200 câu hình giải tích phẳng trong đề thi thử đại học

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 1

TĐP 01: ĐƯỜNG THẲNG

Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng dxy
1
:7170
-+=
,
dxy
2
:50
+-=
. Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với
dd
12
,
một tam
giác cân tại giao điểm của
dd
12
,
.

·
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d
1
, d

2
là:

xyxy
x y ( )
x y ( )
1
2222
2
7175
3130
340
1(7)11
D
D
-++-
é+-=
=Û
ê
=
ë
+-+

Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với
1
D
hoặc
2
D
.

KL:
xy
330
+-=
và
xy
310
-+=


Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng dxy
1
:2 50
-+=
.
dxy
2
:3 6 –7 0
+=
. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường thẳng
đó cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường
thẳng d
1
, d
2
.

·
d
1
VTCP a
1
(2; 1)
=-
r
; d
2
VTCP a
2
( 3 ; 6 )
=
r

Ta có: aa
12
. 2.3 1.6 0
=-=
u ur u ur
nên
dd
12
^
và d
1
cắt d
2

tại một điểm I khác P. Gọi d là đường
thẳng đi qua P( 2; –1) có phương trình:
dAxByAxByAB
:(2)(1)020
-++=Û+-+=

d cắt d
1
, d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh I
Û
khi d tạo với d
1
( hoặc d
2
) một góc 45
0

AB
AB
AABB
BA
AB
022
2222
2
3
cos 45 3 8 3 0
3

2(1)
-
é =
Û=Û =Û
ê
=-
ë
++-

* Nếu A = 3B ta có đường thẳng
dxy
:3 50
+-=

* Nếu B = –3A ta có đường thẳng
dxy
:350
=

Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán.
dxy
:3 50
+-=
;
dxy
:350
=
.
Câu hỏi tương tự:
a) dxy

1
:7170
-+=
, dxy
2
:50
+-=
,
P
(0;1)
. ĐS:
xy
330
+-=
;
xy
310
-+=
.

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng dxy
1
:3 50
++=
, dxy
2
:3 10
++=
và điểm
I

( 1 ; 2 )
-
. Viết phương trình đường thẳng D đ i qua I và cắt
dd
12
,
lần lượt tại A và B sao cho
AB
22
= .

·
Giả sử
AaadBbbd
12
(; 3 5) ; (; 3 1)
Î Î
; IAaaIBbb
(1;33); (1;31)
= = +
uur uur

I, A, B thẳng hàng
bka
IB kIA
bka
1(1)
31(33)
ì - = -
Þ=Û

í
-+=
î
uur uur


·
Nếu
a
1
=
thì
b
1
=

Þ
AB = 4 (không thoả) .

·
Nếu
a
1
¹
thì
b
baab
a
1
31(33)32

1
-
-+= Û= -
-

AB b a a b t t
2
222
()3()422(34)8
éù
=-+-+=Û++=
ëû
(với
tab
=-
) .
tttt
2
2
512402;
5
Û + + = Û =- =-

+ Với
tabba
220,2
=- Þ - =- Þ = =-

xy
:10

ÞD++=



PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 2

+ Vi tabba
2242
,
5555

=ị-=ị= =

xy
:7 90
ịD =


Cõu 4. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:10
++=
,
dxy
2
:210
=
. Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M(1;1) ct (d
1

) v (d
2
) tn g
ng ti A v B sao cho MA MB
20
+=
uuur uuur r
.

ã
Gi s: A(a; a1), B(b; 2b 1).
T iu kin MA MB
20
+=
uuur uuur r
tỡm c A(1; 2), B(1;1) suy ra (d): x 1 = 0

Cõu 5. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 0). Lp phng trỡnh ng thng (d)
i qua M v ct hai ng thng dxy dxy
12
:10,:220
++=+=
ln lt ti A, B sao cho
MB = 3MA.

ã

Ad
AaaMAaa
BdBbb

MB b b
1
2
()
(;1 ) ( 1;1 )
()(22;)
(2 3; )
ỡ
ỡ ẻ
ùỡ
=
ị
ớớớ
ẻ-
=-
ợ
ù
ợ
ợ
uuur
uuur
.
T A, B, M thng hng v
MB MA
3
=

ị

MB MA

3=
uuur uuur
(1) hoc
MB MA
3=-
uuur uuur
(2)
(1)
ị

A
dxy
B
21
;
():510
33
(4;1)
ỡ
ổử
ù
ỗữ
ị =
ớ
ốứ
ù

ợ
hoc (2)
ị

(
)
A
dxy
B
0 ; 1
():10
(4;3)
ỡ
-
ị =
ớ
ợ


Cõu 6. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im M(1; 1). Lp phng trỡnh ng thng (d)
i qua M v ct hai ng thng dxy dxy
12
:3 50,: 40
=+-=
ln lt ti A, B sao cho
MA MB
230
=
.

ã
Gi s
Aaad

1
(;35)
-ẻ
,
Bbbd
2
(;4)
-ẻ
.
Vỡ A, B, M thng hng v
MA MB
23
=
nờn
MA MB
MA MB
23(1)
23(2)
ộ
=
ờ
=-
ở
uuur uuur
uuur uuur

+
ab
a
AB

ab
b
5
55
2 ( 1 ) 3 ( 1 )
( 1 ) ; , ( 2 ; 2 )
2
2(3 6) 3(3 )
22
2
ỡ
ổử
ùỡ
-=-
=
ị
ớớ
ỗữ
-=-
ợ
ốứ
ù
=
ợ
. Suy ra
dxy
:0
-=
.
+

aba
AB
abb
2(1) 3(1) 1
(2) (1; 2), (1;3)
2(3 6) 3(3 ) 1
ỡỡ-= =
ị-
ớớ
-= =
ợợ
. Suy ra
dx
:10
-=
.
Vy cú
dxy
:0
-=
hoc
dx
:10
-=
.

Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im M(3; 1). Vit phng trỡnh ng thng d i
qua M ct cỏc tia Ox, Oy ti A v B sao cho
OA OB
(3)

+
nh nht.

ã
PT ng thng d ct tia Ox ti A(a;0), tia Oy ti B(0;b):
xy
ab
1
+=
(a,b>0)
M(3; 1)
ẻ
d
Cụ si
ab
abab
3131
12.12
-
=+ị
.
M OA OB a b ab
332312
+=+=

ab
a
OA OB
b
ab

min
3
6
(3)12
311
2
2
ỡ =
ù ỡ
=
ị+=
ớớ
=
==
ợ
ù
ợ

Phng trỡnh ng thng d l:
xy
xy
1360
62
+=+-=



Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 3

Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(4;1)
v ct cỏc tia Ox, Oy ln lt ti A v B sao cho giỏ tr ca tng
OA OB
+
nh nht.

ã

xy
260
+-=


Cõu 9. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng d i qua im M(1; 2)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O sao cho
OA OB
22
94
+
nh nht.

ã
ng thng (d) i qua
M
( 1 ; 2 )
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti A, B khỏc O, nờn
AaBb
(;0);(0;)
vi
ab

.0
ạ

ị
Phng trỡnh ca (d) cú dng
xy
ab
1
+=
.
Vỡ (d) qua M nờn
ab
12
1
+=
. p dng bt ng thc Bunhiacụpski ta cú :

abab
ab
22
22
12132194
1.1.1
39
ổửổửổửổử
=+=+Ê++
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ

ab
22
949
10
+



OA OB
22
949
10
+
.
Du bng xy ra khi
ab
132
:1:
3
= v
ab
12
1
+=


ab
20
10,

9
==
ị

dxy
:29200
+-=
.

Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng thng D i qua im M(3;1)
v ct cỏc trc Ox, Oy ln lt ti B v C sao cho tam giỏc ABC cõn ti A vi A(2;2).

ã

xyxy
3 60; 20
+-= =


Cõu 11. Trong mt phng vi h ta (Oxy). Lp phng trỡnh ng thng d qua
M
(2;1)
v to
vi cỏc trc ta mt tam giỏc cú din tớch bng
S
4
=
.

ã

Gi
AaBbab
( ;0), (0; ) ( , 0)
ạ
l giao im ca d vi Ox, Oy, suy ra:
xy
d
ab
:1
+=
.
Theo gi thit, ta cú:
ab
ab
21
1
8
ỡ
+=
ù
ớ
ù
=
ợ



baab
ab
2

8
ỡ
+=
ớ
=
ợ
.

ã
Khi
ab
8
=
thỡ
ba
28
+=
. Nờn: badxy
1
2 ; 4 : 2 4 0
==ị+-=
.

ã
Khi
ab
8
=-
thỡ
ba

28
+=-
. Ta cú: bbb
2
440222
+-==-.
+ Vi
(
)
(
)
bdxy
222:1221240
=-+ị-++-=

+ Vi
(
)
(
)
bdxy
222:1221240
= ị++-+=
.
Cõu hi tng t:
a)
MS
(8;6), 12
=
. S:

dxy
:32120
=
;
dxy
:38240
-+=


Cõu 12. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(2; 1) v ng thng d cú phng trỡnh
xy
230
+=
. Lp phng trỡnh ng thng (D) qua A v to vi d mt gúc cú cos
1
10
= .

ã
PT ng thng (
D
) cú dng:
axby
(2)(1)0
++=



ax by a b
2 0

++=
ab
22
(0)
+ạ

Ta cú:
ab
ab
22
21
cos
10
5 ( )
a
-
==
+

7a
2
8ab + b
2
= 0. Chon a = 1
ị
b = 1; b = 7.

ị
(
D

1
): x + y 1 = 0 v (
D
2
): x + 7y + 5 = 0


PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 4

Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm
A
(2;1)
và đường thẳng
dxy
:2340
++=
.
Lập phương trình đường thẳng D đi qua A và tạo với đường thẳng d một góc
0
45
.

·
PT đường thẳng (
D
) có dạng:
axby
(–2)(1)0
+-=

Û

ax by a b
–(2 )0
++=
ab
22
(0)
+¹
.
Ta có:
ab
ab
0
22
23
cos45
13.
+
=
+

Û
aabb
22
52450
=

Û

ab
ab
5
5
é =
ê
=-
ë

+ Với
ab
5
=
. Chọn
ab
5 , 1
==

Þ
Phương trình
xy
:5 110
D
+-=
.
+ Với
ab
5
=-
. Chọn

ab
1 , 5
==-

Þ
Phương trình
xy
:530
D
-+=
.

Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho đường thẳng
dxy
:2 20
=
và điểm
I
( 1 ; 1 )
.
Lập phương trình đường thẳng D cách điểm
I
một khoảng bằng
10
và tạo với đường thẳng
d
một góc bằng
0

45
.

·
Giả sử phương trình đườ ng thẳng
D
có dạng:
ax by c
0
++=
ab
22
(0)
+¹
.
Vì
·
d
0
(,)45
D
= nên
ab
ab
22
2
1
2
.5
-

=
+

ab
ba
3
3
é =
Û
ê
=-
ë


·
Với
ab
3
=

Þ

D
:
xyc
30
++=
. Mặt khác dI
(;)10
D

=
c4
10
10
+
Û=
c
c
6
14
é =
Û
ê
=-
ë


·
Với
ba
3
=-
Þ

D
:
xyc
30
-+=
. Mặt khác dI

(;)10
D
=
c2
10
10
-+
Û=
c
c
8
12
é
=-
Û
ê
=
ë

Vậy các đường thẳng cần tìm:
xy
360;
++=
xy
3140
+-=
;
xy
380;
=

xy
3120
-+=
.

Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho điểm
M
(0; 2) và hai đường thẳng
d
1
,
d
2
có
phương trình lần lượt là
xy
320
++=
và
xy
340
-+=
. Gọi
A
là giao điểm của
d
1

và
d
2
.
Viết phương trình đường thẳng đ i qua M, cắt 2 đường thẳng
d
1
và
d
2
lần lượt tại
B
,
C

(
B
và
C
khác
A
) sao cho
AB AC
22
11
+
đạt giá trị nhỏ nhất.

·
AddA

12
(1;1)
=ÇÞ Ta có
dd
12
^
. Gọi
D
là đường thẳng cần tìm. H là hình chiếu
vuông góc của A trên
D
. ta có:
AB AC AH AM
2222
1111
+=³
(không đổi)

Þ
AB AC
22
11
+
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
AM
2
1
khi H
º
M, hay

D
là đường thẳng đi qua M
và vuông góc với AM.
Þ
Phương trình
D
:
xy
20
+-=
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với
M
( 1 ; 2 )
-
, dxy
1
:3 50
++=
, dxy
2
:350
-+=
. ĐS:
xy
:10
D
++=
.

Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng
dxy
():–3–40
=
và đường
tròn Cxyy
22
():–40
+=
. Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối xứng qua điểm
A(3; 1).

·
M
Î
(d)
Þ
M(3b+4; b)
Þ
N(2 – 3b; 2 – b)
N
Î
(C)
Þ
(2 – 3b)
2
+ (2 – b)
2
– 4(2 – b) = 0

Þ
b b
6
0 ;
5
==



Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 5

Vy cú hai cp im: M(4;0) v N(2;2) hoc M N
38 6 8 4
;,;
5555
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứ


Cõu 17. Trong mt phng ta Oxy, cho im A(1; 1) v ng thng D :
xy
2340
++=
. Tỡm
im B thuc ng thng D sao cho ng thng AB v D hp vi nhau gúc
0
45

.

ã

D
cú PTTS:
xt
yt
13
22
ỡ = -
ớ
=-+
ợ
v VTCP
u
(3;2)
=-
r
. Gi s
Btt
( 1 3 ; 2 2 )
D
+ẻ
.
AB
0
(,)45
D
=

ị
AB u
1
cos( ; )
2
=
u u ur r

AB u
AB u
.1
.
2
=
u u ur
r
r

t
tt
t
2
15
13
169 156 45 0
3
13
ộ
=
ờ

=
ờ
ờ
=-
ở
.
Vy cỏc im cn tỡm l: BB
12
32 4 22 32
;,;
13 13 13 13
ổửổử

ỗữỗữ
ốứốứ
.

Cõu 18. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng
dxy
:360
=
v im
N
( 3 ; 4 )
.
Tỡm ta im M thuc ng thng d sao cho tam giỏc OMN (O l gc ta ) cú din tớch
bng
15
2
.

ã
Ta cú ON
( 3 ; 4 )
=
uuur
, ON = 5, PT ng thng ON:
xy
430
-=
. Gi s
Mmmd
( 3 6 ; )
+ẻ
.
Khi ú ta cú
ONM
ONM
S
S dMON ON dMON
ON
2
1
(, ). (, ) 3
2
D
D
===

mm
mmm
4.(3 6) 3 13
3 9 24 15 1;
53
+- -
=+==-=
+ Vi
mM
1(3;1)
=-ị-
+ Vi mM
13 13
7 ;
33
ổử

=ị-
ỗữ
ốứ


Cõu 19. Trong mt phng to
Oxy
,
cho im
A
(0;2)

v ng thng
dxy
:220
-+=
. Tỡm
trờn ng thng d hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng
B
v AB = 2BC .

ã
Gi s
BbbCccd
(2 2; ), (2 2; )
ẻ
.
Vỡ
D
ABC vuụng B nờn AB
^
d


d
AB u
.0
=
u u ur
r

B
26
;
55
ổử
ỗữ
ốứ

ị
AB
25
5
=
ị
BC
5
5
=
BC c c
2
1
125 300 180
5
=-+=
5
5



cC

cC
1(0;1)
747
;
555
ộ = ị
ờ
ổử
ờ = ị
ỗữ
ốứ
ở


Cõu 20. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng dxy
1
:30
+-=
, dxy
2
:90
+-=
v
im
A
( 1 ; 4 )
. Tỡm im
BdCd
12
,

ẻẻ
sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A.

ã
Gi
BbbdCccd
12
(;3),(;9)
-ẻ-ẻ

ị

AB b b
(1;1)
=
u u ur
,
AC c c
(1;5)
=
uuur
.

D
ABC vuụng cõn ti A


AB AC
AB AC
.0

ỡ
=
ớ
=
ợ
uuur uuur



bcbc
bbcc
2222
( 1)( 1) ( 1)(5 ) 0
(1)(1)(1)(5)
ỡ- + -=
ớ
-++=-+-
ợ
(*)
Vỡ
c
1
=
khụng l nghim ca (*) nờn


PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 6

(*)

bc
b
c
c
bbcc
c
2
2222
2
( 1)(5 )
1(1)
1
(5 )
(1) (1)(1)(5)(2)
(1)
ỡ + -
-=
ù
-ù
ớ
-
ù
+++=-+-
ù
-
ợ

T (2)

bc
22
( 1) ( 1)
+=-



bc
bc
2
ộ
=-
ờ
=-
ở
.
+ Vi
bc
2
=-
, thay vo (1) ta c
cb
4 , 2
==

ị

BC
(2;1), (4;5)

.
+ Vi
bc
=-
, thay vo (1) ta c
cb
2 , 2
==-

ị

BC
( 2; 5), (2; 7)
-
.
Vy:
BC
(2;1), (4;5)
hoc
BC
( 2; 5), (2; 7)
-
.

Cõu 21. Trong mt phng to Oxy, cho cỏc im A(0; 1) B(2; 1) v cỏc ng thng cú
phng trỡnh: dmxmym
1
:(1)(2)2 0
++=
; dmxmym

2
:(2)(1)350
++=
. Chng
minh d
1
v d
2
luụn ct nhau. Gi P = d
1
ầ d
2
. Tỡm m sao cho
PA PB
+
ln nht.

ã
Xột H PT:
mxmym
mxmym
(1)(2)2
(2 ) ( 1) 3 5
ỡ - + - = -
ớ
-+-=-+
ợ
.
Ta cú
mm

Dmm
mm
2
31
12
20,
21
22
ổử

==-+>"
ỗữ

ốứ


ị

dd
12
,
luụn ct nhau. Ta cú:
AdBddd
1212
(0;1) , (2; 1) ,
ẻ-ẻ^

ị

D

APB vuụng ti P
ị
P
n m trờn ng trũn ng kớnh AB. Ta cú: PA PB PA PB AB
2222
()2()216
+Ê+==


ị

PA PB
4
+Ê
. Du "=" xy ra

PA = PB

P l trung im ca cung
ằ
AB



P(2; 1) hoc P(0; 1)


m
1
=

hoc
m
2
=
. Vy
PA PB
+
ln nht


m
1
=
hoc
m
2
=
.

Cõu 22. Trong mt phng to Oxy, cho ng thng (D):
xy
2 2 0
=
v hai im
A
(1;2)
-
,
B
( 3 ; 4 )

. Tỡm im M
ẻ
(D) sao cho
MA MB
22
2
+
cú giỏ tr nh nht.

ã
Gi s M MttAMttBMtt
(2 2; ) (2 3; 2), (2 1; 4)
D
+ ẻị =+- =
uuur uuur

Ta cú:
AM BM t t f t
222
2 15 4 43 ( )
+=++=
ị
ftf
2
min ( )
15
ổử
=-
ỗữ
ốứ

ị
M
26 2
;
15 15
ổử
-
ỗữ
ốứ


Cõu 23. Trong mt phng to Oxy, cho ng thng
dxy
:2 30
-+=
v 2 im
AB
( 1 ; 0 ) , ( 2 ; 1 )
.
Tỡm im M trờn d sao cho
MA MB
+
nh nht.

ã
Ta cú:
AABB
xyxy
(2 3).(2 3) 30 0

-+-+=>

ị
A, B nm cựng phớa i vi d.
Gi A
Â
l im i xng ca A qua d
ị

A
(3;2)
Â
-

ị
Phng trỡnh
ABxy
:570
Â
+-=
.
Vi mi im M
ẻ
d, ta cú:
MA MB MA MB A B
ÂÂ
+=+
.
M
MA MB

Â
+
nh nht

A
Â
, M, B thng hng

M l giao im ca A
Â
B vi d.
Khi ú: M
817
;
11 11
ổử
-
ỗữ
ốứ
.





Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 7

TP 02: NG TRềN

Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, gi A, B l cỏc giao im ca ng thng (d):
xy
250
=
v ng trũn (C): xyx
22
20 50 0
+-+=
. Hóy vit phng trỡnh ng trũn
(C) i qua ba im A, B, C(1; 1).

