Tài liệu hệ phương trình -thầy nguyễn sĩ tùng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (876.96 KB, 69 trang )
TRAÀN SÓ TUØNG
›š & ›š
TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG
Naêm 2012
Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 1
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
axbyc
abab
axbyc
2222
111
1122
222
(0,0)
ì
+=
+¹+¹
í
+=
î
Giải và biện luận:
– Tính các định thức:
ab
D
ab
11
22
=
,
x
cb
D
cb
11
22
=
,
y
ac
D
ac
11
22
=
.
Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:
phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các
phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các
phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
xy
543
798
ì
-=
í
-=
î
b)
xy
xy
211
548
ì
+=
í
-=
î
c)
xy
xy
31
625
ì
-=
í
-=
î
d)
(
)
( )
xy
xy
2121
22122
ì
ï
++=-
í
=
ï
î
e)
xy
xy
32
16
43
53
11
25
ì
+=
ï
í
ï
-=
î
f)
xy
y
31
5x23
ì
ï
-=
í
+=
ï
î
ĐS:
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
xy
18
18
54
51
ì
-=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
b)
xy
xy
65
3
910
1
ì
+=
ï
ï
í
ï
-=
ï
î
c)
xy
xy
101
1
12
253
2
12
ì
+=
ï
ï
-+
í
ï
+=
ï-+
î
d)
xyxy
xyxy
2732
7
23
4548
1
23
ì
+=
ï
ï
-+
í
ï
-=-
ï-+
î
e)
xyxy
xyxy
62
3
22
34
1
22
ì
+=
ï
ï
-+
í
ï
+=-
-+
ï
î
f)
xy
xy
41
3
1
22
4
1
ì
+=
ï
ï
-
í
ï
-=
-
ï
î
ĐS: a) b) c) d) e)
387
;
70140
æö
-
ç÷
èø
f)
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
yx
xy
yx
632
5
11
424
2
11
ì
-
-=
ï
ï
-+
í
-
ï
-=
-+
ï
î
b)
xx
yy
xx
yy
36
1
12
23
7
12
ì
-
-=
ï
ï
+-
í
-
ï
+=
+-
ï
î
c)
xy
xy
xy
xy
237
5
23
131
5
23
ì
-+
+=
ï
ï
-+
í
++
ï
+=
-+
ï
î
I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
Xét D Kết quả
D
¹
0
Hệ có nghiệm duy nhất
y
x
D
D
xy
DD
;
æö
==
ç÷
èø
D
x
¹
0 hoặc D
y
¹
0
Hệ vô nghiệm
D = 0
D
x
= D
y
= 0 Hệ có vô số nghiệm
Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 2
d)
xy
xy
xy
xy
11
3()26
11
3()24
ì
æö
++-=
ï
ç÷
ï
èø
í
æö
ï
-++=
ç÷
ï
èø
î
e)
xy
xy
xy
yx
3()
7
55
3
ì
+
=-
ï
ï
-
í
-
ï
=
-
ï
î
f)
ĐS: a)
1
0;
2
æö
ç÷
èø
b)
57
;
84
æö
ç÷
èø
c) d)
( )
2222
1;1,1;,;1,;
3333
æöæöæö
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxy
xxy
2
2
2213
214
ì
ï
+ =
í
++-=
ï
î
b)
xy
xy
2
2
31
2715
ì
ï
+=
í
-=
ï
î
c)
x
y
x
y
2
2
5
2(4)2
2
44
ì
-+=
ï
ï
í
ï
-+=
ï
î
ĐS: a)
(1;2),(2;2)
-
b)
(
)
2;1
±-
c)
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
xy
10
21
ì
-+=
í
-=
î
b)
xy
xy
121
13
ì
-+-=
í
-+=
î
c)
xy
xy
22
231
ì
+=
í
-=
î
d)
xy
xy
26315
56411
ì
-++=
í
+=
î
e)
xyxy
xyxy
29
3217
ì
+ =
í
++-=
î
f)
xyxy
xyxy
438
356
ì
++-=
í
+ =
î
ĐS:
Bài 6. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
mxmym
xmy
(1)1
22
ì
+-=+
í
+=
î
b)
mxmy
mxmy
(2)5
(2)(1)2
ì
+-=
í
+++=
î
c)
mxym
mxym
(1)231
(2)1
ì
-+=-
í
+-=-
î
Bài 7. Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận. ii) Tìm m Î Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
a)
mxym
mxymm
22
(1)21
2
ì
+-=-
í
-=+
î
b)
mxy
xmym
1
4(1)4
ì
-=
í
++=
î
c)
mxy
xmym
33
210
ì
+-=
í
+-+=
î
Bài 8. Trong các hệ phương trình sau hãy:
i) Giải và biện luận.
ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m.
a)
mxym
xmym
21
225
ì
+=+
í
+=+
î
b)
mxmy
mxmy
6(2)3
(1)2
ì
+-=
í
=
î
c)
mxmym
xmy
(1)1
22
ì
+-=+
í
+=
î
Bài 9. Trong các hệ phương trình sau:
i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức giữa x, y độc lập với m.
a)
xy
yxm
25
2105
ì
+=
í
-=+
î
b)
mxym
xmym
3
21
ì
+=
í
+=+
î
c)
xym
xym
24
233
ì
-=-
í
+=+
î
Bài 10. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
axyb
xy
325
ì
+=
í
+=-
î
b)
yaxb
xy
234
ì
-=
í
-=
î
c)
axyab
xya2
ì
+=+
í
+=
î
Bài 11. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xyz
xyz
xyz
31
225
230
ì
+-=
ï
-+=
í
ï
=
î
b)
xyz
xyz
xyz
328
26
36
ì
++=
ï
++=
í
ï
++=
î
c)
xyz
xyz
xyz
327
2438
35
ì
-+=-
ï
-++=
í
ï
+-=
î
ĐS:
Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 3
1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai
· Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
· Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
· Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.
2. Hệ đối xứng loại 1
Hệ có dạng: (I)
fxy
gxy
(,)0
(,)0
ì
=
í
=
î
(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).
(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
· Đặt S = x + y, P = xy.
· Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.
· Giải hệ (II) ta tìm được S và P.
· Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: XSXP
2
0
-+=
.
3. Hệ đối xứng loại 2
Hệ có dạng: (I)
fxy
fyx
(,)0(1)
(,)0(2)
ì
=
í
=
î
(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
· Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
(I) Û
fxyfyx
fxy
(,)(,)0(3)
(,)0(1)
ì
-=
í
=
î
· Biến đổi (3) về phương trình tích:
(3) Û
xygxy
().(,)0
-=
Û
xy
gxy
(,)0
é
=
ê
=
ë
.
· Như vậy: (I) Û
fxy
xy
fxy
gxy
(,)0
(,)0
(,)0
é
ì
=
í
ê
=
î
ê
ì
=
ê
í
ê
=
î
ë
.
· Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).
Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm
xy
00
(;)
thì
yx
00
(;)
cũng là nghiệm của hệ. Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì
xy
00
=
.
4. Hệ đẳng cấp bậc hai
Hệ có dạng: (I)
axbxycyd
axbxycyd
22
1111
22
2222
ì
++=
ï
í
++=
ï
î
.
· Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).
· Khi x
¹
0, đặt
ykx
=
. Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương
trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y).
