Công thức lượng giác 10

CÔNG THỨC LƯNG GIÁC
I.GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC CỦA
MỘT CUNG:
Từ đònh nghóa ta có:
1 1; 1 1
tan ; cot
Sin Cos
α α
α α
− ≤ ≤ − ≤ ≤


−∞ < < +∞ −∞ < < +∞

II.CÁC HỆ THỨC LƯNG GIÁC:
•
2 2
1Sin a Cos a+ =
;
•
tan .cot 1a a
=

1
tan
cot
a
a
=
;
1

cot
tan
a
a
=
•
2
2
1
1 tan a
Cos a
+ =
4 4 2 2
1 2 .Sin a Cos a Sin a Cos a
+ = −
•
2
2
1
1 Cot a
Sin a
+ =
6 6 2 2
1 3 .Sin a Cos a Sin a C os a+ = −
III.GTLG CỦA CÁC CUNG CÓ
LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT:
(Cung liên kết)
 Cung đối: a và –a
Cos(-a) = Cosa;
Sin(-a) = -Sina

tan(-a) = - tana
cot(-a) = -cota
 Cung bù: a và
a
π
−
:
Sin(
a
π
−
) = Sina
Cos(
a
π
−
) = -Cosa
tan(
a
π
−
) = -tana
cot(
a
π
−
) = -cota
 Cung phụ: a và
2
a

π
−
Sin(
2
a
π
−
) = Cosa
Cos(
2
a
π
−
) = Sina
tan(
2
a
π
−
) = Cota
Cot(
2
a
π
−
) = tana
 Cung hơn kém:a và
a
π
+

:
Sin(
a
π
+
) = -Sina
Cos(
a
π
+
) = -Cosa
tan(
a
π
+
) = tana
cot(
a
π
+
) = cota
 Cung hơn kém:a và
2
a
π
+
Sin(
2
a
π

+
) = Cosa
Cos(
2
a
π
+
) =- Sina
tan(
2
a
π
+
) =- Cota
Cot(
2
a
π
+
) = -tana
 Cung hơn kém n
π
:
Sin(a+k2
π
) = Sina
Cos(a+k2
π
) = Cosa
tan(a+k

π
) = tana
cot(a+k
π
) = Cota
IV.CÔNG THỨC LƯNG GIÁC:
 Công thức nhân đôi:
2 2 2
2 2 1Cos a Cos a Sin a Cos a= − = −
=
2
1 2Sin a−
Sin2a = 2Sina.Cosa
tan2a =
2
2 tan
1 tan
a
a−
cot2a =
2
1
2cot
Cot a
a
−
 Công thức nhân ba:
Sin3a = 3Sina – 4Sin
3
a

Cos3a = 4Cos
3
a – 3Cosa
tan3a =
3
2
3tan tan
1 3tan
a a
a
−
−
 Công thức cộng:
Cos(a+b) = Cosa.Cosb – Sina.Sinb
Cos(a-b) = Cosa.Cosb + Sina.Sinb
Sin(a+b) = Sina.Cosb + Sinb.Cosa
Sin(a-b) = Sina.Cosb – Sinb.Cosa
Tan(a+b) =
tan tan
1 tan .tan
a b
a b
+
−
Tan(a-b) =
tan tan
1 tan .tan
a b
a b
−

+
 Công thức tính theo
t = tan
2
a
Sina =
2
2
1
t
t+
; Cos =
2
2
1
1
t
t
−
+
tana =
2
2
1
t
t−
; Cota =
2
1
2

t
t
−
 Công thức hạ bậc:
2
1 2
2
Cos a
Sin a
−
=
;
2
1 2
2
Cos a
Cos a
+
=
;
2
1 2
tan
1 2
Cos a
a
Cos a
−
=
+

;
3
3 3
4
Sina Sin a
Sin a
−
=
;
3
3 3
4
Cosa Cos a
Cos a
+
=
;
3
3 3
tan
3 3
Sina Sin a
a
Cosa Cos a
−
=
+
.
 Công thức biến đổi tích
thành tổng:

Cosa.Cosb =
1
[ ( ) ( )]
2
Cos a b Cos a b− + +
Sina.Sinb =
1
[ ( ) ( )]
2
Cos a b Cos a b− − +
Sina.Cosb =
1
[ ( ) ( )]
2
Sin a b Sin a b− + +
Cosa.Sinb =
1
[ ( ) ( )]
2
Sin a b Sin a b+ − −
 Công thức biến đổi tổng
thành tích:
2
2 2
a b a b
Cosa Cosb Cos Cos
+ −
+ =
2
2 2

a b a b
Cosa Cosb Sin Sin
+ −
− = −
2
2 2
a b a b
Sina Sinb Sin Cos
+ −
+ =
2
2 2
a b a b
Sina Sinb Cos Sin
+ −
− =
( )
tan tan
.
Sin a b
a b
Cosa Cosb
+
+ =
( )
tan tan
.
Sin a b
a b
Cosa Cosb

−
− =
( )
.
Sin a b
Cota Cotb
Sina Sinb
+
+ =
( )
.
Sin a b
Cota Cotb
Sina Sinb
− −
− =
 Các công thức hay sử dụng:
2 ( )
4
Sina Cosa Sin a
π
+ = +
tan
α
=
Sin
Cos
α
α
(Cos

0
α
≠
)
( 0)
Cos
Cot Sin
Sin
α
α α
α
= ≠

2 ( )
4
Cos a
π
= −
2 ( )
4
Sina Cosa Si n a
π
− = −

2 ( )
4
Cos a
π
= − +
V.QUAN HỆ GIỮA CÁC

GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC:
• Sina = tana.Cosa =
2
1 Cos a± −
=
1 2
2
Cos a−
±
=
2
2 tan
2
1 tan
2
a
a
+
• Cosa = Cota.Sina =
2
1 Sin a± −
=
1 2
2
Cos a+
±
=
2
2
1 tan

2
1 tan
2
a
a
−
+
• Tana
Sina
Cosa
=
=
2
1 2
Sin a
Cos a−
=
1 2
2
Cos a
Sin a
−
=
1 2
1 2
Cos a
Cos a
−
±
+

=
2
2 tan
2
1 tan
2
a
a
−
• Cota
Cosa
Sina
=
=
2
1 2
Sin a
Cos a−
=
1 2
2
Cos a
Sin a
+
=
1 2
1 2
Cos a
Cos a
+

±
−
=
2
2
1 tan
2
2 tan
2
a
a
−
VI.CÁC HỆ THỨC LƯNG
TRONG TAM GIÁC:
 Đònh lí Cosin:
2 2 2
2 .a b c bc CosA= + −
2 2 2
2 .b a c ac CosB= + −
2 2 2
2 .c b a ba CosC= + −
 Đònh lí Sin:
2
a b c
R
SinA SinB SinC
= = =
 Diện tích trong tam giác:
1 1 1
. . .

2 2 2
a b c
S a h b h c h= = =
1 1
. .
2 2
1
.
2
S bc SinA ac SinB
ab SinC
= =
=
. .
4
a b c
S
R
=
;
S pr=
( )( )( )S p p a p b p c= − − −
VI.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG
GIÁC:
1) Phương trình lượng giác cơ
bản:
Cosx = Cos
α
2
2

x k
x k
α π
α π
= +

⇔

= − +

Sinx = Sin
α
2
2
x k
x k
α π
π α π
= +

⇔

= − +

Tanx =
tan x k
α α π
⇔ = +
Cotx =
Cot x k

α α π
⇔ = +
 Các phương trình đặc biệt:
0
2
Cosx x k
π
π
= ⇔ = +
1 2Cosx x k
π
= ⇔ =
1 2Cosx x k
π π
= − ⇔ = +
………………………………………………………….
0Sinx x k
π
= ⇔ =
1 2
2
Sinx x k
π
π
= ⇔ = +
1 2
2
Sinx x k
π
π

