bải giảng toán kinh tế

Bài giảng

TOÁN KINH TẾ 1


(Tài liệu lưu hành nội bộ )
Biên soạn:
Nguyễn Đình i-Phạm Gia Hưng-Thái Bảo Khánh




Nha trang tháng 02/2014


1

CHƯƠNG I. ÔN TẬP VỀ
GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM

MỘT BIẾN SỐ

I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN HÀM MỘT BIẾN
1.1. Hàm một biếntập xác đònh  đồ thò
Cho D  R. Một hàm số f xác đònh trên tập D là một qui tắc f
cho ứng mỗi x  D với một y = f(x)  R.
- Tập D gọi là tập xác đònh của hàm số f,
- Tập f(D) ={ f(x) : x  D} gọi là tập giá trò của hàm số f.
Ghi chú
 Ta thường viết hàm số y = f(x) hay f(x) và x là biến độc lập
hay đối số;
 Nếu hàm số được cho bởi biểu thức giải tích y = f(x) mà
không nói rõ miền xác đònh thì miền xác đònh là tập hợp mọi
số thực làm cho biểu thức f(x) có nghóa.
Ví dụ Hàm số f(x) = ln( x
2
1) có xác đònh là
D
f
= x | x
2
 1 > 0  = (∞ , 1)  ( 1, +∞) .
 Cho hàm số f(x) xác đònh trên D. Khi đó
tập G
f
= M(x, f(x)) | xD  gọi là đồ thò hàm số f(x)
Nói chung đồ thò hàm f(x) là một đường cong trong mặt
phẳng Oxy do điểm M(x, f(x)) vạch nên khi x chạy trên D.
Ví dụ. Hàm y = x
2

có đồ thò là đường parabol
Hàm y = x
2
, x  [ 0, 2 ] có đồ thò là một cung parabol

2

y y
y=x
2
y=x
2
,
4


x
0 0 2

1.2. Hàm sơ cấp.
Các hàm sơ cấp cơ bản.
1) Hàm lũy thừa : y = x

,   R. Miền xác đònh phụ
thuộc vào .
Ví dụ. Hàm y = x
n
(n nguyên dương) xác đònh vớimọi x R.
Hàm y = x
 n

= 1/ x
n
xác đònh với mọi x  0.
Hàm y =
1/2
x x
 xác đònh với mọi x  0.
2) Hàm mũ : y = a
x
, a > 0 và a  1. y
D
f
= R và tập giá trò là R
+
= (0, +). y=log
b
x
y
y=b
x
y=a
x
y=lo

1 x 1

0 x
( 0< b < 1 < a) ( 0< b < 1 < a)
 a
x

.a
y
= a
x+y
; a
x
/ a
y
= a
x y

3) Hàm logarit: y=log
a
x, a>0 và a  1, là hàm ngược của hàm
mũ a
x
.
D
f
= R
+
và tập giá trò là R.

3


y

x

-
1 0



y


/2

-

/2

x

-
1

1


x

y=

/2

y=
-


/2

Đồ thò y = arctgx

y

log
a

(x.y) = log
a
x + log
a
y ; log
a
(x / y) = log
a
x  log
a
y
4) Nhóm hàm lượng giác :sinx, cosx, tgx, cotgx
+ Các hàm y = sinx và y = cosx có D
f
= R và miền giá trò
là [-1, 1].
+ Hàm y = tgx có D
f
= R \







 Zkk :
2


.
+Hàm y = cotgx có D
f
= R \


Zkk

:

.
5)Nhóm hàm lượng giác ngược :
arcsinx, arccosx, arctgx, arccotgx
+ Hàm arcsinx là hàm ngược hàm sinx
y = arcsin x  x = sin y , y  [ - /2 ,  /2 ].

Đồ thò hàm y=arcsinx


+ Hàm arccosx là hàm ngược hàm cosx
y = arccos x  x = cos y , y  [ 0 ,  ].

Đồ thò hàm y=arccosx
+Hàm arctgx là hàm ngược hàm tgx
y = arctg x  x = tg y , y  ( -  /2 ,  /2 ).

lim / 2
lim / 2
x
x
arctgx
arctgx





 



4


y

x

y=


Đồ thò y =arccotgx


+Hàm arccotgx là hàm ngược hàm cotgx
y = arccotg x  x = cotg y , y  ( 0 ,  ).
lim 0
lim
x
x
arccotgx
arccotgx






6) Hàm hằng y = C

Hàm sơ cấp. Hàm sơ cấp là hàm xác đònh bởi một công thức
duy nhất gồm hữu hạn các phép cộng, phép trừ, phép nhân,
phép chia hay phép hợp các hàm sơ cấp cơ bản.
Ví dụ Các hàm y = x
2

3
x
+ 5; y =

x
x
x
ln
2

là hàm sơ cấp.
Hàm y =


 





x
1 x nếu x 0,
e nếu x 0.
không phải là hàm sơ cấp.
1.3.Các hàm trong phân tích kinh tế
1. Hàm sản xuất Q = Q( L) (Quantity: số lượng; Labor
: lao động )Với Q là lượng sản phẩm, L là lao động.
2.Hàm doanh thu R = R(Q) (Revenue : doanh thu)
3.Hàm chi phí C = C(Q) (Costs : chi phí )
4.Hàm lợi nhuận  = (Q).( Profit : lợi nhuận)
Ta có  = R(Q)  C(Q)
5.Hàm cung Q
s
= S(P) (supply:cung cấp; price : giá

5

Ta biết giá P tăng thì lượng hàng sản xuất tăng (lượng cung
tăng) Hàm Q
s
= S(P) là hàm tăng  có hàm ngược P =
S
1
(Q
s
).
6.Hàm cầu Q
d
= D(P). (demand : nhu cầu)
Ta biết giá p tăng thì nhu cầu sản phẩm giảm ( lượng cầu
giảm)
Hàm Q
d
= D(P) là hàm giảm  có hàm ngược P = D
1
(Q
d
).
II.DÃY SỐ  MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LÃI SUẤT.
 Dãy số x
0
, x
1
, x

2
, …, x
n
, … được ký hiệu x
n
.
lim
n
n
x a


nếu trò x
n
gần a đến mức bao nhiêu cũng được,  n
đủ lớn.
Vài giới hạn quan trọng.
 
1
2
) 1 lim 0
1 1
) 1 lim 1 lim
1 1
1 1 1 1
) lim 1 lim 1 , 2,71828
1! 2! !
n
n
n

n
n n
n
n n
i q q
q
ii q q q q
q q
iii e e
n n


 
 
  

       
 
   
       
   
   

 Dãy cấp số cộngcông thức lãi đơn.
+ Dãy số x
n
 gọi là dãy cấp số cộng với công sai d nếu
x
n
= x

n1
+ d,  n
Hay x
n
= x
0
+ n.d,  n
NX:
   
1
2
2 2
n o n o n o
n n
S x x x x x x nd
       

6

+ Giả sử ta cho vay khoản vốn v
o
với lãi suất mỗi kỳ là r
trong vòng n kỳ và cuối mỗi ky,ø lãi được rút ra chỉ để lại vốn
v
o
cho kỳ kề sau.
Cách tính lãi như vậy gọi là cách tính lãi đơn.
Sau n kỳ của lãi đơn, lợi tức là n(v
o
.r). Ta có

Tổng giá trò đạt được là


.
n o o
v v n v r
 

Với cách tính lãi đơn,vốn ban đầu v
o
, lãi suất r, số kỳ tính lãi n.
Dãy tổng giá trị v
n
 là dãy cấp số cộng với công sai d = v
o
.r
Ví dụ. Cho vay một lượng vốn là 10 triệu đồng với lãi suất là
r = 1% trên tháng. Sau một năm 8 tháng ( 20 kỳ), tổng giá trò
là bao nhiêu?
20
20.( . ) 10 20 (10 0,01)
o o
v v v r     
= 12 (triệu đồng)
 Dãy cấp số nhân

