tiểu luận quy hoạch tuyến tính

BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HỒ CHÍ MINH
……………….o0o……………….
QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
Khoa: Khoa Học Cơ Bản
Lớp: 211301219
GVHD: Nguyễn Ngọc Chương
TP.HCM 11/2014
1
TIỂU LUẬN
BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP.HỒ CHÍ MINH
……………….o0o……………….
QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Khoa: Khoa Học Cơ Bản
Lớp: 211301219
GVHD: Nguyễn Ngọc Chương
Danh Sách Nhóm
Võ Ngân Hà 13008641
Nguyễn Mạnh Khương 13010131
Lê Thị Kim Luyến 13022461
Nguyễn Thị Tuyết Nhung 13015781
Trần Thị Thanh Trang 13037681
Đoàn Thị Trinh 13022461
2
TIỂU LUẬN
LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong thực tế ta thường hay gặp các tình huống là phải lựa chọn một trong số những
quyết định quan trọng để đưa ra những phương án hoặc chiến lược tốt nhất trong sản

xuất kinh doanh hay trong một trò chơi mà đối thủ là một kẻ thông minh và nguy
hiểm…Khi đó ta cần phải lập mô hình toán học quy hoạch tuyến tính để có được
phương án tối ưu cần thiết.
Trong đó phương pháp đơn hình được George Bemanrd Dantzig đưa ra năm 1947 cùng
lúc với việc khai sinh ra quy hoạch tuyến tính, phương pháp này thực sự có hiệu quả để
giải những bài toán quy hoạch tuyến tính cỡ lớn trong thực tế mà ta thường gặp, như để
vận chuyển hàng hóa đầy đủ nhưng có tổng chi phí là nhỏ nhất – đây chính là bài toán
vận tải. Hoặc trong kinh doanh phải lập kế hoạch sản xuất đối với các nguyên liệu và
sản phẩm để thu được tổng lợi nhuận là lớn nhất…
Kiến thức sau khi học quy hoạch tuyến tính rất cần thiết, đây là những kiến thức rất
quan trọng để xây dựng một mô hình toán học cho bất kỳ bài toán phức tạp nào trong
thực tế, chỉ cần xây dựng các thuật toán đã mô hình hóa ngôn ngữ nhờ việc lập trình
trên máy tính ta có thể giải quy hoạch tuyến tính một cách dể dàng nhanh chóng và
chính xác. Như vậy việc học quy hoạch tuyến tính rất quan trọng, nó đem lại những
hiệu quả kinh tế rất lớn nếu biết lập các mô hình và tính toán đúng quy cách.
2. Đối tượng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu
Quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực nghiên cứu các bài toán tối ưu mà hàm mục tiêu là
vấn đề được quan tâm nhất và các ràng buộc là các yêu cầu ,điều kiện của kế hoạch đặt ra,
đều là hàm và các phương trình, bất phương trình tuyến tính. Các bước để nghiên cứu và
ứng dụng một bài toán quy hoạch tuyến tính điển hình là:
 Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập dữ liệu .
 Lập mô hình toán học thật chính xác.
 Xây dựng các thuật toán để giải bài toán trên các lập trình máy tính.
 Tính toán thử và điều chỉnh mô hình nếu cần .
Áp dụng để giải các bài toán thực tế .
QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU
A. Lý Thuyết
 Đối ngẫu là một phương pháp mà ứng dụng với mỗi bài toán QHTT đã cho (gọi là
bài toán gốc), ta có thể thiết lập một bài toán QHTT khác (gọi là bài toán đối ngẫu) sao
cho từ lời giải của bài toán này ta có thể thu được thông tin về lời giải của bài toán kia.