ã
A(3; 1), B(5; 5)
ị
(C): xyxy
22
48100
+ +=


Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC cú din tớch bng
3
2
, A(2; 3),
B(3; 2), trng tõm ca DABC nm trờn ng thng
dxy
:380
=
. Vit phng trỡnh
ng trũn i qua 3 im A, B, C.

ã
Tỡm c C
( 1 ; 1 )
1
-
, C
2
( 2; 10)

+ Vi C
1
( 1 ; 1 )
-

ị
(C):
22
xyxy
11 11 16
0
333
+-++=

+ Vi C
2
( 2; 10)

ị
(C):

22
xyxy
91 91 416
0
333
+-++=


Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ba ng thng: dxy
1
:2 30
+-=
,
dxy
2
:3450
++=
, dxy
3
:4320
++=
. Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc d
1
v
tip xỳc vi d
2
v d
3
.

ã
Gi tõm ng trũn l
Itt
(;32)
-

ẻ
d
1
.
Khi ú:
dId
dId
23
)(,)
(,
=


tt
tt
34(32)5
5
43(32)2
5
+-+
=
+-+

t
t
2
4
ộ
ờ
ở
=
=

Vy cú 2 ng trũn tho món: xy
22
49
25
(2)(1)=-++ v xy
22
9
(4)(5)
25
-++=.
Cõu hi tng t:
a) Vi dxy
1
:6100
=
, dxy
2
:3450
++=

, dxy
3
:4350
=
.
S: xy
22
( 10) 49
-+=
hoc xy
222
10 70 7
43 43 43
ổửổửổử
-++=
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
.

Cõu 4. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng
D
:
xy
380
++=
,
xy
':34100
D
-+=

v im A(2; 1). Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm thuc ng
thng
D
, i qua im A v tip xỳc vi ng thng DÂ.

ã
Gi s tõm
Itt
(38;)


ẻ

D
Ta cú:
dIIA
(,)
D
Â
=




tt
tt
22
22
3 ( 3 8 ) 4 1 0
(382)(1)

34
+
= ++-
+



t
3
=-

ị

IR
( 1 ; 3 ) , 5
-=

PT ng trũn cn tỡm: x y
22
(1)(3)25
-++=
.

Cõu 5. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng thng
xy
:4330
D
-+=
v
xy

':34310
D
=
. Lp phng trỡnh ng trũn
C
()
tip xỳc vi ng thng
D
ti im
cú tung bng 9 v tip xỳc vi
'.
D
Tỡm ta tip im ca
C
()
v
'
D
.

ã
Gi
Iab
(;)
l tõm ca ng trũn (C).
C
()
tip xỳc vi
D
ti im

M
(6; 9)
v
C
()
tip
xỳc vi
D
Â
nờn


PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 8


aa b a b
dI dI
aa
IM u
abab
54 34 3 3 3 4 31
(, ) (, ')
433685
45 5
( 3 ; 4 )
3(6)4(9)0 34 54
D
DD
ỡỡ

+
ỡ
=
ùù
-+=-=

ớớớ
^=
ợ
ùù
-+-=+=
ợợ
u u ur
r


aa
ab
a
ab
b
25 150 4 6 85
10; 6
54 3
190; 156
4
ỡ
-=-
ùộ
==

-
ớ
ờ
=-=
=
ở
ù
ợ

Vy: Cxy
22
( ) : ( 10) ( 6) 25
-+-=
tip xỳc vi
'
D
ti
N
(13;2)

hoc Cxy
22
( ) : ( 190) ( 156) 60025
++-= tip xỳc vi
'
D
ti
N
( 43; 40)

Cõu 6. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn i qua
A
(2; 1)
-
v tip
xỳc vi cỏc trc to .

ã
Phng trỡnh ng trũn cú dng:
xayaaa
xayaab
222
222
()()()
()()()
ộ
-++=
ờ
-+-=
ờ
ở

a)
ị

aa
1 ; 5

==
b)
ị
vụ nghim.
Kt lun: xy
22
(1)(1)1
-++=
v xy
22
( 5) ( 5) 25
-++=
.

Cõu 7. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng
dxy
():240
=
. Lp phng
trỡnh ng trũn tip xỳc vi cỏc trc ta v cú tõm trờn ng thng (d).

ã
Gi
Immd
(;24)()
-ẻ
l tõm ng trũn cn tỡm. Ta cú: mmmm
4
244,
3

=-==
.

ã
m
4
3
=
thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy
22
4416
339
ổửổử
-++=
ỗữỗữ
ốứốứ
.

ã

m
4
=
thỡ phng trỡnh ng trũn l: xy
22
( 4) ( 4) 16
-+-=
.

Cõu 8. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho im A(1;1) v B(3;3), ng thng (D):

xy
3480
+=
. Lp phng trỡnh ng trũn qua A, B v tip xỳc vi ng thng (D).

ã
Tõm I ca ng trũn nm trờn ng trung trc d ca on AB
d qua M(1; 2) cú VTPT l AB
(4;2)
=
u u ur
ị
d: 2x + y 4 = 0
ị
Tõm I(a;4 2a)
Ta cú IA = d(I,D) aaa
2
11 8 5 5 10 10
-=-+


2a
2
37a + 93 = 0


a
a
3
31

2
ộ =
ờ
=
ờ
ở


ã
Vi a = 3
ị
I(3;2), R = 5
ị
(C): (x 3)
2
+ (y + 2)
2
= 25

ã
Vi a =
31
2

ị
I
31
;27
2
ổử

-
ỗữ
ốứ
, R =
65
2

ị
(C): xy
2
2
31 4225
(27)
24
ổử
-++=
ỗữ
ốứ


Cõu 9. Trong h to
Oxy
cho hai ng thng
dxy
:230
+-=
v
xy
:350
D

+-=
. Lp
phng trỡnh ng trũn cú bỏn kớnh bng
210
5
, cú tõm thuc
d
v tip xỳc vi
D
.

ã
Tõm I
ẻ

d

ị
Iaa
(23;)
-+
. (C) tip xỳc vi
D
nờn:

dIR
(,)
D
=
a 2

210
5
10
-
=
a
a
6
2
ộ =

ờ
=-
ở



Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 9


ị
(C): xy
22
8
(9)(6)
5
++-=
hoc (C): xy
22

8
(7)(2)
5
-++=
.

Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
4340
++-=
. Tia Oy
ct (C) ti A. Lp phng trỡnh ng trũn (CÂ), bỏn kớnh RÂ = 2 v tip xỳc ngoi vi (C) ti
A.

ã
(C) cú tõm I
(23;0)
- , bỏn kớnh R= 4; A(0; 2). Gi I
Â
l tõm ca (C
Â
).
PT ng thng IA :
xt
yt
23
22
ỡ
=
ớ

=+
ợ
,
IIA
'
ẻ

ị
Itt
(2 3 ; 2 2)
Â
+
.
AI I A t I
1
2'(3;3)
2
Â
==ị
uur uur

ị
(C
Â
) : xy
22
(3)(3)4
-+-=

Cõu 11. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyy
22
450
+=
. Hóy vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) i xng vi ng trũn (C) qua im M
42
;
55
ổử
ỗữ
ốứ


ã
(C) cú tõm I(0;2), bỏn kớnh R = 3. Gi I l im i xng ca I qua M

ị
I
Â
86
;
55
ổử
-
ỗữ
ốứ

ị
(C

Â
): xy
22
86
9
55
ổửổử
-++=
ỗữỗữ
ốứốứ


Cõu 12. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xyxy
22
2420
+-++=
. Vit
phng trỡnh ng trũn (CÂ) tõm M(5; 1) bit (CÂ) ct (C) ti hai im A, B sao cho
AB
3
= .

ã
(C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R
3
= . PT ng thng IM:
xy
34110
=
. AB

3
= .
Gi
Hxy
(;)
l trung im ca AB. Ta cú:
HIM
IH R AH
22
3
2
ỡ ẻ
ù
ớ
=-=
ù
ợ



xy
xy
22
34110
9
(1)(2)
4
ỡ - - =
ù
ớ

-++=
ù
ợ




xy
xy
129
;
510
11 11
;
510
ộ
=- =-
ờ
ờ
ờ
==-
ở

ị
H
129
;
510
ổử

ỗữ
ốứ
hoc H
11 11
;
510
ổử
-
ỗữ
ốứ
.

ã
Vi H
129
;
510
ổử

ỗữ
ốứ
. Ta cú RMHAH
222
43
Â
=+=

ị
PT (C
Â

) : xy
22
(5)(1)43
-+-=
.

ã
Vi H
11 11
;
510
ổử
-
ỗữ
ốứ
. Ta cú RMHAH
222
13
Â
=+=

ị
PT (C
Â
) : xy
22
(5)(1)13
-+-=
.

Cõu 13. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)4
-+-=
v im
K
( 3 ; 4 )
. Lp phng trỡnh ng trũn (T) cú tõm K, ct ng trũn (C) ti hai im A, B sao
cho din tớch tam giỏc IAB ln nht, vi I l tõm ca ng trũn (C).

ã
(C) cú tõm
I
( 1 ; 2 )
, bỏn kớnh
R
2
=
.
IAB
S
D
ln nht


D
IAB vuụng ti I

AB
22

= .
M IK
22
= nờn cú hai ng trũn tho YCBT.
+
T
1
()
cú bỏn kớnh RR
1
2
==

ị
Txy
22
1
():(3)(4)4
-+-=



PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 10

+
T
2
()
cú bỏn kớnh R

22
2
(3 2) ( 2) 2 5
=+=
ị
Txy
22
1
():(3)(4)20
-+-=
.

Cõu 14. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh ng trũn ni tip tam giỏc ABC
vi cỏc nh: A(2;3), BC
1
;0 , (2;0)
4
ổử
ỗữ
ốứ
.

