Bài giảng toán kinh tế_PGS.TS Nguyễn Quảng

H C VI N CƠNG NGH B U CHÍNH VI N THƠNG

TỐN KINH T
(Dùng cho sinh viên h

ào t o

L u hành n i b

HÀ N I - 2007

i h c t xa)


H C VI N CƠNG NGH B U CHÍNH VI N THƠNG

TỐN KINH T
Biên so n :

PGS.TS. NGUY N QU NG
TS. NGUY N TH

NG THÁI


L I NÓI

U

Nh m áp ng nhu c u gi ng d y và h c t p môn h c Toán kinh t dành cho sinh viên h
ào t o i h c t xa, H c vi n Cơng ngh B u chính Vi n thơng (H c vi n) t ch c biên so n

t p Sách h ng d n h c t p (Sách HDHT) mơn h c Tốn kinh t theo úng ch ng trình ào t o
C nhân ngành Qu n tr kinh doanh c a H c vi n.
T p sách
c biên so n trên c s k th a, ch n l c b sung t p giáo trình Tốn chun
ngành ã
c Nhà xu t b n B u i n n hành vào tháng 9 n m 2003 và các bài gi ng Toán kinh
t ã
c s d ng, gi ng d y cho ch ng trình ào t o i h c chính quy ngành Qu n tr Kinh
doanh t i H c vi n.
N i dung t p sách

c c u trúc g m 7 ch

ng:

u v ph

ng pháp t i u

Ch

ng 1. Các ki n th c m

Ch

ng 2. Mơ hình t i u tuy n tính

Ch

ng 3. M t s mơ hình t i u tuy n tính khác

Ch

ng 4. Các bài tốn t i u trên m ng.

Ch

ng 5. Ph

Ch

ng 6. Lý thuy t Ph c v

Ch

ng 7. Lý thuy t qu n lý d tr .

ng pháp mơ hình hố và mơ hình tốn kinh t .
ám ông

t o i u ki n thu n l i cho sinh viên có kh n ng t h c, t nghiên c u, các tác gi
không i sâu vào các v n lý lu n và k thu t toán h c ph c t p, mà ch t p trung trình bày, gi i
thi u nh ng ki n th c c b n ch y u thi t th c và c p nh t, làm c s cho vi c h c t p nghiên
c u phân tích kinh t nói chung và h c t p các môn chuyên ngành Qu n tr kinh doanh. cu i
m i ch ng, sau ph n khái quát và tóm t t các v n
c b n, ch y u c a lý thuy t, các tác gi
a ra các bài t p m u và phân tích cách gi i ng i h c có th t gi i
c nh ng bài tốn liên
quan n lý lu n ã h c. Ph n bài t p cu i m i ch ng c ng s giúp ng i h c t nghiên c u, v n
d ng các lý lu n ã h c vào phân tích, lý gi i các n i dung th c ti n liên quan.

M c dù các tác gi ã u t nghiên c u ch n l c biên so n nghiêm túc
áp ng yêu c u
gi ng d y và h c t p c a môn h c, nh ng ch c t p sách s khơng tránh kh i nh ng thi u sót nh t
nh. Các tác gi r t mong nh n
c s góp ý c a b n bè ng nghi p, b n c và các b n sinh
viên l n xu t b n sau
c hoàn thi n h n.

CÁC TÁC GI



Ch

ng I: M t s ki n th c m

CH
1.1.

IT

u

NG I: M T S

KI N TH C M

U

NG NGHIÊN C U C A MÔN H C

1.1.1. T ng quan v t i u hoá.
Trong ho t ng th c ti n, nh t là trong quá trình qu n lý, i u khi n h th ng kinh t - xã
h i, chúng ta luôn mong mu n t
c k t qu t t nh t theo các tiêu chu n nào ó. T t c nh ng
mong mu n ó th ng là l i gi i c a nh ng bài tốn t i u nào ó. M i v n
khác nhau c a
th c t d n n các bài toán t i u khác nhau.
gi i các bài tốn ó, m t lo t các lý thuy t toán
h c ra i
t c s lý lu n,
a ra các gi i pháp tìm l i gi i, ch ng minh tính h i t , tính
kh thi c a các bài toán th c t v.v. T ó hình thành m t l p các ph ng pháp tốn h c giúp ta
tìm ra l i gi i t t nh t cho các bài toán th c t , g i là các ph ng pháp t i u hóa. L p các
ph ng pháp t i u hóa bao g m nhi u lý thuy t toán h c khác nhau, tiêu bi u là: Qui ho ch tốn
h c, lý thuy t trị ch i, lý thuy t th v.v.
Trong qui ho ch toán h c, tiêu bi u là Qui ho ch tuy n tính, Qui ho ch phi tuy n, Qui
ho ch ng, Quy ho ch tham s , Qui ho ch nguyên v.v.
Trong lý thuy t trò ch i, tiêu bi u là Lý thuy t l a ch n quy t nh, Bài tốn trị ch i chi n
l c, bài tốn trị ch i vi phân v.v. Trong Lý thuy t
th có các bài tốn t i u trên m ng, bài
toán PERT, Các bài toán
ng i v.v.
Các l p ph

ng pháp toán h c thu c Lý thuy t t i u có th bi u di n b i s

sau:

Lý thuy t t i u

Các ph

ng pháp t i u

.....
Quy
ho ch
tốn
h c

Lý
thuy t
th

Lý
thuy t
trị ch i

1

2

.....

Mơ hình t i u

3

Mơ

hình
ph c
v ám
ơng

Mơ
hình
tốn
kinh t

Mơ
hình
qu n lý
d tr

.....

1
Quy ho ch tốn h c

Quy
ho ch
tuy n
tính

Quy
ho ch phi
tuy n

Quy

ho ch
ng

Quy
ho ch
tham s

.....

3


Ch

ng I: M t s ki n th c m

u

3
Lý thuy t trị ch i

Bài tốn
l a ch n
quy t
nh

Bài tốn
trị ch i
chi n
l c

Bài tốn
trị ch i
vi phân

.....

1.1.2. Bài toán t i u t ng quát.
Bài toán quy ho ch tốn h c t ng qt
C c

i hóa (c c ti u hóa) hàm f (x)

Hàm f (x) cho

max (min)

(1.1)

(=,

) bi (i = 1, m )

(1.2)

X.

IRn .

(1.3)

V i các i u ki n: gi (x)
x

c phát bi u nh sau:

(1 -1) g i là hàm m c tiêu.