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 4
VẤN ĐỀ 1: Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
xy
22
48
24
ì
+=
í
+=
î
b)
xxy
xy
2
24
231
ì
-=
í
-=
î
c)
xy
xy
2
()49
3484
ì
-=
í
+=
î
d)
xxyyxy
xy
22
26
23
ì
++ =
í
-=
î
e)
xy
xyxy
3410
3()9
ì
-+=
í
=+-
î
f)
xy
xyxy
232
60
ì
+=
í
+++=
î
g)
yxx
xy
2
4
250
ì
+=
í
+-=
î
h)
xy
xyy
22
235
324
ì
+=
í
-+=
î
i)
xy
xxyy
22
25
7
ì
-=
í
++=
î
ĐS:
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
yxxy
22
270
2240
ì
=
í
-+++=
î
b)
xy
xxyxy
2
496
3630
ì
+=
í
+-+=
î
c)
xxy
xxy
2
2
210
122100
ì
ï
+++=
í
+++=
ï
î
d)
xyxy
xyyx
2
(21)(22)0
310
ì
++++=
í
+++=
î
e)
xyxy
xy
(232)(53)0
31
ì
+ =
í
-=
î
f)
xy
xy
22
115
2312
ì
+=
í
+=
î
ĐS:
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyyyy
xy
22
237121
10
ì
-+=+-
í
-+=
î
b)
xyxy
xy
22
620
80
ì
+++=
í
++=
î
c)
xyxyxy
xy
22
94642401350
3290
ì
+++-+=
í
-+=
î
d)
xxyx
xy
2
10
25
ì
++=
í
-=-
î
d)
xyxyxy
xy
22
79125350
231
ì
+-+++=
í
-=
î
e)
xxyyxy
xy
22
32360
23
ì
-+++-=
í
-=
î
ĐS:
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xyxy
xy
xy
3
2
12
4
ì
+-
-=
ï
í
-
ï
-=
î
b)
xy
xy
22
111
323
111
4
94
ì
-=
ï
ï
í
ï
-=
ï
î
c)
xy
xy
22
111
13
111
4
(1)
ì
+=
ï
+
ï
í
ï
-=
ï
+
î
d)
xyxy
xy
22
()4()1170
25
ì
+++-=
í
-=
î
e)
xy
xy
33
1
7
ì
-=
í
-=
î
f)
xyxy
xy
22
()()45
5
ì
=
í
+=
î
ĐS:
Bài 5. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
xy
xym
22
6
ì
+=
í
+=
î
b)
xym
xyx
22
22
ì
+=
í
-+=
î
c)
xy
xym
22
321
ì
-=
í
+=
î
ĐS:
Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 5
VẤN ĐỀ 2: Hệ đối xứng loại 1
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xyxyxy
22
11
2()3
ì
++=
í
+ +=-
î
b)
xy
xxyy
22
4
13
ì
+=
í
++=
î
c)
xyxy
xyxy
22
5
8
ì
++=
í
+++=
î
d)
xy
yx
xy
13
6
6
ì
+=
ï
í
ï
+=
î
e)
xxyy
xyxy
3333
17
5
ì
++=
í
++=
î
f)
xxyy
xxyy
4224
22
481
37
ì
ï
++=
í
++=
ï
î
ĐS: a)
(2;3),(3;2)
b)
(1;3),(3;1)
c)
(1;2),(2;1)
d)
128812
;,;
5555
æöæö
ç÷ç÷
èøèø
e)
(1;2),(2;1)
f)
(4;3),(3;4),(4;3),(3;4)
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xyyx
22
1
6
ì
++=-
í
+=-
î
b)
xy
xxyy
22
4224
5
13
ì
ï
+=
í
-+=
ï
î
c)
xyyx
xy
22
33
30
35
ì
ï
+=
í
+=
ï
î
d)
xy
xyxy
33
5522
1
ì
ï
+=
í
+=+
ï
î
e)
xyxy
xyxy
22
4422
7
21
ì
ï
++=
í
++=
ï
î
f)
xyxy
xyxy
22
11
3()28
ì
++=
í
+++=
î
ĐS: a) b) c)
(2;3),(3;2)
d) e) f)
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xxyy
22
4
2
ì
++=
í
++=
î
b)
xxyy
xyxy
22
5
13
ì
+-=
í
++=
î
c)
xxyy
xxyy
22
19
7
ì
-+=
í
++=-
î
d)
xyxy
xyxy
22
11
3()28
ì
++=
í
+++=
î
e)
xxyy
xxyy
22
3
223
ì
++=
í
++=-
î
f)
xyxy
xyxy
22
5
7
ì
++=
í
++=
î
ĐS: a)
(1;1)
b) c)
d) e) f)
(1;2),(2;1)
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xxyy
22
4224
7
21
ì
ï
++=
í
++=
ï
î
b)
xy
xxyy
22
4224
5
13
ì
ï
+=
í
-+=
ï
î
c)
xy
xyxy
44
22
17
3
ì
ï
+=
í
++=
ï
î
d)
xy
xyxy
33
7
()2
ì
+=
í
+=-
î
e)
xy
xyxy
33
19
()(8)2
ì
+=
í
++=
î
f)
xy
xyxy
55
9944
1
ì
ï
+=
í
+=+
ï
î
ĐS: a) b) c)
d) e) f)
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xxyy
22
18
(1).(1)72
ì
+++=
í
++=
î
b)
xxxy
xxy
2
(2)(2)9
46
ì
++=
í
++=
î
c)
xy
xy
22
1
1
2
ì
+=
ï
í
+=
ï
î
d)
x
xy
y
xyx
y
3
()
2
ì
-+=
ï
ï
í
-
ï
=
ï
î
e)
x
xy
y
xyx
y
9
()
20
ì
++=
ï
ï
í
+
ï
=
ï
î
f)
xyxy
xy
xy
11
66
11
ì
++=
ï
í
++=
ï
î
ĐS: a)
(3;3),(3;3),(2;3),(3,2),(4;3),(3;4),(2;4
),(4;2)
b)
c) d) e) f)
(2;3),(3;2)
Bài 6. Giải các hệ phương trình sau:
Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 6
a)
xy
xy
xy
xy
22
22
1
()15
1
()149
ì
æö
++=
ï
ç÷
ï
èø
í
æö
ï
++=
ç÷
ï
èø
î
b)
( )
yxxy
xy
xy
22
22
22
(1)2(1)
1
124
ì
+=+
ï
æö
í
++=
ç÷
ï
ç÷
èø
î
c)
xy
xy
xy
xy
22
22
11
4
11
4
ì
+++=
ï
ï
í
ï
+++=
ï
î
d)
xy
xy
xy
xy
22
2
3
11
1
()(1)6
ì
+=
ï
ï
++
í
ï
++=
ï
î
e)
xyyxyxxy
yx
xy
xyxy
22
226
1
4
ì
+++=
ï
í
+++=
ï
î
f)
xy
xy
xy
xy
1
4
1
()15
ì
+=
ï
ï
í
æö
ï
++=
ç÷
ï
èø
î
ĐS: a)
735735
;1,1;
22
æöæö
±±
ç÷ç÷
èøèø
b) c)
(1;1)
d) e) f)
Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xyxy
xyxy
22
2244
3()5
7()155
ì
ï
-+=
í
-+=
ï
î
b)
xyyx
xxyy
30
35
ì
ï
+=
í
+=
ï
î
c)
xy
xyxy
4
4
ì
ï+=
í
+-=
ï
î
d)
xy
xy
xy
xy
22
22
11
()5
11
()49
ì
æö
++=
ï
ç÷
ï
èø
í
æö
ï
++=
ç÷
ï
èø
î
e)
xy
yx
xy
xxyyxy
7
1
78
ì
+=+
ï
í
ï
+=
î
f)
xy
xyyxxy
113
11116
ì
ï+++=
í
+++++++=
ï
î
ĐS: a) b)
(4;9),(9;4)
c)
d) e) f)
Bài 8. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
xyxym
xym
22
32
ì
++=
í
+=-
î
b)
xym
xyxymm
222
1
23
ì
+=+
í
+=
î
c)
xym
xyxym
(1)(1)5
()4
ì
++=+
í
+=
î
Trần Sĩ Tùng Hệ phương trình nhiều ẩn
Trang 7
VẤN ĐỀ 3: Hệ đối xứng loại 2
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxy
yyx
