ĐỀ THI HSG MTCT 9 CÓ ĐÁP ÁN

1
BÀI 3: CHO HÌNH VUÔNG ABCD, CẠNH a = 5,35. DỰNG CÁC
ĐƯỜNG TRÒN TÂM A, B, C, D CÓ BÁN KÍNH R =
2
a
. TÍNH DIỆN
TÍCH XEN GIỮA 4 ĐƯỜNG TRÒN ĐÓ.
H.DẪN: S
GẠCH
= S
ABCD
- 4S
QUẠT
S
QUẠT
=
1
4
S
H.TRÒN
=
1
4
πR
2
⇒ S
GẠCH
= A
2
- 4.
1

4
πR
2
= A
2
-
1
4
πA
2

= A
2
(1 -
1
4
π)
≈
6,142441068
BÀI 4: TÍNH TỶ LỆ DIỆN TÍCH CỦA PHẦN ĐƯỢC TÔ ĐẬM VÀ
DIỆN TÍCH PHẦN CÒN LẠI TRONG HÌNH TRÒN ĐƠN VỊ (XEM
HÌNH 2)
ĐÁP SỐ:
A B
D
C
HÌNH 1 HÌNH 2
2
Bài 5. Cho đường tròn tâm
O

, bán kính
3,15 R cm
=
. Từ một điểm
A
ở
ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến
AB
và
AC
(
B
,
C
là hai tiếp điểm
thuộc (
O
)).
Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến và cung
tròn nhỏ BC
biết rằng
7,85 AO a cm= =
(chính xác đến 0,01 cm).
Giải: Ta có:
3,15
cos
7,85
OB R
OA a
α

= = =
.

2 . .sin
ABOC AOB
S S a R
α
= =
;

S
quạt OBC

2 2
.2
360 180
R R
π α π α
= =
.

S
gạch xọc
=
S
ABOC
-
S
quạt OBC

2
sin
180
R
aR
π α
α
= −
.
Tính trên máy: 3.15
÷
7.85
=
SHIFT
-1
cos
SHIFT
,,,
uus
o
Min
sin
×
7.85
×
3.15
−
SHIFT
π
×

3.15
SHIFT
2
x
×
MR
÷
180
=
(11.16)
Đáp số:
S
gạch xọc
= 11,16 cm
2
.
Bài 7. Tính diện tích hình có 4 cạnh cong(hình gạch sọc)
theo cạnh hình vuông a = 5,35 chính xác đến 0,0001cm.
Giải: Diện tích hình gạch xọc
MNPQ

(S
MNPQ
) bằng diện tích hình vuông
ABCD
(S
ABCD
) trừ đi 4 lần diện tích của
1
4

hình tròn bán kính
2
a
R =
.
O
B
a
A
C
A
N
B
P
C
Q
D
M
3
MNPQ
S =
2
2
4
4
R
a
π
−
2

2
4
a
a
π
= −
2
(4 )
4
a
π
−
=
.
2
5,35 (4 )
4
π
−
=
ấn phím: 5.35
SHIFT
2
x
×
[(
4
−
π
=

÷
4
=
MODE
7
2
(6.14)
Kết luận:
MNPQ
S ≈
6,14 cm
2
.
Bài 8. Tính diện tích phần hình phẳng (phần gạch xọc) giới hạn bởi các
cung tròn và các cạnh của tam giác đều ABC (xem hình vẽ),
biết:
5,75 AB BC CA a cm= = = =
.
Giải:
2 2 3
3 3 2
a
R OA OI IA AH= = = = = ⋅
.
Suy ra:
3
3
a
R =
và

·
0
60AOI
=
.
Diện tích hình gạch xọc bằng diện tích tam giác
ABC
trừ diện tích hình
hoa 3 lá
(gồm 6 hình viên phân có bán kính
R
và góc ở tâm bằng 60
0
).