Các hàm gi (x) (i = 1, m ) g i là hàm ràng bu c.
T ph pD= x

(=, ) bi, i = 1m
,

X gi (x)

G i là mi n ràng bu c ch p nh n
-M im tb t
(1.2) - (1.3)

ng th c,

- i m x = (x1, x2, ..., xn)
m t gi i pháp ch p nh n
c.

c.

ng th c trong (1.2) g i là m t ràng bu c c a bài toán (1.1) D g i là m t ph

- M t ph ng án x* D làm c c
l i gi i ho c ph ng án t t nh t).
Theo

(1.4)

i (c c ti u) hàm m c tiêu g i là ph

D là ph

nh ngh a trên thì x*

ng án c a bài tốn (1.1) - (1.2) - (1.3) hay là
ng án t i u (hay

ng án t i u khi và ch khi

f (x*)

f (x), x

D, (

i v i bài toán max) hay

f (x*)

f(x), x

D, (

i v i bài toán min).

Giá tr f(x*) g i là giá tr t i u (t t nh t) c a hàm m c tiêu, hay là giá tr t i u c a bài
toán (1.1) - (1.2) - (1.3).

1.1.3. Phân lo i các bài toán t i u.
a - N u hàm m c tiêu f(x) và các ràng bu c gi (x) là hàm tuy n tính (b c 1) thì bài tốn (1.1)
- (1.2) - (1.3) g i là m t Qui ho ch tuy n tính . (tr ng h p riêng là bài tốn v n t i).
b - N u bi u th c hàm m c tiêu f(x) và các ràng bu c gi (x) (i = 1, m ) là hàm ph thu c
tham s , thì bài tốn (1.1)
4

(1.3) g i là qui ho ch tham s .


Ch

ng I: M t s ki n th c m

u

c - N u bài toán (1.1) (1.3)
c xét trong quá trình nhi u giai o n ho c trong quá trình
thay i theo th i gian thì g i là Qui ho ch ng.
d - N u bài toán (1.1)

(1.3) mà hàm m c tiêu f(x) ho c có ít nh t m t trong các hàm gi

(x), (i = 1, m ) là phi tuy n thì g i là Qui ho ch phi tuy n, tr

ng h p riêng là Qui ho ch l i ho c

Qui ho ch lõm.
Qui ho ch l i (lõm) là Qui ho ch toán h c mà hàm m c tiêu f(x) là l i (lõm) trên t p h p
các ràng bu c D l i (lõm).
e - N u bài toán (1.1)

(1.3) mà mi n ràng bu c D là t p r i r c thì g i là Qui ho ch r i

r c.
g - N u bài tốn(1.1) (1.3) có các bi n xi IR1 là thành ph n i trong véc t x
ch nh n các giá tr nguyên, thì g i là Qui ho ch nguyên.
h - N u bài toán (1.1) (1.3) mà các bi n xi
ho ch Bul (xi là thành ph n i c a véc t x).

X

IRn,

IR1 ch nh n các giá tr O ho c 1, g i là Qui

i - N u bài toán (1.1)
(1.3) mà trên mi n D ta xét
g i là Qui ho ch a m c tiêu v.v.

ng th i nhi u m c tiêu khác nhau,

1.1.4. N i dung nghiên c u c a mơn h c.
a. Quy ho ch tuy n tính.

b. Bài toán v n t i.
c. Bài toán t i u trên m ng.
d. Mơ hình kinh t và mơ hình tốn kinh t .
e. Mơ hình ph c v

ám ơng.

g. Mơ hình qu n lý d tr .

1.2. C

S

GI I TÍCH L I.

1.2.1. Khơng gian tuy n tính n chi u (Rn).
a. Véc t n chi u.
M t h th ng

c s p , g m n s th c, d ng x = (x1 x2, ..., xn), g i là m t véc t n chi u.

Thí d : x = (4, 0, 5, 10, 15) là m t véc t 5 chi u.
Các s xi, i = 1, n , g i là thành ph n th i c a véc t x.
Hai véc t x =(x1, x2, ..., xn) và (y1, y2, ..., yn) g i là b ng nhau, n u xi = yi, (i = 1, n ). Khi ó
ta vi t x

y.
xi =yi, (i = 1, n ).

V yx y

Cho hai véc t

x = (x1, x2, ..., xn)

y = (y1, y2, ..., yn) và
Ta

R1 .

nh ngh a phép c ng hai véc t x và y là véc t x+y,

c xác

x+y= (x1+ y1, x2 + y2, ..., xn + yn)
Phép nhân véc t x v i m t s

R1 là véc t

nh nh sau:
(1.5)

x,

c xác

nh nh sau:
5


Ch

ng I: M t s ki n th c m

u

x = ( x1, x2, ..., xn)
- Véc t

(1.6)

= (0, 0, ....., 0) g m các thành ph n toàn là s 0, g i là véc t khơng.

* Các tính ch t c a phép c ng véct và nhân véct v i m t s .
- N u x và y là hai véct n chi u thì x+y c ng là véc t n chi u.
- V i m i véc t n chi u x và y ta

u có: x+y =y+x.

- V i m i véc t n chi u x, y và z ta

u có: x + (y+z) = (x+y) +z.

n chi u sao cho

- Luôn t n t i véct

+x = x+

=x.

- M i véct n chi u x luôn t n t i véc t n chi u -x sao cho: x+ (-x)=(-x) +x =
-

k R và v i m i véc t n chi u x thì kx c ng là véc t n chi u.

-

k R và v i m i véc t n chi u x và y ta có: k (x+y) = kx+ky.

-

l, k R và v i m i véc t n chi u x ta ln có: (k +l ) x = kx +lx.

-

l, k R và v i m i véc t n chi u x ta ln có: k(lx) = (kl) x.

- M i véc t n chi u ta ln có: 1.x = x.
b. Khơng gian tuy n tính n chi u Rn.
T p h p t t c các véc t n chi u, trong ó xác l p phép tốn c ng Véc t và nhân véc t
v i m t s th c nh (1.5) và (1.6) và tho mãn 10 tính ch t nêu trên, g i là m t không gian tuy n
tính n chi u. Ký hi u IRn.

1.2.2. M t s tính ch t
a.

i v i véc t trong Rn.

nh ngh a.

