300 bài tập tích phân_tài liệu ôn thi đại học

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

A. BẢNG ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM CƠ BẢN.
Đạo hàm Mở rộng Nguyên hàm Mở rộng
( )
' 0c =
dx x C= +
∫

( )
. 'c x c=

. .k dx k x C= +
∫


( )
1
' .
n n
x n x
−
=
( )
'
1
. '.
n n

u n u u
−
=
1
.
1
n
n
x
x dx C
n
+
= +
+
∫

( )
( )
1
1
.
1
n
n
ax b
ax b dx C
a n
+
+
+ = +

+
∫

'
2
1 1
x x
 
= −
 
 

'
2
1 'u
u u
−
 
=
 
 

1
. lndx x C
x
= +
∫

1 1
. .lndx ax b C

ax b a
= + +
+
∫

'
2
c c
x x
 
= −
 
 

'
2
. 'c c u
u u
−
 
=
 
 

. .ln
k
dx k x C
x
= +
∫

. .ln
k k
dx ax b C
ax b a
= + +
+
∫

( )
'
1
2
x
x
=

( )
'
'
2
u
u
u
=

.
x x
e dx e C= +
∫

1
. .
ax b ax b
e dx e C
a
+ +
= +
∫

( )
'
x x
e e=

( )
'
'.
u u
e u e=

.
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫

( )
'
.ln
x x
a a a=

( )
'
. '.ln
u u
a a u a=

sin . cos
x dx x C
= − +
∫

( ) ( )
1
sin . cosax b dx ax b C
a
+ = − + +
∫

( )
'
1
lnx
x

=

( )
'
'
ln
u
u
u
=

cos . sin
x dx x C
= +
∫

( ) ( )
1
cos . sinax b dx ax b C
a
+ = + +
∫

( )
'
1
log
.ln
a
x

x a
=

( )
'
'
log
.ln
a
u
u
u a
=

2
1
. tan
cos
dx x C
x
= +
∫

( )
'
sin cos
x x
=

( )

'
sin '.cosu u u=

2
1
. cot
sin
dx x C
x x
= − +
∫

( )
'
cos sin
x x
= −

( )
cos ' '.sinu u u= −

tan . ln cos
x dx x C
= − +
∫

( )
'
2
1

tan
cos
x
x
=

( )
'
tan '
cos
u
u
u
=

cot . ln sin
x dx x C
= +
∫

( )
'
2
1
cot
sin
x
x
= −

( )
2
'
cot '
sin
u
u
u
= −




Một số công thức LG thường sử
dụng để tính nguyên hàm.



( ) ( )
1
cos .cos cos cos
2
a b a b a b
 
= − + +
 



( ) ( )

1
sin .sin cos cos
2
a b a b a b
 
= − − +
 




( ) ( )
1
sin .cos sin sin
2
a b a b a b
 
= − + +
 




2
1 cos2
sin
2
a
a
−

=
;
2
1 cos2
cos
2
a
a
+
=





sin 2 2sin .cosa a a=




2 2
2
2
cos sin
cos2 2cos 1
1 2sin
a a
a a
a


−

= −


−





2 2
2 2
cos 1 sin
sin 1 cos
a a
a a

= −

= −




 Qui tắc đạo hàm.
1.
( )
'
. '. . 'u v u v u v= +

2.
'
2
'. . 'u u v u v
v v
−
 
=
 
 


GV: Nguyễn Chín Em
Trang 2

B. TÍCH PHÂN.
1.



2. Tính chất.
a)
( ) ( )
. .
a b
b a
f x dx f x dx
− =
∫ ∫
b)

( ) ( )
. . . .
b b
a a
k f x dx k f x dx=
∫ ∫

c)
( ) ( ) ( ) ( )
.
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
 
± = ±
 
∫ ∫ ∫
d)
( )
0
a
a
f x dx =
∫

e)
( ) ( ) ( )
. . .
b b b
a a a

m f x M m dx f x dx M f x dx≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
∫ ∫ ∫
f)
( ) ( ) ( )
. . .
c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx
= +
∫ ∫ ∫


3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH TÍCH PHÂN
3.1. Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.
3.2. Tích phân hàm hữu tỷ:
( )
( )
b
a
f x
dx
g x
∫

- Nếu bậc
( )
f x
≥ bậc
( )
g x → Chia đa thức.

- Nếu bậc
( )
f x
< bậc
( )
g x : Ta sử dụng hệ số bất định.

( )( ) ( ) ( )
1 2 1 2
ax b A B
x x x x x x x x
+
= +
− − − −

( )
( )
( )
2 2
0
0 0
ax b A B
x x
x x x x
+
= +
−
− −

3.3. Phương pháp đổi biến số:

( ) ( )
. '
b
a
A f u x u x dx
 
=
 
∫
.
Dạng 1:
Đặt
( ) ( )
' .t u x dt u x dx= ⇒ = ; đổi cận:
Ta được:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
.
u b
u b
u a
u a
A f t dt F t= =
∫

* Một số thủ thuật đặt
t

.
Dạng
( )
( )
b
a
f u x dx
∫

( )
( )
b
n
a
u x
dx
v x
∫

( )
sin .
cos
b
a
x dx
f x
∫

( )
( )

.
b
u x
a
e v x dx
∫


( )
ln
b
a
f x
dx
x
∫


( )
2
tan
cos
b
a
f x
dx
x
∫

t

( )
u x

( )
t v x=

( )
cost f x=


( )
t u x=

( )
lnt f x=

tant x=

m lẻ

cost x=


m chẳn

m = 0

n chẳn âm

tan
t x
=
D
ạ
ng
sin .cos
b
m n
a
x xdx
∫

n chẳn
sint x=



n chẳn

Hạ bậc
2
1 cos2
sin
2
a
a
−

=

2
1 cos2
cos
2
a
a
+
=

n = 0

m chẳn âm


cot
t x
=

Dạng 2:
D
ạ
ng

2 2
a x+


2 2

a x−

2 2
x a
−

Đặ
t
tan , ;
2 2
t a t t
π π
 
= ∈ −
 
 


sin , ;
2 2
x a t t
π π
 
= ∈ −
 
 