2
2
32
32
ì
ï
=+
í
=+
ï
î
b)
xyxy
yxyx
22
22
22
22
ì
ï
-=+
í
-=+
ï
î
c)
xyy
yxx
22
22
254
254
ì
ï
-=+
í
-=+
ï
î
d)
xyxy
xyyx
2
2
8(1)
8(1)
ì
ï
+=-
í
+=-
ï
î
e)
xxy
yyx
3
3
38
38
ì
ï
=+
í
=+
ï
î
f)
xxy
yyx
3
3
2
2
ì
ï
=+
í
=+
ï
î
ĐS: a) b) c)
d) e) f)
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxy
yyx
22
22
232
232
ì
ï
-=-
í
-=-
ï
î
b)
xxy
yyx
2
2
24
24
ì
ï
=++
í
=++
ï
î
c)
xyy
yxx
2
2
245
245
ì
ï
=-+
í
=-+
ï
î
d)
xyxy
xyyx
2
2
1
1
ì
ï
+=-
í
+=-
ï
î
e)
xxy
yyx
3
3
2
2
ì
ï
+=
í
+=
ï
î
f)
xxy
yyx
3
3
3
4
2
3
4
2
ì
+=+
ï
í
ï
+=+
î
ĐS: a) b) c)
d) e)
(0;0)
f)
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)
y
xy
x
x
yx
y
34
34
ì
-=
ï
ï
í
ï
-=
ï
î
b)
xy
x
yx
y
2
2
3
2
3
2
ì
+=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
c)
x
x
y
y
y
x
2
2
2
2
2
3
2
3
ì
+
=
ï
ï
í
+
ï
=
ï
î
d)
xy
y
yx
x
2
2
1
2
1
2
ì
=+
ï
ï
í
ï
=+
ï
î
e)
x
yx
y
xy
13
2
13
2
ì
+=
ï
ï
í
ï
+=
ï
î
f)
ĐS: a) b) c)
(1;1)
d) e)
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
yx
2344
2344
ì
ï
++-=
í
++-=
ï
î
b)
xy
yx
174
174
ì
ï
++-=
í
++-=
ï
î
c)
xy
xy
22
22
ì
ï+-=
í
-+=
ï
î
d)
xy
yx
623
623
ì
ï+-=
í
+-=
ï
î
e)
xy
xy
527
257
ì
ï
++-=
í
-++=
ï
î
f)
22
22
912
912
ì
+=-+
ï
í
+=-+
ï
î
xyy
yxx
ĐS: a)
1111
(3;3),;
99
æö
ç÷
èø
b)
(8;8)
c)
d) e) f)
(3;3)
Bài 5. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
xxmy
yymx
2
2
3
3
ì
ï
=+
í
=+
ï
î
b)
xymm
yxmm
22
22
(34)(34)
(34)(34)
ì
ï
-=-
í
-=-
ï
î
c)
xyxmy
xyymx
2
2
(1)
(1)
ì
ï
+=-
í
+=-
ï
î
Bài 6. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 8
a)
xymy
xymx
22
22
ì
ï
+=
í
+=
ï
î
b)
xyxmy
xyymx
2
2
(1)
(1)
ì
ï
+=-
í
+=-
ï
î
c)
m
xy
y
m
yx
x
2
2
2
2
2
2
ì
=+
ï
ï
í
ï
=+
ï
î
VẤN ĐỀ 4: Hệ đẳng cấp bậc hai
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xxyy
22
22
31
3313
ì
ï
-+=-
í
-+=
ï
î
b)
xxyy
xxyy
22
22
241
3227
ì
ï
-+=-
í
++=
ï
î
c)
yxy
xxyy
2
22
34
41
ì
ï
-=
í
-+=
ï
î
d)
xxyy
xxyy
22
22
35438
59315
ì
ï
+-=
í
=
ï
î
e)
xxyy
xxyy
22
22
239
455
ì
ï
-+=
í
-+=
ï
î
f)
xxyy
xxyy
22
22
3840
5760
ì
ï
-+=
í
=
ï
î
ĐS: a) b) c)
d) e) f)
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xxyy
xxyy
22
22
3211
2317
ì
ï
++=
í
++=
ï
î
b)
xxyy
xxyy
22
22
35537
59315
ì
ï
+-=
í
=
ï
î
c)
xxyy
xxyy
22
22
421
24
ì
ï
-+=
í
-+=
ï
î
d)
xxyy
xxyy
22
22
31
228
ì
ï
-+=-
í
++=
ï
î
e)
xxyy
xxyy
22
22
232
24
ì
ï
+-=-
í
-+=
ï
î
f)
xxyy
yxyx
22
22
3543
911813
ì
ï
=-
í
+-=
ï
î
ĐS: a) b) c)
d) e) f)
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy
xyxy
33
7
()2
ì
-=
í
-=
î
b)
yx
xyxy
33
22
7
2316
ì
ï
-=
í
+=
ï
î
c)
xy
xyxyy
33
223
1
22
ì
ï
+=
í
++=
ï
î
d)
xxyy
xxyy
323
323
1
22
ì
ï
-+=
í
-+=
ï
î
e)
xxyxyy
yxyxy
3223
322
36
322
ì
ï
+++=
í
+-=
ï
î
f)
xyxy
xyxy
22
22
()()13
()()25
ì
ï
-+=
í
+-=
ï
î
ĐS: a) b) c)
d) e) f)
Bài 4. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
a)
xmxyym
xmxymym
22
22
(1)
ì
ï
++=
í
+-+=
ï
î
b)
xyy
xxym
2
2
12
26
ì
ï
-=
í
-=+
ï
î
c)
xxyym
yxy
22
2
4
34
ì
ï
-+=
í
-=
ï
î
Trn S Tựng H phng trỡnh nhiu n
Trang 9
Vn 1: Phng phỏp th
T phng trỡnh n gin nht ca h hoc t phng trỡnh tớch tỡm cỏch rỳt mt n theo
n kia, ri th vo phng trỡnh cũn li. Gii phng trỡnh ny. S nghim ca h tu
thuc s nghim ca phng trỡnh ny.
Mt s dng thng gp:
ã
Dng 1: Trong h cú mt phng trỡnh bc nht vi n x (hoc y).
ã
Dng 2: Trong h cú mt phng trỡnh cú th a v dng tớch ca cỏc biu thc bc
nht hai n.
ã
Dng 3: Trong h cú mt phng trỡnh cú th a v dng phng trỡnh bc hai ca
mt n vi n cũn li l tham s.
Chỳ ý: ụi khi cú th ta phi kt hp bin i c 2 phng trỡnh ca h a v mt
trong cỏc dng trờn.
Bi 1. Gii h phng trỡnh sau:
ỡ
ù
++=
ớ
+++=
ù
ợ
xxy
xxyxyx
2
322
59
32618
ã
HPT
yxx
xxxx+
2
432
95
4518180
ỡ
ù
=
ớ
+ =
ù
ợ
yxx
x
x
x
2
95
1
3
17
ỡ
=
ù
ù
ộ
=
ớ
ờ
=-
ù
ờ
ù
=-
ở
ợ
xy
xy
xy
xy
1;3
3;15
17;637
17;637
ộ
==
ờ
=-=
ờ
= =+
ờ
ờ
=-+=-
ở
Bi tng t:
a)
xyxyxy
yxx
22
2
2349
7629
ỡ
ù
+=+
ớ
+=+
ù
ợ
. Nghim
16119333
2;,;,;3
7274
ổử
ổửổử
-
ỗữ
ỗữỗữ
ốứ
ốứốứ
.
Bi 2. Gii h phng trỡnh sau:
xyxy
xxy
22
3
1
2
ỡ
ù
+-=
ớ
=+
ù
ợ
ã
HPT
xxx
yxx
642
3
46310
2
ỡ
ù
-+-=
ớ
=-
ù
ợ
x
y
1
1
ỡ
=
ớ
=
ợ
.
Nghim:
(1;1),(1;1)
.
Bi 3. Gii h phng trỡnh sau:
xxyxyx
xxyx
4322
2
229(1)
266(2)
ỡ
ù
++=+
ớ
+=+
ù
ợ
ã
T (2), rỳt
xx
xy
2
66
2
+-
= . Thay vo (1) ta c: xx
3
(4)0
+=
x
x
0
4
ộ
=
ờ
=-
ở
Nghim:
17
4;
4
ổử
-
ỗữ
ốứ
.
III. H PHNG TRèNH DNG KHC
H phng trỡnh nhiu n Trn S Tựng
Trang 10
Bi 4. Gii h phng trỡnh sau:
xxyy
yxy
22
2
311(1)
25(2)
ỡ
ù
-+=
ớ
-=
ù
ợ
ã
D thy
y
0
ạ
. T (2), rỳt
y
x
y
2
5
2
-
= .
Thay vo (1) ta c:
yy
yy
yy
2
22
2
55
311
22
ổử
-+=
ỗữ
ốứ
yy
42
24250
+-=
y
1
=
Nghim:
(2;1),(2;1)
.