 Khi phân tích đồng thời cả hai bài toán gốc và dối ngẫu ta có thể rút ra các kết luận
sâu sắc cả về mặt toán học lẫn về ý nghĩa thực tiễn.
1. CÁCH LẬP BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU
1.1. Xét quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc:
f(x) = c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ … + c
n
x
n
min



=≥
=≥+++
,n, ,2,1j,0x
m ,,2,1i,bxa xaxa
j
inin22i11i
(P) [Bài toán gốc]
Trong đó a
ij
, b

i
, c
j
là các hệ số cho trước; x= (x
1
, x
2
, … ,x
n
) ∈ R
n
l vecto biến cần
tìm.
Ta gọi đối ngẫu của (P) là QHTT, ký hiệu (Q), có dạng:
g(y) = b
1
y
1
+b
2
y
2
+ … + b
m
y
m
max




=≥
=≤+++
,n,,2,1i,0y
,n,,2,1j,cyayaya
jmmj2j21j1



(Q) [Bài toán đối ngẫu]
Ở đây y = (y
1
, y
2
, … ,y
m
)∈ R
m
là vectơ biến cần tìm.
 Nhận xét:
- Các ràng buộc chính của (P) ↔ các biến của (Q). Các biến của (P) ↔ các ràng buộc
chính của (Q).
- Các hệ số vế phải ràng buộc chính của (P) trở thành các hệ số mục tiêu của (Q), còn
các hệ số mục tiêu của (P) lại trở thành các hệ số vế phải ràng buộc chính của (Q).
- Bài toán gốc tìm min thì bài toán đối ngẫu tìm max (và ngược lại).
- Cả hai bài toán (P) và(Q) đều có dạng chuẩn.
 Ví dụ: tìm bài toán đối ngẫu của bài toán QHTT dạng chuẩn.
f(x) = 20x
1
+ 15x
2

→ min







≥≥
≥+
≥+
≥+
0,0
602
40
603
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
Bài toán đối ngẫu là:
g(y) = 60y
1
+ 40y
2
+ 60y

3
→ max





≥≥≥
≤++
≤++
0;0;0
15
203
321
321
321
yyy
yyy
yyy
 Dùng ký hiệu vectơ và ma trận, ta có thể viết:
Bài toán gốc: Bài toán đối ngẫu:





≥
≥
→=
0

min,)(
x
bAx
xcxf







≥
≤
→=
0
max,)(
y
cyA
ybyg
T
A
T
là ma trận chuyển vị của A, <a, b> là tích vô hướng của hai vectơ a và b.
1.2. Định nghĩa đối ngẫu của bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc:





=≥

==+++
→+++=
,,,2,1,0
,,,2,1,
min)(
2211
2211
njx
mibxaxaxa
xcxcxcxf
j
ininii
nn



Là bài toán:



=≤+++
→+++=
,,,2,1,
max)(
2211
2211
njcyayaya
ybybybyg
jmmjjj
m



 Dưới dạng vectơ – ma trận, ta có thể viết:
Bài toán gốc: Bài toán đối ngẫu:





≥
=
→=
0
min,)(
x
bAx
xcxf





≤
→=
cyA
ybyg
T
max,)(
1.3 Tổng quát, xét bài toán QHTT có dạng










∈≤∈∈≥
∈
∈
∈










≤
=
≥
+++
→+++=
)(0),(),(0
,
,

,
min)(
321
3
2
1
2211
2211
JjxJjýtùyxJjx
Iib
Iib
Iib
xaxaxa
xcxcxcxf
jjj
i
i
i
ninii
nn


Trong đó I
1
∪I
2
∪I
3
= {1,…,m}, I
i

∩I
k
= ∅, i, k = 1, 2, 3 (i≠k); J
1
∪J
2
∪J
3
= {1,…,n},
J
i
∩J
k
= ∅, j, k = 1, 2, 3(j≠k).
Ta gọi đối ngẫu của bài toán trên là bài toán:









∈≤∈∈≥
∈
∈
∈











≥
=
≤
+++
→+++=
).(0),(),(0
,
,
,
max)(
321
3
2
1
2211
2211
IiyIiýtùyyIiy
Jjc
Jjc
Jjc
yayaya
ybybybyg

iii
j
j
j
mmjjj
mm


SƠ ĐỒ ĐỐI NGẪU TỔNG QUÁT
Bài toán gốc Bài toán đối ngẫu
Các biến gốc: x
1
, x
2
,…, x
n
Các biến đối ngẫu: y
1
, y
2
,…,y
m
Hàm mục tiêu
f(x) = c
1
x
1
+ c
2
x