Lãi gộp

Lãi gộp liên tục.
+ Dãy số  x

n
 gọi là dãy cấp số nhân với công bội q nếu
x
n
= x
n1 
q ,  n
Hay x
n
= x
o
.q
n
,  n
NX.
1
1
1
.
1
n
n o n o
q
S x x x x
q


    


+ Giả sử ta cho vay khoản vốn v
o
với lãi suất mỗi kỳ là r
trong vòng n kỳ và cuối mỗi kỳ lãi được gộp vào vốn để tính
lãi cho kỳ sau.
Cách tính lãi như vậy gọi là cách tính lãi gộp.
Sau n kỳ của lãi gộp, vốn ban đầu v
o
, lãi suất r, ta có

7

Tổng giá trò đạt được là
 
1
n
n o
v v r
 

Dãy tổng giá trò v
n
 là dãy cấp số nhân với công bội q= (1+r)
Ví dụ 1. Đầu tư 10 triệu với lãi suất gộp 12%/ năm tính theo
q tức là 4%/ q. Sau 1 năm 8 tháng ( 6 kỳ), tổng giá trò là
bao nhiêu?
v
6
= v
o

(1+r)
6
= 10(1+0,04)
6
=12,653 (triệu đồng).
Ví dụ 2. Gửi tiết kiệm 50 triệu sau 2 năm thu được khoảng
63,12 triệu với lãi suất gộp đònh kỳ nữa năm là r. Tìm r.
Ta có số kỳ tính lãi n = 4. Và
 
1
n
n o
v v r
 

 63,12 = 50(1+r)
4

4
63,12
1
50
r
 
 0,06
KL: Lãi suất gộp là 6% tính theo đònh kỳ nữa năm.
Ví dụ 3. Với lãi gộp 1% đònh kỳ tháng, cho vay 50 triệu đồng.
Tìm thời gian cho vay để được tổng giá trò khoảng 75 triệu
đồng.
Ta có

 
1
n
n o
v v r
 
 75 = 50(1+0,01)
n

 lg75 = lg50+ nlg(1+0,01)  n =
75
lg
50
lg(1 0,01)

 40,75
KL: Thời gian cho vay khoảng 41 tháng (tức 3 năm 5 tháng).
Ví dụ 4. Muốn nhận được tổng giá trò là 100 triệu sau 5 năm
với lãi gộp 4% đònh kỳ q 3 tháng thì bây giờ phải gửi một
khoản tiền tiết kiệm là bao nhiêu?

8

Số kỳ tính lãi n = 20. Ta có
 
1
n
n o
v v r
 

 100 = v
o
(1+0,04)
20
 v
o
=
 
20
100
1 0,04

 45,64 (triệu)
+ Bài toán lãi gộp liên tục.
Giả sử cho vay khoản vốn là v
o
trong t năm với lãi suất r /
năm theo đònh kỳ là
1
n
năm (1 năm tính lãi n kỳ).
 lãi suất mỗi kỳ là
r
n
và số kỳ tính lãi sau t năm là nt (kỳ).
Theo công thức lãi gộp, ta có tổng giá trò sau t năm là
. 1
nt
n o
r

v v
n
 
 
 
 

Đây là tổng giá trò sau t năm đầu tư vốn gốc v
o
với lãi gộp r /
năm (và đònh kỳ là 1 năm tính lãi n kỳ).
 Nếu đònh kỳ năm thì
 
. 1
t
n o
v v r
  (1 năm tính lãi 1 kỳ)
 Nếu đònh kỳ nữa năm thì v
n
=
2
. 1
2
t
n o
r
v v
 
 

 
 
(1 năm tính
lãi 2 kỳ).
 Nếu đònh kỳ q thì v
n
=
4
. 1
4
t
n o
r
v v
 
 
 
 
(1 năm tính lãi 4
kỳ).
 Nếu đònh kỳ tháng thì v
n
=
12
. 1
12
t
n o
r
v v

 
 
 
 
(1 năm tính
12 kỳ)

9

 Nếu đònh kỳ ngày thì v
n
=
365
. 1
365
t
n o
r
v v
 
 
 
 
(1 năm tính
lãi 365 kỳ; ở đây xét năm có 365 ngày) Khi số kỳ tính lãi
trong năm n   , cách tính lãi gộp này gọi là cách tính lãi
gộp liên tục. Khi đó

( ) lim 1 . lim 1 .
rt

n
nt
r
rt
o o o
t t
r r
v t v v v e
n n
 
 
   
 
    
   
 
   
 
 

KL: Cho vay khoản vốn v
o
trong t năm với lãi suất gộp liên
tục r/năm.
Khi đó tổng giá trò sau t năm là
( ) .
rt
o
v t v e


Từ đó suy ra các công thức tính trong tài chính
 Giá trò vốn ban đầu là
( ).
rt
o
v v t e


 Lãi thực khi đầu tư t năm:


( ) 1
rt
o o
v t v v e
  

 Độ lệch ( lãi thực sau 1 năm khi đầu tư ban đầu v
o
= 1)


1
r
e

 

 Lãi suất  = ln(1+ )

Ví dụ. Muốn nhận được 100 triệu sau 20 năm đầu tư với lãi
gộp liên tục là 10% / năm thì đầu tư ban đầu là bao nhiêu?
Ta có
( ) .
rt
o
v t v e
 , thay số liệu vào, ta có 100 = v
o
.e
0,120

 v
o
= 100e
2
 13,534 (triệu).

10


III.GIỚI HẠN HÀM SỐ.
1.Ý nghóa
+
Lxf
o
xx


)(lim

( có thể viết: f(x)  L khi x  x
o
)
 giá trò f(x) gần L đến mức bao nhiêu cũng được với mọi x
đủ gần x
o
và x ≠ x
o
.
+ lim ( )
o
x x
f x L



( có thể viết: f(x)  L khi x 
o
x

)
 giá trò f(x) gần L đến mức bao nhiêu cũng được với mọi x
đủ gần x
o
và x < x
o
.
+
lim ( )
o

x x
f x


= L ( có thể viết: f(x)  L khi x 
o
x

)
 giá trò f(x) gần L đến mức bao nhiêu cũng được với mọi x
đủ gần x
o
và x > x
o
.
Nhận xét .
0
0
0
lim ( )
lim ( )
lim ( )
x x
x x
x x
f x L
f x L
f x L









 




.
Ví dụ. Cho hàm phần nguyên y = [x] ( = số nguyên lớn nhất ≤
x ). Tìm giới hạn trái và phải tại các điểm x = n, với n  Z.
0 0
lim [ ] lim ; lim [ ] lim ( 1) 1
x n x n x x
x n n x n n
   
   
     
.
Do đó không tồn tại giới hạn của hàm [ x ] tại mỗi điểm x = n
2. Giới hạn của các hàm sơ cấp Nếu f(x) là hàm sơ cấp và
xác đònh được ở lân cận của x
0
thì ).()(lim
0
0
xfxf

xx




11

Ví dụ.
2
5 3 7
lim
6 8
x
x
x




(hàm dưới dấu lim là hàm sơ cấp xác
đònh được ở lân cận 2).
Nhận xét. Tồn tại hàm sơ cấp f(x) không có giới hạn tại điểm
mà f(x) xác đònh được.
Chẳng hạn hàm sơ cấp f(x) =
x x
 
có tập xác đònh là D
f

=

{0}
không có gới hạn tại x = 0.
3. Các giới hạn cơ bản
1) 1
sin
lim
0


x
x
x
(dạng vô đònh
0
0
)
2) e
x
x
x









1

1lim (dạng vô đònh 1

)
(e là số vô tỷ và giá trò gần đúng là e = 2,7182878)
Suy ra các công thức hệ quả :
a)
1
0
lim(1 )
u
u
u e

 

b)
0
1
lim 1
u
u
e
u




c)
0
ln(1 )

lim 1
u
u
u



.
Ngoài ra dựa vào đồ thò, ta thấy một số giới hạn.
0
3) lim ; lim 0
4) lim ln ; lim ln
5) lim / 2; lim / 2
x x
x x
x x
x x
e e
x x
arctgx arctgx
 
 
  
 
  
   
  


12

Ví dụ. a)
0
lim (ln ) /2
x
arctg x



 
.
b)
lim (ln ) / 2
x
arctg x




c)
eexx
x
x
x
x
x
x












2
1
2
sin
sin
1
0
2
1
0
)sin1(lim)sin1(lim
.
4. Vô cùng bé (VCB) tương đương.
 Hàm f(x) được gọi là vô cùng bé khi x a nếu. f(x)  0 khi
x  a.
Ví dụ. Khi x  0, ta có sinx , ln( 1+x), e
x
1 , 1 cosx cùng
 0. Do đó các hàm số x, sinx, ln(1+x), (e
x
1) , (1cosx) là
các VCB.

