37 7 10
) 7 14 7 1
) 8 63
a A x x x x
b B x x x x
c C x xy x y y
d D x x x x
e E x x
= + +
= + + + +
= + + + + +
= + +
= +
Chuyờn 2: Xác định đa thức
* nh lớ Beout (BờZu) v ng dng:
1) nh lớ BờZu:
D trong phộp chia a thc f(x) cho nh thc x - a bng f(a) (giỏ tr ca
f(x) ti x = a):
)()()()( afxqaxxf
+=
(Beout, 1730 - 1783, nh toỏn hc Phỏp)
H qu: Nu a l nghim ca a thc f(x) thỡ f(x) chia ht cho x - a.
p dng: nh lớ BờZu cú th dựng phõn tớch mt a thc thnh nhõn t.

Thc hin nh sau:
Bc 1: Chn mt giỏ tr x = a no ú v th xem x = a cú phi l
nghim ca f(x) khụng.
Bc 2: Nu f(a) = 0, theo nh lớ BờZu ta cú:
)()()( xpaxxf
=
tỡm p(x) thc hin phộp chia f(x) cho x - a.
Bc 3: Tip tc phõn tớch p(x) thnh nhõn t nu cũn phõn tớch c.
Sau ú vit kt qu cui cựng cho hp lớ.
Dng 1: Tỡm a thc thng bng phng phỏp ng nht h
s(phng phỏp h s bt nh), phng phỏp giỏ tr riờng , thc hin
phộp chia a thc.
*Phng phỏp1: Ta da vo mnh sau õy :
Nu hai a thc P(x) v Q(x) bng nhau: P(x) = Q(x) thỡ cỏc hng t cựng
bc hai a thc phi cú h s phi cú h s bng nhau.
Vớ d:
32)(
2
+=
bxaxxP
;
pxxxQ
=
4)(
2
.
Nu P(x) = Q(x) thỡ ta cú:
a = 1(h s ca ly tha 2)
2b = - 4 (h s ca ly tha bc 1)
- 3 = - p (h s hng t bc khụng hay hng t t do)

*Phng phỏp2: Cho hai a thc P(x) v Q(x) tha món deg P(x) > deg
Q(x)
Gi thng v d trong phộp chia P(x) cho Q(x) ln lt l M(x) v N(x)
Khi ú ta cú:
)()().()( xNxMxQxP
+=
(Trong ú: deg N(x) < deg Q(x)) (I)
Vỡ ng thc (I) ỳng vi mi x nờn ta cho x ly mt giỏ tr bt kỡ :

=
x
(

l hng s). Sau ú ta i gii phng trỡnh hoc h phng trỡnh tỡm
cỏc h s ca cỏc hng t trong cỏc a thc ( a thc thng, a thc chia,
a thc b chia, s d).
Vớ d: Bi 1(Phn bi tp ỏp dng)
Gi thng ca phộp chia A(x) cho x + 1 l Q(x), ta cú:
)().1(263
232
xQxaxaxxa
+=+
.
Vỡ ng thc ỳng vi mi x nờn cho x = -1 ta dc:



=
=
=++=++

3
2
060263
22
a
a
aaaaa
Vi a = -2 thỡ
4104)(,4664
223
+=+=
xxxQxxxA
Vi a = 3 thỡ
69)(,6699
223
=+=
xxQxxxA
*Phng phỏp 3:Thc hin phộp chia a thc (nh SGK)
Bài tập áp dụng
Bi 1: Cho a thc
2 3 2
( ) 3 6 2 ( )A x a x ax x a a Q= +
. Xác nh a sao cho A(x)
chia ht cho x + 1.
Bài 2: Phân tích đa thức
4 3
( ) 2 4P x x x x=
thành nhân tử, biết rằng một
nhân tử có dạng:
2

2x dx+ +
Bài 3: Với giá trị nào của a và b thì đa thức :
bxaxx
+++
2
23
chia hết cho đa
thức:
1
2
++
xx
. Hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách khác nhau.
Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức:
kxxxxxf
+++=
234
219)(
chia hết cho đa
thức:
2)(
2
=
xxxg
.
Bi 5: Tỡm tt c cỏc s t nhiờn k cho a thc:
152)(
23
++=
kkkf

chia
ht cho nh thc:
3)(
+=
kkg
.
Bi 6: Vi giỏ tr no ca a v b thỡ a thc:
baxxxxxf
+++=
234
33)(
chia
ht cho a thc:
43)(
2
+=
xxxg
.
Bi 7: a) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a, b v c a thc:
cbxaxxxP
+++=
24
)(
Chia ht cho
3
)3(

x
.
b) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a, b a thc:

2376)(
234
+++=
xaxxxxQ

chia ht cho a thc
bxxxM
+=
2
)(
.
c) Xỏc nh a, b
axxxxP
++=
85)(
23
chia ht cho
bxxxM
++=
2
)(
.
Bi 8: Hóy xỏc nh cỏc s a, b, c cú ng thc:
))()((
23
cxbxaxcbxaxx
=+