2
+…+ c
n
x
n
→ min g(y) = b
1
y
1
+ b
2
y
2
+…+ b
m
y
m
→ max
Các ràng buộc
a
i1
x
1
+a
i2
x
2
+…+a
in
x

n










≤
=
≥

3
2
1
,
,
Iib
Iib
Iib
i
i
i
∈
∈
∈
y

i










≤
≥
0
0
ýtùydâu

3
2
1
Ii
Ii
Ii
≤
∈
≥
x
j











≤
≥
0
0
ýtùydâu

3
2
1
Jj
Jj
Jj
∈
∈
∈
a
1j
y
1
+a
2j
y

2
+…+a
mj
y
m










≥
=
≤
3j
2j
1j
Jj,c
Jj,c
Jj,c
∈
∈
∈
 Nhận xét: Nếu lấy đối ngẫu của bài toán đối ngẫu thì ta sẽ nhận được bài toán gốc.
 Ví dụ: tìm bài toán đối ngẫu của bài toán sau










≤≥
≤−+
=+−−
≥−+
→+−=
ýtùyxxx
xxx
xxx
xxx
xxxxf
321
321
321
321
321
,0,0
343
642
832
min234)(
Bài toán đối ngẫu là:










≤≥
=−+−
−≥+−
≤+−
→++=
0y,ýtùyy,0y
2yy4y3
3y4y2y
4y3yy2
maxy3y6y8)y(g
321
321
321
321
321
2. CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU.
2.1. Cặp bài toán đối ngẫu dạng chuẩn:
(P)






≥
≥
→=
0
min,)(
x
bAx
xcxf
(Q)







≥
≤
→=
0
max,)(
y
cyA
ybyg
T
Để tiện nghiên cứu lý thuyế đối ngẫu, ta xét cặp bài toán đối ngẫu (P) và (Q) cho ở
dạng chuẩn. Tuy nhiên các kết quả nhận được cũng đúng cho một cặp bài toán đối ngẫu
bất kỳ.
 Định lý 1: (Đối ngẫu yếu).

Nếu x là 1 phương án bất kỳ của bài toán gốc (P) và y là 1 phương án bất kỳ của bài
toán đối ngẫu (Q) thì:
f(x) = c
1
x
1
+ c
2
x
2
+…+ c
n
x
n
≥ g(y) = b
1
y
1
+ b
2
y
2
+…+ b
m
y
m
Hệ quả:
- Giá trị mục tiêu của 1 phương án đối ngẫu bất kỳ là 1 cận dưới cho giá trị mục tiêu đối với
mọi phương án của bài toán gốc.
- Nếu hàm mục tiêu của bài toán gốc không bị chặn dưới trong miền ràng buộc của nó thì

bài toán đối ngẫu không có bất kỳ mộ phương án nào.
- Nếu hàm mục tiêu của bài toán đối ngẫu không bị chặn trên trong miền ràng buộc của nó
thì bài toán gốc không có bất kỳ một phương án nào.
- Nếu x* là 1 phương án của bài toán gốc, y* là 1 phương án của bài toán đối ngẫu và f(x*)
= g(y*) thì x* là phương án tối ưu của bài toán gốc và y* là phương án tối ưu của bài toán
đối ngẫu.
 Định lý 2: (Đối ngẫu mạnh).
Nếu một quy hoạch có phương án tối ưu thì quy hoạch đối ngẫu của nó cũng có
phương án tối ưu và giá trị tối ưu của chúng là bằng nhau.
 Định lý 3: (Định lý tồn tại).
Đối với mỗi cặp quy hoạch đối ngẫu nhau thì có thể xảy ra một trong ba khả năng
loại trừ nhau sau đây.
- Cả hai bài toán đều không có phương án.
- Cả hai bài toán đều có phương án. Khi đó, cả hai bài toán đều có phương án tối ưu và giá
trị tối ưu của các hàm mục tiêu là bằng nhau.
- Một bài toán có phương án và bài toán kia không có phương án. Khi đó, bài toán có
phương án sẽ không có phương án tối ưu và hàm mục tiêu của nó không giới nội trong
miền ràng buộc.
 Định lý 4: (Định lý về độ lệch bù).
Một cặp phương án x, y của hai bài toán (P), (Q) là những phương án tối ưu khi và
chỉ khi chúng nghiệm đúng các hệ thức:

)1(,m,,2,1i,0bxay
n
1j
ijiji
=∀=









−
∑
=

njyacx
m
i
iijjj
,,2,1,0
1
=∀=






−
∑
=
(2)
Nhận xét:









−
∑
=
n
j
ijij
bxa
1
: độ lệch ở ràng buộc I của (P).