 Cho (x) và (x) là các VCB trong cùng quá trình x  a.
Nếu
( )
lim 1
( )
x a
x
x




thì nói
(x) và (x) là các vô cùng bé tương đương khi x  a.
(Ta viết VCB (x) ~ (x) khi x  a)
Ví dụ. Có thể dùng đònh nghóa để chứng minh:
+ Khi u  0, các VCB sau là tương đương:
VCB
 


~ sin ~ ln 1 ~ 1
u
u u u e
 

+ Khi u  0, VCB
 
2
1 cos

2
u
u 




13

Nhận xét.
+ Chẳng hạn, khi u đủ gần 0, các giá trò của
 


, sin , ln 1 , 1
u
u u u e
 
rất gần 0 và chúng coi như bằng
nhau. Tương tự với
 
2
1 cos va
2
u
u
.
+ Khi giới hạn có dạng vô đònh
0
0

 
 
 
, có thể thay tử và mẫu bởi
các VCB tương đương.
Ví dụ a)
0
0
1 0
sin5( 1) 5( 1) 5
lim lim
sin 2( 1) 2( 1) 2
x x
x x
x x
 
 
 
 
 
 
 
.
b)
2
0
2( 3) 2
0
2 2
3 0

1 2( 3)
lim lim 2.
ln(1 ( 3) ) ( 3)
x
x x
e x
x x
 
 

 
 
 
 
  

IV.HÀM LIÊN TỤC
 Hàm f(x) gọi là liên tục tại x
0
nếu
0
lim ( ) ( )
o
x x
f x f x



Hàm f(x) gọi là liên tục phải tại x
0

nếu
lim ( ) ( )
o
o
x x
f x f x




Hàm f(x) gọi là liên tục trái tại x
0
nếu
lim ( ) ( )
o
o
x x
f x f x




f(x) liên tục tại x
o
 f(x) liên tục phải và liên tục trái tại x
o
.

14

Ví dụ. Khảo sát sự liên tục tại x = 1 của hàm số
a)
2
x 1
khi x 1
f(x)
x 1
2 khi x 1


 





  

.
b)
2
(x 1)
1 cos(x 1)
, khi x > 1
g(x)
e 1
x / 2 ,khi x 1

 








  


Giải.
a) Ta có
2
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1 (x 1)(x 1)
lim f(x) lim lim lim(x 1) 2 f( 1)
x 1 x 1
   
  
       
 
.
Vậy f(x) liên tục tại x = 1.
b) +


2
0/0 2
2
(x 1) 1x 1 0 x 1 x 1
1 cos(x 1) (x 1) / 2 1

lim g(x) lim lim
2
(x 1)
e
    
  
  


 g(x) liên tục phải tại x= 1.
+
x 1 0 x 1 0
x 1
lim g(x) lim
2 2
   

 

 g(x) liên tục trái tại x = 1.
KL: g(x) liên tục tại x = 1 
 Hàm số f(x) liên tục trên (a,b)  f(x) liên tục tại mỗi x
o

(a,b). Hàm số f(x) liên tục trên [a,b]  f(x) liên tục trên (a,
b) , f(x) liên tục phải tại a và liên tục trái tại b.
Ý nghóa hình học. Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng
I nào đó. Khi đó đồ thò hàm số y = f(x), với x  I là một
đường liền nét.

15

y y


y = f(x)
y= g(x)
a b x a c b x
Đồ thị hàm f(x) liên tục trên [a, b],Hàm y= g(x) gián đoạn tại c.
 Hàm sơ cấp liên tục trên khoảng mà hàm xác định.
BÀI TẬP CHƯƠNG I
1.Tìm các giới hạn sau :
a)


gxxx
x
cotcossin2lim
2




; b)
x
x
x




2
2
lim
2
;
2.Tìm các giới hạn sau :
a)
x
x
xxx
x
2
3
24
lim
2
23
0



; b)
20
12
65
lim
2
2
2





x
x
xx
x
;
c)
5
2
1
lim
2



x
xx
x
; d)
3
3
2
1
3
lim




x
x
x
;
e)
x 0
x
lim
1 cosx
 

; f)
3
0
sin
lim
x
xtgx
x


.
g)
x
x
x









1
1lim
; h)
1
12
32
lim










x
x
x
x
;

16

i)

x
ee
xx
x


0
lim ; k)
xx
ee
xx
x


sinsin
lim
0




(  ).
3. Tìm A để f(x) liên tục trên R
a)
sin x
khi x 1,
f(x)
x 1
A khi x 1.












b) f(x) =
2
3 2
, khi x 2
2
A , khi x = 2
x x
x

 







d)
2
( 5)

1 cos( 5)
, khi x 5
( )
1
A , khi x = 5
x
x
f x
e

 

 








e)


2
2
( 2)
2
ln 1 2( 2)
, khi x 2

( )
1
A 3A , khi x = 2
x
x
f x
e


 







 


f)
2 2
( 1) ( 1)
cos( 1) cos5( 1)
, x 1
( )
A ,khi x
= 1
x x
x x

khi
f x
e e
  
  

 








4. Tìm tổng thu nhập sau khi đầu tư vốn ban đầu v
o
sau t năm
với lãi suất gộp r / năm.
a) v
o
= 1000, t= 3, r = 12% , với định kỳ năm.
b) v
o
= 300, t= 6, r = 12%, với định kỳ nữa năm.
c) v
o
= 500, t= 6 , r = 10%, với định kỳ q 4 tháng.
d) v
o

= 500, t = 6, r = 9%, với định kỳ tháng.

17

e) v
0
= 500, t = 6, r = 8%,với định kỳ ngày (1 năm = 365 ngày).
5.Tìm lãi suất gộp r mỗi năm theo đònh kỳ năm biết rằng sau
3 năm vốn đầu tư tăng gấp đôi.

18

Chương II PHÉP TÍNH VI PHÂN

I.ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP 1
1.1.ĐẠO HÀM CẤP MỘT
 Cho hàm số f(x) xác đònh được ở một khoảng mở
nào đó chứa x
o
.
Ta đònh nghóa đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x
o
là
f ’(x
o
) =
x
)
x
(

f
)
x
x
(
f
lim
oo
0x




(nếu tồn tại giới hạn VP hữu hạn).
Ứng với gia biến x đủ bé, ta gọi f  f(x
o
+x)  f(x
o
) là
số gia hàm số f(x) tại x
o
.
Có thể viết
 




o
x 0

f
f (x ) lim
x
=
o
o
xx
xx
)x(f)x(f
lim
o



.
Nhận xét
Đạo hàm f’(x
o
) là hệ số góc tiếp tuyến M
o
T với đường cong
y=f(x) tại M
o
(x
o
, f(x
o
)).
Phương trình tiếp tuyến M
o

T : y = f ’(x
o
)( x  x
o
) + f(x
o
)
Ngoài ra f’(x
o
) còn là tốc độ thay đổi của đại lượng y=f(x)
theo biến x tại x = x
o
.
 Tương tự như trên, ta có thể đònh nghóa
Đạo hàm phải của f(x) tại x
o
là


 




o
o
o
x x 0
o
f(x) f(x )

f (x ) lim
x x
( nếu tồn tại giới hạn phải)


19

Đạo hàm trái của f(x) tại điểm x
o
là
o
o
o
x x 0
o
f(x) f(x )
f (x ) lim
x x

 