Các véc t xi

Rn, i = 1, m , g i là

c l p tuy n tính n u

m

i

xi =

i

= 0, i = 1, m .

i 1
m

- N u t n t i ít nh t m t s

j

0, 1

j

m, sao cho

i

xi =

, thì ta nói r ng các

i 1

véc t x

Rn, i = 1, m , là ph thu c tuy n tính.
m

- N u t n t i véc t xi

i
ix ,

Rn, sao cho: x =

v i ít nh t m t

i

0, 1 i m, thì x g i

i 1

là t h p tuy n tính c a các véc t xi, (i = 1, m ).
m

m

i
i x v i

-N ux=

i

0, i = 1, m , và

i 1

i

= 1 thì x g i là t h p l i c a các véc t

i 1

xi, i = 1, m .
- Trong không gian véc t Rn, h n Véc t

c l p tuy n tính l p thành c s c a IRn.

Gi s C1, C2, ..., Cn là m t c s c a Rn, khi ó
m t cách duy nh t qua các Véc t c s . Ci, (i = 1, n ).

6

x

Rn

u có th bi u di n tuy n tính


Ch

ng I: M t s ki n th c m

u

b. Cho hai véc t b t k x, y Rn, x = (x1, x2, ... xn) và y = (y1, y2, ...., yn) , ta g i tích vơ
ng c a hai véc t x và y là m t s th c, ký hi u là <x, y>,
c xác nh nh sau:

h

m

xi yi .

<x, y> =
i 1

-

dài c a Véc t
n

x

x, x

Rn là s

x

th c, ký hi u

x ,

c xác

nh nh

sau

2

xi
i 1

- Chú ý: Tích vơ h

ng hai véc t có các tính ch t sau:
Rn .

b1, < x, y > = < y, x >. (Tính giao hốn)

x, y

b2, < x1+x2, y > = < x1, y > + < x2, y >,

x1, x2, y

(Tính phân ph i
b3, < x, y

=

b4> < x, x >

i v i phép c ng).
R1,

< x, y > ,

x, y

nh ngh a kho ng cách gi a hai véc t x, y, ký hi u
n

( x, y )

Rn .

Rn, d u b ng x y ra khi x = .

0 x

V i m i x, y Rn, ta
th c,
c xác nh nh sau:

Rn .

x y

x

y, x

( xi

y

i 1

Rn, chính là

Chú ý: Kho ng cách gi a hai véc t x, y
- y. (Hi u c a hai Véc t ).

(x, y) là s

yi ) 2 .
dài c a véc t

hi u x+ (-1)y: = x

1.2.3. Khơng gian clít.
M t khơng gian tuy n tính n chi u, trong ó xác nh phép tốn tích vơ h
nh m t kho ng cách gi a hai véc t , g i là khơng gian clít, ký hi u IRn.

ng, do ó xác

1.2.4. T p Compact.
a. Các
Dãy xk
k

nói x

nh ngh a.
|Rn, g i là h i t
o

n i m xo

IRn khi k
k

, n u lim (xk, xo) = 0. Khi ó ta
k

o

, và vi t: lim x = x .

có gi i h n là x khi k

k

n:

- M t t p h p S = x IR
r trong IRn.

(x, a)

r, a IRn, r

IR1 , g i là m t hình c u tâm a, bán kính

- Hình c u S nói trên, t o thành m t lân c n c a i m a, g i là r -lân c n c a a.
- Cho t p h p A
n m tr n trong A.

IRn, i m x

A

c g i là i m trong c a A n u

- i m x A IRn,
c g i là i m biên c a A, n u m i lân c n c a x
i m thu c A và các i m không thu c A.

- lân c n c a x

u có ch a các

- Cho t p h p A IRn, ta nói t p h p A là gi i n i n u hình c u ch a tr n nó, ngh a là
s th c r l n và i m a IRn sao cho x A ta u có (x, a) < r.
7


Ch

ng I: M t s ki n th c m

u

* Nh n xét. T
nh ngh a c a dãy h i t và t p gi i n i, ta suy ra, m t dãy xk
t bao gi c ng gi i n i.
IRn

-M tt ph pG
trong G.

IRn

-M tt ph pF
n m t i m xo F.

c g i là m , n u x

IRn, h i

G, t n t i m t hình c u tâm x ch a tr n

c g i là óng, n u nh m i dãy h i t

xk

F

IRn,

uh it

* Nh n xét. M t t p h p ch a m i i m biên c a nó là m t t p h p óng.
b. T p Compact.
- T p h p C IRn
c g i là t p h p Comp ct n u t m i dãy vô h n xk
n m t ph n t thu c C.
th trích ra m t dãy con xkn h i t

C,

u có

- M t t p C là Compact khi và ch khi C óng và gi i n i.
- T p Compact M c a t p óng C c ng óng trong C.
- T p con M óng

C Compact c ng là t p Compact.

- Hàm f(x) liên t c trên t p Compact C s

1.2.5.

t giá tr l n nh t, nh nh t trên C.

ng th ng, o n th ng, siêu ph ng.
a.

nh ngh a

ng th ng và o n th ng trong IRn.

- Cho hai i m a, b |Rn. Ta g i
d ng:
x = a + (1 - )b,
IR1
-N u0

ng th ng qua a, b là t p h p các i m x

IRn có

1 thì ta có o n th ng n i hai i m a, b, ký hi u [a, b].

Chú ý - Trong không gian hai chi u IR2, ph ng trình b c nh t ax + by = c, xác nh m t
ng th ng, m t b t ph ng trình ax+by c ho c ax+by c, xác nh n a m t ph ng trong IRn.
- Trong không gian ba chi u IR3, m t ph ng trình b c nh t ax+by+cz=d xác nh m t m t
ph ng, m t b t ph ng trình b c nh t ax+by+cz d ho c ax + by + cz d xác nh m t n a
không gian. Ta m r ng k t qu trên cho không gian IRn.
b. Siêu ph ng trong IRn .

- Siêu ph ng trong không gian IRn là t p h p t t c các i m x = <x1 x2,.. xn>
mãn ph ng trình b c nh t:

IRn, tho

a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = .
n

- M t b t ph

ng trình b c nh t d ng

i 1

n

ai xi

ho c

i 1

ai xi

xác

nh m t n a khơng

gian óng trong IRn .

1.2.6. T p h p l i .
a.

nh ngh a.

c g i là t p h p l i n u cùng v i vi c ch a hai i m x, y, nó ch a c
T p h p x IRn
o n th ng n i hai i m y.
i u này có ngh a là X = z
8

|Rn: z = a + <1- > b, a, b IRn,

[0, 1]


Ch

ng I: M t s ki n th c m

u

Ví d . C không gian IRn, n a không gian |Rn, các a giác trong |Rn, các kho ng <a, b>,
o n [a, b] trong IR1... là các t p h p l i.

x
x

y

y

x

A

y

C

B

T p A: l i
b.

T p B và C: không l i.

nh lý 11.

