Đề thi HSG toán 9 có đáp án

Phòng giáo dục Đông hng
Trờng THCS Đông Giang
Đề khảo sát tìm nguồn học sinh giỏi
Môn : Toán 9
(Thời gian làm bài 120 Phút)
Bài 1 : ( 4 điểm )
1. Chứng minh rằng nếu a là số nguyên tố lớn hơn 3 thì a
2
- 1 chia hết cho
24 .
2. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :
xy - 2x - 3y + 1 = 0
Bài 2 : ( 4,5 điểm ) . Cho hàm số y = x
2
có đồ thị ( P ) và hai điểm A; B
thuộc đồ thị ( P ) có hoành độ lần lợt là -1 và 2.
1. Viết phơng trình đờng thẳng AB
2. Vẽ đồ thị ( P ) và tìm toạ độ của điểm M thuộc cung AB của đồ thị
(P ) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất .
Bài 3 : ( 1,5 điểm ). Cho phơng trình bậc hai : ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) với
các hệ số nguyên . Hỏi biệt thức của phơng trình trên có thể bằng một
trong hai số 2010 ; 2011 không ? Vì sao?
Bài 4 : ( 4 điểm ). Chứng minh rằng nếu
2009
=++
cba
và
2009
1111

=++
cba
thì
một trong ba số phải có một số bằng 2009.
Bài 5: ( 6 điểm )
Cho hai đờng tròn (o
1
) và (o
2
) cắt nhau tại A và B . Đờng tiếp tuyến chung
gần B của hai đờng tròn lần lợt tiếp xúc với (o
1
) và (o
2
) tại C và D . Qua A kẻ
đờng thẳng song song với CD lần lợt cắt (o
1
) và (o
2
) tại I và K . Các đờng
thẳng CI ; DK cắt nhau tại H.Chứng minh rằng :
a) Đờng thẳng AE vuông góc với đờng thẳng CD
b)Tứ giác HCBD là tứ giác nội tiếp .
Phạm Ngọc Quang
Hớng dẫn chấm khảo sát
t×m nguån häc sinh giái
M«n : To¸n 9
AI DH
Bài 1 : (4 điểm )
1. (2điểm) : Vì a là số nguyên tố lớn hơn 3 nên 3 là số lẻ và không chia hết cho

3 do đó ta có :
*a = 2k +1 ( k

Z ; k > 1) =>A = a
2
-1= (a-1)(a+1) = 2k(2k+2)
=>A = 4k(k+1) ;=>A

8
*a = 3q+1 hoặc a = 3q-1 ( q

Z ; q > 1)
+ a = 3q+1 =>A = a
2
-1= (a-1)(a+1) =3q(3q+2) =>A

8
+ a = 3q- 1 =>A = a
2
-1= (a-1)(a+1) =3q(3q- 2) =>A

8
Từ đó ta có ( 3,8 ) = 1 => a là số nguyên tố lớn hơn 3 thì a
2
- 1 chia hết cho
24 .
2.(2điểm) : xy - 2x - 3y + 1 = 0 <=> y(x- 3) = 2x-1 . (*)
Vì x = 3 không là nghiệm của phơng trình nên
(*) <=>
3

5
2
3
12

+=

=
x
x
y
.
Vì y

Z nên 5

x- 3 => x- 3 nhận các giá trị

1;

5 .
Từ đó xác định đợc hai nghiệm nguyên dơng (x,y ) của phơng trình đã cho là
(4, 7) ; ( 8,3)
1điểm
1điểm
1điểm
Bài 2 : ( 6 điểm )
1. Vì A; B

(P) có phơng trình y = x

2
nên A(-1;1); B(2;4)
Phơng trình đờng thẳng AB có dạng y= ax +b (*) 1 = - a+b
Thay toạ độ của A; B vào (*) ta có : 4 = 2a+b
<=> a = 1
Vậy phơng trình đờng thẳng AB là y = x +2 b = 2
2. 4 điểm
- Học sinh vẽ đúng ,
- Gọi m là hoành độ của M ta có M(m;m
2
) với -1

m

2
Gọi C; N; D là hình chiếu của B; M; A Trên trục hoành ta có :
ND = m+1; NC = 2- m ; CD = 3
S
AMB
=S
ABCD
- (S
AMNB
+ S
BCNM
)

( )
( )
( )

( )








+
+
++

+
=
2
24
2
11
2
41
.3
22
mmmm

8
27
8
27
2

1
2
3
2
633
2
2
+








=
++
=
m
mm

Đẳng thức xẩy ra khi
2
1
=
m
thoả mãn
-1

m

2. =>M (
2
1
;
4
1
) Khi đó tam giác MAB có diện tích lớn nhất .
Bài 3 : ( 4 điểm )
1điểm
1điểm
1điểm
2điểm
1điểm
y
H
A
K
C
I
B
D