−
∑
=
m
i
iijj
yac
1
: độ lệch ở ràng buộc j của(Q).
Ghi chú:

Các hệ thức (1), (2) nói rằng: với mỗi ràng buộc gốc hay đối ngẫu thì tích của độ
lệch ở ràng buộc này và biến đối ngẫu (hay biến gốc) tương ứng với ràng buộc đó phải
bằng không.
Nói cách khác, nếu một ràng buộc có độ lệch dương thì biến (gốc hay đối ngẫu)
tương ứng với ràng buộc đó phải bằng không; ngược lại, nếu một biến gốc hay đối ngẫu
có giá trị dương thì phương án của bài toán thỏa mãn ràng buộc tương ứng với dấu bằng.
Như vậy, hệ thức (1) có nghĩa là:

∑
=
n
j
jij
xa
1
>b
i

⇒
y
i
= 0
Và y
i
> 0
⇒
∑
=
n
j

jij
xa
1
=b
i
Hệ thức (2) cũng có nghĩa tương tự:
∑
=
m
i
iij
ya
1
< c
j

⇒
x
j
= 0
Và x
j
> 0
⇒

∑
=
m
i
iij

ya
1
= c
j
 Định lý 5 (Định lý mạnh về độ lệch bù).
Nếu cặp bài toán đối ngẫu (P) và (Q) có phương án thì tồn tại một cặp phương án
tối ưu x*, y* nghiệm đúng
y* + (Ax* - b) > 0
Và x* + ( c – A
T
y*) >0
2.2. Tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu
Nếu biết phương án tối ưu của bài toán gốc, vận dụng lý thuyết đối ngẫu ta có thể
suy ra phương án tối ưu của bài tối đối ngẫu tương ứng mà không cần giải nó,
Ví dụ: Bài toán qui hoạch tuyến tính









=≥
=+++
=+++
=++
→++++=
.5,4,3,2,1,0

852
35
13
min)(
5321
4321
321
54321
jx
xxxx
xxxx
xxx
xxxxxxf
j
Có phương án tối ưu x* = (0, 1, 0, 2, 3) với f
min
= 6. Hãy tìm phương án tối ưu của
bài toán đối ngẫu tương ứng.
Giải
Bài toán đối ngẫu của bài toán gốc là:












≤
≤
≤++
≤++
≤++
→++=
ýtùyy,y,y
1y
1y
1yyy
1y5yy
1y2y5y3
maxy8y3y)y(g
321
3
2
321
321
321
321
Gọi y* là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu
Do x*
2
, x*
3
, x*
5
>0, nên theo định lý độ lệch bù, y* là nghiệm đúng hệ phương
trình:






=
=
=++
1
1
15
3
2
321
y
y
yyy
Giải hệ phương trình ta có:





=
=
−=
1
1
5
3

2
1
y
y
y
Vậy y* (-5, 1, 1) là phương án tối ưu của g(y) với
g
max
= -5 +(3*1) + (8*1) = 6 = f
min
Ví dụ: dùng phương pháp đơn hình giải quy hoạch gốc (P) sau đây, từ đó suy
ra lời giải của bài toán đối ngẫu tương ứng với nó.









=≥
=+++
=++
=−++
→−+−−=
6,5,4,3,2,1,0
9342
12
2

min322)(
6543
642
6541
65421
jx
xxxx
xxx
xxxx
xxxxxxf
j
Xuất phát từ phương án cực biên ban đầu x
0
=(2, 12, 9, 0, 0, 0), cơ sở tương ứng {A
1
,
A
2
, A
3
). Quá trình giải được ghi lại trong bảng đơn hình dưới đây.
Cơ
Sở
Hệ số
c
j
Phươn
g
án
A

1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
θ
1 -1 0 -2 2 -3
A
1
1 2 1 0 0 [1] 1 -1 2
A
2
-1 12 0 1 0 1 0 1 12
A
3
0 9 0 0 1 2 4 3 4,5
Bảng 1 -10 0 0 0 2 -1 1
A4 -2 2 1 0 0 1 1 -1
A2 -1 10 -1 1 0 0 -1 2 5
A3 0 5 -2 0 1 0 2 [5] 1
Bảng 2 -14 -2 0 0 0 -3 3
A4 -2 3 3/5 0 1/5 1 7/5 0
A2 -1 8 -1/5 1 -2/5 0 -9/5 0
A6 -3 1 -2/5 0 1/5 0 2/5 1