ã
im D(d;0) d
1
2
4
ổử
<<
ỗữ

ốứ
thuc on BC l chõn ng phõn giỏc trong ca gúc A
khi v ch khi
( )
( )
d
DB AB
ddd
D C A C d
2
2
2
2
9
1
3
4
4
41631.
2
43
ổử
+-
ỗữ
-
ốứ
==ị-=-ị=
-
+-

Phng trỡnh AD:
xy
xy
23
10
33
+-
=+-=
-
; AC:
xy
xy
23
3460
43
+-
=+-=
-

Gi s tõm I ca ng trũn ni tip cú tung l b. Khi ú honh l
b
1
-
v bỏn kớnh
cng bng b. Vỡ khong cỏch t I ti AC cng phi bng b nờn ta cú:

(
)
bb
bbb

22
3146
35
34
-+-
=-=
+

ị

bbb
bbb
4
35
3
1
35
2
ộ
-=ị=-
ờ
ờ
ờ
-=-ị=
ở

Rừ rng ch cú giỏ tr b
1
2
=

l hp lý.
Vy, phng trỡnh ca ng trũn ni tip
D
ABC l: xy
22
111
224
ổửổử
-+-=
ỗữỗữ
ốứốứ


Cõu 15. Trong mt phng to Oxy, cho hai ng thng (d
1
):
xy
43120
=
v (d
2
):
xy
43120
+-=
. Tỡm to tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc cú 3 cnh nm trờn
(d
1
), (d
2

) v trc Oy.

ã
Gi
AddBdOyCdOy
1212
,,=ầ =ầ =ầ
ị

ABC
(3;0), (0; 4), (0; 4)
-

ị

D
ABC cõn nh A
v AO l phõn giỏc trong ca gúc A. Gi I, R l tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip
D
ABC

ị
IR
44
;0,
33
ổử
=
ỗữ
ốứ

.

Cõu 16. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng thng d :
xy
10
=
v hai ng trũn cú
phng trỡnh: (C
1
): xy
22
(3)(4)8
-++=
, (C
2
): xy
22
( 5) ( 4) 32
++-=
. Vit phng trỡnh
ng trũn (C) cú tõm I thuc d v tip xỳc ngoi vi (C
1
) v (C
2
).

ã
Gi I, I
1
, I

2
, R, R
1
, R
2
ln lt l tõm v bỏn kớnh ca (C), (C
1
), (C
2
). Gi s
Iaad
(;1)
ẻ
.
(C) tip xỳc ngoi vi (C
1
), (C
2
) nờn
II R R II R R II R II R
11221122
,
=+ =+ ị =


aaaa
2222
( 3) ( 3) 2 2 ( 5) ( 5) 4 2
-++-=-++-

a = 0
ị
I(0; 1), R =
2


ị
Phng trỡnh (C): xy
22
(1)2
++=
.

Cõu 17. Trong mt phng vi h to Oxy, cho tam giỏc ABC vi A(3; 7), B(9; 5), C(5; 9),
M(2; 7). Vit phng trỡnh ng thng i qua M v tip xỳc vi ng trũn ngoi tip
DABC.


Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 11


·
y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0.

Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
( )
Cxyx
22
:20

++=
. Viết phương trình tiếp
tuyến của
(
)
C
, biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng
30
o
.

·
CxyIR
22
():(1)1(1;0);1
++=Þ-=
. Hệ số góc của tiếp tuyến (
D
) c ần tìm là
3
±
.

Þ
PT (
D
) có dạng xyb
1
:30
D

-+=
hoặc xyb
2
:30
D
++=

+ xyb
1
:30
D
-+=
tiếp xúc (C)
dIR
1
(,)
D
Û=

b
b
3
123
2
-
Û=Û=±+.
Kết luận: xy
1
():3230
D

-±+ =

+ xyb
2
():30
D
++=
tiếp xúc (C)
dIR
2
(,)
D
Û=
b
b
3
123
2
-
Û=Û=±+.
Kết luận: xy
2
():3230
D
+±+=
.

Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
6250

+ +=
và
đường thẳng (d):
xy
330
+-=
. Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C), biết tiếp
tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc
0
45
.

·
(C) có tâm I(3; 1), bán kính R =
5
. Giả sử (
D
):
ax by c c
0(0)
++=¹
.
Từ:
dI
d
(,)5
2
cos( , )
2
D

D
ì
=
ï
í
=
ï
î

Þ

abc
abc
2 , 1, 10
1 , 2 , 1 0
é
= =- =-
ê
===-
ë

Þ

xy
xy
:2 100
:2100
D
D
é

=
ê
+-=
ë
.
Câu 20. Trong hệ toạ độ
Oxy
, cho đường tròn Cxy
22
( ) : ( 1) ( 1) 10
-+-=
và đường thẳng
dxy
:2 20
=
. Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn
C
()
, biết tiếp tuyến tạo với
đường thẳng
d
một góc
0
45
.

·
(C) có tâm
I
( 1 ; 1 )

bán kính R
10
= . Gọi
nab
(;)
=
r
là VTPT của tiếp tuyến
D
ab
22
(0)
+¹
,
Vì
·
d
0
(,)45
D
= nên
ab
ab
22
2
1
2
.5
-
=

+

ab
ba
3
3
é =
Û
ê
=-
ë


·
Với
ab
3
=

Þ

D
:
xyc
30
++=
. Mặt khác
dIR
(;)
D

=
c4
10
10
+
Û=
c
c
6
14
é =
Û
ê
=-
ë


·
Với
ba
3
=-
Þ

D
:
xyc
30
-+=
. Mặt khác

dIR
(;)
D
=
c2
10
10
-+
Û=
c
c
8
12
é
=-
Û
ê
=
ë

Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm:
xy
360;
++=
xy
3140
+-=
;
xy
380;

=
xy
3120
-+=
.

Câu 21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(C
1
): xyxy
22
–2 –2 –2 0
+=
, (C
2
): xyxy
22
–8–2160
++=
.

·
(C
1
) có tâm I
1
( 1 ; 1 )
, bán kính R
1
= 2; (C

2
) có tâm I
2
(4;1)
, bán kính R
2
= 1.
Ta có:
IIRR
1212
3
==+

Þ
(C
1
) và (C
2
) t i ếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)

Þ
(C
1
) và (C
2
) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy.
* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài:
y ax b ax y b
(): (): 0
DD

=+Û-+=
ta có:


PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 12


ab
aa
dIR
ab
hay
dIR
ab
bb
ab
22
11
22
22
1
22
2
(;)
44
(;)
41
4 72 4 72
1

44
D
D
ỡ
+-
ỡỡ
=
ù
==-
ùù
ỡ=
ùùù
+

ớớớớ
=
+-
-+
ợ
ùùù
==
=
ùùù
ợợ
+
ợ

Vy, cú 3 tip tuyn chung: xyxyx
123
2472 2472

( ): 3,( ): ,( )
4444
DDD
+-
==-+=+

Cõu 22. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng trũn (C): xy
22
(2)(3)2
-+-=
v
(C): xy
22
(1)(2)8
-+-=
. Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca ( C ) v (C).

ã
(C) cú tõm I(2; 3) v bỏn kớnh R
2
= ; (C
Â
) cú tõm I
Â
(1; 2) v bỏn kớnh R
'22
= .
Ta cú:
II R R
'2

Â
==-
ị
(C) v (C
Â
) t i p xỳc trong
ị
Ta tip im M(3; 4).
Vỡ (C) v (C
Â
) t i p xỳc trong nờn chỳng cú duy nht mt tip tuyn chung l ng thng qua
im M(3; 4), cú vộc t phỏp tuyn l II
(1;1)
Â
=
u ur

ị
PTTT:
xy
70
+-=


Cõu 23. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng trũn Cxyy
22
1
():230
+ =
v

Cxyxy
22
2
():88280
+ +=
. Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca
C
1
()
v
C
2
()
.

ã

C
1
()
cú tõm I
1
(0;1)
, bỏn kớnh R
1
2
=
;
C
2

()
cú tõm I
2
(4;4)
, bỏn kớnh R
2
2
=
.
Ta cú:
II RR
12 12
54
=>=+

ị

CC
12
(),()
ngoi nhau. Xột hai trng hp:
+ Nu d // Oy thỡ phng trỡnh ca d cú dng:
xc
0
+=
.
Khi ú:
dIddIdcc
12
(,)(,)4

==+



c
2
=-

ị

dx
:20
-=
.
+ Nu d khụng song song vi Oy thỡ phng trỡnh ca d cú dng:
dyaxb
:
=+
.
Khi ú:
dId
dI d dI d
1
12
(,)2
(,) ( ,)
ỡ =
ớ
=
ợ

b
a
bab
aa
2
22
1
2
1
144
11
ỡ
-+
=
ù
ù
+
ớ
-+-+
ù
=
ù
++
ợ

ab
ab
ab
37
;
42
33
;
42
737
;
24 12
ộ
==
ờ
ờ
ờ
==-
ờ
ờ
=-=
ờ
ở


ị

dxy
:34140
-+=

hoc
dxy
:3460
=
hoc
dxy
: 7 24 74 0
+-=
.
Vy:
dx
:20
-=
;
dxy
:34140
-+=
;
dxy
:3460
=
;
dxy
: 7 24 74 0
+-=
.

Cõu 24. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho hai ng trũn Cxyy
22
1

():450
+ =
v
Cxyxy
22
2
():68160
+-++=
. Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca
C
1
()
v
C
2
()
.

ã

C
1
()
cú tõm I
1
(0;1)
, bỏn kớnh R
1
3
=

;
C
2
()
cú tõm I
2
( 3 ; 4 )
-
, bỏn kớnh R
2
3
=
.
Gi s tip tuyn chung
D
ca
CC
12
(),()
cú phng trỡnh: ax by c a b
22
0( 0)
++=+ạ
.

D
l tip tuyn chung ca
CC
12
(),()

dIR
dIR
11
22
(,)
(,)
D
D
ỡ=
ớ
=
ợ



bcab
abcab
22
22
23(1)
343(2)
ỡ
ù
+=+
ớ
-+=+ù
ợ

T (1) v (2) suy ra
ab
2
=
hoc
ab
c
32
2
-+
=.
+ TH1: Vi
ab
2
=
. Chn
b
1
=

ị
ac
2 , 2 3 5
==-
ị
xy
:2 2350
D
+-=

Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 13

+ TH2: Vi
ab
c
32
2
-+
=. Thay vo (1) ta c:
a
abab
ab
22
0
22
4
3
ộ =
ờ
-=+
=-
ờ
ở
.

ị

y
:20
D
+=
hoc
xy
:4390
D
=
.