Giao c a hai t p h p l i là t p h p l i.
Ch ng minh. L y hai i m b t k x, y
Vì A l i nên [x, y]
B l i nên [x, y]

A B

x, y

A và x, y

B

A.
B. => [x, y]

B. V y A

A

B l i.

H qu 1. Giao c a m t s b t k t p l i là t p l i.
H qu 2. T p h p các nghi m c a h b t ph
a11x1 + a12x2 +........ + amxn

b1

a21x1 + a22x2 +........ + a2nxn

ng trình b c nh t d ng:

b2

-------------------------------------am1x1 + am2x2 +........+ amnxn

bm,

là m t t p h p l i, g i là khúc l i a di n, trong |Rn.
Chú ý . M t khúc l i a di n gi i n i g i là a di n l i, ký hi u D. Giao c a các t p h p l i
ch a D ta g i là bao l i c a D. Ký hi u [D].

c. i m c c biên.
nh c a a di n l i ho c khúc l i g i là i m c c biên.
Rõ ràng i m c c biên x không th là i m trong c a o n th ng n i hai i m nào ó
thu c D, ngh a là không th t n t i hai i m x1, x2 D sao cho x= x1+(1- )x2,
(0, 1).

1.2.7. Hàm l i .
a.

nh ngh a.

M t hàm f(x), xác
x2

C và

s

nh trên t p h p l i C

|Rn,

c g i là

hàm l i n u

c p i m x1,

[0, 1] ta ln ln có:
9

Ch

ng I: M t s ki n th c m
f( x 1

u

)x 2 )

(1

f(x1) + (1 - ) f(x2)

(1.7)

thì hàm f(x) g i là hàm l i ch t.

N u trong (1.7) x y ra d u

thì hàm f(x) g i là hàm lõm, x y ra d u > thì hàm f(x) g i là

N u trong (1.7) x y ra d u
hàm lõm ch t.

f(x)
f(x2)
f(x1) + (1 - ) f(x2)
f( x1 + (1 - x2))

f(x1)
0

x'

x2

x

x

Chú ý. N u hàm f (x) l i trên t p C IRn thì hàm - f (x) lõm trên t p C, ng
lõm trên t p l i C IRn thì hàm - f (x) l i trên t p h p C.
- Ta nói hàm f(x) xác nh trên t p l i C
x C, t c c i tuy t i t i x* c n u f(x*)

- Ta nói hàm f (x) xác nh trên t p l i C,
c a x* sao cho f(x)
f(x), x B .
b.

t c c ti u tuy t
f(x), x C.

i t i x*

t c c ti u

- Ta nói hàm f (x) xác nh trên t p l i C,
c a x* sao cho f(x) f(x), x B .

B

c l i n u f (x)

ng t i x* C n u

tc c

a ph
i

a ph

C n u f(x*)

ng t i x* C, n u

a ph

ng c a hàm l i trên t p h p l i

lân c n

u là i m c c tr tuy t

Ch ng minh. Gi s x* là c c ti u a ph ng nh ng không c c ti u tuy t
l i, nh v y x1 C sao cho f (x*) ) f(x1). Xét t h p l i c a hai i m x* và x1:
X=

x* + (1 - ) x1, 0

x1. Khi ó

= 0 thì x

ta có: x( 1)= (1- 1) x* +

1

x

1

(0, 1) sao cho x B

,v

i

[0,

o)

l y

i trên t p C

(0,

o)

t c c ti u

a

1

B .
(1- 1) f (x*) +

1

f(x1).

((1- 1) f (x*) + 1 f(x*) = f (x*), i u này mâu thu n v i hàm f (x*)
ng t i x*. T ó suy ra i u ph i ch ng minh.
H qu 1.
M i i mc c
- Ta g i

i

a ph

o hàm theo h

f (x, z) lim
0

10

i.

1.
o

Do f l i nên có f ((1- 1) x*+ 1x1)
ph

lân c n B

nh lý 1.2.

M i i m c c tr

N u

f(x),

ng c a hàm lõm trên t p h p l i
ng z c a hàm f t i x là

f (x

z) f (x)

il

u là c c

ng:

, n u gi i h n này t n t i.

i tuy t

i.


Ch

ng I: M t s ki n th c m
c-B

u

1.1.

N u hàm f (x) là hàm l i kh vi trên C l i. Khi ó x C và v i m i z sao cho x+z
thì f (x, z) t n t i và nghi m úng b t ng th c và ng th c sau:
i) f (x, z)

C

f (x +z) - f (x).

f ( x)
zi = < f(x), z >.
x1

n

ii) f (x, z) =

i 1

f (x) =

Trong ó: Véc t

f ( x) f ( x)
f ( x)
g i là gra ient c a hàm f(x) t i x,
,
,...,
x1
x2
xn

z = (z1, z2... zn)

1.2.8. M t s tiêu chu n nh n bi t hàm l i.
Cho x, z IRn,

t hàm s

( ) = f(x+ z),

[0, 1],

(1.8)

nh lý 1.3.
Hàm f(x) là l i trên IRn khi và ch khi hàm s

( ) là l i v i

|Rn .

0, 1 và x, z

nh lý 1.4.
a. Hàm f(x) kh vi trên IRn là l i khi và ch khi
+ z), z > không gi m theo .
ph

x, z

b. Hàm f(x) kh vi hai l n trên IRn là l i khi và ch khi
ng < P(x) z, z > là xác nh khơng âm.

Chú ý. M t d ng tồn ph
0, z IRn .

ng <P(x) z, z> là xác

IRn cho tr

c, hàm '( ) = <

x, y IRn cho tr

f(x

c, d ng tồn

nh khơng âm khi và ch khi <P(x) z, z >

H qu 1.

1
< Px, x >, trong ó P = (p ij)nxn là ma trân
2
x ng c p nxn, là m t hàm l i khi và ch khi ma trân P là xác nh không âm.
M t hàm b c hai d ng f(x) = < c, x > +

Chú ý.
ma tr n P là xác nh không âm thì i u ki n c n và
con chính c a ma tr n này không âm, ngh a là:

a 11
1

= a11

BÀI T P CH

0;

2

=

a 12

a

a

21

22

là t t c các

a 11 a 12 ........ a 1 n
a 21 a 22 ....... a 2 n
0, ..., n =
.......... .......... ...
a n 1 a n 2 ........ a nn

i

nh th c

0

NG I.