( nếu tồn tại giới hạn trái)
Mệnh đề
Cho hàm số f(x) xác đònh được trong một lân cận của x
o
. Khi
đó (f(x) có đạo hàm tại x

0
) khi và chỉ khi (f(x) có đạo hàm
phải và đạo hàm trái tại x
o
và cả hai đạo hàm phải và đạo
hàm trái này bằng nhau).
Lúc này
f


(x
o
) =
f


(x
o
) =
f

(x
o
).
Ví dụ. Cho hàm
f(x) x a g(x)
  với g(x) là hàm số liên tục
tại a.
a)Tính )();( afaf





b)Tìm giá trò g(a) để f(x) có đạo hàm tại a.
Giải.
a)
x a o x a o x a o
x a g(x)
f(x) f (a)
f (a) lim lim lim g(x)
x a (x a)

     



  
 
=
= g(a)
+
x a o x a o x a o
x a g(x)
f(x) f (a)
f (a) lim lim lim g(x)
x a (x a)

     




   
 
=
= g(a)
b) f(x) có đạo hàm tại a 
f (a) f (a)
 
 
  g(a) = g(a) 
g(a) = 0 



20

Mệnh đề Nếu hàm số f(x) có đạo hàm hữu hạn tại x
o
thì nó
liên tục tại x
o
.
Nhận xét.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng (a, b).
Khi đó f(x) liên tục tại mọi điểm trên khoảng I.
Do đó đường cong y = f(x), với x (a, b) là đường cong liền
nét và có tiếp tuyến tại mọi điểm trên đường cong.

KL: Nếu f(x) có đạo hàm tại mọi x (a, b) thì đường cong y
= f(x), với x(a, b) là đường cong trơn.

y y

y=f(x)

y=f(x)


a b x a c b x
f(x) có đạo hàm trên (a, b) f(x) không có đạo hàm tại x = c

21


Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản
Từ đònh nghóa và các qui tắc tính đạo hàm, chúng ta
chứng minh được các công thức sau:
i) (x

)’ = .x
 1

Đặc

biệt: (C )’ = 0 ; ( x )’ = 1 ;
2
x
1
x
1









;

x2
1
)'x( 

ii) ( e
x
)’ = e
x
; ( a
x
)’ = a
x
.lna ( a> 0 )
iii)
 
1
ln x
x


;

 
a
1
log x
x.ln a


( a > 0 và a  1)

 
 
1 1
ln ; log
ln
a
x x
x x a


 
iv) (sinx)’ = cosx ; (cosx)’ = sinx
(tgx)’ =
xcos
1
2
= tg
2
x+1 ;
(cotgx )’ = 
xsin

1
2
= (cotg
2
x+1 )
v) (arcsinx)’ =
2
x1
1

; ( arccosx)’ = 
2
x1
1


(arctgx)’ =
1x
1
2

; (arccotgx)’ = 
1x
1
2


 Các qui tắc tính đạo hàm
i) (u + v)’ = u’ + v’ ii) ( .u )’ =  .u’ (với  là
hằng số thực)

iii) (u.v)’ = u’.v + u.v’ iv)
'
2
u u 'v uv'

v
v

 

 
 
.

22

Xét hàm hợp y = f[ u(x) ] theo biến x thông qua biến trung
gian u.
Khi đó
u
y (x) f [u(x)].u (x)
  


(Các qui tắc trên là thực hiện được với đk : biểu thức VP là
xác đònh).
Ví dụ.
a) Cho y = arctg( sin(3x+4)).
 
2 2

1 cos(3 4).3
. sin(3 4) '
1 sin (3 4) 1 sin (3 4)
x
y x
x x


  
   

b) Cho y = ( 1 + sin
2
x )
3x
. Tìm y’.
Lấy ln hai vế , ta có lny = 3x.ln( 1 + sin
2
x ).
Đạo hàm 2 vế theo x ta có:
xsin1
x
cos
x
sin
2
x3)xsin1ln(3
y
'
y

2
2


 y’ =








xsin1
x2sin
x)xsin1ln()xsin1.(3
2
2x32

1.2.VI PHÂN CẤP 1
 Cho hàm số f(x) có đạo hàm hữu hạn f ’(x
o
).
Ta nói hàm số f(x) khả vi tại x
o
và vi phân của hàm số f(x) tại
x
o
là df(x
o

) = f ’(x
o
).x
Nhận xét Xét hàm I(x) = x. Ta có dI = 1.x = x tại mỗi
điểm x = x
o
.
 Có thể viết dx = x ( Vi phân biến độc lập thì bằng số gia
biến số ).

23

Do đó nếu y = y(x) khả vi tại x
o
thì có thể viết dy(x
o
) =
y’(x
o
)dx.
Suy ra y’(x
o
) =
dx
)
x
(
dy
o

Đưa đến có thể viết ( )
dy
y x
dx


II.ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAOCÔNG THỨC
TAYLOR
2.1. ĐẠO HÀM CẤP CAO
 Nhận xét. Có thể nói
đạo hàm cấp n của f(x) là đạo hàm n lần của f(x) và ký hiệu
là f
(n)
(x)
Ví dụ Tính đạo hàm cấp n sau (sinx)
(n)
.
Ta có (sinx)’ = cosx = sin(x +/2);
(sinx)’’ = cos(x+/2)= sin(x +2/2 );
(sinx)’’’ = cos(x +2/2)= sin(x +3/2 )

Vậy (sinx)
(n)
= sin ( x + n./2)
Tương tự (cosx)
(n)
= cos (x + n./2)

24

A
B

a

c


b

2.2.VI PHÂN CẤP CAO
Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp n hữu hạn trong khoảng mở
(a , b) nào đó. Ta nói hàm số f(x) khả vi đến cấp n trên
khoảng mở (a,b) và vi phân cấp n của hàm số f(x) là
. d
n
f(x) = f
(n)
(x).(x)
n
= f
(n)
(x).dx
n

2.3. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN HÀM KHẢ VI
Các hàm liên tục trên [ a, b] , khả vi trong (a, b) có các tính
chất sau
ĐỊNH LÝ ROLLE.

Cho hàm số f(x) liên tục ở trên [a, b], khả vi trong (a,b).
Nếu f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a, b) : f ’(c) = 0
(nói cách khác là phương trình f ’(x) = 0 có nghiệm nào đó
x=c (a, b) )
ĐỊNH LÝ LAGRANGE
Cho hàm số f(x) liên tục ở trên [a,b] và khả vi trong (a,b).
Khi đó tồn tại c  (a,b) sao cho
a
b
)
a
(
f
)
b
(
f


= f ’(c).
Ý nghóa hình học
Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b],
khả vi trong (a, b).
Khi đó
Trên cung đường cong y=f(x), có thể
chọn được điểm C(c, f(c)) để tiếp
tuyến với đường cong tại C song song
với dây cung AB.

25

Từ đònh lý Lagrange suy ra
 Công thức số gia hữu hạn. Cho hàm số f(x) khả vi trên (a,
b) nào đó.
Khi đó  điểm x
o
, x
o
+x  (a , b). ta có công thức
f(x
o
)  f(x
o
+x)  f(x
o
) = f ’(c).x ,
với c nào đó giữa x
o
và x
o
+x.
Đặt x = x
o
+x. ta có thể phát biểu dạng khác
Cho hàm số f(x) khả vi trong (a, b).
Khi đó  x  (a, b), ta có công thức
f(x) = f(x
o
) + f ’(c ).(x  x
o

),
với c nào đó giữa x
o
và x.
2.3.CÔNG THỨC KHAI TRIỄN TAYLOR
Đònh lý.
Cho hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp n+1 trên khoảng (, )
nào đó chứa điểm x
o
.
Khi đó  x  (, ), ta có công thức:
( )
( 1)
1
0
( )
( )
( ) ( ) ( )
! ( 1)!
k
n
n
k n
o
o o
k
f x
f c
f x x x x x
k n




   


,
Với c nào đó giữa x
o
và x.
(Đây là công thức khai triễn Taylor của hàm f(x) trong lân
cận điểm x
o
).
Có thể viết f(x) = P
n
(x) + R
n
(x), với
( )
0
( )
( ) ( )
!
k
n
k
o
n o
k

f x
P x x x
k

 



26

là đa thức bậc n và gọi là đa thức Taylor bậc n của hàm f(x)
trong lân cận của x
o,
( 1)
1
( )
( ) ( )
( 1)!
n
n
n o
f c
R x x x
n


 

gọi là phần
dư của công thức Taylor.