= − ⇔ = − +
…………………………………………………………
tan 0x x k
π
= ⇔ =
tan 1
4
x x k
π
π
= ⇔ = +
tan 1
4
x x k
π
π
= − ⇔ = − +
………………………………………………………….
0
2
Cotx x k
π
π
= ⇔ = +
1
4
Cotx x k
π
π
= ⇔ = +

1
4
Cotx x k
π
π
= − ⇔ = − +
2) Phương trình bậc hai đối
với Sinx và Cosx:
+)
2
0aCos x bCosx c+ + =
> Đặt t = Cosx (
1 1t− ≤ ≤
)
+)
2
0aSin x bSinx c+ + =
> Đặt t = Sinx (
1 1t
− ≤ ≤
)
+)
2
tan tan 0a x b x c+ + =
> Đặt t = tanx (
2
x k
π
π
≠ +

)
+)
2
0aCot x bCotx c+ + =
 Đặt t = Cotx (
x k
π
≠
)
3) Phương trình bậc nhất đối
với Sinx và Cosx:
Phương trình có nghiệm : a
2
+b
2

≥
c
2
Cách 1:Chia hai vế cho
tan
b Sin
a Cos
α
α
α
= =
Biến đổi phương trình về dạng:
Sin(x+a) =
c

Sin
aCos
β
α
=
 x?
Cách 2:Chia hai vế cho
2 2
a b+

rồi đặt:
2 2
a
Cos
a b
α
=
+
;
2 2
b
Sin
a b
α
=
+
(1)
2 2
( )
c

Sin x Sin
a b
α β
⇔ + = =
+
x=?
Cách 3: Xét x =
2k
π π
+
có là
nghiệm?, sau đó dặt t =
tan (2)
2
x
(x
2k
π π
≠ +
)
Thay
2
2
1
t
Sinx
t
=
+
;

2
2
1
1
t
Cosx
t
−
=
+
Ta có: (1)
⇔
(c+b)t
2
-2at+c-b =0
 t = t
0
, thay vào (2)  x = ?
4) Phương trình
2 2
. 0(1)
( , , )
aSin x bSinx Cosx cCos x
a b c R
+ + =
∈

Cách 1:
aSinx +bCosx = c (1) (a,b
≠

0)
• A= 0 : Phương trình(1)
( ) 0Cosx bSinx c⇔ + =
x=?
• a
≠
0: Chia hai vế của (1)
cho Cos
2
x ta được:
(1)
2
tan tan 0(2)a x b x c⇔ + + =

Giải phương trình(2) ta được tanx
x=?
Cách 2: Biến đổi phương trình (1)
theo Sin2x và Cos2x
1 2
(1) ( ) 2
2 2
1 2
( ) 0
2
Cos x b
a Sin x
Cos x
c
−
⇔ + +

+
=
Rồi giải phương trình bậc nhất đối
với Sin2x và Cos2x.
5)Phương trình đối xứng:
Dạng:
Đặt t = Sinx + Cosx
=
2 ( )
4
Sin x
π
+
Điều kiện
2 2t− ≤ ≤
Sinx.Cosx =
2
1
2
t −
. Thay vào
phương trình (1):
bt
2
+ 2at + 2c –b = 0  t = t
0
Rồi giải:
0
2 ( )
4

Sin x t
π
+ =
Dạng:
Đặt t = Sinx - Cosx
=
2 ( )
4
Sin x
π
−
Điều kiện
2 2t− ≤ ≤
Sinx.Cosx =
2
1
2
t−
. Rồi giải
tương tự như trường hợp trên.
a(Sinx+Cosx)+bSinx.Cosx+c =0(1)
a(Sinx-Cosx)+bSinx.Cosx+c =0(1)