{ }
, ; \ 0

sin 2 2
a
x t
t
π π
 
= ∈ −
 
 



( ) ( ) ( ) ( )
.
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫

x

a
b
t
( )
u a

( )
u b


GV: Nguyễn Chín Em
Trang 3

3.4. Phương pháp từng phần :
. . .
b b
b
a
a a
B u dv u v v du
= = −
∫ ∫

Cách đặt
u
và
dv
:
Dạng
( )
sin
. .
cos
b
a
x

f x dx
x
 
 
 
∫

( )
.
b
x
a
f x e dx
∫

( )
ln
. .
log
b
a
a
x
f x dx
x
 
 
 
∫

2
2
cos
sin
b
a
x
dx
x
x
 
 
 
∫

u

( )
f x

( )
f x

ln
log
a
x
x
 
 

 

x

dv

sin
.
cos
x
dx
x
 
 
 

x
e dx

( )
.
f x dx

2
2
1
sin
cos
dx
x

x
 
 
 


C. BÀI TẬP
Bài 1 : Tính các tích phân sau :
Sử dụng bảng nguyên hàm cơ
bản.
1.
( )
2
3 2
1
2 3
x x dx
+ +
∫

2.
4
3 2
1
1 1
.
x x dx
x x
 
+ +

 
 
∫

3.
4
3
2
1
.
.
x x x x
dx
x
+ +
∫

4.
2
3
1
2
x dx
x
 
+
 
 
∫

5.
2
2
1
1
2
x x dx
x
 
+
 
 
∫

6.
( )
2
0
3sin 3cos 2
x x dx
π
− +
∫

7.
2
1
3
2 1
x dx

x
 
+
 
−
 
∫

8.
2
0
cos 2
4
x dx
π
π
 
−
 
 
∫

9.
( )
2
0
2 sin3
x dx
π
−

∫

10.
( )
1
0
2 1
x
e dx+
∫

11.
( )
ln 2
2
0
1
x
e dx+
∫

12.
( )
ln 2
2
0
1
x
e dx+
∫

13.
( )
1
0
2 1
x x
e e dx−
∫

14.
ln 3
2
0
x x
x
e e
dx
e
+
∫

15.
2
1
2
x
e dx
x
 

+
 
 
∫

16.
( )
1
2
2
0
3
x x dx
−
∫

17.
( )
2
3
1
2 1
x dx
−
∫

18.
( )
1
0

3 1
x
dx+
∫

19.
4
2
0
2
1
cos
dx
x
π
 
−
 
 
∫

20.
2
3 2
2
1
2x x x
dx
x
+ +

∫

21.
1
0
2 1
1
x
dx
x
−
+
∫

22.
1
3
0
3 2
3 1
x x
dx
x
+ +
+
∫

23.
2
1

2 5 7
x x
dx
x
+ −
∫

24.
1
0
( 1)( 1)
x x x dx
− + +
∫

25.
2
2
4
2
1
sin
dx
x
π
π
 
−
 
 

∫

26.
4
2
0
1
cos
x
x
e
e dx
x
π
−
 
−
 
 
∫

27.
ln 2
0
2
x
x
x
e
e dx

e
−
 
+
 
 
∫

28.
2
1
2
2
x
dx
x
 
+
 
 
∫

29.
( )
1
2
2
0
1
x x dx

−
∫

30.
( )
2
1
1
. 1
dx
x x
+
∫

31.
( )
2
2
1
2 1x
dx
x
−
∫

32.
4
0
cos3 .cos
x xdx

π
∫

33.
4
2
3
1
4
dx
x
−
∫

34.
1
2
2
0
1
3 2
dx
x x
− +
∫

GV: Nguyễn Chín Em
Trang 4

35.

4
2
1
3
x x x x
dx
x
+ +
∫

36.
( )
ln 2
2
0
1
x x
e e dx−
∫

37.
4
0
sin 3 .sin
x xdx
π
∫

38.
( )

2
1
0
1
x
x
e
dx
e
−
∫

39.
4
2 2
6
1
sin .cos
dx
x x
π
π
∫

40.
2
0
1
x dx
−

∫

41.
3
2
0
2
x x dx
−
∫

42.
4
2
2
6 9.
x x dx
− +
∫

43.

4
2
1
3 2
x x dx
−
− +
∫

44.
0
1 cos2
x dx
π
+
∫

45.
3
0
2 4
x
dx−
∫

46.
2
2
0
x x dx
−
∫

47.
3
2
0
1 cos2

x dx
π
−
∫

48.
2
2
0
sin .
x dx
π
∫

49.
2
2
0
cos .
x dx
π
∫

50.
2
4
0
sin .
x dx
π

∫

51.
2
4
0
cos .
x dx
π
∫

52.
2
0
sin 3 .cos .
x x dx
π
∫

53.
( )
ln 2
0
2
x
e x dx
+
∫

54.