Trường hợp x
o
= 0, công thức Taylor viết lại
( ) ( 1)
1
0
(0) ( )
( ) .
! ( 1)!
k n
n
k n
k
f f c
f x x x
k n



 


,
với c nào đó giữa 0 và x.(Đây là công thức khai triễn Mac
Laurin của hàm f(x)).
Nhận xét.
Khi x đủ gần x
o
, ta có f(x)  P

n
(x) và sai số là
n
R (x)
rất bé.
Khai triễn Mac Laurin một số hàm sơ cấp.
+
2
1
1
1! 2! ! ( 1)!
n c
x n
x x x e
e x
n n

     

,  x  (, +) và c
nào đó giữa0 và x.
3 5 2 1
2 1
sin( (2 1) )
2
sin ( 1)
3! 5! (2 1)! (2 1)!
n
n n
c n

x x x
x x x
n n



 
      
 

, x  (, +) và c nào đó giữa 0 và x.
+ï
2 4 2
2 2
cos( ( 1) )
cos 1 ( 1)
2! 4! (2 )! (2 2)!
n
n n
x x x c n
x x
n n


 
      


, x  (, +) và c nào đó giữa 0 và x.
Ví dụ. Lập công thức gần đúng tính cosx, với x  [0,1; 0,1]

với sai số bé hơn 0,00001.

27

Giải.
Ta có
2 4 2
2 2
cos( ( 1) )
cos 1 ( 1)
2! 4! (2 )! (2 2)!
n
n n
x x x c n
x x
n n


 
 
 
      
 
 
 

 
 
Khi |x |  1/10, ta có
2 4 2

cos 1 ( 1)
2! 4! (2 )!
n
n
x x x
x
n
      ,
Với sai số 
=
2 2
2 2
2 2
cos( ( 1) ) 1
(2 2)! (2 2)!
(2 2)!10
n
n
n
x
c n
x
n n
n




 
 

 


Chọn n = 1   < 0,00001.
Tóm lại:  x  [ 0,1 ; 0,1], ta có

2
x
cosx 1
2
 
, với sai số bé hơn 0,00001.
III.ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG TOÁN HỌC.
3.1.QUI TẮC L’HOSPITAL (khử dạng vô đònh (0/0),( /)
)x('g
)x('f
lim
)x(g
)x(f
lim
x
0
0
x 

















(nếu giới hạn vế phải là tồn tại)
Qui tắc trên vẩn đúng với giới hạn phải, trái.

28

Ví dụ
 
) lim lim lim
1
1
ln
) lim lim 0
1
x
x x
x L x x
x L x
e
e e
a

x x
x
x
b
x

 
 

 
  

 
 

 
 

   

 

2
2 2 2
1

2x
1 1 1x 0 x 0 x 0 x 0
x x x
2

1 1
e 1
x
x
lim lim lim lim
x
1 1 1
e e .2 e .2
x x
x

 

 

 
   
     
     
     
   

   
   
  
    

    
    
= 0

3.2.KHOẢNG TĂNG GIẢM CỦA HÀM SỐ
Nếu f ’(x) > 0 trên (a, b) thì f(x) tăng trên (a, b)
Nếu f ’(x) < 0 trên (a, b) thì f(x) giảm trên (a, b)
Ví dụ. Tìm khoảng tăng giảm hàm số
x
e
y
x

Hàm y có tập xác đònh D = (, 0)(0, +).
Ta có
2
( 1)
x
e x
y
x



KL: f(x)giảm trong (, 0) vàtrong (0, 1) ; f(x) tăng trong (1,
+)
x  0 1 +
y

  0 +
y 0  + e +

29

3.3. TÌM CỰC TRỊ HÀM MỘT BIẾN.
Lân cận của điểm x
o
là khoảng mở nào đó có tâm là x
o
.
(Thường hiểu lân cận là khoảng mở đủ nhỏ) (  )
 Nói f(x) đạt cực đại tại x
o
nếu f(x) đạt giá trò lớn nhất tại x
o

khi xét hàm trong lân cận của x
o
.
Nói f(x) đạt cực tiểu tại x
o
nếu f(x) đạt giá trò bé nhất tại x
o

khi xét hàm trong lân cận của x
o
.
Nói f(x) đạt cực trò tại x
o
nếu f(x) đạt cực đại orcực tiểu tại x
o
.
Đònh lý Fermat.(điều kiện cần cực trò hàm số)
Cho hàm số f(x) đạt cực trò tại x

o
. Khi đó
Nếu f(x) có đạo hàm tại x
o
thì đạo hàm đó bằng 0
Từ đònh lý Fermat suy ra trong tập xác đònh D
f
, hàm số f(x)
chỉ có thể đạt cực trò tại các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0
hoặc không tồn tại. Ta gọi các điểm này là các điểm tới hạn
của hàm số f.
Để kiểm tra tại các điểm này,f(x) có đạt cực trò không, thường
dùng.
Đònh lý 1 ( điều kiện đủ cực trò hàm số )
Cho hàm số f(x) liên tục và khả vi trong (a,b) nào đó chứa
điểm x
o
(có thể f(x) không khả vi tại x
o
). Khi đó
i) Nếu f’(x) > 0 ,  x  (a,x
o
) và f’(x) < 0,  x  (x
o
,
b) thì f(x) đạt cực đại thực sự tại x
o
.
ii) Nếu f’(x) < 0 ,  x  (a,x
o

) và f’(x) > 0,  x 
(x
o
, b) thì f(x) đạt cực tiểu thực sự tại x
o
.

30

Ví dụ. Tìm cực trò và khoảng tăng giảm hàm số
ln
x
y
x


Hàm y có tập xác đònh D = (0, +).
Ta có
2
1 ln
x
y
x


 ; y’ = 0  lnx = 1  x = e

KL: f(x) tăng trong (1, e) và f(x) giảm trong khoảng (e, +)
và đạt cực đại tại e.
Đònh lý 2. (điều kiện đủ cực trò hàm số)
Cho x
o
là điểm dừng của hàm số f(x) ( tức là

o
f (x )
= 0).
Nếu
o
f (x ) 0


thì hàm số f(x) đạt cực trò tại x
o
.
Cụ thể:
Nếu
 
 
o o
f (x ) 0 và f (x ) 0
thì f(x) đạt cực tiểu tại x
o
.
Nếu
 

 
o o
f (x ) 0 và f (x ) 0
thì f(x) đạt cực đại tại x
o
.
Ví dụ. Tìm cực trò hàm số f(x) = sinx  x/2.
Hàm số xác đònh  x  ( , +).
+Ta có f’(x) = cosx  1/2 ; f’(x) = 0  cosx = 1/2 


  
x k2
3

Hàm f có vô số điểm dừng
x 0 e +
y

+ 0 
y  1/e 0
CĐ

31

+
f (x)

= sinx.
3

f 2k
3 2


 

  
 
 
> 0  f đạt cực tiểu tại
3
k2
2

 

3
f 2k
3 2


 

  
 
 
< 0  f đạt cực đại tại
3
k2
2




3.4.GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ BÉ NHẤT.
Cho hàm số f(x) liên tục trên [ a , b ]. Khi đó f(x) chỉ có thể
đạt GTLN và GTBN tại các điểm tới hạn  (a , b) hay tại 2
đầu mút a , b.
Ví dụ. Tìm GTLN , GTBN của hàm số f(x) = (x
3
+3x
2
 9x)
trên [2, 2 ].Suy ra GTLN , GTBN của hàm số g(x) = x
3
+
3x
2
 9x  trên [ 2 , 2 ].
+ Hàm số f(x) xác đònh và liên tục trên [ 2 , 2 ]
B1+Tìm điểm tới hạn của f trong ( 2 , 2 ).
Ta có f’(x) = (3x
2
+ 6x  9) ; f’(x) = 0  x = 1  x = 3.
chọn x = 1.
(Suy ra f chỉ có thể đạt GTLN hay GTNN tại trong số các
điểm x=2, x = 1 , x = 2 )
+ So sánh f(1) = 5 ; f(2) = 22 ; f(2) = 2
KL: xét trên [2 , 2] , f(x) có GTBN = f
min
= 22 = f(2)

và GTLN = f
max
= 5 = f(1).
B2 Xét trên [2 , 2] , hàm số g(x) = f(x) có
g
max
= max f
max
,  f
min
 = 22 = g(2)
g
min
= 0 = g(0).