Bài 1. M t doanh nghi p có 300 n v nguyên li u lo i A, 500 n v nguyên li u lo i B
và 200 n v nguyên li u lo i C

s n xu t 4 lo i s n ph m I, II, III, IV. nh m c nguyên li u
c n thi t và ti n lãi c a s n xu t cho b i b ng 1. Hãy l p k ho ch s n xu t c a xí nghi p trên sao
cho thu
c lãi su t l n nh t.
B ng 1
11


Ch

ng I: M t s ki n th c m

u

Hàng hoá

I

II

III

IV

A: 300

12

5

15

6

B: 500

14

8

7

9

C: 280

17

13

9

12

5

8

4

6

Nguyên li u

Lãi (

n v ti n)

Bài 2. C n s n xu t ít nh t 75 s n ph m lo i A, 58 s n ph m lo i B và 64 s n ph m lo i C.
Ng i ta có th áp d ng 3 cách s n xu t I, II, III, IV. Trong m t n v th i gian, n ng su t và chi
phí c a t ng cách s n xu t cho b i b ng 2.
B ng 2
Cách s n xu t

I

II

III

Lo i s n ph m
A

75

3

6

7

B

58

5

9

3

C

64

2

8

4

2

4

3

Chi phí (

n v ti n)

Hãy l p k ho ch s n xu t sao cho chi phí nh nh t mà v n

t

c các yêu c u

t ra.

Bài 3. M t Cơng ty có ba xí nghi p cùng lo i: A, B, C có kh n ng s n xu t
c 3 lo i
s n ph m: I, II, III. Bi t r ng n u u t m t n v ti n vào xí nghi p A trong m t n m s s n
xu t
c 1200 s n ph m lo i I, 800 s n ph m lo i II và 1050 s n ph m lo i III. u t vào xí
nghi p B m t n v ti n,
c 1000 s n ph m lo i I, 740 s n ph m lo i II, 900 s n ph m lo i III.
u t vào xí nghi p C m t n v ti n thì s n xu t
c 1100 s n ph m lo i I, 600 s n ph m lo i
II, 1000 s n ph m lo i III. nh m c tiêu hao nguyên li u và lao ng c a m i xí nghi p trong s n
xu t
c cho b ng 3. Nguyên li u, lao ng hàng n m Cơng ty có th cung c p cho s n xu t ba
lo i s n ph m này là 390.000 KG và 200.000 gi công. Theo k ho ch ph i s n xu t ít nh t là
23.000 n v s n ph m lo i I, 18.000 n v s n ph m lo i II, và 21.000 n v s n ph m lo i III.
Hãy tìm m t ph ng án u t sao cho thu
c các s n ph m theo k ho ch mà v n u t ít
nh t.
B ng 3
nh m c hao phí ng. li u (Kg/s n ph m) và lao
Doanh
nghi p

I
Ng. li u

ng (g/s n ph m)

II
Lao

ng

Ng. li u

III
Lao

ng

Ng. li u

Lao

ng

A

2

10

4

8

4, 5

B
12

4
4, 2

3

9

4, 5

7, 8

5


Ch

ng I: M t s ki n th c m

C

4, 5

u

2, 5

10, 5

5

8, 4

4

Bài 4. M t xí nghi p quân i có 4 lo i máy: A, B, C, D, s n xu t ra 6 lo i s n ph m I, II,
III, IV, V, VI. S gi c a m i lo i máy
s n xu t m i lo i s n ph m và giá ti n m i lo i s n
ph m ghi b ng 4. N ng l c s n xu t c a các l\mãy u có h n, n u dùng quá s b h ng. Gi s
trong 1 tu n, m i máy lo i A, B, C, D t ng ng làm vi c không quá 850, 700, 100 và 900 gi .
Hãy l p m t ph ng án s n xu t thu
c s n ph m m i lo i l n nh t mà v n b o m an tồn
cho máy móc và thi t b .
B ng 4
S n ph m
Lo i I

Lo i
II

Lo i
III

Lo i
IV

Lo i
V

Lo i
VI

A

0, 01

0, 01

0, 01

0, 03

0, 03

0, 03

B

0, 02

S gi s n
xu t 1 sp trên máy.

C

0, 05
0, 02

D

0, 05
0, 03

Giá 1 s n ph m ( /v ti n)

0, 40

0, 28

0, 32

0, 08
0, 72

0, 64

0, 60

Bài 5. M t máy bay v n t i quân s có tr ng t i M. C n ch n lo i thi t b b ng máy bay.
Tr ng l

ng lo i b u ki n i, (i = 1, n ) là

i,

có giá tr

i

. Hãy tìm ph

bao nhiêu n v lên máy bay tr ng l ng t ng c ng không v
t
c t ng giá tr l n nh t ? (Bài toán Qui ho ch nguyên).

ng án ch m i lo i thi t b

t quá t i tr ng c a máy bay mà

13


Ch

ng II: Quy ho ch tuy n tính

CH

NG II: QUY HO CH TUY N TÍNH

2.1. M T S BÀI TỐN TH C T
TUY N TÍNH

D N T I MƠ HÌNH QUY HO CH

2.1.1. Bài toán l p k ho ch s n xu t.
Gi s m t Công ty s n xu t n lo i s n ph m và ph i s d ng m lo i nguyên li u khác nhau.
ng s n ph m lo i j, (j = 1, n ) mà Công ty s s n xu t, cj là ti n lãi (hay giá) m t

G i xj là s n l

n v s n ph m lo i j, aij là chi phí nguyên li u lo i i, (i = 1, m ),
ph m lo i j, bi là l

s n xu t ra m t

nv s n

ng nguyên li u lo i i t i a có th có.

Trong các i u ki n ã cho, hãy xác

nh s n l

ng xj, j = 1, n sao cho t ng ti n lãi (hay

ng hàng hoá) là l n nh t v i s nguyên li u hi n có.

t ng giá tr s n l

Bài toán th c ti n trên, có th mơ hình tốn h c nh sau:
IRn , làm c c

Tìm x = (x1, x2, ..., xn)

i hàm m c tiêu:

n

cj xj

f(x) =

max

j 1

v i các i u ki n:
n

aij xj

bi, i = 1, m ,

j 1

xj

0, j = 1, n

Bài toán trên là m t bài tốn Qui ho ch tuy n tính.