Bi 5. Gii h phng trỡnh sau:
xyyxy
xyxy
2
2
1()4(1)
(1)(2)(2)
ỡ
ù
+++=
ớ
++-=
ù
ợ
ã
D thy y
ạ
0. HPT
ị
[
]
yyyxyxy
4()(2)
-++-=
[ ]
yx
2
(3)0
=
yx
3
=-
Nghim:
(1;2), (2;5)
-
.
Bi 6. Gii h phng trỡnh sau:
xxy
xyxy
22
22
210(1)
320(2)
ỡ
ù
++-=
ớ
+-+-=
ù
ợ
ã
(1)
xy
22
(1)
+=
yx
yx
1
1
ộ
=+
ờ
=
ở
Nghim:
Bi 7. Gii h phng trỡnh sau:
xxyy
xxyxy
22
2
430(1)
213(2)
ỡ
ù
++=
ớ
++=-
ù
ợ
ã
(1)
xyxy
()(3)0
++=
xy
xy
3
ộ
=-
ờ
=-
ở
Nghim:
(3;1)
-
.
Bi 8. Gii h phng trỡnh sau:
xxyyxy
xy
22
22
2423320(1)
33250(2)
ỡ
ù
++++-=
ớ
-+=
ù
ợ
ã
(1) xyxy
2
2()3()20
+++-=
xy
xy
2
1
2
ộ
+=-
ờ
+=
ờ
ở
Nghim:
Bi 9. Gii h phng trỡnh sau:
xxyx
xxyy
323
2
331(1)
5(2)
ỡ
ù
+=
ớ
++=
ù
ợ
ã
(1)
xxxy
323
331
+++=
xy
33
(1)
+=
yx
1
=+
Nghim:
(1;2),(2;1)
.
Bi 10. Gii h phng trỡnh sau:
xxy
xy
x
xy
2
241
5(1)
2
3(2)
2
ỡ
++
=-
ù
ù
+
ớ
ù
=-
ù
+
ợ
ã
(1)
x
xy
1
25
2
+=-
+
. Thay vo (2) ta c: xx
2
2530
+-=
xy
xy
3(2)
11
()
23
ộ
=-=
ờ
==-
ờ
ở
Trn S Tựng H phng trỡnh nhiu n
Trang 11
Nghim:
11
(3;2),;
23
ổử
ỗữ
ốứ
.
Bi 11. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xxy
22
32
2()1(1)
261(2)
ỡ
ù
+=
ớ
+=
ù
ợ
ã
HPT
ị
xxyxy
222
2()41
++=
xxy
2
41
+=
xyx
2
1
(1)
4
=-
(*)
Thay vo (2) ta c: xx
3
4310
-+=
x
x
1
1
2
ộ
=-
ờ
=
ờ
ở
.
Nghim:
Bi 12. Gii h phng trỡnh sau:
xxyxy
xxyxy
2
2
24220(1)
3630(2)
ỡ
ù
+ +=
ớ
+-+=
ù
ợ
ã
Ly
(2)(1)
-
ta c: xyxy
2
(21)420
+++-=
x
xy
2
1
ộ
=-
ờ
=-
ở
Nghim:
Bi 13. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xyxyx
22
222
(1)2
31
ỡ
ù
+=
ớ
+=-
ù
ợ
ã
HPT
xxy
xyxyx
222
222
2(1)
31(2)
ỡ
ù
+=
ớ
+=-
ù
ợ
.
Ly
(1)(2)
-
ta c:
xxyx
22
33
-=-
xyx
2
43
=-
.
Thay vo (1) ta c: xx
42
162370
-+=
x
x
2
2
1
7
16
ộ
=
ờ
ờ
=
ở
.
Nghim:
Bi 14. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xy
yx
xy
22
22
11
2()(1)
2
11
(2)
2
ỡ
+=+
ù
ù
ớ
ù
-=-
ù
ợ
ã
Ly
(1)(2)
ta c:
xy
x
xy
y
22
22
2
3
1
3
ỡ
=+
ù
ù
ớ
ù
=+
ù
ợ
xxy
yxy
32
32
32(3)
31(4)
ỡ
ù
+=
ớ
+=
ù
ợ
Ly
(3)4
ta c:
xy
xy
3
3
()3
()1
ỡ
ù
+=
ớ
-=
ù
ợ
xy
xy
3
3
1
ỡ
+=
ớ
-=
ợ
Nghim:
33
3131
;
22
ổử
+-
ỗữ
ốứ
.
Bi 15. Gii h phng trỡnh sau:
xyxy
xyx
22
2
46(1)
2837(2)
ỡ
ù
++=
ớ
+=+
ù
ợ
ã
Ly
(1)(2)
+
ta c: xyxyy
22
3(47)320
+-+-+=
xy
y
x
2
1
3
ộ
=-
ờ
-
=
ờ
ở
.
H phng trỡnh nhiu n Trn S Tựng
Trang 12
Nghim:
Bi 16. Gii h phng trỡnh sau:
xxyy
xxyxy
22
2
3(1)
27590(2)
ỡ
ù
++=
ớ
+ +=
ù
ợ
ã
Ly
(1)(2)
+
ta c:
xyxy
(23)(2)0
+-+-=
yx
yx
32
2
ộ
=-
ờ
=-
ở
Nghim:
(1;1),(2;1)
-
.
Bi 17. Gii h phng trỡnh sau:
xyx
yxy
43
43
1
233(1)
4
1
233(2)
4
ỡ
+-=-+
ù
ớ
ù
+-=
ợ
ã
Ly
(1)(2)
+
ta c: xxxyyy
4343
1
22
2
+-++-=-
xxxxyyyy
222222
11
()()()()0
44
+-++++-++=
xxyy
22
22
11
0
22
ổửổử
+-++-=
ỗữỗữ
ốứốứ
x
y
13
2
13
2
ỡ
=
ù
ù
ớ
-+
ù
=
ù
ợ
Nghim:
1313
;
22
ổử
+
ỗữ
ốứ
.
Bi 18. Gii h phng trỡnh sau:
xxyz
yyzx
zxzy
22
22
22
44120(1)
4120(2)
16840(3)
ỡ
-++=
ù
ớ
-+-=
ù
-+=
ợ
ã
Ly
(1)(2)(3)
++
ta c: xyzxyz
222
(2)(4)(2)0
-+-+-=
xy
xz
yz
2
4
2
ỡ
=
ù
=
ớ
ù
=
ợ
Thay vo HPT ta c: z
2
1
=
ị
z
1
=
.
Nghim:
(4;2;1),(4;2;1)
.
Bi 19. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xyxy
33
22
35(1)
2349(2)
ỡ
ù
-=
ớ
+=-
ù
ợ
ã
Ly
(1)3(2)
-
, ta c
xy
33
(2)(3)
-=+
ị
xy
5
=+
.
Nghim:
(3;2),(2;3)
.
Bi 20. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xyxy
33
22
9(1)
24(2)
ỡ
ù
+=
ớ
+=+
ù
ợ
ã
Ly
(1)3(2)
-
, ta c
xy
33
(1)(2)
-=-
ị
xy
3
=-
.
Nghim:
(2;1),(1;2)
.
Bi 21. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xyxy
33
22
91(1)
43169(2)
ỡ
ù
+=
ớ
+=+
ù
ợ
ã
Ly
(1)3(2)
-
, ta c
xy
33
(4)(3)
-=-
ị
xy
7
=-
.
Nghim:
(3;4),(4;3)
.