32

3.5.KHOẢNG LỒI, KHOẢNG LÕM , ĐIỂM UỐN
Cho hàm số f(x) khả vi trên khoảng mở đang xét hàm. .
Hàm số y = f(x) gọi là lồi trên (a, b) nếu mọi tiếp
tuyến của đường cong y = f(x), x (a, b) luôn ở phía trên của
đường cong.
Hàm số y = f(x) gọi là lõm trên (a, b) nếu mọi tiếp
tuyến của đường cong y = f(x), x (a, b) luôn ở phía dưới của
đường cong.
Nếu x
o
là điểm phân cách giữa khoảng lồi và khoảng
lõm của hàm số f(x) thì ta gọi x
o

là điểm uốn của hàm số f(x).
Đònh lý ( Điều kiện đủ hàm lồi, lõm )
Nếu
f (x)

< 0 trên (a, b) thì hàm f(x) lồi trên (a, b)
Nếu
f (x)

> 0 trên (a, b) thì hàm f(x) lõm trên (a, b)
Ví dụ. Tìm khoảng lồi, lõm, điểm uốn của y = ln(1+x
2
).
Hàm số xác đònh  x  (, +).
+
2
2x
y
1 x




+
2
2 2
2(1 x )
y
(1 x )





; y’’ = 0  x =  1





x  1 1 +
y’’  0 + 0 
y lồi Đ.U lõm ĐU lồi

33

KL: Hàm số lồi trên (, 1) và trên (1, +), lõm trên (1,
1).Hàm số y có các điểm uốn 1 và 1.
V. ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG PHÂN TÍCH
KINH TẾ.[1]tr.35

38, [2],…)
5.1.Ý NGHĨA CHUNG CỦA ĐẠO HÀM
Giả sử hai đại lượng x và y có mối quan hệ hàm y = f(x).
Thực tế người ta thường quan tâm tới tốc độ biến thiên của y
tại x=x
o
trong khi x thay đổi một lượng nhỏ x.
Lúc đó lượng thay đổi của y là y = f(x
o
+x)  f(x

o
).
Tốc độ thay đổi trung bình của y theo x khi x chạy từ x
o
đến
x
o
+x là
y
x



Tốc độ thay đổi (tức thời) của y theo x tại x = x
o
là
o o
o
x 0 x 0
f(x x) f(x )
y
lim lim f (x )
x x
   
  


 
 

Khi |x| khá nhỏ,
y
x


 f ’(x
o
) hay y  f ’(x
o
).x = df(x
o
)
5.2. GIÁ TRỊ CẬN BIÊN
Trong kinh tế, đại lượng chỉ ra tốc độ thay đổi của hàm y theo
biến độc lập x trong khi x thay đổi một lượng rất nhỏ gọi là
giá trò cận biên của y đối với x. Ký hiệu là My(x).
Ta có thể hiểu My(x) là tốc độ thay đổi (tức thời) của y theo
biến x, do đó My(x) = y’(x) =
dy
dx



34

 Giá trò cận biên của chi phí.
Cho hàm chi phí C = C(Q). Ta gọi MC(Q) = C ’(Q)là giá trò
cận biên của chi phí.
Ví dụ 1. Cho tổng chi phí C để sản xuất Q sản phẩm là
C = 0,0001Q

3
 0,02Q
2
+ 5Q +5000 ( đv tiền)
Giá trò cận biên của chi phí là
MC(Q) =
dC
dQ
= 0,0003Q
2
 0,04Q +5.
Ta có MC(50) =3,75 ( đv tiền / sản phẩm) là tốc độ tức thời
của tổng chi phí C theo Q tại Q = 500.
Nôm na là tại Q = 50, nếu Q tăng thêm 1 (đv sp) thì C tăng
thêm 3,75 (đv tiền).
 Giá trò cận biên của doanh thu.
Cho hàm doanh thu R = R(Q). Ta có MR(Q)= R’(Q) là giá trò
cận biên của doanh thu.
Ví dụ 2. Lượng sản phẩm bán được Q và giá sản phẩm P có
quan hệ Q = 500  10P  P = 50  Q /10. Tìm doanh thu
cận biên khi P = 10, P = 30
Ta có doanh thu R = QP = 50Q  Q
2
/10 (đv tiền)
MR(Q) = 50  Q / 5.
P = 10  Q = 400
 MR(400)= 30 (đv tiền / sp) là tốc độ thay đổi của doanh
thu R theo Q tại Q = 400 ( nôm na là nếu Q tăng 1 đv sp thì
doanh thu R(Q) giảm đi 30 đv tiền)
P = 30  Q = 200.

35

 MR(200) =10 (đv tiền / sp) là tốc độ thay đổi của doanh
thu R theo Q tại Q = 200 ( nôm na là nếu Q tăng 1 đv sp thì
doanh thu R(Q) tăng thêm 10 đv tiền)
Xu hướng tiêu dùng và xu hướng tiết kiệm cận biên.
Cho hàm tiêu dùng C= C(I), với I là tổng thu nhập quốc dân.
Hàm tiết kiệm S = I  C(I).
Ta có MC(I) là xu hướng tiêu dùng cận biên.
MS(I) là xu hướng tiết kiệm cận biên.
Ta có MS(I) =
dS dC
1
dI dI
 
Do đó MS(I) = 1  MC(I)
Ví dụ. Cho hàm tiêu dùng


3
5 2 I 3
C
I 10




Xác đònh xu hướng tiêu dùng cận biên và xu hướng tiết kiệm
cận biên khi I = 100

Giải. MC(I) =
 
1/2 3
2
5 3I (I 10) (2 I 3)
C (I)
I 10
 
  
 
 




=
3
2
5 I 30 I 3
(I 10)
 
 
 
 


 MC(100) =
5 1297
12100


 0,536.

36

Tốc độ thay đổi của xu hướng tiêu dùng C theo biến I tại I =
100 khoảng 0,563 (đv / đv) (nôm na là tại I = 100, nếu I tăng
1 đv thì C tăng khoảng 0,563 đv)
Và MS(100) = 1 MC(100)  0,464
Tốc độ thay đổi của xu hướng tiết kiệm S theo biến I tại I =
100 khoảng 0,464 (đv / đv) ( nôm na là tại I = 100, nếu I tăng
1 đv thì S tăng khoảng 0,464 đv)
5.3.HỆ SỐ CO DÃN
Độ thay đổi tuyệt đối và tương đối.
Khi đại lượng x tăng thêm 1 lượng x thì ta gọi x là độ thay
đổi tuyệt đối của x; tỉ số
x
x

.(100%) gọi là độ thay đổi tương
đối của x.
Chẳng hạn, một căn hộ giá 200 triệu đồng nếu tăng giá thêm
1 triệu đồng thì độ thay đổi tuyệt đối là 1 triệu đồng; độ thay
đổi tương đối là
1
(100%)
200
= 0,5%.
Một kg gạo giá 1 ngàn đồng. Nếu tăng thêm 1 ngàn đồng thì
độ thay đổi tuyệt đối là 1 ngàn, độ thay đổi tương đối là
1

(100%)
10
= 10%.
Độ thay đổi tương đối không phụ thuộc vào đơn vò tính và nó
cho ta thấy ngay mức độ thay đổi.