1
0
2 1
1
x
dx
x
−
+
∫

55.
8
2
0
cos 2
xdx
π
∫

56.
2
4
2
0
2cos 1
1 sin
x
dx
x

π
+
−
∫

57.
2
4
2
1
x dx
x
 
+
 
 
∫

58.
1
2
0
3 3
1
x x
dx
x
− +
+
∫

59.
2
0
1 sin cos .
2 2
x x
dx
π
 
+
 
 
∫

60.
( )
1
7
0
2 1
x dx
− +
∫

61.
( )
0
3
1

4
3 5
dx
x
−
−
∫

62.
4
0
2 1
x dx
+
∫

63.
7
3
3
0
3 1
x dx
+
∫

64.
3
0
1

1 6
dx
x x+ − +
∫

65.
( )( )
5
3
1
2 1
dx
x x− +
∫

66.
1
2
0
5 13
5 6
x
dx
x x
−
− +
∫

67.
1

4
2
2
0
1
x
dx
x −
∫

68.
1
2
0
3 1
6 9
x
dx
x x
−
+ +
∫

69.
( )
2
2
2
1
3 2

2 1
x x
dx
x x x
− +
+ +
∫

70.
0
2
1
2 1
3 4
x
dx
x x
−
+
+ −
∫


Bài 2: Tích các tích phân sau:
(Đổi biến số)
DẠNG 1:
( ) ( )
. '
b
a

A f u x u x dx
 
=
 
∫

71.
( )
1
3
4 3
0
1
x x dx
+
∫

72.
1
2
0
2
4 7
x
dx
x x
+
+ +
∫

73.
1
3
2
0
1
x
dx
x+
∫

74.
( )
1
3
0
1
x
dx
x +
∫

75.
( )
1
3
5 2
0
1
x x dx

+
∫

76.
( )
( )
4
1
6
0
2 1
1
x
dx
x
−
+
∫

77.
1
2 3
0
1 .
x x dx
−
∫

78.
4

0
4 1
2 1 2
x
dx
x
−
+ +
∫

79.
6
2
1
2 1 4 1
dx
x x+ + +
∫

80.
2 3
2
5
4
x
dx
x +
∫

81.

64
3
1
1
dx
x x+
∫

82.
ln 3
ln 2
1
1
x
dx
e −
∫

83.
ln 2
0
1
1
x
dx
e
−
+
∫

GV: Nguyễn Chín Em
Trang 5

84.
ln 5
2
ln 2
1
x
x
e
dx
e −
∫

85.
1
2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e
dx
e
+ +
+
∫

86.
( )
ln 5
ln 2
10 1
x
x x
e
dx
e e− −
∫

87.
( )
1
ln
2 ln .
e
x
dx
x x
+
∫

88.
3
1
1 ln
e
x

dx
x
+
∫

89.
( )
2
1
1
ln 3ln 2 .
e
dx
x x x
− +
∫

90.
1
1 3ln .ln
e
x x
dx
x
+
∫

91.
2
4

0
sin .cos
x xdx
π
∫

92.
2
5
0
cos .sin
x xdx
π
∫

93.
2
5
0
sin
xdx
π
∫

94.
2
3
0
cos .
x dx

π
∫

95.
2
0
1 3sin .cos
x xdx
π
+
∫

96.
2
3
0
1 7cos .sin
x xdx
π
+
∫

97.
2
0
1 3sin .sin 2 .
x x dx
π
+
∫

98.
( )
2
3
0
sin .
2 cos
x dx
x
π
+
∫

99.
2
0
cos
1 3sin
x
dx
x
π
+
∫

100.
2
0
sin .cos

1 3sin
x x
dx
x
π
+
∫

101.
1
5
2
0
1
x
dx
x+
∫

102.
3
2
0
4sin
1 cos
x
dx
x
π
+

∫

103.
3
1
1 ln .
e
dx
x x
+
∫

104.
3
2
2
0
sin .cos
1 cos
x x
dx
x
π
+
∫

105.
6
2
0

cos
sin 5sin 6
x
dx
x x
π
− +
∫

106.
( )
4
1
1
dx
x x
+
∫

107.
( )
2
2
2
0
1 sin sin 2
x xdx
π
+
∫

108.
4
1
x
e
dx
x
∫

109.
2
ln 8
ln 3
1
x
x
e dx
e +
∫

110.
2
2
sin
0
sin 2
x
e xdx

π
∫

111.
3
0
.
1 1
x dx
x + +
∫

112.
1
3 2 3
0
(1 )
x x dx
−
∫

113.
3
5 2
0
1
x x dx
+
∫

114.
sin
2
0
cos
x
e xdx
π
∫

115.
3
7
3 2
0
1
x
dx
x+
∫

116.
2
1
0
x
e xdx
−
∫

117.
3
5
3
3
0
1
x
dx
x +
∫

118.
3
5
2
3
3
.
1
x dx
x+
∫

119.
3
4
7
2
9

x dx
x +
∫

120.
4
0
2 1
xdx
x +
∫

121.
2
2
1
3
I x x dx
= +
∫

122.
2
1 2sin
0
.cos
x
e xdx
π
+

∫

123.
6
0
sin 2 .cos .x x dx
π
∫

124.
2
4 3
0
sin .cos .x x dx
π
∫

125.
3 2
0
sin .cos .I x x dx
π
=
∫

126.
4
4
6
1

.
sin
dx
x
π
π
∫

127.
4
4
0
1
.
cos
dx
x
π
∫

128.
2
2
0
2
.
cos 3
sin x
dx
x

π
+
∫

129.
2
2
0
2
.
3 sin
sin x
dx
x
π
−
∫

130.
2
1
.
1 1
x
dx
x+ −
∫

GV: Nguyễn Chín Em
Trang 6

131.
2
2
2 sin
0
.sin 2 .
x
e x dx
π
+
∫

132.
ln 3
ln 2
.
2 1
x
x
e
dx
e
−
−
+
∫

133.
( )

ln 5
ln 2
3
1
x x
x
e e
dx
e
+
−
∫

134.
ln 5
2
ln 2
.
1
x
x
e
dx
e +
∫

135.
ln 4
ln 3
1

.
3
x
dx
e +
∫

136.
2
4
1
.
.ln
e
e
dx
x x
∫

137.
ln 4
ln 3
1
.
5
x
dx
e +
∫

138.
( )
2
ln 5
0
4
2
x x
x
e e
dx
e
+
+
∫

140.
ln 4
2
ln 3
(1 ) .
.
1
x x
x
e e
dx
e
+
−

∫

141.
2
1
ln . 2 ln
.
e
x x
dx
x
+
∫

142.
2
sin
.
4cos 3
x
dx
x
π
π
−
∫

143.
2
0

sin2
.
cos2 3
x
dx
x
π
+
∫

144.
( )
ln 5
ln 3
3
1
x x
x
e e
dx
e
+
−
∫

145.
4
2
6
1

.
sin .cotx
dx
x
π
π
∫

146.