Cõu 25. Trong mt phng Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
4340
++-=
. Tia Oy ct (C) ti im
A. Lp phng trỡnh ng trũn (T) cú bỏn kớnh RÂ = 2 sao cho (T) tip xỳc ngoi vi (C) ti
A.

ã
(C) cú tõm I
(23;0)
- , bỏn kớnh
R
4
=
. Tia Oy ct (C) ti
A
(0;2)
. Gi J l tõm ca (T).

Phng trỡnh IA:
xt
yt
23
22
ỡ
=
ớ
=+
ợ
. Gi s
JttIA
(2 3 ;2 2) ( )
+ẻ.
(T) tip xỳc ngoi vi (C) ti A nờn AI JA t J
1
2(3;3)
2
=ị=ị
u u r u u r
.
Vy: Txy
22
():(3)(3)4
-+-=
.

Cõu 26. Trong mt phng Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
1

+=
v phng trỡnh:
xymxmy
22
2( 1) 4 5 0
+++=
(1). Chng minh rng phng trỡnh (1) l phng trỡnh ca
ng trũn vi mi m. Gi cỏc ng trũn tng ng l (C
m
). Tỡm m (C
m
) tip xỳc vi (C).

ã
(C
m
) cú tõm
Imm
(1;2)
+-
, bỏn kớnh Rmm
22
'(1)45
=+++
,
(C) cú tõm O(0; 0) bỏn kớnh R = 1, OI
mm
22
(1)4
=++, ta cú OI < R

Â

Vy (C) v (C
m
) ch tip xỳc trong.
ị
R
Â
R = OI ( vỡ R > R)
ị
mm
3
1 ;
5
=-=
.

Cõu 27. Trong mt phng Oxy, cho cỏc ng trũn cú phng trỡnh Cxy
22
1
1
():(1)
2
-+=
v
Cxy
22
2
( ) : ( 2) ( 2) 4
-+-=

. Vit phng trỡnh ng thng d tip xỳc vi
C
1
()
v ct
C
2
()

ti hai im
MN
,
sao cho MN
22
= .

ã

C
1
()
cú tõm I
1
( 1 ; 0 )
, bỏn kớnh R
1
1
2
= ;
C

2
()
cú tõm I
1
(2; 2)
, bỏn kớnh R
2
2
=
. Gi H l
trung im ca MN
ị

MN
dIdIHR
2
2
222
(,) 2
2
ổử
==-=
ỗữ
ốứ

Phng trỡnh ng thng d cú dng: ax by c a b
22
0(0)
++=+ạ
.

Ta cú:
dId
dId
1
2
1
(,)
2
(,)2
ỡ
=
ù
ớ
ù
=
ợ



acab
abcab
22
22
2
222
ỡ
ù
+=+
ớ
++=+

ù
ợ
. Gii h tỡm c a, b, c.
Vy:
dx y dx y
: 20; : 7 60
+-= + -=
;
dxy
:20
=
;
dxy
:7 20
=


Cõu 28. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyx
22
650
++=
. Tỡm im
M thuc trc tung sao cho qua M k c hai tip tuyn ca (C) m gúc gia hai tip tuyn ú
bng
0
60
.


PP to trong mt phng Trn S Tựng

Trang 14


ã
(C) cú tõm I(3;0) v bỏn kớnh R = 2. Gi M(0; m) ẻ Oy
Qua M k hai tip tuyn MA v MB ị
ã
ã
AMB
AMB
0
0
60 (1)
120 (2)
ộ
=
ờ
=
ờ
ở

Vỡ MI l phõn giỏc ca
ã
AMB
nờn:
(1)
ã
AMI
= 30
0

IA
MI
0
s i n 3 0
=
MI = 2R mm
2
947
+==

(2)
ã
AMI
= 60
0

IA
MI
0
s i n 6 0
=
MI =
23
3
R m
2
43
9
3

+= Vụ nghim Vy c ú
hai im M
1
(0;
7
) v M
2
(0;
7
- )

Cõu 29. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C) v ng thng
D
nh bi:
Cxyxyxy
22
():420;:2120
D
+ =+-=
. Tỡm im M trờn D sao cho t M v c vi
(C) hai tip tuyn lp vi nhau mt gúc 60
0
.

ã
ng trũn (C) cú tõm I(2;1) v bỏn kớnh R
5
= .
Gi A, B l hai tip im . N u hai tip tuyn ny lp vi nhau mt gúc 60
0

thỡ IAM l na tam
giỏc u suy ra
IM R=2 5
2= .
Nh th im M nm trờn ng trũn (T) cú phng trỡnh: xy
22
(2)(1)20
-+-=
.
Mt khỏc, im M nm trờn ng thng
D
, nờn ta ca M nghim ỳng h phng trỡnh:
xy
xy
22
( 2) ( 1) 20 (1)
2120(2)
ỡ
-+-=
ớ
+-=
ợ

Kh x gia (1) v (2) ta c:
( ) ( )
y
yyyy
y
22
2

3
2 10 1 20 5 42 81 0
27
5
ộ =
ờ
-++-=-+=
=
ờ
ở

Vy cú hai im tha món bi l:
(
)
M
6 ; 3
hoc M
627
;
55
ổử
ỗữ
ốứ


Cõu 30. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)9
-++=
v ng

thng
dxym
:0
++=
. Tỡm m trờn ng thng d cú duy nht mt im A m t ú k
c hai tip tuyn AB, AC ti ng trũn (C) (B, C l hai tip im) sao cho tam giỏc ABC
vuụng.

ã
(C) cú tõm I(1; 2), R = 3. ABIC l hỡnh vuụng cnh bng 3 IA
32
ị=



m
m
m
m
1
5
3216
7
2
-
ộ
=-
=-=
ờ
=

ở

Cõu hi tng t:
a) Cxydxym
22
():1,:0
+=-+=
S:
m
2
=
.

Cõu 31. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)9
-++=
v ng
thng
dxym
:34 0
-+=
. Tỡm m trờn d cú duy nht mt im P m t ú cú th k c
hai tip tuyn PA, PB ti ng trũn (C) (A, B l hai tip im) sao cho PAB l tam giỏc u.

ã
(C) cú tõm
I
( 1 ; 2 )
-

, bỏn kớnh
R
3
=
.
D
PAB u
ị

PI AI R
226
===

ị
P nm trờn ng
trũn (T) cú tõm I, bỏn kớnh
r
6
=
. Do trờn d cú duy nht mt im P tho YCBT nờn d l tip


Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 15

tuyn ca (T)
ị

m
m

dId
m
11
19
(,)66
41
5
+
ộ =
= =
ờ
=-
ở
.

Cõu 32. Trong mt phng vi h to Oxy, cho hai ng trũn Cxyxy
22
():186650
+ +=

v Cxy
22
():9
Â
+=
. T im M thuc ng trũn (C) k hai tip tuyn vi ng trũn (CÂ),
gi A, B l cỏc tip im. Tỡm ta im M, bit di on AB bng
4 , 8
.

ã
(C) cú tõm
(
)
O
0 ; 0
, bỏn kớnh
ROA
3
==
. Gi
H AB OM
=ầ
ị
H l trung im ca AB
ị
AH
12
5
= . Suy ra: OH OA AH
22
9
5
=-=
v
OA
OM
OH
2
5

==
.
Gi s
Mxy
(;)
. Ta cú:
MCxyxy
OM
xy
22
22
()186650
5
25
ỡ
ùỡ
ẻ+ +=

ớớ
=
+=ợ
ù
ợ

xx
yy
45
30
ỡỡ
==

ớớ
==
ợợ

Vy
M
(4;3)
hoc
M
(5; 0)
.

Cõu 33. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(2)4
-++=
. M l im
di ng trờn ng thng
dyx
:1
=+
. Chng minh rng t M k c hai tip tuyn
MT
1
,
MT
2
ti (C) (T
1

, T
2
l tip im) v tỡm to im M, bit ng thng
TT
12
i qua im
A
( 1 ; 1 )
-
.

ã
(C) cú tõm
I
( 1 ; 2 )
-
, bỏn kớnh
R
2
=
. Gi s
Mxxd
00
(;1)
+ẻ
.

IM x x x R
222
000

( 1)( 3) 2( 1)82
=-++=++>=

ị
M nm ngoi (C)
ị
qua M k c
2 tip tuyn ti (C).
Gi J l trung im IM
ị

xx
J
00
11
;
22
ổử
+-
ỗữ
ốứ
. ng trũn (T) ng kớnh IM cú tõm J bỏn
kớnh
IM
R
1
2
= cú phng trỡnh
xxxx
Txy

22
22
0000
11(1)(3)
():
224
ổửổử+ ++
-+-=
ỗữỗữ
ốứốứ

T M k c 2 tip tuyn MT
1
, MT
2
n (C)
ị

ã
ã
IT M IT M T T T
0
1212
90 , ( )
==ịẻ

TTCT
12
{,}()()
ị=ầ

ị
to
TT
12
,
tho món h:

xxxx
xy
xxxyx
xy
22
22
0000
000
22
11(1)(3)
()()
(1 ) (3 ) 3 0 (1)
224
(1)(2)4
ỡ
+ ++
ù
-+-=
ị + =
ớ
ù
-++=
ợ

To cỏc im
TT
12
,
tho món (1), m qua 2 im phõn bit xỏc nh duy nht 1 ng
thng nờn phng trỡnh
TT
12
l xxyxx
000
( 1 ) ( 3 ) 3 0
+ =
.

A
( 1 ; 1 )
-
nm trờn
TT
12
nờn xxx
000
1(3)30
-++ =


x
0
1

=

ị

M
( 1 ; 2 )
.

Cõu 34. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(1)(1)25
++=
v im
M(7; 3). Lp phng trỡnh ng thng (d) i qua M ct (C) ti hai im A, B phõn bit sao
cho MA = 3MB.

ã

MC
P
/()
27 0
=>ị
M nm ngoi (C). (C) cú tõm I(1;1) v R = 5.
Mt khỏc:

MC
P MA MB MB MB BH
2
/()

.333
==ị=ị=
uuur uuur
IH R BH d M d
22
4[,()]
ị=-==


PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 16

Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a
2
+ b
2
> 0).

a
ab
dMd
ab
ab
22
0
64
[,()]44
12
5
é =

ê
=Û =Û
=-
ê
+
ë
. Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0.

Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2)
và cắt đường tròn (C) có phương trình xy
22
(2)(1)25
-++=
theo một dây cung có độ dài
bằng
l
8
=
.

·
d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0
Û
ax + by – a – 2b = 0 ( a
2
+ b
2
> 0)
Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài

l
8
=
nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến d
bằng 3.

( )
abab
dId abab
ab
22
22
22
,333

==Û-=+
+

a
aab
ab
2
0
860
3
4
é =
ê
Û+=Û
=-

ê
ë


·
a = 0: chọn b = 1
Þ
d: y – 2 = 0
·
a =
b
3
4
- : chọn a = 3, b = – 4
Þ
d: 3x – 4 y + 5 = 0.
Câu hỏi tương tự:
a) d đi qua O, Cxyxy
22
():26150
+-+-=
,
l
8
=
. ĐS:
dxy
:340
-=
;

dy
:0
=
.
b) d đi qua
Q
(5; 2)
, Cxyxy
22
():4850
+ =
, l
52
= .
ĐS:
dxy
:30
=
;
dxy
:17 7 71 0
=
.
c) d đi qua
A
(9; 6)
, Cxy xy
22
():820
+ =

, l
43
= .
ĐS:
dyx
:212
=-
; dyx
121
:
22
=-+

Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : xyxy
22
2880
++ =
. Viết
phương trình đường thẳng D song song với đường thẳng
dxy
:3 20
+-=
và cắt đường tròn
(C) theo một dây cung có độ dài
l
6
=
.

·

(C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = 5. PT đường thẳng
D
có dạng:
xyc c
30,2
++= ¹
.
Vì
D
cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 6 nên:

()
c
c
dI
c
2
34
4101
,4
4101
31
D
-++é
=-
Þ==Û
ê
=
ë
+

.
Vậy phương trình
D
cần tìm là: xy
341010
++-=
hoặc xy
341010
+ =
.
Câu hỏi tương tự:
a) Cxy
22
():(3)(1)3
-+-=
,
dxy
:3420120
-+=
, l
25
= .
ĐS:
xy
:3450
D
-+=
;
xy
:34150

D
=
.

Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn Cxy
22
( ) :( 4) ( 3) 25
++-=
và
đường thẳng
xy
:34100
D
-+=
. Lập phương trình đường thẳng d biết
d
()
D
^
và d cắt (C)
tại A, B sao cho AB = 6.

·
(C) có tâm I(– 4; 3) và có bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm AB, AH = 3. Do
d
D
^
nên
PT của d có dạng:
xym

430
++=
.
Ta có: dI
1
(,())
D
= IH = AI AH
2222
534
-=-=

Û

m
m
m
22
27
16 9
4
13
43
é=
-++
=Û
ê
=-
ë
+

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 17

Vậy PT các đường thẳng cần tìm là:
xy
43270
++=
và
xy
43130
+-=
.

Câu 38. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
2230
+ =
và điểm
M(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có
độ dài ngắn nhất.

·
(C) có tâm I(1; 1) và bán kính R =
5
. IM =
25
<

Þ
M nằm trong đường tròn (C).
Giả sử d là đường thẳng qua M và H là hình chiếu của I trên d.
Ta có: AB = 2AH = IA IH IH IM
2222
2 25 25 23
-=-³-=.
Dấu "=" xảy ra
Û
H
º
M hay d
^
IM. Vậy d là đường thẳng qua M và có VTPT MI
( 1 ; 1 )
=-
u u ur


Þ
Phương trình d:
xy
20
-+=
.
Câu hỏi tương tự:
a) Với (C): xyxy
22
84160
+ =

, M(–1; 0). ĐS:
dxy
:5250
++=


Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và điểm
M(2; 6). Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho DOAB có
diện tích lớn nhất.

·
Tam giác OAB có diện tích lớn nhất
Û

D
OAB vuông cân tại O. Khi đó dOd
52
(,)
2
= .
Giả sử phương trình đường thẳng d: AxByAB
22
( 2) ( 6) 0 ( 0)
-+-=+¹

dOd
52
(,)
2
=

Û

AB
AB
22
2652
2

=
+

Û
BABA
22
47 48 17 0
+-=

Û

BA
BA
24 5 55
47
24 5 55
47
é

=
ê
ê

-+ê
=
ê
ë

+ Với
BA
24 5 55
47

=: chọn A = 47
Þ
B =
24 5 55


Þ
d:
(
)
xy
47( 2) 24 5 55 ( 6) 0
+-=

+ Với
BA
24 5 55
47
-+
=: chọn A = 47

Þ
B =
24 5 55
-+

Þ
d:
(
)
xy
47( 2) 24 5 55 ( 6) 0
-+-+-=

Câu hỏi tương tự:
a) Cxyxy
22
():4690
++-+=
,
M
( 1 ; 8 )
-
. ĐS:
xyxy
7 1 0; 17 7 39 0
++=++=
.

Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22

6260
+-+-=
và điểm
A
( 3 ; 3 )
. Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách
g iữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C).

·
(C) có tâm I(3; –1), R = 4. Ta có: A(3 ;3)
Î
(C).
PT đường thẳng d có dạng: axbyab
22
( 3) ( 3) 0, 0
-+-=+¹

Û

ax by a b
330
+ =
.
Giả sử d qua A cắt (C) tại hai điểm A, B
Þ
AB = 4
2
. Gọi I là tâm hình vuông.
Ta có:
d I d AD AB

11
(,)22( )
22
===
abab
ab
22
333
22

Û=
+



PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng
Trang 18


bababab
2222
422
Û=+Û=Û=±
. Chọn b = 1 thì a = 1 hoặc a = –1.
Vậy phương trình các đường thẳng cần tìm là:
xy
60
+-=
hoặc
xy

0
-=
.

Câu 41. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C
1
): xy
22
13
+=
và (C
2
) :
xy
22
( 6) 25
-+=
. Gọi A là một giao điểm của (C
1
) và (C
2
) với y
A
> 0. Viết phương trình
đường thẳng d đi qua A và cắt (C
1
), (C
2
) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.

·
(C
1
) có tâm O(0; 0), bán kính R
1
=
13
. (C
2
) có tâm I
2
(6; 0), bán kính R
2
= 5. Giao điểm
A(2; 3). Giả sử d: axbyab
22
( 2) ( 3) 0 ( 0)
-+ -= + ¹
. Gọi
ddOdddId
122
(,),(,)
==.
Từ giả thiết
Þ

RdRd
22 22
11 22
-=-

Û
dd
22
21
12
-=

Û

aabab
ab ab
22
22 22
(623)(23)
12

-=
++


Û
bab
2
30
+=

Û

b

ba
0
3
é =
ê
=-
ë
.

·
Với b = 0: Chọn a = 1
Þ
Phương trình d:
x
20
-=
.

·
Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3
Þ
Phương trình d:
xy
370
-+=
.

Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng D:
mx y
4 0

+=
, đường tròn (C):
xyxmym
222
22240
+ +-=
có tâm I. Tìm m để đường thẳng D cắt đường tròn (C) tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12.

·
(C) có tâm
Im
( 1 ; )
, bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm của dây cung AB.

mmm
IH d I
mm
22
45
(,)
16 16
+
=D==
++
;
m
AH IA IH
m
m

2
22
2
2
(5 ) 20
25
16
16
=-=-=
+
+


IAB
S
12
D
=

Û

m
dIAHmm
m
2
3
( , ). 12 3 25 48 0
16
3
é

=±
ê
D=Û-+=Û
=±
ê
ë


Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn Cxy
22
():1
+=
, đường thẳng
dxym
():0
++=
. Tìm m để
C
()
cắt
d
()
tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn nhất.

·
(C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = 1. (d) cắt (C) tại A, B
dOd
(;)1
Û<

Khi đó:
· ·
OAB
S OA OB AOB AOB
111
. .sin .sin
222
==£
. Dấu "=" xảy ra
Û

·
AOB
0
90
= .
Vậy
AOB
S lón nhất
Û

·
AOB
0
90
= . Khi đó dId
1
(;)
2
=

m
1
Û=±
.

Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng
d
()
: xmy
2120
++-=
và
đường tròn có phương trình Cxyxy
22
():2440
+-+-=
. Gọi I là tâm đường tròn
C
()
. Tìm
m sao cho
d
()
cắt
C
()
tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện tích tam
g iác I A B l ớn nhất và tính giá trị đó.

·

C
()
có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3.
(d) cắt
C
()
tại 2 điểm phân biệt A, B
dIdR
(,)
Û<

mm
2
221232Û-+-<+



Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong mặt phẳng
Trang 19

mmmmmmR
222
1 4 4 18 9 5 4 17 0
Û-+<+Û++>ÛÎ

Ta có:
·
S IA IB AIB IA IB
IAB

119
.sin.
222
=£=

Vậy: S
IAB
lớn nhất là
9
2
khi
·
AIB
0
90
=
Û
AB = R
232
=
Û
dId
32
(,)
2
=

Û
mm
32

2
122
2
-=+mm
2
2 16 32 0
Û++=

m
4
Û=-

Câu hỏi tương tự:
a) Với
dxmym
:–230
++=
, Cxyxy
22
():4460
++++=
. ĐS:
mm
8
0
15
=Ú=


Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn Cxyxy

22
():4690
++-+=
và
đ i ể m
M
( 1 ; 8 )
-
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt (C) tại hai điểm A, B phân
biệt sao cho tam giác ABI có diện tích lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).

·
(C) có tâm
I
(2;3)
-
, bán kính
R
2
=
.
PT đường thẳng d qua
M
( 1 ; 8 )
-
có dạng:
d ax by a b
:80
+-+=
( ab

22
0
+¹
) .

··
IAB
S IA IB AIB AIB
1
. .sin 2sin
2
D
==.
Do đó:
IAB
S
D
lớn nhất
Û

·
AIB
0
90
=
Û
dIdIA
2
(,)2
2

==

Û

ba
ab
22
11 3
2
-
=
+

Û
aabb
22
7 66 118 0
-+=

Û

ab
ab
7
717
é =
ê
=
ë
.