Trn S Tựng H phng trỡnh nhiu n
Trang 13
Bi 22. Gii h phng trỡnh sau:
xyxy
xyxy
22
3216(1)
2433(2)
ỡ
=
ớ
+ =
ợ
ã
Ly
2(1)(2)
+
, ta c xyxy
2
()8()650
+-+-=
xyxy
(5)(13)0
+++-=
xy
xy
50
130
ộ
++=
ờ
+-=
ở
Nghim:
Bi 23. Gii h phng trỡnh sau:
xyxy
xyxy
22
2346(1)
44123(2)
ỡ
++=-
ớ
+++=
ợ
ã
Ly
2(1)(2)
+
, ta c xyxy
2
(2)10(2)90
++++=
xy
xy
21
29
ộ
+=-
ờ
+=-
ở
Nghim:
Bi 24. Gii h phng trỡnh sau:
xxyyy
xxyyxy
22
22
340(1)
2211620(2)
ỡ
ù
+-++=
ớ
+-++-=
ù
ợ
ã
Ly
2(1)(2)
-
, ta c xx
2
11100
-+=
x
x
1
10
ộ
=
ờ
=
ở
Nghim:
Bi 25. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xxyx
22
2
1
(1)
5
57
43(31)(2)
25
ỡ
+=
ù
ớ
ù
+-=-+
ợ
ã
Ly
(1)25(2)50
+
, ta c xyxy
2
25(3)50(3)1190
+++-=
xy
xy
7
3
5
17
3
5
ộ
+=
ờ
ờ
ờ
+=-
ở
Nghim:
21112
;,;
552525
ổửổử
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Bi 26. Gii h phng trỡnh sau:
xxy
xxyyyx
32
22
349(1)
8817(2)
ỡ
ù
+=-
ớ
-+=-
ù
ợ
ã
Ly
(1)3(2)
+
ta c: xxy
22
(1)(1)3(4)0
ộự
+++-=
ởỷ
x
xy
1
1,4
ộ
=-
ờ
=-=
ở
Nghim:
(1;4),(1;4)
.
Bi 27. Gii h phng trỡnh sau:
xyy
xyxyxy
23
22
62350(1)
5525130(2)
ỡ
ù
++=
ớ
++++=
ù
ợ
ã
Ly
(1)3(2)
+
ta c: yxy
22
15
(25)30
22
ộự
ổửổử
ờỳ
++++=
ỗữỗữ
ờỳ
ốứốứ
ởỷ
y
xy
5
2
15
,
22
ộ
=-
ờ
ờ
ờ
=-=-
ở
Nghim:
1515
;,;
2222
ổửổử
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Bi 28. Gii h phng trỡnh sau:
xxyyx
yxyy
22
2
2230(1)
310(2)
ỡ
ù
+++=
ớ
+++=
ù
ợ
H phng trỡnh nhiu n Trn S Tựng
Trang 14
ã
Ly
(1)2(2)
+
ta c: xyxy
2
(2)3(2)20
++++=
xy
xy
210
220
ộ
++=
ờ
++=
ở
Nghim:
(322;12),(322;12)
+-+-,
1515
35;,35;
22
ổửổử
-+
-+
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Bi 29. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xyxyxy
44
3322
240(1)
23(4)4(8)(2)
ỡ
ù
-=
ớ
-=
ù
ợ
ã
Ly
(1)8(2)
-
ta c: xy
24
(2)(4)
-=-
xy
xy
2
6
ộ
=-
ờ
=-
ở
.
Nghim:
(4;2),(4;2)
.
Bi 30. Gii h phng trỡnh sau:
xy
yxyyx
2
42
39(1)
4(23)48481550(2)
ỡ
ù
+=
ớ
+ +=
ù
ợ
ã
Ly
16(1)(2)
+
ta c: yx
2
2
2(23)25
ộự
+-=
ởỷ
Nghim:
Bi 31. Gii h phng trỡnh sau:
xxy
yxy
32
32
235(1)
67(2)
ỡ
ù
+=
ớ
+=
ù
ợ
ã
Ly
4(1)(2)
+
ta c: xxyxyy
3223
812627
+++=
xy
3
(2)27
+=
xy
23
+=
Nghim:
5105710551057105
(1;1),;,;
8484
ổửổử
-++-
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Bi 32. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xyxy
33
22
9(1)
240(2)
ỡ
ù
-=
ớ
+-+=
ù
ợ
ã
Ly
(1)3(2)
-
ta c: xy
33
(1)(2)
-=+
xy
3
=+
.
Nghim:
(2;1),(1;2)
.
Bi 33. Gii h phng trỡnh sau:
xyxy
xy
33
22
3()4(1)
9(2)
ỡ
ù
-=
ớ
=
ù
ợ
ã
T (2): xyxy
22
93
==
.
ã
Khi:
xy
3
=
, ta cú: xy
33
4
-=
v
(
)
xy
33
.27
-=-
Suy ra:
xy
33
;()
- l cỏc nghim ca phng trỡnh: XXX
2
4270231
==
Vy nghim ca H PT l xy
33
231,231
=+=
hoc xy
33
231,231
=-=-+ .
ã
Khi:
xy
3
=-
, ta cú: xy
33
4
-=-
v
(
)
xy
33
.27
-=
Suy ra:
xy
33
;()
- l nghim ca phng trỡnh:
XXPTVN
2
4270()
++=
Bi 34. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xy
yx
3
11
(1)
21(2)
ỡ
-=-
ù
ớ
ù
=+
ợ
(A - 2003)
ã
iu kin: xy
ạ
0. Ta cú: (1)
xy
xy
xy
xy
1
()10
1
ổử
ộ
=
-+=
ỗữ
ờ
=-
ở
ốứ
Trn S Tựng H phng trỡnh nhiu n
Trang 15
Trng hp 1:
xy
xyxy
xy
xxxxx
xy
32
1
15
2
21(1)(1)0
15
2
ộ
==
ờ
ỡỡ
==
-+
ờ
==
ớớ
=+-+-= ờ
ợợ
ờ
==
ờ
ở
Trng hp 2:
y
xy
y
x
x
yx
x
xxVN
x
3
3
4
1
1
1
2
21
1
20()
ỡ
ỡ
=-
ù
ỡ
=-
=-
ùù
ớớớ
=+
ợ
ùù
-=+
++=
ợ
ù
ợ
Nghim
15151515
(1;1),;,;;
2222
ổửổử
+-+
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Bi 35. Gii h phng trỡnh sau:
xyxyxx
xyxx
22
2
(1)(1)341(1)
1(2)
ỡ
ù
+++=-+
ớ
++=
ù
ợ
ã
D thy
x
0
=
khụng tho món (2) nờn (2)
x
y
x
2
1
1
-
+= , thay vo (1) ta c:
xx
xxxx
xx
22
22
11
.341
ổử
+=-+
ỗữ
ốứ
xxxx
32
(1)(224)0
-+-=
xx
1;2
==-
.
ị
H cú nghim:
5
(1;1),2;
2
ổử
ỗữ
ốứ
.
Bi 36. Gii h phng trỡnh sau:
yxx
yxxyxy
2
22
(54)(4)(1)
54168160(2)
ỡ
ù
=+-
ớ
+-+=
ù
ợ
ã
T (1)
ị
yxx
22
51616
=-++
.
Thay vo (2) ta c: yxyy
2
2480
=
y
yx
0
24
ộ
=
ờ
=+
ở
ã
Vi y = 0
ị
xx
2
516160
-++=
x
x
4
5
4
ộ
=-
ờ
ờ
=
ở
ã
Vi
yx
24
=+
ị
xxx
22
(24)51616
+=-++
x = 0
ị
y = 4.
Kt lun: Nghim (x; y):
4
(0;4),(4;0),;0
5
ổử
-
ỗữ
ốứ
.
Bi 37. Gii h phng trỡnh sau:
xyxy
xyxyy
222
71(1)
131(2)
ỡ
+-=-
ớ
+-=-
ợ
ã
T (1)
ị
xyyx
17
+=-
. Thay vo (2) ta c: xxyy
22
15360
-+=
xy
xy
3
12
ộ
=
ờ
=
ở
Nghim:
1
(3;1),1;
3
ổử
ỗữ
ốứ
.
Bi 38. Gii h phng trỡnh sau:
xyxy
xyy
222
71(1)
101(2)
ỡ
=++
ớ
=-
ợ
ã
T (1)
ị
y
x
y
71
1
+
=
-
. Thay vo (2) ta c:
y
yy
y
2
22
71
101
1
ổử
+
=-
ỗữ
-
ốứ
H phng trỡnh nhiu n Trn S Tựng
Trang 16
yyyy
432
39348210
+ +=
yx
yx
1(3)
1
(1)
3
ộ
=-=
ờ
=-=
ờ
ở
Nghim:
1
(3;1),1;
3
ổử
ỗữ
ốứ
.
Bi 39. Gii h phng trỡnh sau:
yxy
xyxy
2
22
10(1)
2210(2)
ỡ
ù
-+=
ớ
++++=
ù
ợ
ã
T (1)
yxy
2
1
+=
. Thay vo (2) ta c:
xxy
(2)()0
++=
x
xy
2
ộ
=-
ờ
=-
ở
Nghim:
(2;1)
.