37

Hệ số co dãn.
Để đo mức độ phản ứng của hàm y khi biến x thay đổi người
ta đưa vào khái niệm hệ số co dãn.
Xét tỉ số độ thay đổi tương đối của y và độ thay đổi tương đối
của x.
Ta có
y
y
y x
.
x
x y
x
 

 

 




 
 
 

Cho x  0, ta có hệ số co dãn của y theo x là
yx
x 0
y x x
lim . y (x).
x y y

 


 


Ví dụ. Cho hàm cầu Q = 30  4P  P
2
. Tìm hệ số co dãn tại P
= 3.
Giải. Ta có
QP
2
P
( 4 2P).
30 4P 4P

  

 
.
Tại P = 3,
QP
10
3

 
  3,33
Tại mức giá P = 3, khi giá tăng 1%, lượng cầu sẽ giảm 3,33%.
5.4. LỰA CHỌN TỐI ƯU TRONG KINH TẾ
Nhiều bài toán kinh tế đưa đến bài toán tìm cực trò của một
hàm y=f(x) nào đó.
Thường ta giải các bài toán sau
 Tìm giá P để sản lượng Q đạt tối đa ( cực đại).

38

 Tìm giá P hoặc sản lượng Q để hàm doanh thu đạt tối đa(
cực đại).
 Tìm sản lượng Q để hàm chi phí C đạt tối thiểu ( cực tiểu ).
Ví dụ. Cho hàm cầu là Q = 300  P. Hàm chi phí là C = Q
3

19Q
2
+ 333Q + 10.Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất.
Giải. Ta có Q = 300 P  P = 300 Q.
Do đó hàm doanh thu R = P.Q = 300Q  Q
2

Hàm lợi nhuận  = (300Q  Q
2
)  ( Q
3
19Q
2
+333Q +10)
 = Q
3
+ 18Q
2
 33Q 10
+ ’(Q) = 3Q
2
+ 36Q  33;
’ = 0  Q = 1  Q = 11
+ ’’(Q) = 6Q +36
’’(1) = 30 > 0, ’’(11) = 30 < 0
Khi đó Lợi nhuận  đạt cực đại khi Q = 11,

max
= (11) = 474
BÀI TẬP CHƯƠNG II
1. Tính các đạo hàm của các hàm số
a)
x
2
xy
3

2
 b) y= xxx  c) y =


tgx
4
xsin1
d)y = tg
2
(arctgx) đ)y = arcsin(1/x) e)y=log
3
(x
2
sinx)
f) y = ln( 1 + arctg
2
x) g)y = (x1)
2
(x+1)
3
(x+5)
2. Cho hàm số (x) liên tục tại x = a.
Chứng minh rằng f(x) = ( x a) (x) có đạo hàm tại x = a.
Tính f ’(a).

39

3.Cho f(x) có đạo hàm tại x = x
o
.

Tìm
 
o o
n
1
lim n f x f x
n

 
 
 
 
 
 
 

4. Tính vi phân của các hàm số sau đây tại điểm x = a ( a 
0)
a) y = 1/(x+a) b) y = arctg(x/a)
c) y = arcsin(x/a) d) y = ln(x+a)
5. Chứng minh
a) y’’ –2y’ +2y = 0 với y = e
x
sinx
b) y’’ –y’ + y.e
2x
= 0 với y = cos e
x
+sin e
x

c) y
3
y’’ + 1 = 0 với y =
2
xx2 
d) x
2
y’’ + xy’ + y = 0 với y = cos(lnx) + sin(lnx).
6. Sử dụng các quy tắc L'Hospital tính các giới hạn sau đây
a)
3
0x
x
arctgx
x
lim


b)
tgxx
x
sin
x
lim
0x




c)
 
 
x/11ln
arctgx
2
lim
x




d)
x
3
cos
x
2
sin
ee
lim
x
x
0x



e)
2
x

x
0x
x1x
ba
lim



( a, b > 0) g)


 
xsinln
x
2
sin
ln
lim
0x



k)










xln
1
1x
x
lim
1x
r)


tg x/4
x 2 0
x
lim 2
2

 
 

 
 

g)
x
1/10
3 3
x 0 0 x x
e ln x
lim x .ln x h) lim i) lim

x x
   


40

7. Tìm khoảng tăng giảm, cực trò của các hàm số:
a) y =
3
3
1x1x 
b) y = x  ln(1+x)
c)
1
y ln e
x
 
 
 
 
d)
2/x
y x.e 1
 

e)
3
y x x 2
 
f) y = x + 2sinx

8.Tìm điểm uốn, khoảng lồi lõm các hàm số
a) y = x.arctgx b) y=ln(x
2
1)
c) y=(x+1)
2
 e
x
d) y=e
1/x
9. Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số
a) y = ln x / x b) y = e
x
/x
c)y =
2
4
x
x

d) y =
2
2
3
4
x
x



10. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau đây
a) y = ln( 2xï +5) c) y = 2x/(x
2
3x +2)
d) y = x.e
x
e) y = sin(3x + 5 ) f)
y 3 x
 


11.Tìm khai triễn Mac Laurin đến cấp n các hàm số sau
a) f(x)=
1
2x 5

b) f(x)=
x
x.e

c) f(x) =
2
1
x 1

c) f(x)= ln( 1+x)
12.Tìm khai triễn Taylor các hàm sau đến cấp 3 trong lân cận
của x = 1 a)
2x
y e



b) y = ln( x+2)



41

13.Tìm các giá trò cận biên của các hàm số
a) Hàm chi phí C = 0,1Q
2
+ 5Q + 3 Tại Q = 2, Q = 100
b) Hàm doanh thu R = 100Q + 5Q
2
 Q
3
tại Q = 5, Q = 100
14.Cho hàm tiêu dùng của một quốc gia là
3
10 I 0,7 I 0,2I
C
I
 

Tìm xu hướng tiết kiệm cận biên khi thu nhập quốc dân là 25,
khi là 50.
15.Cho hàm cầu


3

60
Q ln 80 P
P
  
.
Xác đònh hệ số co dãn khi P = 4, khi P = 10
16.
a) Doanh thu của một loại sản phẩm R = 240Q + 50Q
2
 Q
3
.
Tìm Q để doanh thu đạt tối đa.
b) Cho hàm cầu của một loại sản phẩm Q = 100  P / 10.
Tìm mức giá để doanh thu đạt tối đa.
17.Một loại sản phẩm có hàm cầu P = 5000 20P và hàm chi
phí trung bình cho mỗi đơn vò sản phẩm là
80
C 2
Q
 
. Tìm
mức giá để có lợi nhuận tối đa.
(HD. Doanh thu R(Q) = P(Q).Q và lợi nhuận
(Q)=R(Q)C(Q) )
18.Trung bình chi phí 1 đv sản phẩm cho bởi
2
100
C Q 20Q 300
Q

   

42

a)Tìm mức sản xuất Q  [ 2, 10] để có chi phí tối thiểu
b)Tìm mức sản xuất Q  [ 5, 10] để có chi phí tối thiểu
19.Hàm cầu của một loại sản phẩm độc quyền P = 600  2Q
và tổng chi phí là C = 0,2Q
2
+ 28Q +200.
a)Tìm mức sản xuất Q để lợi nhuận đạt tối đa.Tìm
mức giá P và lợi nhuận lúc đó. (HD. Doanh thu R(Q) =
P(Q).Q và lợi nhuận (Q)=R(Q)C(Q) )
b) Chính quyền đặt thuế là 22 đv tiền cho 1 đv sản
phẩm. Tìm mức sản xuất để lợi nhuận đạt tối đa. Tìm mức giá
và lợi nhuận lúc đó.
20.Chứng minh
a)
1 1 1
ln 1
a 1 a a
 
  
 

 
,  a > 0
b)
sin a sin b a b
  

,  a , b  R.
21. Chứng minh các bất đẳng thức
a)
2
x
cosx 1
2
  , x > 0 b)
3
x
sin x x
6
  , x > 0
c)
2
x
x
e 1 x
2
  
, x > 0.
22.Tìm giá trò lớn nhất, giá trò bé nhất của các hàm số
a) y = x  2lnx, x  [1/2, e] b)
2
4
x
y
x



trên [ 0, 4]

43

Chương III
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

I.TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1.1. NGUYÊN HÀM.
 Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x)
trong một khoảng tổng quát nào đó nếu
F

(x) = f(x) trên
khoảng đó.
Các tính chất đặc trưng của nguyên hàm
Cho hàm số f(x) có một nguyên hàm là F(x) trong một
khoảng tổng quát nào đó. Khi đó
i)Hàm số F(x) + C, với C là hằng số thực tùy ý, cũng
là một nguyên hàm của f(x).
ii)Mỗi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x) + C, với
C là hằng số thực nào đó.
Như vậy nếu trên một khoảng nào đó, hàm f(x) có một
nguyên hàm F(x) thì nó có vô số nguyên hàm; và họ mọi
nguyên hàm của f(x) là họ hàm F(x) +C, với C tham số thực
bất kỳ.
1.2.TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH.
 Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng tổng quát
nào đó.
Khi đó họ hàm F(x) + C, với C tham số thực tùy ý, gọi là tích

phân bất đònh của hàm số f(x). Ký hiệu  f(x).dx  F(x) + C.