3
2
3
6
cos .

sin
x dx
x
π
π
∫

147.

4
2
0
tan .

cos
x dx
x
π
∫

148.
ln 2
0
dx
x x
x x
e e
e e
−
−
−
+
∫

149.
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
dx
x x
π

+
∫

150.
ln 5
ln 3
2 3
x x
dx
e e
−
+ −
∫

151.
2
2
0
sin 2
(2 sin )
x
dx
x
π
+
∫

152.
2
0

sin 2 sin
1 3cos
x x
dx
x
π
+
+
∫

153.
2
0
sin 2 cos
1 cos
x x
dx
x
π
+
∫

154.
2
sin
0
( cos )cos
x
e x xdx
π

+
∫

155.
2
4
0
1 2sin
1 sin 2
x
dx
x
π
−
+
∫

156.
ln 2
0
2
x
x
e
dx
e +
∫

157.
( )

1
5 3
2
2
0
1
x x
dx
x
+
+
∫

158.
( )
2
8 5
2
3
0
2
x x
dx
x
+
+
∫

159.
6

2 2
0
sin 2
2sin os
x
dx
x c x
π
+
∫

160.
3
2
2
0
osxsin
1 sin
c x
dx
x
π
+
∫

161.
2
1
1 ln
e

x
dx
x
+
∫

162.
2
2
0
sin 2
(2 sin )
x
dx
x
π
+
∫

163.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x
+
∫

164.

2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
+
∫

165.

1
1 3ln ln
e
x x
dx
x
+
∫

166.
1
sin(ln )
e
x

dx
x
∫

167.

4
2
0
1 sin 2
cos
x
dx
x
π
+
∫

168.
2
0
sin
1 3cos
x
dx
x
π
+
∫

169.
1
2
2
1
x
e
dx
x
∫

170.
2
0
sin
8cos 1
x
dx
x
π
+
∫

171.
( )
3
2
1
1 ln
e

e
dx
x x
−
∫

172.
2
3
6
sin .cos
x xdx
π
π
∫

173.
( )
1
7
0
1
x x dx
−
∫

174.
2
2
sin 2

1 cos
x
dx
x
π
π
+
∫

175.
( )
1
3
0
2
x x dx
−
∫

176.
2
2
1
1
2 3
x
dx
x x
−
− −

∫

177.
( )
2
2
6
cos .
1 sin
x dx
x
π
π
−
+
∫

178.
19
3 2
0
3
8
xdx
x
+
∫

179.
3

1
4 ln
e
dx
x x
−
∫

GV: Nguyễn Chín Em
Trang 7

180.
1
2
0
1
x x dx
+
∫

181.
0
sin 2
4
.cos2
x
e xdx
π
−
∫

182.
( )
1
2
0
4
2 1
x
dx
x +
∫

183.
2
1
1
0
x
xe dx
−
∫

184.
( )
0
2
4
1
1

x
dx
x
−
−
∫

185.
2
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫

186.
( )
1
ln .
ln 3
e
e
x dx
x x
+
∫

187.
7
3
0
1
x x dx
+
∫

188.
0
5
4
x xdx
−
−
∫

189.
ln 3
0
1
x
dx
e
−
+
∫

190.

2
0
4 1
x dx
+
∫

Bài 3: Tính các tích phân sau:
(Đổi biến số)
Dạng 2:
2 2
a x+

2 2
a x−

tan
x a t
=

sin
x a t
=

191.
1
2
0
1
3

dx
x+
∫

192.
1
2
0
2
x dx
−
∫

193.
2
2
2
2
0
1
x
dx
x−
∫

194.
1
2
0
1

1
dx
x x+ +
∫

195.
1
2
0
2
x x dx
−
∫

196.
1
2
0
1
4
dx
x−
∫

197.
1
2
0
1
1

dx
x x− +
∫

198.
2
2
2
2
0
1
x
dx
x−
∫

199.

2
2 2
1
4
x x dx
−
∫

Bài 4: Tính các tích phân sau
(Tích phân từng phần)
200.
1

ln
e
x xdx
∫

201.

1
2
0
ln( 1)
x x dx
+
∫

202.
1
1
( )ln
e
x xdx
x
+
∫

203.
2
0
( osx)sinx
x c dx

π
+
∫

204.
2
2
1
ln( )
x x dx
+
∫

205.
2
0
cos
x xdx
π
∫

206.
1
0
x
xe dx
∫

207.
1

3
0
.
x
x e dx
∫

208.
2
0
( 1)cos
x xdx
π
−
∫

209.
6
0
(2 )sin 3
x xdx
π
−
∫

210.

2
0
.sin2

x x dx
π
∫

211.
2
1
(1 ).ln .
e
x x dx
−
∫

212.
3
1
4 .ln .
x x dx
∫

213.
1
2
0
.ln(3 ).
x x dx
+
∫

214.