Bi 40. Gii h phng trỡnh sau:
xxyy
xyxy
422
22
4690(1)
2220(2)
ỡ
ù
-+-+=
ớ
++-=
ù
ợ
ã
T (2)
ị
x
y
x
2
2
22
2
-
=
+
. Thay vo (1) ta c:
x
xx
x
2
2
42
2
22
430
2
ổử
-
-+-=
ỗữ
ỗữ
+
ốứ
x
xx
x
22
22
22
16(4)
(4)0
(2)
-
-+=
+
xxxx
2642
(4)(42064)0
-++-=
xy
xy
xy
xy
2(3)
2(3)
2(5)
2(5)
ộ
=-=
ờ
==
ờ
=-=
ờ
ờ
==
ở
Bi 41. Gii h phng trỡnh sau:
xyxyy
xxyyxy
22
3222
22(1)
2323(2)
ỡ
ù
+=+
ớ
+=+
ù
ợ
ã
Vi
y
0
=
ị
x
0
=
l nghim ca h.
Vi
y
0
ạ
, nhõn (1) vi
y
-
ri cng vi (2), ta c:
xxyxyy
3223
24420
-+-=
xy
=
Nghim:
(1;1),(0;0)
.
Bi 42. Gii h phng trỡnh sau:
xxyy
xy
22
22
(1)6(1)420(1)
(21)2(2)
ỡ
ù
-+-+=
ớ
++=
ù
ợ
ã
HPT
x
y
x
xyy
22
9
35
414
ỡ
+
=
ù
-
ớ
ù
+=-
ợ
.
Nghim:
(1;1)
.
Bi 43. Gii h phng trỡnh sau:
xy
x
xy
yx
y
xy
22
22
3
3(1)
3
0(2)
ỡ
+
+=
ù
ù
+
ớ
-
ù
-=
ù
+
ợ
ã
+ Vi
x
0
=
ị
y
1
=
ị
(0;1)
l 1 nghim ca HPT.
+ Vi
y
0
=
khụng tho HPT.
+ Vi
xy
0,0
ạạ
ta cú: (1)
xyy
xyy
xy
2
22
3
3
+
+=
+
(3)
Trn S Tựng H phng trỡnh nhiu n
Trang 17
(2)
xyx
xy
xy
2
22
3
0
-
-=
+
(4)
Ly
(3)(4)
+
ta c:
xyy
233
+=
y
x
y
31
2
ổử
-
=
ỗữ
ốứ
Nghim:
Bi 44. Gii h phng trỡnh sau:
xxyyx
xxyy
64
32
1
83(1)
2
4(2)
ỡ
-=-
ù
ớ
ù
-=
ợ
ã
(1)
xx
y
x
62
83
2
+
=
+
; (2)
x
y
x
3
2
41
=
+
T ú:
xxx
x
x
623
2
83
2
41
+
=
+
+
ị
xxxxx
3642
(64162326)0
++-+=
ị
xy
0(0)
==
Nghim:
(0;0)
.
Bi 45. Gii h phng trỡnh sau:
xxy
xy
x
2
2
(1)30
5
()10
ỡ
++-=
ù
ớ
+-+=
ù
ợ
(D 2009)
ã Vỡ x
ạ
0 nờn HPT
xy
x
xy
x
2
2
3
1
5
()10
ỡ
+=-
ù
ù
ớ
ù
+-+=
ù
ợ
xy
x
x
x
2
3
1
46
20
ỡ
+=-
ù
ù
ớ
ù
-+=
ù
ợ
x
x
xy
xy
11
1
1
2
1
2
2
ỡ
ỡ
=
ù
ùù
=
ớớ
ùù
+=
+=
ợ
ù
ợ
. Nghim:
3
(1;1),2;
2
ổử
-
ỗữ
ốứ
.
Bi 46. Gii h phng trỡnh sau:
xxyy
xy
33
22
82
33(1)
ỡ
-=+
ù
ớ
-=+
ù
ợ
(DB A 2006)
ã
H PT
xyxy
xy
33
22
3()6(4)(1)
36(2)
ỡ
ù
-=+
ớ
-=
ù
ợ
.
Th (2) vo (1) ta c:
xyxyxy
3322
3()(3)(4)
-=-+
xxyxy
322
120
+-=
x
xy
xy
0
3
4
ộ
=
ờ
=
ờ
=-
ở
.
Nghim (x; y):
6666
(3;1),(3;1),4.;,4.;
13131313
ổửổử
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Bi 47. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xyxy
33
7
()2
ỡ
-=
ớ
-=
ợ
ã
H PT
xy
xyxy
33
2()14(1)
()2(2)
ỡ
-=
ớ
-=
ợ
.
H phng trỡnh nhiu n Trn S Tựng
Trang 18
Thay (2) vo (1) ta c: xyxxyy
22
()(252)0
+=
xy
xy
yx
2
2
ộ
=
ờ
=
ờ
=
ở
.
Nghim:
(2;1),(1;2)
.
Bi 48. Gii h phng trỡnh sau:
xyxyxy
xxyy
33
22
29()(23)(1)
3(2)
ỡ
ù
-=-+
ớ
-+=
ù
ợ
ã
Thay (2) vo (1) ta c:
xyxy
3333
29
-=-
xy
2
=
Nghim:
(2;1),(2;1)
.
Bi 49. Gii h phng trỡnh sau:
xyyx
yx
33
22
416(1)
15(1)(2)
ỡ
ù
+=+
ớ
+=+
ù
ợ
ã
T (2) suy ra yx
22
54
=
(3). Th vo (1) c:
(
)
y
xxyyx
2233
5
.16
+=+
xxy x
32
5160
=
x
xxy
2
0
5160
ộ
=
ờ
=
ở
ã
Vi
x
0
=
ị
y
2
4
=
y
2
=
.
ã
Vi xxy
2
5160
=
x
y
x
2
16
5
-
= (4). Th vo (3) c:
x
x
x
2
2
2
16
54
5
ổử
-
-=
ỗữ
ốứ
xxxx
4242
32256125100
+=
xx
42
1241322560
+=
x
2
1
=
xy
xy
1(3)
1(3)
ộ
ờ
ở
==-
=-=
.
Vy h cú 4 nghim: (x; y) = (0; 2) ; (0; 2); (1; 3); (1; 3)
Bi 50. Gii h phng trỡnh sau:
xyxyxxy
xxy
2
(2)()(21)72(1)
(41)73(2)
ỡ
++++=-
ớ
+=-
ợ
ã
Th
xxy
2
743
=++
(2) vo (1) ta c:
xyxyxy
22
(2)()2
++=+
yx
yx
2
2
1
ộ
=-
ờ
=-
ở
Nghim:
117317117317
;,;
4444
ổửổử
-++-
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Bi 51. Gii h phng trỡnh sau:
xyxyxyx
xyyx
322
22
7()74(1)
3848(2)
ỡ
ù
+=++++
ớ
+++=
ù
ợ
ã
Ta cú: (2)
xxyy
22
4838
=
.
Thay vo (1) ta c: xyxx
2
()(215)0
-+-=
xy
x
x
3
5
ộ
=
ờ
=
ờ
=-
ở
.
Nghim:
(3;1),(3;7)
.
Bi 52. Gii h phng trỡnh sau:
xyxy
xyxy
332
44
1(1)
440(2)
ỡ
ù
+-=
ớ
+ =
ù
ợ
ã
Thay (1) vo (2) ta c:
xyxyxyxy
44332
4(4)()
+=++-
Trn S Tựng H phng trỡnh nhiu n
Trang 19
xyyxyx
22
(34)0
-+=
x
y
xy
xy
0
0
3
ộ
=
ờ
=
ờ
=
ờ
=
ờ
ở
.
Nghim:
33
31
(0;1),(1;0),(1;1),;
2525
ổử
ỗữ
ốứ
.
Bi 53. Gii h phng trỡnh sau:
yx
2xyyx
22
33
21(1)
2(2)
ỡ
ù
-=
ớ
-=-
ù
ợ
ã
Thay (1) vo (2) ta c:
xyyxyx
3322
2(2)(2)
-=
xxyxyy
3223
2250
++-=
(3)
D thy
y
0
ạ
. t
x
t
y
=
, ta cú (3)
ttt
32
2250
++-=
t
1
=
ị
xy
=
.