2
3
4
ABC
a
S
∆
=
;
1
2
2 2
3 3 3 3
4 3 4 12
O AI

R a a
S
∆
 
= = ⋅ =
 
 
 
.
Diện tích một viên phân:
2 2 2 2
3 3 (2 3 3)
6 4 2 3 2 12
R R R R
π π π
 
−
− = − =
 
 
 
.
Tính theo a, diện tích một viên phân bằng:
2
(2 3 3)
36
a
π
−
;

A
C
B
H
I
4

S
gạch xọc
2 2 2
3 (2 3 3) (9 3 4 )
6
4 36 12
a a a
π π
− −
= − ⋅ =
;

S
gạch xọc
2
5,75 (9 3 4 )
12
π
−
=
.
Bấm tiếp: 5,75
SHIFT

2
x
×
[(
9
×
3
−
4
×
SHIFT
π
)]
÷
12
=
Kết quả:
S
gạch xọc

≈
8,33 cm
2
.
Bài 9. Viên gạch cạnh
30a cm
=
có hoa văn như hình vẽ .
a) Tính diện tích phần gạch xọc của hình
đã cho, chính xác đến 0,01 cm.

b) Tính tỉ số phần trăm giữa diện tích phần
gạch xọc và diện tích viên gạch.
Giải: a) Gọi
R
là bán kính hình tròn.
Diện tích
S
một hình viên phân bằng:

( ) ( )
2 2 2 2
2 2
4 2 4 16
R R R a
S
π
π π
= − = − = −
.
Vậy diện tích hình gồm 8 viên phân bằng
( )
2
2
2
a
π
−
.
Diện tích phần gạch xọc bằng:
( ) ( )

2 2
2
2 4
2 2
a a
a
π π
− −
− =
.
Tính trên máy: 30
SHIFT
2
x
Min
×
[(
4
−
SHIFT
π
)]
÷
2
=
MODE
7
2
(386.28) Vậy
S

gạch xọc

≈
386,28 cm
2
.
ấn phím tiếp:
÷
MR
SHIFT
%
(42.92)
Tỉ số của diện tích phần gạch xọc và diện tích viên gạch là 42,92%.
D
M
A
Q C
P
N B
5
Đáp số: 386,28 cm
2
; 42,92 %.
]
Bài 10. Nhân dịp kỷ niệm 990 năm Thăng Long, người ta cho lát lại
đường ven hồ Hoàn Kiếm bằng các viên gạch hình lục giác đều. Dưới
đây là viên gạch lục giác đều có 2 mầu (các hình tròn cùng một mầu,
phần còn lại là mầu khác).
Hãy tính diện tích phần gạch cùng mầu và tỉ số diện tích giữa hai
phần đó,

biết rằng
15 AB a cm
= =
.
Giải: Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều
là:
1 a 3 a 3
3 2 6
R = ⋅ =
. Diện tích mỗi hình tròn là:
2
2
12
a
R
π
π
=
Diện tích 6 hình tròn là:
2
2
a
π
.
Tính trên máy: 15
SHIFT
2
x
×
π

÷
2
=
Min
(353.4291)
Diện tích toàn bộ viên gạch là:
2 2
3 3 3
6
4 2
a a
⋅ =
.
Diện tích phần gạch xọc là:
2 2
3 3
2 2
a a
π
−
.
Bấm tiếp phím: 3
×
15
SHIFT
2
x
×
3
÷

=
−
MR
=
(231.13797)
A B
F
O


6
ấn tiếp phím:
÷
MR
SHIFT
%
Kết quả: 65.40
Đáp số: 353,42 cm
2
(6 hình tròn); 231,14 cm
2
(phần gạch xọc); 65,40 %
Bài 11. Viên gạch hình lục giác đều ABCDEF có hoa văn hình sao như
hình vẽ, trong đó các đỉnh hình sao
, , , , , M N P Q R S
là trung điểm các cạnh
của lục giác.
Viên gạch được tô bằng hai mầu (mầu của
hình sao và mầu của phần còn lại).
Biết rằng cạnh của lục giác đều là a = 16,5 cm.

+ Tính diện tích mỗi phần (chính xác đến 0,01).
+ Tính tỉ số phần trăm giữa hai diện tích đó.
Giải: Diện tích lục giác
ABCDEF
bằng: S
1
=6
2
a 3
4
⋅
=
2
3a 3
2
.
Lục giác nhỏ có cạnh là
a
2
b
=
, 6 cánh sao là các tam giác đều cũng có
cạnh là
a
2
b
=
. Từ đó suy ra: diện tích lục giác đều cạnh
b
là S

2
bằng:
S
2
=
2
3b 3
2
=
2
3a 3
8
, diện tích 6 tam giác đều cạnh
b
là S
3
: S
3
=
2
3a 3
8
.
Tính trên máy: 3
×
16.5
SHIFT
2
x
×

