De thi HSG lop 9(Co dap an day du)

trờng thcs yên bái
đề thi học sinh giỏi môn toán 9
năm học 2006 - 2007
Câu 1: (2đ)
Cho hàm số f(x) =
44
2
+
xx
a) Tính f(-1); f(5)
b) Tìm x để f(x) = 10
c) Rút gọn A =
4
)(
2

x
xf
khi x
2

Câu 2: (1đ)
Giải hệ phơng trình



+=+
+=
)3)(72()72)(3(
)4)(2()2(
yxyx

yxyx
Câu 3: (2,5đ)
Cho biểu thức
A =









+












+
1
:
1

1
1
1
x
x
x
x
x
x
xx
với x > 0 và x 1
a) Rút gọn A
2) Tìm giá trị của x để A = 3
Câu 4: (3đ)
Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB.
Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính BC.
a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH
b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d.
Câu 5: (1,5đ)
Cho phơng trình 2x
2
+ (2m - 1)x + m - 1 = 0
Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thỏa
mãn: 3x
1
- 4x

2
= 11
®¸p ¸n vµ híng dÉn chÊm
C©u 1
a) f(x) =
2)2(44
22
−=−=+−
xxxx
(0,25®)
Suy ra f(-1) = 3; f(5) = 3 (0,5®)
b)



−=
=
⇔



−=−
=−
⇔=
8
12
102
102
10)(
x

x
x
x
xf
(0,5®)
c)
)2)(2(
2
4
)(
2
+−
−
=
−
=
xx
x
x
xf
A
(0,25®)
Víi x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra
2
1
+
=
x
A
(0,25®)

Víi x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra
2
1
+
−=
x
A
(0,25®)
C©u 2



=
=
⇔



=+
−=−
⇔



−+−=−+−
−−+=−
⇔




+−=+−
−+=−
2y
-2x


0
4
2167221762
8422
)3)(72()72)(3(
)4)(2()2(
yx
yx
xyxyxyxy
xyxyxxy
yxyx
yxyx
(1®)
C©u 3
a) Ta cã: A =








−

+








−
−
−
−
+
1
:
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
xx
=









−
+
−
−








−
−
−
+−
+−+
11
)1(
:
1
1
)1)(1(
)1)(1(

x
x
x
xx
x
x
xx
xxx
(1®)
=








−
+−








−
−

−
−
+−
1
:
1
1
1
1
x
xxx
x
x
x
xx
=
1
:
1
11
−−
+−+−
x
x
x
xxx
=
1
:
1

2

+
x
x
x
x
=
x
x
x
x 1
1
2



+
=
x
x

2
(1đ)
b) A = 3 =>
x
x

2
= 3 => 3x +

x
- 2 = 0 => x = 2/3 (0,5đ)
Câu 4
a) Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam
giác CPB ta có
CB
CH
PB
EH
=
; (1) (0,5đ)
Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)
=> POB = ACB (hai góc đồng vị)
=> AHC

POB
Do đó:
OB
CH
PB
AH
=
(2) (0,75đ)
Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trung điểm của
AH. (0,25đ)
b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH
2
= BH.CH = (2R - CH).CH
Theo (1) và do AH = 2EH ta có
.)2(

2PB
AH.CB
2PB
AH.CB
AH
2
=
R
(0,5đ)

AH
2
.4PB
2
= (4R.PB - AH.CB).AH.CB

4AH.PB
2
= 4R.PB.CB - AH.CB
2

AH (4PB
2
+CB
2
) = 4R.PB.CB (0,5đ)
O
B
C
H

E
A
P
2
222
222
222
2222
d
Rd.2.R
4R)R4(d
Rd.8R

(2R)4PB
4R.2R.PB
CB4.PB
4R.CB.PB
AH

=
+

=
+
=
+
=
(0,5đ)
Câu 5 (1đ)
Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x

1
; x
2
thì > 0
<=> (2m - 1)
2
- 4. 2. (m - 1) > 0
Từ đó suy ra m 1,5 (1)
Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:










=

=

=+
114x3x
2
1m
.xx
2
12m

xx
21
21
21










=



=
=
11
8m-26
77m
4
7
4m-13
3
8m-26
77m
x

7
4m-13
x
1
1
(0,5đ)
Giải phơng trình
11
8m-26
77m
4
7
4m-13
3 =



ta đợc m = - 2 và m = 4,125 (2) (0,75đ)
Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phơng
trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x
1
+ x
2
= 11 (0,25đ)