Nghim:
(1;1),(1;1)
.
Bi 54. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xyxyy
33
223
1(1)
22(2)
ỡ
ù
+=
ớ
++=
ù
ợ
ã
Thay (1) vo (2) ta c:
xyxyyxy
22333
22()
++=+
xxyxyy
3223
220
+=
(3)
D thy
y
0
ạ
. t
x
t
y
=
, ta cú (3)
ttt
32
2210
+=
t
t
t
1
1
1
2
ộ
=
ờ
=-
ờ
ờ
=
ở
ị
xy
xy
xy
2
ộ
=
ờ
=-
ờ
=
ở
.
Nghim:
3333
1112
;,;
99
22
ổửổử
ỗữỗữ
ốứ
ốứ
.
Bi 55. Gii h phng trỡnh sau:
xyxyxy
xyxy
33
55
2()6
3032
ỡ
ù
+++=
ớ
++=
ù
ợ
ã
HPT
xyxyxy
xyxy
33
55
2()6(1)
6.532(2)
ỡ
ù
+++=
ớ
++=
ù
ợ
. Thay (1) vo (2) ta c:
xyxyxyxyxy
5533
52()32
ộự
+++++=
ởỷ
xy
5
()32
+=
xy
2
+=
Nghim:
Bi 56. Gii h phng trỡnh sau:
xxy
xyy
33
()6
1827
ỡ
+=
ớ
++=
ợ
ã
HPT
xxy
xyy
33
()6(1)
6.327(2)
ỡ
+=
ớ
++=
ợ
. Thay (1) vo (2) ta c:
xyxyxy
33
3()27
+++=
xy
3
()27
+=
xy
3
+=
Nghim:
Bi 57. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xyxyxy
22
332
2(1)
2(2)
ỡ
ù
+=
ớ
++=+
ù
ợ
ã
Thay (1) vo (2) ta c:
xxyxxy
322
+=+
xyxy
22
1
+=+
xy
1
ị=
Nghim:
(1;1),(1;1)
.
H phng trỡnh nhiu n Trn S Tựng
Trang 20
Bi 58. Gii h phng trỡnh sau:
xxyy
yx
32
22
2120(1)
812(2)
ỡ
ù
++=
ớ
+=
ù
ợ
ã
Thay (2) vo (1) ta c: xxyyxy
3222
2(8)0
+++=
xxyxyy
3223
280
+++=
(3)
D thy
y
0
=
khụng tho HPT.
Vi
y
0
ạ
, t
x
t
y
=
ta c: (3)
ttt
32
280
+++=
t
2
=-
ị
xy
2
=-
Nghim:
(2;1),(2;1)
.
Bi 59. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xyx
22
2
21(1)
2(2)
ỡ
ù
-=
ớ
+=
ù
ợ
ã
Thay (1) vo (2) ta c:
xyxxy
222
2(2)
+=-
xyxy
22
320
=
(3)
D thy
x
0
=
khụng tho HPT.
Vi
x
0
ạ
, t
y
t
x
=
ta c: (3)
tt
2
230
+-=
t
t
1
3
2
ộ
=
ờ
=-
ờ
ở
ị
yx
yx
3
2
ộ
=
ờ
=-
ờ
ở
Nghim:
(1;1),(1;1)
.
Bi 60. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xy
xy
xy
2
22
1
()16(1)
1
()118(2)
ỡ
ổử
++=
ù
ỗữ
ù
ốứ
ớ
ổử
ù
++=
ỗữ
ù
ốứ
ợ
ã
Bỡnh phng (1) ri chia v theo v, c
xy
xy
2
22
()
2
+
=
+
xyxy
22
20
+-=
xy
=
Nghim:
Bi 61. Gii h phng trỡnh sau:
xyxyxy
xy
xy
2
22
(26)20
1
()18
ỡ
+-++=
ù
ổử
ớ
++=
ỗữ
ù
ốứ
ợ
ã
iu kin:
xy
0
ạ
. HPT
xyxyxy
xyxyxy
22222
(2)(1)6(1)
()(1)8(2)
ỡ
++=
ớ
++=
ợ
Bỡnh phng (1) ri chia v theo v, c
xy
xy
2
22
(2)9
2
+
=
+
xy
xy
7
ộ
=
ờ
=
ở
.
Nghim:
Bi 62. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xyxyxy
42
22
698
(1)
81
3440(2)
ỡ
+=
ù
ớ
ù
++ +=
ợ
ã
Ta cú: (2)
xyxy
22
(3)(2)0
+-+-=
.
PT ny cú nghim i vi x thỡ ta phi cú:
yy
22
(3)4(2)0
D
=
y
7
1
3
ÊÊ
(3)
Mt khỏc (2)
yxyxx
22
(4)340
+-+-+=
.
PT ny cú nghim i vi y thỡ ta phi cú:
Trn S Tựng H phng trỡnh nhiu n
Trang 21
xxx
22
(4)4(34)0
D
= +
x
4
0
3
ÊÊ
(4)
T (3) v (4) ta cú: xy
42
25649697698
8198181
+Ê+=<
ị
khụng tho (1)
Vy: HPT ó cho vụ nghim.
Bi 63. Gii h phng trỡnh sau:
xyy
xyx
2
2
48
2
ỡ
ù
-=-
ớ
=+
ù
ợ
ã
Nu xy
4 thỡ HPT
xyy
xyx
2
2
48(1)
2(2)
ỡ
ù
-=-
ớ
=+
ù
ợ
T (2)
ị
x
ạ
0, x
2
2
v
x
y
x
2
2 +
=
Thay vo (1) ta c:
x
x
x
2
2
2
2
248
ổử
+
+-=-
ỗữ
ốứ
xx
22
(2)(1)0
=
x
2
=
ị
H cú nghim (x; y) l:
(
)
(
)
2;8,2;8
ã
Nu xy < 4 thỡ x
2
2
<
.
HPT
xyy
xyx
2
2
48
2
ỡ
ù
-=-
ớ
=+
ù
ợ
ị
x
x
x
2
2
2
2
428
ổử
+
=-
ỗữ
ốứ
x
2
2(2)0
-=
x
2
2
=
(loi)
Kt lun: Nghim (x; y) ca h:
(
)
(
)
2;8,2;8
Bi 64. Gii h phng trỡnh sau:
xxxyyy
xy
8(1)
5(2)
ỡ
-=+
ớ
-=
ợ
ã
iu kin
x
y
0
0
ỡ
>
ớ
>
ợ
. (1)
( )
xxyy
1(8)
-=+
xxyy
22
(1)(8)
-=+ (3)
Thay (2) vo (3) ta c: yy
2
38800
+-=
yx
4(9)
==
(vỡ y > 0)
Nghim:
(9;4)
.
Bi 65. Gii h phng trỡnh sau:
xxyyxy
xy
82
36
ỡ
-=+
ớ
-=
ợ
ã
iu kin:
x
y
0
0
ỡ
>
ớ
>
ợ
. HPT
(
)
(
)
xxyyxy
xy
364(1)
36(2)
ỡ
ù
-=+
ớ
-=
ù
ợ
Thay (2) vo (1) ta c:
(
)
(
)
xxyyxyxy
3(3)4-=-+
(
)
(
)
xxyxy
340
-+=
xy
3
= .
Nghim:
(9;1)
.
Bi 66. Gii h phng trỡnh sau:
xxyyxy
xy
2
2
ỡ
ù+=
ớ
+=
ù
ợ
ã
iu kin:
x
y
0
0
ỡ
ớ
ợ
. HPT
xyxyxyxy
xy
3
()3()2
2
ỡ
ù
+-+=
ớ
+=
ù
ợ
xy
xy
1
2
ỡ
ù=
ớ
+=
ù
ợ
Nghim:
(1;1)
.
Hệ phương trình nhiều ẩn Trần Sĩ Tùng
Trang 22
Bài 67. Giải hệ phương trình sau:
xyxy
xy
22
282(1)
4(2)
ì
ï
++=
í
+=
ï
î
·
(1)
Û
xyxy
22
22162+=-
Û
( )
xyxyxy
2
22
222+=+-
Û
xyxy
22
22
+=+
Û
xyxy
222
22()
+=+
Û
xy
2
()0
-=
Û
xy
=
Nghiệm:
(4;4)
.