+ Với
ba
17
=Þ=

Þ

dxy
:7 10
++=
+ Với
ba
717
=Þ=

Þ

dxy
:17 7 39 0
++=


Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): xyxy
22
4460
++++=
và
đường thẳng D :
xmym
–2 30

++=
với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C).
Tìm m để D cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích DI A B l ớn nhất.

·
(C) có tâm là I (–2; –2); R =
2
. Giả sử
D
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Kẻ đường cao IH của
D
IAB, ta có: S
D
ABC
=
·
IAB
S IA IB AIB
1
sin
2
= =
·
AIB
sin
Do đó
IAB
S
lớn nhất

Û
sin
·
AIB
= 1
Û

D
AIB vuông tại I
Û
IH =
IA
1
2
=
(thỏa IH < R)

Û

m
m
2
14
1
1
-
=
+

Û

15m
2
– 8m = 0
Û
m = 0 hay m =
8
15

Câu hỏi tương tự:
a) Với Cxyxy
22
():2440
+-+-=
, xmy
:2120
D
++-=
. ĐS:
m
4
=-
.
b) Với Cxyxy
22
():2450
+ =
,
xmy
:20
D

+-=
. ĐS:
m
2
=-


Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:
xy
–5 –2 0
=
và đường tròn (C):
xyxy
22
2480
++ =
. Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường
thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho


PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 20

tam giỏc ABC vuụng B.

ã
Ta giao im A, B l nghim ca h phng trỡnh

yx
xyxy

yx
xy
22
0 ; 2
2480
1 ; 3
520
ỡ
ỡ==
++ =

ớớ
=- =-
=
ợ
ợ
. Vỡ
A
x
0
>
nờn ta c A(2;0), B(3;1).
Vỡ
ã
ABC
0
90
= nờn AC l ng kớnh ng trũn, tc im C i xng vi im A qua tõm I
ca ng trũn. Tõm I(1;2), suy ra C(4;4).

Cõu 48. Trong mt phng vi h ta Oxy , cho ng trũn (
C
): xyxy
22
2480
++ =
v
ng thng (
D
):
xy
2310
=
. Chng minh rng (
D
) luụn ct (
C
) ti hai im phõn bit
A, B . Tỡm to im
M
trờn ng trũn (
C
) sao cho din tớch tam giỏc
ABM
ln nht.

ã
(C) cú tõm I(1; 2), bỏn kớnh R =
13
.

dIR
9
(,)
13
D
=<

ị
ng thng (
D
) c t (C) ti
hai im A, B phõn bit. Gi M l im nm trờn (C), ta cú
ABM
SABdM
1
.(,)
2
D
D
= . Trong ú
AB khụng i nờn
ABM
S
D
ln nht


dM
(,)
D

ln nht.
Gi d l ng thng i qua tõm I v vuụng gúc vi (
D
). PT ng thng d l
xy
3210
+-=
.
Gi P, Q l giao im ca ng thng d vi ng trũn (C). To P, Q l nghim ca h
phng trỡnh:
xyxy
xy
22
2480
3210
ỡ
++ =
ớ
+-=
ợ

xy
xy
1 , 1
3 , 5
ộ
==-
ờ
=-=
ở

ị
P(1; 1); Q(3; 5)
Ta cú dP
4
(,)
13
D
= ; dQ
22
(,)
13
D
= . Nh vy
dM
(,)
D
ln nht

M trựng vi Q.
Vy ta im M(3; 5).

Cõu 49. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xyxy
22
2450
+ =
v A(0;
1) ẻ (C). Tỡm to cỏc im B, C thuc ng trũn (C) sao cho DABC u.

ã

(C) cú tõm I(1;2) v R=
10
. Gi H l trung im BC. Suy ra
AI IH
2.
=
uur uur
H
37
;
22
ổử

ỗữ
ốứ


ABC
D
u
ị
I l trng tõm. Phng trỡnh (BC):
xy
3120
+-=

Vỡ B, C
ẻ
(C) nờn ta ca B, C l cỏc nghim ca h phng trỡnh:

xyxyxyxy
xyxy
22 22
2450 2450
3120123
ỡỡ
+ = + =

ớớ
+-==-
ợợ

Gii h PT trờn ta c: BC
7 33 33 7 33 33
;;;
22 22
ổửổử
+ +
ỗữỗữ
ốứốứ
hoc ngc li.

Cõu 50. Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C): xy
22
(3)(4)35
-+-=
v im
A(5; 5). Tỡm trờn (C) hai im B, C sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn ti A.

ã

(C) cú tõm I(3; 4). Ta cú:
AB AC
IB IC
ỡ =
ớ
=
ợ

ị
AI l ng trung trc ca BC.
D
ABC vuụng cõn
ti A nờn AI cng l phõn giỏc ca
ã
BAC
. Do ú AB v AC hp vi AI mt gúc
0
45
.
Gi d l ng thng qua A v hp vi AI mt gúc
0
45
. Khi ú B, C l giao im ca d vi
(C) v AB = AC. Vỡ IA
(2;1)
=
u ur

ạ
(1; 1), (1; 1) nờn d khụng cựng phng vi cỏc trc to

ị
VTCP ca d cú hai thnh phn u khỏc 0. Gi
ua
( 1 ; )
=
r
l VTCP ca d. Ta cú:


Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 21


( )
aa
IA u
aa
222
222
cos ,
2
12151
++
===
+++
u ur
r

aa
2
2251
+=+



a
a
3
1
3
ộ =
ờ
=-
ờ
ở

+ Vi a = 3, thỡ
u
( 1 ; 3 )
=
r

ị
Phng trỡnh ng thng d:
xt
yt
5
53

ỡ
=+
ớ
=+
ợ
.
Ta tỡm c cỏc giao im ca d v (C) l:
9 13 7 3 13 9 13 7 3 13
;,;
2222
ổửổử
++
ỗữỗữ
ốứốứ

+ Vi a =
1
3
-
, thỡ u
1
1 ;
3
ổử
=-
ỗữ
ốứ
r

ị

Phng trỡnh ng thng d:
xt
yt
5
1
5
3
ỡ
=+
ù
ớ
=-
ù
ợ
.
Ta tỡm c cỏc giao im ca d v (C) l:
7 3 13 11 13 7 3 13 11 13
;,;
22 22
ổửổử
+ +
ỗữỗữ
ốứốứ

+Vỡ AB = AC nờn ta cú hai cp im cn tỡm l:
7 3 13 11 13 9 13 7 3 13
;,;
2222
ổửổử
+-++

ỗữỗữ
ốứốứ

v
7 3 13 11 13 9 13 7 3 13
;,;
2222
ổửổử
-+
ỗữỗữ
ốứốứ


Cõu 51. Trong mt phng to
Oxy
,
cho ng trũn (C): xy
22
4
+=
v cỏc im A
8
1 ;
3
ổử
-
ỗữ
ốứ
,
B

( 3 ; 0 )
. Tỡm to im M thuc (C) sao cho tam giỏc MAB cú din tớch bng
20
3
.

ã
AB AB x y
64 10
4;:43120
93
=+= =
. Gi M(x;y) v
hdMAB
(,)
=
.
Ta cú:
xy
xy
hAB h
xy
4312120
4380
.44
43320
235

ộ
-+=

===
ờ
=
ở

+
xy
MM
xy
22
4380
14 48
(2;0);;
25 75
4
ỡ
ổử
-+=
ị
ỗữ
ớ
+=
ốứ
ợ
+
xy
xy
22
43320
4

ỡ
=
ớ
+=
ợ
(vụ nghim)

Cõu 52. Trong mt phng to
Oxy
,
cho ng trũn Cxyxy
22
():2690
++-+=
v ng
thng
dxy
:3450
-+=
. Tỡm nhng im M ẻ (C) v N ẻ d sao cho MN cú di nh nht.

ã
(C) cú tõm
I
(1;3)
-
, bỏn kớnh
R
1
=

ị

dIdR
(,)2
=>

ị

dC
()
ầ=ặ
.
Gi
D
l ng thng qua I v vuụng gúc vi d
ị

xy
():4350
D
+-=
.
Gi NdN
00
17
;
55
D
ổử

=ầị
ỗữ
ốứ
.
Gi
MM
12
,
l cỏc giao im ca
D
v (C)
ị
MM
12
211819
;,;
5555
ổửổử

ỗữỗữ
ốứốứ


ị
MN ngn nht khi
MMNN
10
,.
Vy cỏc im cn tỡm:
MC

211
;()
55
ổử
-ẻ
ỗữ
ốứ
,
Nd
17
;
55
ổử
ẻ
ỗữ
ốứ
.





PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 22

TP 03: CC NG CễNIC

Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22

1
25 16
+=
. A, B l cỏc im trờn (E)
sao cho: AF BF
12
8
+=
, vi
FF
12
,
l cỏc tiờu im. Tớnh
AF BF
21
+ .

ã

1
AF AF a
2
2
+=v
BF BF a
12
2
+=

ị

12
AF AF BF BF a
12
420
+++==

M
1
AF BF
2
8
+=

ị

2
AF BF
1
12
+=


Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh elip vi cỏc tiờu im
FF
12
( 1;1), (5;1)
- v tõm sai
e
0 , 6

=
.

ã
Gi s
Mxy
(;)
l im thuc elip. Vỡ na trc ln ca elip l
c
a
e
3
5
0 , 6
===
nờn ta cú:
MF MF x y x y
22 22
12
10 ( 1) ( 1) ( 5) ( 1) 10
+ = + +- + - +- =


xy
22
(2)(1)
1
25 16

+=

Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im C(2; 0) v elip (E):
xy
22
1
41
+=
. Tỡm to
cỏc im A, B thuc (E), bit rng hai im A, B i xng vi nhau qua trc honh v tam
giỏc ABC l tam giỏc u.

ã
AB
243243
;,;
7777
ổửổử
-
ỗữỗữ
ốứốứ


Cõu 4. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
100 25
+=
. Tỡm cỏc im M ẻ (E) sao

cho
ã
FMF
0
12
120
= (F
1
, F
2
l hai tiờu im ca (E)).

ã
Ta cú:
ab
10, 5
==

ị
c
53
= . Gi M(x; y)
ẻ
(E)
ị

MF x MF x
12
33
10 , 10

22
=- =+ .

