ĐỀ THI HSG LỚP 12 TRƯỜNG THPT LẤP VÒ 2

TRƯỜNG THPT LẤP VÒ 2
TỔ TOÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút.

ĐỀ:
Câu 1: (4 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
2
2
3 3 2
2
3 1
x x
x x
x
+ +
+ + =
+

b)
2
2 3sin (1 cos ) 4cos .sin 3
2
0
2sin 1
x
x x x
x
+ − −

=
−

Câu 2: (2 điểm) Gải hệ phương trình:
3 2 3
1
4 12 9 6 7
xy x y
x x x y y

− − =


− + = − + +



Câu 3: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
5 3 2 11
x y xy
− = −

Câu 4: (2 điểm) Cho ba số thực
1
, ,
2
a b c
>
thỏa mãn
3

a b c
+ + =
. Chứng minh rằng:
2 2 2
3
5 2( ) 5 2( ) 5 2( )
a b c
b c c a a b
+ ≥
− + − + − +

Câu 5: (2 điểm) Cho
ABC
∆
có G là trọng tâm, O là tâm của đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng:
2 2 2
2
[2 ( )]
9
OG R p ab bc ca
= − − + + .
Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp; a, b, c là độ dài các cạnh;
2
a b c
p
+ +
= .
Câu 6: (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cho tam giác ABC có : B(-1;3), C(3;1), diện
tích S =3 và trọng tâm G nằm trên đường thẳng x – y = 0. Tìm toạ độ của điểm A.
Câu 7: (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, hãy viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng

x – y – 6 = 0, tiếp xúc với trục Ox tại điểm A (x
A
> 0), cắt trục Oy tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC
có diện tích lớn nhất.
Câu 8: (2 điểm) Cho dãy số (u
n
) có
1
1
6
6 2
n n
u
u u n
−

=


= + ∀ ≥


. Tính
lim
n
u
.
Câu 9: (2 điểm) Cho dãy số (u
n
) có

1
1
0
( 1) *
1
n n
u
n
u u n N
n
+

=


= + ∀ ∈

+

. Tìm công thức tổng quát u
n
.
Hết.