2.1.2. Bài tốn v n t i.
Có m kho hàng cùng ch a m t lo i hàng hoá, Ai , i = 1, m (Ai i m phát th i). L
kho Ai là ai, (i = 1, m ). Có n

a i m tiêu th hàng Bj, nhu c u tiêu th

ng hàng

i m Bj là bj, j = 1, n

(Bi i m thu th i). Bi t r ng c c phí v n chuy n m t n v hàng hoá t i m phát Ai n i m
thu Bj là cij. Hãy l p k ho ch v n chuy n hàng hoá t các a i m phát n các a i m thu
hàng sao cho t ng chi phí v n chuy n là nh nh t.
N u ta ký hi u xij là l

ng hàng v n chuy n t

i m phát Ai, (i = 1, m )

(j = 1, n ), thì ta có th mơ hình tốn h c bài tốn th c t nh sau:
Tìm véc t x= (x1, x2,..., xn+m)
m

n

i 1

j 1

cij xij

F(x) =
v i các i u ki n:

14

IRnxm ,sao cho:
min

n i m thu Bj, v i


Ch

ng II: Quy ho ch tuy n tính
n

xij = ai, i = 1, m
j 1
m

xij = bi, j = 1, n
i 1

0, i = 1, m , j = 1, n

xij

Ngồi ra bài tốn ph i tho mãn i u ki n:
m

n

bj =
j 1

ai (cân b ng thu và phát).
i 1

ây là m t d ng c a bài toán Quy ho ch tuy n tính.

2.1.3. Bài tốn ng

i bán hàng (Bài toán cái túi).

M t c a hàng c n ph i v n chuy n m t l
b kg. Có n lo i

ng hàng trên m t chuy n n ng không

v t mà c a hàng c n ph i v n chuy n i bán, m i

c quá

v t lo i j, (j = 1, n ), có

kh i l ng aj kg. Và có giá tr là cj . Hãy xác nh xem trong m t chuy n hàng, c a hàng c n
lên ph ng ti n v n chuy n các v t nào t ng giá tr các v t thu
c là l n nh t.
N u ta ký hi u xj là s

h c bài toán nh sau:

v t lo i j s

a lên ph

a

ng ti n v n chuy n, ta có mơ hình tốn

|Rn sao cho:

Tìm x = (x1, x2,...,xn)
n

f(x) =

cj xj

max

j 1

V i i u ki n:
n

aj xj

b

j 1

xj

0, j = 1, n

xj - nguyên, j = 1, n
ây là bài toán Qui ho ch nguyên.

2.1.4. Bài toán l p k ho ch

u t v n cho s n xu t.

C n ph i u t v n vào m xí nghi p
s n xu t ra n lo i s n ph m. Do trang b k thu t công ngh và t ch c s n xu t khác nhau nên hi u qu c a v n u t vào các xí nghi p c ng
khác nhau. Qua phân tích, ng i ta bi t r ng khi u t m t n v ti n vào xí nghi p th i, i =

1, m , trong m t n m s s n xu t ra

c bij

n v s n ph m lo i j, j = 1, n . T ng s nguyên li u

và lao ng hàng n m có th cung c p là A và C (tính theo gi /cơng). Hãy xác nh m t k ho ch
u t sao cho m b o s n xu t
c ít nh t Bj n v s n ph m lo i j mà t ng s v n u t nh
nh t, bi t r ng các nh m c hao phí v nguyên li u và lao ng khi s n xu t ra m t n v s n
ph m lo i j

xí nghi p i, i = 1, m , t

ng ng là aij và cij, i = 1, m , j = 1, n .

15


Ch

ng II: Quy ho ch tuy n tính

G i v n u t vào xí nghi p i là xi n v ti n. Khi ó s l ng s n ph m lo i j s n xu t
xí nghi p i là bij xi và s nguyên li u s d ng xí nghi p này
s n xu t ra các s n ph m j là aij
n

bij xi .V y toàn b nguyên li u s d ng

aij bijxi và t ng s nguyên li u s

xí nghi p i là
j 1

m

n

i 1

j 1

aij bij xi.

d ng cho k ho ch s n xu t chung là:

m

ng t , ta suy ra t ng s lao

n

i 1

T

j 1

ng s d ng trong k ho ch s n xu t là:

cij bij xi

m

T ng s v n

u t , theo bài toán

t ra, là

xi và t ng s s n ph m lo i j s n xu t
i 1

m

là

bij xi .
i 1

Theo m c tiêu c a bài tốn th c t

t ra thì bài tốn có th mơ hình tốn h c nh sau:
m

IR sao cho:

Tìm véc t x = (x1, x2 ,..., xn)
m

f(x) =

xi

min

i 1

v i i u ki n:
m

n

i 1

j 1

m

n

i 1

j 1

aij bij xi

A

cij bij xi

C

m

Bj, j = 1, n

bij xi
i 1

0, i = 1, m

xi

ây là m t d ng c a bài tốn Qui ho ch tuy n tính.

2.2. MƠ HÌNH BÀI TỐN QUY HO CH TUY N TÍNH.
2.2.1. Bài tốn quy ho ch tuy n tính t ng qt
Tìm x = (x1, x2...xi,...xn) IRn.
n

Sao cho: f(x) =

j

1

Cj xj

max (min)

(2.1)

Th a mãn i u ki n:
n
j

1

aij xj ( , =

xj 0

16

) bi

( i= 1, m )

(2.2)

(j = 1, n )

(2.3)

c


Ch

ng II: Quy ho ch tuy n tính

xây d ng c s lý lu n gi i bài toán, ch c n xét m t trong hai d ng bài tốn, ch ng h n
bài tốn tìm giá tr l n nh t (f
max ) c a hàm m c tiêu, cịn bài tốn tìm giá tr bé nh t (f
min ) c a hàm m c tiêu có th chuy n i nh sau:
* Gi nguyên h ràng bu c ( 2.2 ) và ( 2.3 )
n

*

a hàm m c tiêu:

Cj xj

f(x) =

min

j 1
n

v

f (x) = - f (x) =

( - Cj ) xj

1

j

max, ta có mơ hình bài tốn:

Tìm x = ( x1 , x2 , ..., xj ,... xn ) IRn
n

Sao cho: f (x) =

1

j

(- Cj ) xj

max

(2.4)

n

Tho mãn i u ki n:

xi
B

: N u bài toán (2.4)

aij xj ( , =,

1

j

( i = 1, m )

) bi

( j = 1, n )

0

(2.6) có xopt = x*, thì bài tốn (2.1)

min c ng có xopt = x* và fmin = - f

f (x)

Th t v y, theo gi thi t (2.4)

(2.5)
(2.6)

(2.3) v i

max

(2.6) có xopt = x* v i hàm m c tiêu

n

f (x) =

1

j

(-cj ). xj

max , thì:

f (x*) ( x D - t p các ph

f (x)

n

n
j

(-cj ). xj

1

f (x)

f (x*)
n

fmin =

j

1

cj x * = j

( - cj ). x *
j

1

j

( x
n
j

ng án )

1

D)

n
j

n
j

1

cj xj

x* = xopt c a (2.1) (2.3) v i f(x)

(-cj) x * = - f
j

Nh v y m i bài toán (2.1) - (2.3) v i f(x)

1

cj. x *
j

max

min.