Bài 68. Giải hệ phương trình sau:
22
22
1118(1)
112(2)
ì
+++++++++=
ï
í
+++-++++-=
ï
î
xxyxyxyy
xxyxyxyy
·
Lấy
(1)(2)
-
ta được:
xy
8
+=
Nghiệm:
(4;4)
.
Bài 69. Giải hệ phương trình sau:
22
22
3(1)
114(2)
ì
+-=
ï
í
+++=
ï
î
xyxy
xy
·
(2)
Û
xyxyxyxyxy
22222
2(1).(1)142()411
++++=Û+++=
(3)
Đặt xy = p.
p
p
ppp
p
pp
2
2
3
11
(3)2411
35
3261050
3
é
=
ì
£
ê
Û++=-ÛÛ
-
í
=
ê
+-=
î
ë
(1)
Û
( )
xyxy
2
33
+=+
·
p = xy =
35
3
-
(loại)
·
p = xy = 3
Þ
xy
23
+=±
1/ Với
xy
xy
xy
3
3
23
ì
=
Þ==
í
+=
î
2/ Với
xy
xy
xy
3
3
23
ì
=
Þ==-
í
+=-
î
Vậy hệ có hai nghiệm là:
(
)
(
)
3;3,3;3
Bài 70. Giải hệ phương trình sau:
xyxy
xy
3
2232(1)
614(2)
ì
ï +=
í
++-=
ï
î
·
Đặt txyt
2,(0)
=+³
. (1)
Û
tt
2
230
+-=
Û
t
1
=
Û
xy
21
+=
.
Thay vào (2) ta được: xx
3
624
++=
(4). Đặt
ux
v
vx
3
6
(0)
2
ì
ï
=+
³
í
=
ï
î
.
Khi đó:
uv
uv
32
4
(4)
212
ì
+=
Û
í
-=
î
Û
u
v
2
2
ì
=
í
=
î
Þ
x
y
2
3
ì
=
í
=-
î
.
Nghiệm:
(2;3)
-
.
Bài 71. Giải hệ phương trình sau:
x
xyy
y
xxyxy
6233(1)
233634(2)
ì
-=-+
ï
í
ï
+-=+-
î
·
Điều kiện
y
0
¹
. Đặt
xy
t
y
3
-
= .
Ta có: (1)
Û
xy
xy
y
y
2
3
3
2.30
-
-
=
Û
tt
2
230
=
Û
t
t
1
3
2
é
=-
ê
=
ê
ë
Þ
xyy
xyy
3
3
3
2
é
-=-
ê
ê
-=
ê
ë
Trn S Tựng H phng trỡnh nhiu n
Trang 23
+ Vi
xyy
3
-=-
ị
y
0
Ê
. Thay vo (2) ta c:
xyy
yxy
2
3
2634
ỡ
-=
ớ
-=+-
ợ
x
y
4
4
ỡ
=
ớ
=
ợ
+ Vi
xyy
3
3
2
-=
ị
y
0
. Thay vo (2) ta c:
xyy
xyxy
2
9
3
4
263634
ỡ
-=
ù
ớ
ù
+=+-
ợ
xy
8
9
==
Nghim:
88
(4;4),;
99
ổử
ỗữ
ốứ
.
Bi 72. Gii h phng trỡnh sau:
xyxyxyxy
xy
22
22
818365(23)60(1)
2330(2)
ỡ
ù
++-+=
ớ
+=
ù
ợ
ã
iu kin:
xy
0
. D thy
xy
0,0
ạạ
. (1)
xyxy
xyxy
2
2323
2520
66
ổử
++
-+=
ỗữ
ỗữ
ốứ
(3)
t
xy
t
xy
23
6
+
=
. (3)
tt
2
2520
-+=
t
t
2
1
2
ộ
=
ờ
=
ờ
ở
+ Vi
t
2
=
ị
xy
xy
23
2
6
+
=
ị
xy
23
=
. Thay vo (2) ta c:
x
3
=
ị
y
2
=
.
+ Vi t
1
2
=
ị
xy
xy
231
2
6
+
=
ị
vụ nghim
Nghim:
(3;2)
.
Bi 73. Gii h phng trỡnh sau:
xxyxyy
xyxy
3223
6940(1)
2(2)
ỡ
ù
-+-=
ớ
-++=
ù
ợ
ã
Ta cú: (1)
xyxy
2
()(4)0
=
xy
xy
4
ộ
=
ờ
=
ở
+ Vi x = y: (2)
ị
x = y = 2
+ Vi x = 4y: (2)
ị
xy
32815;8215
=-=-
Bi 74. Gii h phng trỡnh sau:
xyxyxy
xyyxxy
22
2(1)
2122(2)
ỡ
ù
++=-
ớ
=-
ù
ợ
ã
iu kin:
x
y
1
0
ỡ
ớ
ợ
. Ta cú: (1)
xyyxy
22
()(1)
++=-
xyyx
()(21)0
+-+=
yx
210
-+=
Thay vo (2) ta c: yyy
(1)222
+=+
y
2
=
(vỡ
y
0
)
ị
x
5
=
.
Nghim:
(2;5)
.
Bi 75. Gii h phng trỡnh sau:
xyxy
xy
20(1)
1412(2)
ỡ
ù =
ớ
-+-=
ù
ợ
ã
iu kin:
x
y
1
1
4
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
. (1)
(
)
(
)
xyxy
20
+-=
xy
20
-=
xy
4
=
.
H phng trỡnh nhiu n Trn S Tựng
Trang 24
Thay vo (2) ta c: y
411
-=
y
1
2
=
ị
x
2
=
.
Nghim:
1
2;
2
ổử
ỗữ
ốứ
.
Bi tng t:
a)
xyxy
xy
20
1211
ỡ
ù =
ớ
=
ù
ợ
. Nghim:
15
2;,10;
22
ổửổử
ỗữỗữ
ốứốứ
.
Bi 76. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xy
xy
xyxy
22
2
2
1(1)
(2)
ỡ
++=
ù
+
ớ
ù
+=-
ợ
ã
iu kin:
xy
0
+>
.
(1)
xyxy
xy
2
1
()1210
ổử
+ =
ỗữ
+
ốứ
xyxyxy
22
(1)()0
+-+++=
xy
10
+-=
(vỡ
xy
0
+>
nờn xyxy
22
0
+++>
)
Thay
xy
1
=-
vo (2) ta c:
xx
2
1(1)
=
xx
2
20
+-=
xy
xy
1(0)
2(3)
ộ
==
ờ
=-=
ở
Vy h cú 2 nghim: (1; 0), (2; 3).
Bi 77. Gii h phng trỡnh sau:
( )
2
32(1)
28(2)
ỡ
-=
ù
ớ
-=
ù
ợ
xyxy
xy
ã
iu kin :
xyxy
.0;
Ta cú: (1)
xyxyxyxy
2
3()4(3)(3)0
-= =
y
xyhayx3
3
==
ã
Vi
xy
3
=
, th vo (2) ta c : yyyy
2
6802;4
-+===
ị
H cú nghim
xx
yy
612
;
24
ỡỡ
==
ớớ
==
ợợ
ã
Vi
y
x
3
=
, th vo (2) ta c : yy
2
32240
-+=
Vụ nghim.
Kt lun: h phng trỡnh cú 2 nghim l:
xx
yy
612
;
24
ỡỡ
==
ớớ
==
ợợ
Bi 78. Gii h phng trỡnh sau:
xyxyxy
xyyxxy
22
2(1)
2122(2)
ỡ
ù
++=-
ớ
=-
ù
ợ
ã
iu kin x
1, y
0
ị
x + y > 0.
(1)
xyxy
()(21)0
+ =
xy
21
=+
(3)
Thay (3) vo (2) ta c:
yyyyyy
(21)222(21)2
+-=+-
(
)
yy
(1)220
+-=
y = 2
ị
x = 5
Nghim:
(5;2)
.
Bi 79. Gii h phng trỡnh sau:
xy
xy
xy
xyxyx
22
3
8
16(1)
3321(2)
ỡ
++=
ù
+
ớ
ù
+-++=-
ợ
ã
iu kin: x + y > 0.