3
÷
8
×
2
=
MODE
7
2
(353.66)
Min
ấn tiếp phím: 3
×
16,5
SHIFT
2
x
×
3
÷
2
=
−
MR
=
(353.66)
ấn tiếp phím:
÷
MR
SHIFT

%
Kết quả: 100.
Vậy diện tích hai phần bằng nhau.
Lời bình: Có thể chứng minh mỗi phần có 12 tam giác đều bằng nhau,
do đó diện tích
3- THỐNG KÊ:
F
A
D
O
C
B
R
M
N
P
Q
S
7
Ví dụ: Một xạ thủ thi bắn súng, kết quả số lần bắn và điểm số được
ghi như sau:
Điểm 4 5 6 7 8 9
Lần bắn 8 14 3 12 9 13
Tính :
a. Tổng số lần bắn.
b. Tổng số điểm.
c. Số điểm trung bình cho mỗi lần bắn.
Giải
Gọi chương trình thống kê SD
Ấn (SD) hoặc ấn ( SD) đối với máy 570 MS

- Xóa bài thống kê cũ : Ấn ( SD)
Nhập dữ liệu : 4 8
5 14

6 3
7 12
8 9
9 13
Máy hiện: Tổng tần số (tổng số lần bắn) : n = 59
Tìm tổng số điểm:

Ấn (
∑
x
) KQ : Tổng số điểm
∑
x
= 393

Tìm số trung bình:
Ấn KQ : = 6,66
( Muốn tìm lại tổng số lần bắn thì ấn : (n) )
* Ghi chú : Muốn tính thêm độ lệch tiêu chuẩn và phương sai, ta thực hiện như sau:
Sau khi đã nhập xong dữ liệu, ấn (x δ
n
) KQ : x δ
n
= 1,7718
MODE
2

MODE
MODE
1
SHIFT
CLR
1
=
AC
SHIFT
;
DT
DT
DT
DT
DT
SHIFT
S-SUM
2
=
SHIFT
S-VAR
1
=
SHIFT
S-SUM
3
=
SHIFT
S-VAR
2

=
X
2
=
DT
……….
8
Ấn tiếp KQ : Phương sai : δ
n
2
= 3,1393
1. LŨY THỪA – CĂN SỐ:
Ví dụ 1: Cho 4 số: A =
( )
[ ]
3
2
3
2
; B =
( )
[ ]
3
2
3
; C =
3
2
3
2

;
D =
2
3
2
3
Hãy so sánh số A với số B, so sánh số C với số D, rồi điền
dấu thích hợp ( > , = , < ) vào ô trống.
Giải
Tính trên máy tính được:
A = 262144 ; B = 531441
⇒
A < B
C =
3
2
3
2
=
8
3
2
= 2
656
= 2 . 2
6560
= 2 . 2
2 . 3280
= 2 . 4
3280

D =
2
3
2
3
=
9
2
3
= 3
512
……….
Vì 4
3280
> 3
512
, do đó : C > D.
Ví dụ : Dùng 5 que dài 0,324 m để xếp thành ngôi sao 5 cánh.
a. Tính bán kính đường tròn qua 5 đỉnh ngôi sao.
b. Tổng số đo các góc của hình ngôi sao bằng bao nhiêu độ.
Giải
A’BA có :
CosA
1
=
'AÂ
AB

⇒
R =

1
2CosA
AB
Ấn 0 324 2 18 KQ: R =0,1703 (m)
Ta có: A
1
= A
2
= 18
o


⇒
A = 36
o
A
B
……….
DC
●
A
B
=
1
O
A’
÷
.
Cos
=

9
Bài 8: Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1.
Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức)
H.Dẫn:
- Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) = 12;
f(2) = 4; f(3) = 1 nên:
10
12
8 4 2 4
27 9 3 1
d
a b c d
a b c d
a b c d
=


+ + + =


+ + + =


+ + + =

lấy 3 phơng trình cuối lần lợt trừ cho phơng trình đầu và giải hệ gồm 3

phơng trình ẩn a, b, c trên MTBT cho ta kết quả:
5 25
; ; 12; 10
2 2
a b c d= = = =