( pcm )

min có th chuy n f (x)

max.

2.2.2. D ng chu n t c
a- D ng
Tìm

y
x=

(x1 ,.... , xj ,.... xn )

IRn

Sao cho: f(x) = c1x1 +...+ci xi +...+ cn xn

max

(2.7)

17


Ch

ng II: Quy ho ch tuy n tính
Tho mãn

a11 x1 +...+ a1i xi +...+a1n xn

b1

a21 x1 +...+ a21xi +...+a2n xn

b2

-----------------------------------ai1 x1 +...+ aii xi +...+ ain xn

b1

(2.8)

-------------------------------am1 x1+...+ami xi +...+ amn xn
xi

0

( i = 1, n )

bm
(2.9)

b. D ng rút g n.
n

f(x) =

cixi

1

j

max

n
j

xi

aii xi

1

bi

0

( i= 1, m )

( = 1, n )

Tính ch t c a hàm m c tiêu (2.7) và d ng b t ph ng trình c a h ràng bu c (2.8) xu t phát
t ý ngh a th c ti n c a bài toán t ra. Ch ng h n nh bài toán l p k ho ch s n xu t hi u qu
kinh t t ng c ng l n nh t, khi ph i h n ch chi ti t nguyên li u s d ng.
Ng c l i, trong bài toán xác nh v n u t cho s n xu t ph i khai thác t i a trang b k
thu t - công ngh
sao cho t
c yêu c u v giá tr s n ph m làm ra mà v n u t ít nh t.

2.2.3 D ng chính t c
a- D ng

y
n

f (x) =

cixi

1

i

max

(2.10)

n
i

xi

1

aiixi = bi (i = 1, m )

(2.11)

(i = 1, n )

(2.12)

0

b. D ng ma tr n:
G i ma tr n hàng, g m các ph n t là h s các n trong hàm m c tiêu là C:
C = [ c1 c2...cn]
Ma tr n c t:

b1
B=

b2
bm

18

x1
,x=

x2
xn


Ch

ng II: Quy ho ch tuy n tính

a11 ......a1n
Ma tr n h s các n

a 21 ......a 2 n

(2.11): A =

Khi ó bài tốn (2.10)

...............
a m1 ......a mn

(2.12) có d ng ma tr n:

Tìm X sao cho: f(x) = C.X

max

A.X = B
X

0

c. D ng véc t :
G i véc t :
c = ( c1 , c2 , ... , cn )
x = ( x1 , x2 , ... , xn )

a1
(2.2)2: Aj =

Véc t c t l p b i h s các n

j

a2

j

( j = 1, n )

a mj
Véc t c t l p b i h s t do

(3.5):

b1
b2

B=

...
bm

Khi ó, bài tốn trên có d ng véc t :
Tìm X sao cho: f(x) = <c.x>

max

n
1

j

x

Aj xj = B
0

Trong ó: <c,x> = cjxj - tích vơ h

ng c a 2 véc t c và x.

Nh v y, bài toán QHTT chính t c có th vi t d

2.3. CÁC PHÉP BI N
TÍNH

i d ng ma tr n ho c véc t .

I D NG C A BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N

2.3.1. Ràng bu c:
n
j

1

aij xj

bi
n

n

Có th

a v ràng bu c:

2 v c a (2.7) v i (-1) r i

j

1

( -aij ) . xj

- bi

j

1

a'ij xj

b'i b ng cách nh n

t a'ij = - aij, b’i = -bi
19


Ch

ng II: Quy ho ch tuy n tính

2.3.2.

ng th c:
n
1

j

Có th

aij xj = bi
a v 2 ràng bu c b t

ng th c:
n

n

aij xj

1

j

bi

aij xj

bi

n

n

(- aij ) xj

1

j

1

j

- bi

j

1

a'ij xj

b'i

V i a'ij = - aij , b'i = - bi .

2.3.3. Bi n xj t do có th thay b i hi u c a 2 bi n không âm, b ng cách
xj = x'j - x'n + j v i x'j

0 , x'n

t:

0

+j

Trong ó:
x'j

= max

0 ; xj

x'n + j

= max

0 ; - xj

2.3.4. M t ràng bu c b t

ng th c:

n
j

1

aij xj

bi n bù) xn + i

bi có th

a v ràng bu c

ng th c, b ng cách

a vào bi n ph (ho c là

0:
n
j

1

aij xj + xn + i = bi

n

M t ràng bu c d ng khác:
a vào bi n ph xn + i

j

1

aij . xj

bi có th

a v ràng bu c

0:

n
1

j

aij xj - xn + i = bi
n

V y ta có:

1

j

aij xj + xn + i = bi

n
1

j

aij xj

bi

aijxj

bi

xn + i
n

n
j

1

j

1

xn + i

20

0
aij xj - xn + i = bi
0

ng th c, b ng cách


Ch

2.3.5.

ng II: Quy ho ch tuy n tính

nh lý .
n

N u véc t x = (
t

X =(

1,

2,

1,

n,

... ,

2,

....

n+1)

n)

nghi m úng b t ph

s nghi m úng ph

ng trình:

j

1

aij.xj

bi thì véc

( )

ng trình:

n
1

j

cl i.

Ví d 1:

a bài tốn QHTT sau v d ng chính t c:
f(x) = 2x1

3x4 + x5 + 2x6

x1 + x2
3x1

3x3 + x4 + x5

x2 + 2x3
xj

ch t

max

3x4 + 2x6 = 5

2x2

Tr

= bi

0

xn + i
và ng

x n+i

aijxj

4

2x5

3

0 ( j = 1, 2, 5, 6)

a h ràng bu c d ng

ng th c, b ng cách

a vào 2 bi n ph . x7

0 ; x8

0,

ta có:
f(x) = 2x1

3x4 + x5 + 2x6

x1 + x2

3x4 + 2x6 = 5

2x2
3x1

max

3x3 + x4 + x5 + x7 = 4
x2 + 2x3
xj

2x5

=3

0 ( j: 1, 2, 5, 6, 7, 8)

Xét ràng bu c d u các n, ta th y x3 , x4 không ràng bu c v d u (không n), nên
x3 = x'3

x'9

x4 = x'4

x'10 V i x'4

V i x'3

0 , x'9

0

0 , x'10

t:

0

Bài tốn có d ng:
f(x) = 2x1

3 (x'4 x'10) + x5 + 2x6

x1 + x2
2x2
3x1
x'j

3 (x'4

max

x'10)

+ 2x6

3 (x'3 x'9) + x4
x2 + 2 (x'3

=5

+ x5 + x7 = 4

x'9)

2x5 x8

0 ( j = 3 ; 4 ; 9 ; 10 ) , xj

=3

0 ( j = 1 ; 2 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8)

là bài tốn QHTT chính t c.
Tuy nhiên, sau khi th c hi n các phép bi n i, s bi n c a bài toán t ng lên, song n u s
d ng linh ho t các phép bi n i i s , s bi n có th gi m b t, bài tốn rút g n h n.
Ví d 2:

a bài toán sau v d ng chu n t c:

f(x) = x1 + x2 + 2x3 + 7x4 + 5x5

max
21


Ch

ng II: Quy ho ch tuy n tính
x1 + x2

+ x4 + 5x5 = 22 (a)

x1 + x2 + x3

+ 2x4 + 4x5 = 25 (b)

x1

+x3

+x5 = 9 (c)
( j = 1,5 )

xj
Áp d ng các phép bi n

0

i

i s h ràng bu c:

Tr t ng v c a (b) cho (a), ta có:

x3 + x4

x5

Tr t ng v c a (b) cho (c), ta có:

x2 + 2x4 + 3x5 = 16

Tr t ng v c a (a) cho (d), ta có:

x1

x4 + 2x5

=3
(d)

=6

V y h ràng bu c:
x1 + x2

+ x4 + 5x5

= 22

x1

x1 + x2 + x3 + 2x4 + 4x5

= 25

x2 + 2x4 +3x5

= 16

x1

=9

x3 + x4

=3

+ x3

+ x5

x1 = 6

( x4 + 2x5 )
( 2x4 + 3x5 )

0

x3 = 3

( x4

x5

=6

0

x2 = 16

x4 + 2x5

0

x5 )

Thay vào m c tiêu, cho k t qu : f(x) = 4x4 + 2x5 + 28
Bài toán t

ng

ng v i:

f(x)

= 4x4 + 2x5 + 28
- x4 + 2x5

6

2x4 + 3x5

16

x4 + x5

3

0 ( j = 4, 5)

xj
ây là bài toán QHTT d ng chu n t c,
Nh v y, m t bài tốn QHTT
c v bài tốn d ng chính t c.
quát, ta gi thi t r ng:

max

c rút g n h n.

d ng chu n, b ng ph ng pháp dùng bi n ph , ta luôn a
i v i bài tốn QHTT d ng chính t c khơng gi m tính t ng

i) H ràng bu c (2.11) g m m ph

ng trình

c l p:

Gi thi t này ln
c th c hi n, vì n u ng c l i thì trong h có m t hay m t s ph ng
trình là t h p tuy n tính c a các ph ng trình cịn l i, thì lo i kh i h các ph ng trình này,
c h m i g m các ph ng trình c l p v i nhau.
ii)
ph

v ph i c a h ràng bu c (2.11): bi

( i = 1, m )

0

Gi thi t này ln th c hi n, vì ng c l i n u
ng trình này v i -1, ta
c ph ng trình m i t

ph
ng

ng trình th i: bi< 0 thì nhân 2 v c a
ng.

n
j

1

(- aii ) xi = b'i v i b'i =

iii) Trong h ràng bu c (2.11), s ph
22

bi

0

ng trình m nh thua s

n n: m < n


Ch

ng II: Quy ho ch tuy n tính

Gi thi t này a ra nh m m b o D
c a bài tốn QHTT, vì ng c l i m n, thì h
ràng bu c (2.11) ln a v h g m n, ph ng trình, n n t ng
ng s có nghi m duy nh t
(h t ng thích) ho c h vơ nghi m (h khơng t ng thích), trong c 2 tr ng h p ó, vi c gi i
bài tốn là vơ ngh a.
V y m i bài tốn QHTT ln

a v d ng chính t c:

n

f (x) =

j

1

cjxj

max
n
j

1

(i = 1, m )

aij .xj = bi
xj

(j = 1, n )

0

(i = 1, m )

V i: bi
m < n và m ph

2.4 - M T S
a-

0

ng trình

c l p v i nhau .

TÍNH CH T C A BÀI TỐN QUY HO CH TUY N TÍNH.

nh lý 1.

T p D các ph

ng án c a bài tốn QHTT chính t c (2.10)

(2.12) là m t t p l i.

nh lý 2.
N u t p D các ph ng án c a bài tốn QHTT chíng t c (2.10)
ch n, thì D là m t a di n l i.

(2.12) khơng r ng và b

* nh lý có th ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p theo s bi n c a bài toán.
ch ng minh D là m t a di n l i, ta ch c n ch ng t r ng, trong D có m t s h u h n các ph ng
án, mà m i ph ng án thu c D u là t h p l i c a các ph ng án trong D.
nh lý 3. N u bài tốn QHTT chính t c (2.10) (2.12) có l i gi i và t p D các ph
c a nó là m t a di n l i, thì có ít nh t m t i m c c biên c a D là ph ng án t i u.

ng án

nh lý 4. N u bài tốn QHTT chính t c (2.10) -(2.12) có l i gi i, thì t n t i ít nh t 1 i m
c c biên c a t p D các ph ng án là ph ng án t i u (g i là ph ng án c c biên t i u).
* nh lý này làm c s lý lu n cho ph ng pháp gi i bài tốn. Nh nó áng l ph i ph i
tìm ph ng án t i u trong t p vô s ph ng án, ta ch c n tìm trong t p h u h n các ph ng án
c c biên.
Tuy v y, không lo i tr có nh ng ph
nh lý sau:

ng án t i u không ph i là i m c c biên, th hi n

nh lý 5. N u bài toán QHTT chính t c (2.10) - (2.12) có x1 , x2 , ... , xk là nh ng ph
án c c biên t i u, thì m i t h p l i c a chúng c ng là ph ng án t i u.

ng

nh lý 6.
ph ng án x = (x1 , x2 ,... ,xn) c a bài toán QHTT chíng t c (2.10) (2.12)
là ph ng án c c biên, i u ki n c n và
là các véc t c t Aj c a ma tr n h s trong (2.12) ng
v i các thành ph n xj > 0 l p thành h
c l p tuy n tính.
* Ta phân tích ý ngh a
Xét bài tốn (2.10)

nh lý.

(2.12) d ng véc t :
23