ã
F F MF MF MF MF F MF
222
12121212
2 cos=+-



()
xxxx
22
2
33331
10 3 10 10 2 10 10
22222
ổửổửổửổử
ổử
=-++ +-
ỗữỗữỗữỗữ
ỗữ
ốứốứốứốứốứ



x = 0 (y=

5). Vy cú 2 im tho YCBT: M

1
(0; 5), M
2
(0; 5).

Cõu 5. Trong mt phng Oxy, cho elip (E) cú hai tiờu im FF
12
( 3; 0); ( 3;0)
- v i qua im
A
1
3;
2
ổử
ỗữ
ốứ
. Lp phng trỡnh chớnh tc ca (E) v vi mi im M trờn elip, hóy tớnh biu
thc:
P FM FM OM FMFM
222
1212
3 .=+.

ã
(E):
xy
abab
22
2222
31

11
4
+=ị+=
, ab
22
3
=+
ị
xy
22
1
41
+=

ị
MMMMM
P a ex a ex x y a e x
2222222
()()2()() 1
=+++-=




Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 23

Cõu 6. Trong mt phng to Oxy, cho elip (E): xy
22
4 16 64

+=
. Gi F
2
l tiờu im bờn phi
ca (E). M l im bt kỡ trờn (E). Chng t rng t s khong cỏch t M ti tiờu im F
2
v
ti ng thng x
8
:
3
D
= cú giỏ tr khụng i.

ã
Ta cú: F
2
(12;0)
. Gi
MxyE
00
(;)()
ẻ
ị

x
MF a ex
0
20
83

2
-
=-=,

x
dMx
0
0
83
8
(,)
33
D
-
=-= (vỡ x
0
44
-ÊÊ
)
ị

MF
dM
2
3
(,)2
D
= (khụng i).

Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E): xy

22
5 16 80
+=
v hai im A(5; 1),
B(1; 1). Mt im M di ng trờn (E). Tỡm giỏ tr ln nht ca din tớch DMAB.

ã
Phng trỡnh ng thng (AB):
xy
230
-+=
v AB
25
=
Gi MxyExy
22
0000
( ; ) ( ) 5 16 80.
ẻị+= Ta cú:
xy xy
dMAB
00 00
23 23
(;)
145
-+ -+
==
+

Din tớch

D
MAB: S AB d M AB x y
00
1
(;)23
2
==

p d n g b t ng th c Bunhiacpxki cho 2 cp s
xy
00
11
;,(5;4)
2
5
ổử
-
ỗữ
ốứ
cú:

()
xyxy
2
22
0000
11119
. 5 .4 5 16 .80 36
25420
5

ổử
ổử
-Ê++==
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ

xy xy xy xy
00 00 00 00
2 6 6 26 3 239 239
- Ê-Ê - Ê-Ê - +Êị - +Ê


xy
xy
xy
xy
xy
00
00
00
00
54
58
11
max 2 3 9
26
2
5

239
ỡ
=
ù
ỡ=-
ù
ị - +=
-
ớớ
-=
ợ
ù
ù - + =
ợ
x
y
0
0
8
3
5
3
ỡ
=
ù

ớ
ù
=-
ợ

Vy,
MAB
SkhiM
85
max 9 ;
33
ổử
=-
ỗữ
ốứ
.

Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elớp
xy
E
22
():1
94
+=
v hai im A(3;2), B(3;
2) . Tỡm trờn (E) im C cú honh v tung dng sao cho tam giỏc ABC cú din tớch
ln nht.

ã
PT ng thng AB:
xy
230
+=
. Gi C(x; y)

ẻ
(E), vi
xy
0 , 0
>>

ị

xy
22
1
94
+=
.

ABC
xy
S AB d C AB x y
18585
.(,)233.
21332
213
==+=+

xy
22
85 170
323
13 9 4 13
ổử

Ê+=ỗữ
ỗữ
ốứ

Du "=" xy ra


xy
x
xy
y
22
2
1
3
94
2
2
32
ỡ
ỡ
+=
ù
ùù
=

ớớ
ùù
=
=

ợ
ù
ợ
. Vy C
32
;2
2
ổử
ỗữ
ốứ
.


PP to trong mt phng Trn S Tựng
Trang 24

Cõu 9. Trong mt phng ta
Oxy
, cho elip
xy
E
22
():1
25 9
+=
v im
M
( 1 ; 1 )
. Vit phng
trỡnh ng thng i qua

M
v ct elip ti hai im
AB
,
sao cho
M
l trung im ca
AB
.

ã
Nhn xột rng
MOx
ẽ
nờn ng thng
x
1
=
khụng ct elip ti hai im tha YCBT.
Xột ng thng
D
qua M(1; 1) cú PT:
ykx
(1)1
=-+
. To cỏc giao im
AB
,
ca
D

v
E
()
l nghim ca h:
xy
ykx
22
1(1)
25 9
(1)1(2)
ỡ
ù
+=
ớ
ù
=-+
ợ


ị
kxkkxkk
222
(25 9) 50 ( 1) 25( 2 9) 0
+ + =
(3)
PT (3) luụn cú 2 nghim phõn bit
xx
12
,
vi mi

k
. Theo Viet:
kk
xx
k
12
2
50 ( 1)
25 9
-
+=
+
.
Do ú
M
l trung im ca
AB

M
kk
xxxk
k
12
2
50 ( 1) 9
22
25
25 9
-
+===-

+
.
Vy PT ng thng
D
:
xy
925340
+-=
.
Cõu hi tng t:
a) Vi
xy
E
22
():1
94
+=
,
M
( 1 ; 1 )
S:
xy
:49130
D
+-=


Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22

1
82
+=
. Tỡm im M ẻ (E) sao cho
M cú to nguyờn.

ã
Trc ht ta cú nhn xột: Nu im
xyE
(;)()
ẻ
thỡ cỏc im
xyxy xy
( ; ),( ; ),( ; )

cng
thuc (E). Do ú ta ch cn xột im
MxyE
00
(;)()
ẻ vi
xyxyZ
00 00
,0;,
ẻ
.
Ta cú:
xy
22
00

1
82
+=

ị
y
2
0
2
Ê

ị
y
0
02
ÊÊ
ị

y x loaùi
yx
00
00
022()
12
ộ
=ị=
ờ
=ị=
ờ
ở

ị

M
(2;1)
.
Vy cỏc im tho YCBT l:
(2;1),( 2;1),(2; 1),( 2; 1)

.

Cõu 11. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
82
+=
. Tỡm im M ẻ (E) sao cho
t ng hai to ca M cú giỏ tr ln nht (nh nht).

ã
Gi s
MxyE
(;)()
ẻ

ị

xy
22

1
82
+=
. p dng BT Bunhiacpxki, ta cú:

xy
xy
22
2
( ) (8 2) 10
82
ổử
+Ê++=
ỗữ
ốứ

ị
xy
10 10
-Ê+Ê.
+ xy
10
+Ê. Du "=" xy ra


xy
xy
82
10
ỡ

=ù
ớ
ù
+=
ợ


M
4 10 10
;
55
ổử
ỗữ
ốứ
.
+ xy
10
+ Du "=" xy ra


xy
xy
82
10
ỡ
=ù
ớ
ù
+=-
ợ

M
4 10 10
;
55
ổử

ỗữ
ốứ




Trn S Tựng PP to trong mt phng
Trang 25

Cõu 12. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
93
+=
v im
A
( 3 ; 0 )
. Tỡm trờn
(E) cỏc im B, C sao cho B, C i xng qua trc Ox v DABC l tam giỏc u.

ã

Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s
BxyCxy
0000
(;),(; )
- vi y
0
0
>
.
Ta cú:
xy
xy
22
22
00
00
139
93
+=+=
.
BC y
0
2
= v
BC x x
0
():
=

ị

dABCx
0
(,())3=-
Do
AOx
ẻ
, B v C i xng qua Ox nờn
D
ABC cõn tõ A
Suy ra:
D
ABC u


d A BC BC
3
(,())
2
=


xy
00
33
-=

yx
22
00

3(3)
=-

ị

x
xx
x
22
0
00
0
0
(3)9
3
ộ
=
+-=
ờ
=
ở
.
+ Vi x
0
0
=

ị
y
0

3
=
ị
BC
(0; 3), (0; 3)
- . + Vi x
0
3
=

ị
y
0
0
=
(loi).
Vy: BC
(0; 3), (0; 3)
- .

Cõu 13. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E):
xy
22
1
94
+=
v cỏc ng thng
dmxny
1
:0

-=
, dnx+my
2
:0
=
, vi mn
22
0
+ạ
. Gi M, N l cỏc giao im ca
d
1
vi (E),
P, Q l cỏc giao im ca
d
2
vi (E). Tỡm iu kin i vi
mn
,
din tớch t giỏc MPNQ
t giỏ tr nh nht.

ã
PTTS ca
dd
12
,
l:
xnt
d

ymt
1
1
1
:
ỡ =
ớ
=
ợ
,
xmt
d
ynt
2
2
2
:
ỡ = -
ớ
=
ợ
.
+ M, N l cỏc giao im ca
d
1
v (E)

ị

nm nm

MN
mn mn mn mn
22 22 22 22
66 66
;,;
94 94 94 94
ổửổử

ỗữỗữ
ỗữỗữ
++ ++
ốứốứ

+ P, Q l cỏc giao im ca
d
2
v (E)

ị

mnmn
PQ
mn mn mn mn
22 22 22 22
6666
;,;
49 49 49 49
ổửổử

ỗữỗữ

ỗữỗữ
++++
ốứốứ

+ Ta cú: MN
^
PQ ti trung im O ca mi ng nờn MPNQ l hỡnh thoi.

MPNQ
SSMNPQOMOP
1
.2.
2
====
MMPP
mn
xyxy
mnmn
22
2222
2222
72( )
2.
(9 4)(4 9)
+
++=
++

p dng BT Cụ-si:
mnmn

mnmnmn
2222
222222
(9 4)(4 9)13
(9 4)(4 9) ( )
22
+++
++Ê=+

ị

mn
S
mn
22
22
72( ) 144
13
13
()
2
+
=
+
. Du "=" xy ra


mnmnmn
2222
9449

+=+=

Vy: S
144
min
13
= khi
mn
=
.

Cõu 14. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho Hypebol (H) cú phng trỡnh:
xy
22
1
16 9
-=
.