3 2
5 25
( ) 12 10
2 2
f x x x x= + +

(10)f =
Bài 9: Cho đa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2),
(x - 3) đều đợc d là 6 và f(-1) = -18. Tính f(2005) = ?
H.Dẫn:
- Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18
- Giải tơng tự nh bài 8, ta có f(x) = x
3
- 6x
2
+ 11x
Tớnh f(2005) =
10
Bài toán 2: Tìm thơng và d trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a)
Cách giải:
- Dùng lợc đồ Hoocner để tìm thơng và d trong phép chia đa thức P(x)
cho (x + a)
Bài 13: Tìm thơng và d trong phép chia P(x) = x
7

- 2x
5
- 3x
4
+ x - 1 cho
(x + 5)
H.Dẫn: - Sử dụng lợc đồ Hoocner, ta có:
1 0 -2 -3 0 0 1 -1
-5 1 -5 23 -118 590 -2950 14751 -73756
* Tính trên máy tính các giá trị trên nh sau:
( )
5
SHIFT

STO

M

1
ì

ANPHA

M

+
0
=
(-5) : ghi ra giấy -5

ì

ANPHA

M

+

-
2
=
(23) : ghi ra giấy 23

ì

ANPHA

M

-
3
=
(-118) : ghi ra giấy -118

ì

ANPHA

M

+
0
=
(590) : ghi ra giấy 590

ì

ANPHA

M

+
0
=
(-2950) : ghi ra giấy -2950

ì

ANPHA

M

+
1
=
(14751) : ghi ra giấy 14751

ì

ANPHA

M

-
1
=
(-73756) : ghi ra giấy -73756
x
7
- 2x
5
- 3x
4
+ x - 1 = (x + 5)(x
6
- 5x
5
+ 23x
4
- 118x
3
+ 590x
2
- 2950x +
14751) 73756
11
Bài 21: (Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Thọ tham gia kì thi khu vực năm
2004)
Tìm tất cả các số n dạng:
1235679 4N x y=

chia hết cho 24.
H.Dẫn
Vì N
M
24 ⇒ N
M
3 ; N
M
8 ⇒ (37 + x + y)
M
3 ;
4x y
M
8.
⇒ y chỉ có thể là 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8.
Dùng máy tính, thử các giá trị x thoả mãn: (x + y + 1)
M
3 và
4x y
M

8, ta có:
N
1
= 1235679048 ; N
2
= 1235679840
Câu 6/
Cho dãy số với số hạng tổng quát được cho bởi công thức :

( ) ( )
n n
n
13+ 3 - 13- 3
U =
2 3
với n = 1, 2, 3, ……, k, …
a) Tính U
1
, U
2
,U
3
,U
4
b) Lập công thức truy hồi tính U
n+1

theo U
n
và U
n-1
c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính U
n+1

theo U
n
và U
n-1
.

Tinh
U
8
-U
5
.
GIẢI
a) U
1
= 1; U
2
= 26; U
3
= 510; U
4
= 8944.
b) Đặt U
n+1
= a.U
n
+ b.U
n-1
Theo kết quả tính được ở trên, ta có:

510 .26 .1 26a 510
8944 .510 .26 510a 26 8944
a b b
a b b
= + + =
 

⇔
 
= + + =
 
Giải hệ phương trình trên ta được: a = 26,b = -166
Vậy ta có công thức: U
n+1
= 26U
n
– 166U
n-1
c) Lập quy trình bấm phím trên máy
U
5
= 147 884; U
6
= 2 360 280; U
7
= 36 818 536; U
8
= 565 475 456
=> U
8
– U
5
= 565 327 572
12
7.3. Tìm ƯCLN và BCNN của hai số 12
6
và 1872

ƯCLN = 144 BCNN = 38817792
Bài 8.
8.1. Mỗi tháng gửi tiết kiệm 850 000 đồng với lãi suất 0,7% tháng. Hỏi
sau một năm thì lãnh về cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?
Số tiền cả gốc lẫn lãi là:
( )
12
850000(1 0,007) 1 0,007 1
A
0,007
 
+ + −
 
=

Kết quả
10 676 223,01
8.2. (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính độ dài đường phân
giác trong AD biết AB = 5,2153cm và BC = 12,8541cm?
2 2 2 2
AC BC AC 12,8541 5,2153 11,74855449= − = − =
cm
AB AC BC 5,2153 11,74855449 12,8541
p
2 2
+ + + +
= =
=14,90897725
cm
Áp dụng công thức:

2
AD p.AB.AC(p BC)
AB AC
2
14,90897725.5,2153.11,74855449.2,05487725
16,96385449
= −
+
=
Kết quả
5,108038837