2
5
1
ln
x
dx
x
∫

215.
2
2
0
cos
x xdx
π
∫

216.
3
2
0
sin
cos
x x
dx
x
π
+
∫

217.
4
2
0
(2cos 1)
x x dx
π
−
∫

218.
2
2
1
ln(1 )x
dx
x
+
∫

219.
1
2
0
ln(1 )
x x dx
+
∫

220.
1
2
0
( 2)
x
x e dx
−
∫

221.
2
1
ln
( 1)
e
e
x
dx
x +
∫

222.
2
0
(2 7)ln( 1)
x x dx
+ +
∫

223.
1
ln
e
x
dx
x
∫

224.
( )
1
3 2 ln
e
x xdx
+
∫

225.

3
1
ln
e
x
dx
x
∫

226.

2
1
ln
e
x xdx
∫

227.
2
1
ln
e
xdx
x
∫

228.
( )
1
2
0
ln 1
x x dx
+
∫

229.
2
2
1

log
x xdx
∫

230.
1
3
(2 )ln
e
x xdx
x
−
∫

GV: Nguyễn Chín Em
Trang 8

231.
1
2
0
ln( 1)
x x x dx
+ +
∫

232.
( )
( )
1

3
0
ln 1
2
x
dx
x
+
+
∫

233.
2
0
cos
x
e xdx
π
∫

234.
( )
3
2
1
3 ln
1
x
dx
x

+
+
∫

235.
1
2
0
( 2)
x
x e dx
−
∫

236.
( )
1
0
1
x
x e dx
+
∫

237.
( )
1
0
2 1
x

x e dx
−
∫

238.
2
0
2 cos
x xdx
π
∫

239.
( )
4
0
2 1 cos
x xdx
π
−
∫

240.
( )
1
2 1 ln
e
x xdx
+
∫

241.
( )
3
2 2
0
1
x
x e dx
+
∫

242.
( )
1
0
2 1
x
x e dx
−
∫

243.
( )
ln 2
0
1
x
x e dx
−

−
∫

244.
2
0
2 .sin
x xdx
π
∫

245.
( )
4
0
1 sin 2
x xdx
π
+
∫

246.
( )
1
2 ln 1
e
x x dx
−
∫

247.
( )
2
1
ln 2
x xdx
−
∫

248.
0
sin
x
I e xdx
π
=
∫

249.
1
2 1
0
x
xe dx
−
∫

250.
( )
2

0
1
x
e xdx+
∫

251.
4
0
sin 2 .
x x dx
π
∫

252.
( )
0
1 cos
x xdx
π
−
−
∫

253.
1
ln .
e
x dx
∫

254.
( )
3
2
2 ln 1
x x dx
−
∫

255.
4
1
x
e dx
∫

Bài 5: Tính các tích phân sau:
(TỔNG HỢP)
256.
( )
1
0
3. 5
x x
e e x dx
−
−
∫

257.
2
1
ln
x x
dx
x
+
∫

258.
( )
1
ln 1
e
x x dx
+
∫

259.
1
0
1
1
x
x
xe x
dx
e
+ +

+
∫

260.
2
2
1
1
x
x e
dx
x
+
∫

261.
( )
0
cos
x x x dx
π
+
∫

262.
4
1
x
x e
dx

x
+
∫

263.
( )
4
0
cos sin
x x xdx
π
+
∫

264.
2
0
1 sin
1 cos
x
dx
x
π
−
+
∫

265.
2
1

1 ln
e
x x
dx
x
+
∫

266.
( )
2
2
0
x
x x e dx
+
∫

267.
2
1
1 ln
e
x x
dx
x
+
∫

268.

( )
2
1
1 2
x
xe dx
+
∫

269.
3
4
2
0
1 sin
1 sin
x
dx
x
π
−
−
∫

270.
1
0
1
1
x

x
e
xe
−
+
∫

271.
3
3
1
2
.
2 2
x dx
x
−
+
∫

272.
( )
2
0
ln 1 cos .sin 2
x xdx
π
+
∫

273.

2
3 2
2
0
2 3
1
x x x
dx
x x
− +
− +
∫

274.
( )
2
2 3
0
cos 1 sin
x x dx
π
−
∫

275.
1
0
3 2

1
x x
x
xe e
dx
xe
+ +
+
∫

276.
1
2
0
1
x
dx
x x
+ −
∫

277.
( )
( )
2 2
1
0
2 1 ln 1
1
x x x x

dx
x
+ + + +
+
∫

278.
( )
2
4
2 cos 2 sin
cos sin
x x x x
dx
x x x
π
π
+ −
−
∫

279.

3
2
1
ln
1 3ln
e
xdx

x x
+
∫

280.

2
2 3
1 ln
.ln
e
e
x x
dx
x x
+
∫

281.
3
2
2
0
2 sin
sin
3cos 1
x
x dx
x
x

π
 
−
 
+
 
∫

GV: Nguyễn Chín Em
Trang 9

282.
( )
2
2
1
ln 1x x
dx
x
+ +
∫

283.
2014
4
2
0
1 2 tan
cos
x x

dx
x
π
− +
∫

284.
( )
3
0
tan ln cos
cos
x x
dx
x
π
∫

285.
2
4
0
tan 3tan 2
2 sin2
x x
dx
x
π
+ +
+

∫

286.
2
0
cos2 1
cos sin
x x
dx
x x
π
+
+
∫

287.
( )
2
1
0
2 1
1
x x
x
x e x e
dx
xe
+ +
+
∫

288.
4
2 1 2
0
x
e dx
+ −
∫

289.
2
2
4
3cot 1
sin
x x
dx
x
π
π
+ +
∫

290.
1
3
4
0
2

1
x x
dx
x
−
+
∫

291.
ln 8
2
ln 3
2
1
x x
x
e e
dx
e
−
+
∫

292.
6
2
0
cos
4 sin
x

dx
x
π
−
∫

293.
2 2
0
sin
x
e xdx
π
∫

294.
8
3
ln 1 ln
e
e
dx
x x x
+
∫

295.
2
2
2

3
1
1
x
x dx
x x
 
−
+
 
+
 
∫

296.
( )
( )
1
2
0
3 2ln 3 1
1
x x
dx
x
+ +
+
∫

297.