44

Qui ước Trong chương này, nếu không nói thêm gì, ta hiểu
các hàm trong biểu thức dưới dấu mỗi tích phân là liên tục
trong khoảng nào đó đang xét tích phân.
CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
i)  F ’(x)dx = F(x) + C (Hàm F ’(x) có nguyên hàm là F(x) )
ii)  f(x)dx =  f(x)dx
iii) [ f(x) + g(x) ]dx =  f(x)dx +  g(x)dx

BẢNG TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP
Từ công thức đạo hàm một số hàm sơ cấp và đònh nghóa tích
phân bất đònh , suy ra
i)
 

C


x


dx
.
1

;

C
dx
.
0

C
1
x
dxx
1








(   1 ) ;
 
 Cx2
x
dx
;C
x
1
dx
x
1
2

ii) C|x|lndx
x
1



iii)
x
; a
ln
   
 
x
x x
a
e dx e C dx C
a
( 0 < a  1)
iv)


 C sinx cosx.dx ; Ccosxsin xdx

2
1
dx tgx C
cos x
  


;
2
1
dx cot gx C
sin x
  


Một số công thức bổ sung vào bảng tích phân

45

vi) C u(x) ln dx.
)x(u
)
x
(
'
u



 C u(x)2 dx
)x(u
)
x
(
'
u




 Nếu  f(u)du = F(u) + C thì
 f ( ax + b ).dx =
C
a
)
b
ax
(
F


( a  0 )
v)
2 2
1dx x
arctg C
a a
x a
 
 
 
  



2 2
1
ln

2
dx x a
C
a x a
x a

 





2 2
arcsin
dx x
C
a
a x
 
 
 
 


( a > 0 )

2
2
ln
dx

x x b C
x b
   



Ví dụ.Tính
    


























2
2
2
2
2
2
4
2
4
2
4
x
1
x
dx
x
1
1
x
1
x
dx
x
1
1
dx
x1

x1
dx
x1
x1
x1
dx2
I =
2 2
1 1
1 1
2 2
d x d x
x x
x x
x x
   
 
   
   

   
   
   
   
 


46

1
1
2 2
x
x
arctg
 

 
 

1
2
1
ln
1
2. 2
2
x
x
C
x
x
 
 
 
 
 
 
 

 
 

I =


C
1x2x
1x2x
ln
2.2
1
x2
1x
arctg
2
1
2
22






1.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH
Phương pháp đổi biến
 Xét

dx)x('u))x(u(f

.
Nếu đặt u = u (x) thì

 f(u)du dx)x('u))x(u(f

 Xét
f(x)dx

.
Nếu với mỗi x trong khoảng xét tích phân , có thể đặt x=x(t) ,
với x(t) có hàm ngược thì
f(x)dx

=
f(x(t))x '(t)dt


Ví dụ Tính tích phân bất đònh I =
dx.xa
22


( a > 0 )
Đặt x = a.sint, với t  khoảng  [/2 , /2], (  t =
arcsin(x/a) ) .
Ta có dx = a.cost.dt , suy ra I=
 
C
t
at

a
dtt
a
dttata 
 
4
2sin
.
2
2cos1
2
.cos cos.
2
2

Để có kết quả đẹp hơn, ta có thể biến đổi như sau
I Ct
2
a
tcosa.
2
tsina
2
 =

47

=
C
a

x
arcsin
2
a
xa
2
x
2
22


Nhận xét. Khi tính một tích phân bất đònh cụ thể, với các
cách giải hoặc biến đổi khác nhau, ta có thể thu được các
kết quả mà “vẻ ngoài ” rất khác nhau.Thực chất các nguyên
hàm thu được đềubằng nhau hoặc chỉ sai khác nhau một hằng
số nào đó.
Phương pháp tích phân từng phần
Đònh lý Cho các hàm số u(x), v(x) khả vi liên tục trên một
khoảng nào đó.Khi đó
 
 )x(du)x(v)x(v).x(u)x(dv)x(u .
Viết gọn  udv = uv   v.du.
Ví du Tính I =  e
x
.sinx.dx








cosx- v
e du
x
dxxdv
dxeu
x
.sin
.

I =  e
x
cosx +  cosx.e
x
.dx







sinx v
e du
x
dxxdv
dxeu
x
.cos

.

I = e
x
.cosx + e
x
sinx e
x
.sinx.dx  I = e
x
(sinx – cosx)  I.
 I =
C
2
)xcosx(sine
x




48

II. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
2.1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Đònh nghóa tích phân xác đònh theo Riemann.
Cho hàm số f(x) xác đònh trên [ a, b].
Chia [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:
a =x
0
< x

1
< x
2
< … < x
n
= b
Trên mỗi đoạn nhỏ
i 1 i
[x , x ]

, chọn điểm
i

bất kỳ, i = 1, 2,
…, n.
Lập tổng tích phân

n
n i i
i 1
I f( ). x


 

, với x
i
là độ dài đoạn nhỏ
i 1 i
[x , x ]


.
Khi n   sao cho độ dài lớn nhất trong các đoạn nhỏ là d 
0, nếu tổng tích phân I
n
 giá trò I không phụ thuộc phép chia
đoạn và phép chọn điểm
i

thì nói I là tích phân xác đònh của
f(x) trên [a, b] và nói hàm số f(x) khả tích trên [a, b].
Kí hiệu I =

b
a
dx)x(f .
Ghi chú. Qui ước
( ) ( )
a b
b a
f x dx f x dx
 
 

+ Nếu f(x) liên tục trên [ a, b] thì f(x) khả tích trên [a, b].
+ Nếu f(x) khả tích trên [ a, b] thì f(x) là hàm bò chặn ở trên
[a, b],(tức là M > 0 để
f(x)
 M,  x  [ a, b] ).
Để đơn giản, ta chấp nhận

Đònh nghóa bằng công thức Newton

Leibnitz.

49

Cho hàm số f(x) liên tục ở trên [a,b] và F(x) là một nguyên
hàm của nó trên [a,b]. Khi đó

b
a
dx)x(f
= F(b)  F(a)  F(x)
a
b
.
Các tính chất
i) Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục ở trên [a,b]. Khi đó
 

b
a
b
a
dx)x(f.Cdx)x(f.C ;

 
  

b

a
b
a
b
a
dx)x(gdx)x(fdx.)x(g)x(f
ii) Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b] thì ø

 







dx)x(fdx)x(fdx)x(f
,  ,  ,   [a,b].
iii) Cho hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a,b]
và f(x)  g(x) ,  x  [a,b].
Khi đó
 

b
a
b
a
dx)x(gdx)x(f
iv) Cho hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và  các hằng số thực
m, M :m  f(x)  M,  x  [a,b].

Khi đó m(ba) 

b
a
dx)x(f  M.(ba).
v)Đònh lý ( Giá trò trung bình )
Nếu f(x) liên tục ở trên [a,b] thì tồn tại c  [a,b] sao cho