( )
4
1
ln
x x x dx
+
∫

298.
3
2
1
ln
1 3ln
e
xdx
x x
+
∫

299.
1
0
2
1
x
x e sx
x
 
+

 
+
 
∫

300.
2
0
cos2
sin sin
1 3cos
x
x x dx
x
π
 
+
 
+
 
∫

D. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ
THI TỐT NGHIỆP.
NĂM

ĐỀ THI
2014
1.
( )

1
0
1
x
xe dx
−
∫

2013
2.
( )
2
0
1 cos .
x x dx
π
+
∫

2012
3.
( )
ln 2
2
0
1
x x
e e dx
−
∫

2011
4.
1
4 5ln
e
x
dx
x
+
∫

2010
5.
( )
1
2
2
0
1
x x dx
−
∫

2009
6.
( )
0
1 cos
x x dx

π
+
∫

2008
7.
( )
1
0
4 1
x
x e dx
+
∫

E. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ
THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG.
Năm ĐỀ THI
Kh


B
2
2
2
1
3 1
x x
dx
x x

+ +
+
∫

2014
D
( )
4
0
1 sin 2 .
x x dx
π
+
∫

A
2
2
2
1
1
ln
x
xdx
x
−
∫

Cđ

5
1
1 2 1
dx
x
+ −
∫

B
1
2
0
2
x x dx
−
∫

2013
D
( )
2
1
2
0
1
1
x
dx
x
+

+
∫

A
( )
3
2
1
1 ln 1
x
dx
x
+ +
∫

Cđ

3
0
1
x
dx
x
+
∫

B
1
3
4 2

0
3 2
x
dx
x x
+ +
∫

2012
D
( )
4
0
1 sin 2
x x dx
π
+
∫

A
( )
4
0
sin 1 cos
sin cos
x x x x
dx
x x x
π
+ +

+
∫

Cđ

( )
2
1
2 1
1
x
dx
x x
+
+
∫

B
3
2
0
1 sin
cos
x x
dx
x
π
+
∫

2011
D
4
0
4 1
2 1 2
x
dx
x
−
+ +
∫

A
1
2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e
dx
e
+ +
+
∫

Cđ

1
0
2 1
1
x
dx
x
−
+
∫

B
( )
2
1
ln
2 ln
e
x
dx
x x
+
∫

2010
D
1
3
2 ln
e

x xdx
x
 
−
 
 
∫

A
( )
2
3 2
0
cos 1 cos
x xdx
π
−
∫

B
( )
3
2
1
3 ln
1
x
dx
x
+

+
∫

2009
D
3
1
1
x
dx
e
−
∫

A
4
6
0
tan
cos2
x
dx
x
π
∫

2008
D
2
3

1
ln
x
dx
x
∫


GV: Nguyễn Chín Em
Trang 10

F. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN.
1. ỨNG DỤNG 1:
Diện tích hình phẳng.
a) Hình
( )
H
được giới hạn bởi:
( )

=


=

=



y f x

x a
x b
Truïc Ox

Diện tích hình
( )
H
( )
( )
b
H
a
S f x dx=
∫

b) Hình
( )
H được giới hạn bởi:
( )
( )

=

=

=


=


y f x
y g x
x a
x b

Diện tích hình
( )
H

( )
( ) ( )
b
H
a
S f x g x dx
= −
∫

2. ỨNG DỤNG 2:
Thể tích vật thể tròn xoay.
a) Hình
( )
H
được giới hạn bởi:
( )

=


=


=



y f x
x a
x b
Truïc Ox

Thể tích vật thể do hình
( )
H
xoay quanh trục Ox :
( )
2
b
Ox
a
V f x dx
π
 
=
 
∫

b) Hình
( )
H
được giới hạn bởi:

( )
( )

=

=


=


=

y f x
y g x
x a
x b


Thể tích vật thể do hình
( )
H
xoay quanh trục Ox :
( ) ( )
2 2
b
Ox
a
V f x g x dx
π

   
= −
   
∫


BÀI TẬP
Bài 1: Tính diện tích của hình
( )
H
được giới hạn
bởi:
1.
3
3 2
y x x
= − +
;
1; 3
x x
= − =
và trục
Ox

2.
2
4
y x
= − −
và

2 4
2
y x x
= −

3.
3
2
y x x
= −
và tiếp tuyến của nó tại điểm có
hoành độ bằng
1−
4.
3
y x x
= −
và
2
y x x
= −

5.
3 2
1 2
; 0; 2
3 3
y x x x x
= − + − = =
và trục

Ox

6.
3 2
2 3
y x x
= −
;
0; 2
x x
= =
và trục
Ox

7.
4 2 2
2 3; 1; 0; 2
y x x y x x x
= − − = + = =

8.
2 1
1
x
y
x
−
=
+
; tiệm cận ngang;

0; 2
x x
= =

9.
3
12 ;
y x x
= −
2
y x
=

10.
3
1
y x
= −
và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành
độ bằng 2−
11.
3
3 2
y x x
= − +
và trục hoành
12.
1
1
y

x
= +
; tiếp tuyến tại
3
2;
2
A
 
 
 
và
5
x
=

13.
3
3 ;
y x x y x
= − =

14.
2 4
; 1
4 4
x x
y y
x
−
= = − +

−

và tr
ụ
c

Ox

15.
( )
3 2
1
; 1
9
y x x y x
= − = −

16.
1
ln ; ;
y x x e x e
−
= = =

và tr
ụ
c

Ox

17.
ln
; ;
x
y x y x x e
x
= + = =

18.
2 ; 4
y x x y
= + =

và tr
ụ
c hoành.
19.
2
2 ; 1; 2
y x x x x
= − = − =

và tr
ụ
c
Ox

20.
3 2
3

y x x
= − −

và tr
ụ
c hoành.
21.
( )
( )
1 ; 1
x
y e x y e x
= + = +

22.
3 1
1
x
y
x
− −
=
−
;
0
x
= và tr
ụ
c
Ox

23.
2 2
2 ; 4
y x x y x x
= − = − +

24.
2 2
4 ;
4
4 2
x x
y y
= − =





GV: Nguyễn Chín Em
Trang 11

25.
3
; 2; 2
y x x x
= = − =
và trục Ox
26.

3 2
;
y x y x
= = −

27.
( )
2
1
; 0
1
x x
y y
x
−
= =
+

28.
2
6
y x x
= − + và trục hoành
29.
2 2
4 ; 3 0
y x x y
= − − + =

30.

; 2
y x y x
= = −
và trục
Ox

Bài 2: Tính thể tích vật thể được giới hạn bởi
hình
( )
H
khi quay quanh trục
Ox
.
1.
3 2
1
; 0; 3
3
y x x x x
= − = =
và trục
Ox

2.
ln ; ; 0
y x x x e y
= = =

3.
; ; 0

x
y xe x e y
= = =

4.
2 2
4 ; 2
y x y x
= − = +

5.
ln ; 2; 0
y x x y
= = =

6.
2
; ; 0; 2
x x
y e y e x x
−
= = = =

7.
sin ; 0;
2
y x x x
π
= = =
và trục

Ox

8.
( )
2
3 10; 2; 0
y x y y x x
= − + = = >

9.
3
3 ; 0; 2;
y x x x x Ox
= − = =

10.
tan ; 0; ;
4
y x x x Ox
π
= = =

11.
2
; 0; 1;
2
y x x Ox
x
= = =
−

12.
2
2 ;
y x x y x
= − =

13.
3 2
3 ; 3
y x x y x
= − = −

14.
2 4 4
; ;
4 4
x x
y y Ox
x
− −
= =
−

15.
2 ; 4;
y x x y Oy
= + =

16.

cos ; 0; ;
y x x x Ox
π
= = =

17.
1 ; 1;
x
y e x Ox
= − =

18.
; 1;
x
y e x x Ox
= =

19.
2
2 ; 1
y x y
= − =

20.
; 2;
y x y x Ox
= = −


ĐÁP SỐ

1.
137
12
2.
2179
160
3.
19
ln 4
2
+
4.
15
2ln 2
4
+

5.
9
6.
π
7.
3 3
ln 3
2 2
+
8.
2
2
9.

1
3
π
− +

10.
2 1e −
11.
( )
2ln 2 3
2
+
12.
( )
2ln 2 7
2
+

13.
( )
1e e −
14.
2 ln 3+
15.
( )
2
2ln 2 e e+ −

16.
17

10
17.
10
18.
2 ln3
ln 3
+
19.
2
4
π
−
20.
5
2ln 2
2
+

21.
2 3ln 2−
22.
11 28
ln 2
8 27
+
23.
11 4 2 5ln 2− + +

24.
3

5
−
25.
2
4
π
−
26.
4
2e
π
−
27.
5
2
28.
1
2(ln2 )
ln 2
+

29.
1
30
30.
( )
2ln 2 ln3−
31.
2 2ln 2
+

32.
1
4

33.
1 5
ln
4 3
34.
3
ln
2
35.
181
6
36.
1
3


37.
1
4
38.
2
2 1e e
e
− + +
39.
2 3

3
40.
1
41.
8
3
42.
1

43.
17
2
44.
2 2
45.
1 4ln 2
ln 2
+
46.
1
47.
3 2
48.
4
π

49.
4
π
50.

3
16
π
51.
3
16
π
52.
1
2
53.
2
1 ln 2
+

54.
2 3ln 2
−
55.
1
8 16
π
+
56.
1
2
π
+
57.
275

12

58.
7
7ln2
2
− +
59.
1
2
2
+
60.
0
61.
11
288
62.
26
3

63.
15
4
64.
68 4
6
15 5
− +
65.

1
ln 2
3
66.
ln18
−

67.
13 1
ln 3
24 2
−
68.
64 5
ln
27 6
−
69.
8
ln 1
3
−

70.
11 7
ln 2 ln 3
5 5
−

71.

15
16
72.
1 3
ln ln 2
2 2
+
73.
1 1
ln 2
2 2
−
74.
1
8
75.
37
4

76.
11
160
77.
2
15
78.
34 3
10ln
3 5
+

79.
3 1
ln
2 12
−
80.
1

81.
2
11 6ln
3
+
82.
4
ln
3
83.
3
ln
2
84.
8 10
2
3 3
− +

85.
1 1 2 1
ln

2 3 3
e+
+
86.
1 5
ln
3 3
87.
4
ln 1
9
+
88.
5
4
89.
3
2
90.
116
135

91.
3
16
π
92.
8
15
93.

8
15
94.
2
3
95.
14
9
96.
45
28
97.
232
135
98.
5
72

99.
2
3
100.
8
27
101.
1 1
ln 2
2 4
−
102.

2
103.
2
104.
1 1
ln 2
2 2
−

105.
10
ln
9
106.
16
ln
9
107.
7
3
108.
2
2 2e e−
109.
32
3
110.
1e −

111.

5
3
112.
1
40
113.
848
105
114.
1e −
115.
141
20
116.
1 1
2 2e
−

GV: Nguyễn Chín Em
Trang 12

117.
8
9
118.
32
9
119.
134
3

120.
10
3
121.
8 7
7
3 3
+
122.
3
1 1
2 2
e e−

123.
2 1
3
3 4
−
124.
2
35
125.
4
15
126.
4
2 3
3
−

127.
4
3
128.
4
ln
3

129.
3
ln
2
130.
11
4ln 2
3
−
131.
3 2
e e−
132.
1 6
ln
2 5
133.
1 ln16+

134.
3 ln 2−
135.

1
ln 2 ln7
3
−
136.
7
24
137.
3
ln 2 ln 3
5
−

138.
3
20 4ln
7
+
140.
13 3
4ln
2 2
+
141.
2
2 3
3
− +
142.
1 3

ln
4 7

143.
1
ln 2
2
144.
2 4ln 2+
145.
1
ln 3
2
146.
3
9 45
2
8 64
−
147.
2
3

148.
5
ln
4
149.
2
3

150.
3
ln
2
151.
9 2
ln
4 3
−
152.
34
27
153.
1 ln 4− +

154.
1
4
e
π
+ −
155.
1
ln 2
2
156.
4 2 3−
157.
1 1
ln 2

2 2
−
158.
44
ln 5
15
−

159.
5
ln
4
160.
1 1
ln 2
2 2
−
161.
4
3
162.
9 2
ln
4 3
−
163.
3
2
e e−

164.
3
ln 2
2
+
165.
116
135
166.
1 cos1−
167.
ln 2 1+
168.
2
ln 2
3

169.
e e−
170.
1
2
171.
ln 2−
172.
15
64
173.
1
72

−
1 74.
ln 2
175.
15
4
−

176.
3
ln 2 ln 3
4
− +
177.
1
6
178.
45
4
179.
2
180.
1 2
2
3 3
− +

181.
1 1
2 2e

−
182.
ln 3
183.
1 1
2 2
e −
184.
1
24
185.
13
24
186.
2 3ln 2−

187.
1209
28
188.
506
15
−
189.
ln 2
190.
13
3
191.
3

18
π
192.
1
2 4
π
+

193.
1
8 4
π
−
194.
3
9
π
195.
4
π
196.
6
π
197.
2 3
9
π
198.
1
8 4

π
−

199.
3 2
4 3
π
+
200.
2
1 1
4 4
e+
201.
1
ln 2
2
− +
202.
2
3 1
4 4
e+
203.
3
2

204.
2 3ln 3− +
205.

1
2
π
−
206.
1
207.
3
1 2
9 9
e+
208.
2
2
π
−
209.
5
9

210.
4
π
211.
3
8 2
9 9
e−
212.
8 18ln 3− +

213.
3 1
ln 3 4ln 2
2 2
− − +

214.
15 1
ln 2
256 64
−
215.
2
1
4 16
π
− +
216.
3
1 ln 2
3
π
+ −
217.
1
4 8
π
− +

218.

3
3ln 2 ln 3
2
−
219.
1
ln 2
2
− +
220.
2
5 3
4 4
e−
221.
0

222.
14 24ln 3− +
223.
4 2 e−
224.
2
11 3
4 4
e+
225.
2
1 3
4

4
e
−

226.
3
4 8
9 9
e+
227.
4
228.
1
ln 2
2
− +
229.
3 8ln 2
4ln 2
− +
230.
2
1
1
2
e− +

231.
3 3
ln 3

12 4
π
− +
232.
1 17 1
ln 2 ln 3
12 18 2
− + −
233.
2
1 1
2 2
e
π
− +

234.
4 2 1
ln 3 ln 5
5 5 2
+ −
235 .
2
5 3
4 4
e−
236.e 237.
1
238.
2

π
−

239.
3
π
−
240.
2
3 1
2 2
e+
241.
6
3 15
4 4
e− +
242.
3 e−
243.
1
ln 2
2
−

244.
2
245.
3
4

246.
2
3 1
2 2
e−
247.
15
2ln 2
4
+
248.
1 1
2 2
e
π
+

249.
1 1
4 4
e
e
+
250.
2
3
e
+
251.
1

4
252.
2−
253.
1
254.
7
8ln 2
2
− +

255.
2
2
e 256.
2−
257.
2
1
1 ln 2
2
+
258.
2
3 1
4 4
e e− + +

259.
( )

3
ln 2 ln 1
2
e− + +
260.
2
ln 2
e
+
261.
3
2
3
π
− +
262.
2
14
2 2
3
e e− +

263.
1 2 1
2
4 8 2
π
− +
264.
1 ln 2−

265.
2
5 1
4 4
e+
266.
2
5
e
+
267.
3 1
2 e
−

268.
2
1 2
e
+
269.
3
3 2
2
−
270.
( )
1 ln 1e− +
271.
12

5
272.
1
2
273.
4
3

274.
2
5 4
π
− +
275.
( )
2 ln 1e+ +
276.
2 2
3
277.
1
2 2
π
−

278.
2
ln 1
2 2 4
π π

 
 
+ −
 
 
 
 
 
279.
4
27
280.
2 4
1 1
ln 2
2 2
e e− + +
281.
10
3

282.
3
4ln 2
2ln 3
−
283.
2016
ln 2
2015 2

π
+ −
284.
1 2ln 2−
285.
1 1
ln 3
2 2
+

286.
( )
2
1 ln 3 2 2
2 2
π
− + + +
287.
( )
1 ln 1e+ +
288.
2e

289.
4 1 2
2 ln 2
3 4 2 3
π
+ + −
290.

1
ln 2
4 4
π
−
291.
58
3
292.
1 5
ln
4 3

293.
2
1 1
5 5
e
π
− +
294.
3
ln
2
295.
7 4
ln
3 5
+
296.

3
4ln 2
2
− +

297.
173
16ln 2
20
+
298.
4
27
299.
3 2ln 2−
300.
118
405 4
π
+