Bảng 3 -17 -4/5 0 -3/5 0 -21/5 0
Để tìm lời giải (phương án tối ưu) của bài toán đối ngẫu ta áp dụng qui tắc sau:
Qui tắc
Nếu cơ sở ban đầu của (P) là cơ sở chính tắc (các vecto đơn vị), giả sử là {A
j
, j∈J}.
Để tìm lời giải của bài toán đối ngẫu, ta chọn ra từ bảng đơn hình cuối cùng của (P)
các ∆
j
(j∈J) rồi cộng với hệ số c
j
tương ứng.
Vì thế, lời giải của bài toán đối ngẫu y* = (y*
1
, y*
2
, y*
3
) được xác định như sau:







−
=+
−
=+∆=

−=−=+∆=
=+
−
=+∆=
5
3
0
5
3
*
110*
5
1
1
5
4
*
333
222
111
cy
cy
cy
Vậy y* =(
5
1
, -1,
5
3−
) và g

max
= -17 = f
min
B. BÀI TẬP
1. Viết bài toán đối ngẫu của các qui hoạch tuyến tính sau:
a. f = 2x
1
+ 3x
2
- 4x
3
+ 5x
4+
→
min
Điều kiện







≥≤≥
≤+−−
=−++−
≥+−+
.0x,0x,0x,ýtùyx
,9xx2xx
,8xxx2x

,10x2x2xx
4321
4321
4321
4321
Giải
Bài toán đối ngẫu của bài toán gốc :
g = 10y
1
+ 8y
2
+ 9y
3
→ max
Điều kiện









≤≥
≤+−
−≥−+−
≤−+
=+−
.,0,0

,52
,422
,32
,2
231
321
321
321
321
ýtùyyyy
yyy
yyy
yyy
yyy
b. f = x
1
- 4x
2
- 3x
3
- 2x
4
→
min
Điều kiện








≤≥≥
−≤+−−−
≥−++
−=++−
.0,0,,0
,435
,832
,12
4321
4321
4321
4321
xxýtùyxx
xxxx
xxxx
xxxx
Giải
Bài toán đối ngẫu của bài toán gốc:
g = -y
1
+ 8y
2
- 4y
3
→ max
Điều kiện










≤≥
−≥+−
−≤−+
−=−+−
≤−+
.0,0,
,23
,33
,452
,12
321
321
321
321
321
yyýtùyy
yyy
yyy
yyy
yyy
1. Xét qui hoạch tuyến tính:










≥≥≥
−≥+−
−≥−
−≥+−
→++=
.0x,0x,0x
,1xx
,1xx
,1xx
min,xxxf
321
21
31
32
221
Chứng tỏ rằng bài toán này trùng với bài toán đối ngẫu của nó (bài toán tự đối
ngẫu).
Giải
Giả sử bài toán g’(y) sau đây trùng với bài toán gốc:








≥≥≥
−≥+−
−≥−
−≥+−
→++=
0y,0y,0y
1yy
1yy
1yy
minyyyg
321
21
31
32
321
/
Bài toán đối ngẫu của bài toán gốc f(x) là:









≥≥≥

≤−
≤+−
≤−
→−−−=
.0,0,0
,1
,1
,1
max,
321
21
31
32
321
yyy
yy
yy
yy
yyyg
Đưa bài toán đối ngẫu về dạng min ta có bài toán tương đương:









≥≥≥

−≥+−
−≥+
−≥+−
→++=
.0y,0y,0y
,1yy
,1yy
,1yy
min,yyyg
321
21
31
32
321
/
Bài toán tương đương của bài toán đối ngẫu trùng với bài toán gốc.
⇒ bài toán tự đối ngẫu.
⇒ điều phải chứng minh.
2. Cho bài toán qui hoạch tuyến tính:







=≥
=++
=++
→+−=

.4,3,2,1,0
,852
,64
min,22
432
421
321
jx
xxx
xxx
xxxf
j
Có phương án tối ưu x
*
= (2, 4, 0, 0) và giá trị tối ưu là -6. Hãy tìm phương án
tối ưu và giá trị tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Giải
Bài toán đối ngẫu của bài toán gốc:











≤+

≤
−≤+
≤
→+=
ýtùyyy
yy
y
yy
y
yyg
21
21
2
21
1
21
,
.054
,2
,22
,1
max,86
Gọi y
*
= (y
1
, y
2
) là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Do x

1
*
, x
2
*
> 0 nên theo định lí về độ lệch bù, y
*
là nghiệm đúng hệ phương trình



−=+
=
22
1
21
1
yy
y
Giải hệ phương trình, ta được y
*
= (1, -
2
3
).
Với g
max
= 6.1 + 8.(-
2
3

) = -6 = f
min
3. Xét qui hoạch tuyến tính:
,
.0,0
,743
,2
,33
min1915
21
21
21
21
21









≥≥
≥+
≥+
≥+
→+=
xx
xx

xx
xx
xxf
a. Phát biểu bài toán đối ngẫu của bài toán trên.
b. Hãy giải một trong hai bài rồi suy ra phương án tối ưu của bài toán còn lại.
Giải
a. Bài toán đối ngẫu của bài toán gốc:







≥≥≥
≤++
≤++
→++=
.0,0,0
,194
,1533
max,723
321
321
321
321
yyy
yyy
yyy
yyyg

b. Ta giải bài toán đối ngẫu:
Thêm vào hai ẩn phụ
0,0
54
≥≥ yy
vào ràng buộc thứ nhất và thứ hai. Lập bảng đơn
hình, ta có:
Cơ
sở
Hệ
số
Phương
án
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
θ
3 2 7 0 0
A
4
0 15 3 1 3 1 0 5
A
5

0 19 1 1 [4] 0 1 19/4
Bảng 1 0 -3 -2 -7 0 0
A
4
0 3/4 [9/4] 1/4 0 1 -3/4 1/3
A
3
7 19/4 1/4 1/4 1 0 1/4 19
Bảng 2 133/4 -5/4 -1/4 0 0 7/4
A
1
3 1/3 1 [1/9] 0 4/9 -1/3 3
A
3
7 14/3 0 2/9 1 -1/9 1/3 21
Bảng 3 101/3 0 -1/9 0 5/9 4/3
A
2
2 3 9 1 0 4 -3
A
3
7 4 -2 0 1 -1 1
Bảng 4 34 1 0 0 1 1
⇒ Phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu: y
*
= (0, 3, 4)
Gọi x
*
= (x
1

, x
2
) là phương án tối ưu của bài toán gốc.
Do y
2
*
, y
3
*
>0, nên theo định lí về độ lệch bù, x
*
là nghiệm đúng hệ phương trình:



=+
=+
743
2
21
21
xx
xx
Giải hệ phương trình, ta được: x
*
= (1, 1)
Với f
min
= g
max

= 34
4. Xét bài toán quy hoạch tuyến tính:
f(x) = 4x
1
–x
2
-3x
3

→
min












≤+−
−≥−
−≥+−
≤−
−≥−+
ýtùyx,x,x
.3x2x

,6x3x
3x3x4x2
,4xx
,2x4x3x
321
31
21
321
32
321
(*)
Viết bài toán đối ngẫu. Chứng tỏ x
0
= (-1, 1, 1) là phương án tối ưu. Xác định
một phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Giải
Bài toán đối ngẫu của bài toán gốc:
g(y) = -2y
1
+ 4y
2
- 3y
3
- 6y
4
+ 3y
5
→ max








≤≥
−=++−−
−=−−+
=−++
.0,;0,,
,3234
,1343
,42
52431
5321
4321
5431
yyyyy
yyyy
yyyy
yyyy

Thay x
0
= (-1, 1, 1) vào hệ ràng buộc (*), ta có:










=+
−≥−=−−
−=+−−
≤=−
−=−+−
.321
,6431
,3342
,4011
,2431
x
0
= (-1, 1, 1) thỏa (*) ⇒ x
0
là phương án của bài toán gốc.
Gọi y
0
= (y
1
, y
2
, y
3
, y
4
, y

5
) là phương án của bài toán đối ngẫu.
Do độ lệch ràng buộc 2, 4 của bài toán gốc khác 0 nên theo định lí về độ lệch bù, y
0

là nghiệm đúng hệ phương trình:







==
−=++−
−=−
=−+
.0,0
,3234
,143
,42
42
531
31
531
yy
yyy
yy
yyy
Giải hệ phương trình, ta được y

0
= (1, 0, 1, 0, -1).
Với: f(x) = g(x) = -8.
⇒ x
0
= (-1, 1, 1) là phương án tối ưu của bài toán gốc.
⇒ y
0
= (1, 0, 1, 0, -1) là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
5. Xét qui hoạch tuyến tính:









=≥
≥−+
−≥−++−−
=−++−
→+−+−=
.5,3,1,0
,843
,4232
,6232
min,2)(
531

54321
54321
54321
jx
xxx
xxxxx
xxxxx
xxxxxxf
j
(*)
a. Kiểm tra tính tối ưu của phương án x
0
= (5, -6, 1, -4, 0).
b. Phát biểu bài toán đối ngẫu của bài toán trên.
c. Chứng tỏ bài toán đã cho không có phưong án tối ưu.
Giải
a. Thế x
0
= (5, -6, 1, -4, 0) vào hệ ràng buộc (*), ta có





=+
=−++−
=−++
.835
,6421810
,6121125

Do độ lệch ràng buộc 2 khác 0 và x
1
0
, x
2
0
, x
3
0
, x
4
0
khác 0 nên theo định lí về độ lệch
bù vectơ x
0
= (5, -6, 1, -4, 0) là phương án tối ưu của bài toán gốc khi tồn tại vectơ
y
0
= (y
1
, y
2
, y
3
) ∈ R
3
sao cho:












≥=
≤−−−
−=+
=++
−=−−
=+−
.0,0
,142
,13
,132
,232
,132
32
321
21
321
21
321
yy
yyy
yy
yyy

yy
yyy
Hệ này vô nghiệm
⇒ không tồn tại y
0
∈ R
3
thoả hệ trên.
⇒ phương án x
0
= (5, -6, 1, -4, 0) không phải là phương án tối ưu của bài toán gốc.
b. Bài toán đối ngẫu của bài toán gốc:











≥≥
≤−−−
−=+
≤++
−=−−
≤+−
→+−=

.0,0
,142
,13
,132
,232
,12
max,846)(
32
321
21
321
21
321
321
yy
yyy
yy
yyy
yy
yyy
yyyyg

c. Ta giải hệ ràng buộc của bài toán đối ngẫu:
















≥
−
≥
−
≤
≤
=
−
=
.0
,
28
5
,
21
4
,4
,
7
8
,
7

5
3
3
3
3
2
1
y
y
y
y
y
y

Hệ này vô nghiệm ⇒ bài toán đối ngẫu có tập phương án rỗng
Mà bài toán gốc có tập phương án khác rỗng (vì x
0
là 1 phương án)
⇒ bài toán gốc không có phương án tối ưu (theo định lí tồn tại).
6. Xét qui hoạch tuyến tính:









=≥

=++−−−
−≥−−++−
≥++−+
→−−++−=
.3,2,1,0
,2322
,95242
,5345
min,2081694)(
54321
54321
54321
54321
jx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxxxf
j
(*)
a. Kiểm tra tính tối ưu của phương án x
0
= (2, 0, 1, -2, 3).
b. Phát biểu bài toán đối ngẫu của bài toán trên.
c. Tìm phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Giải
a. Thế x
0
= (2, 0, 1, -2, 3) vào hệ ràng buộc (*), ta có:






=+−−−
−=−++−
=+−−
.29412
,915442
,636110
Do độ lệch ràng buộc 1 của bài toán gốc khác 0 và x
1
0
, x
3
0
, x
4
0
, x
5
0
khác không nên
theo định lí về độ lệch bù vectơ x
0
= (2, 0, 1, -2, 3) là phương án tối ưu của bài toán gốc
khi tồn tại vectơ y
0
= (y
1

, y
2
, y
3
) ∈ R
3
sao cho:











≥=
−=+−
−=+−
=−+−
≤−+
−=−−
.0,0
,2035
,8223
,164
,9224
,45

21
321
321
321
321
321
yy
yyy
yyy
yyy
yyy
yyy
Giải hệ phương trình, ta được y
0
= (0, 4, 0).
⇒ tồn tại y
0
∈ R
3
thỏa hệ trên.
⇒ phương án x
0
= ( 2, 0, 1, -2, 3) là phương án tối ưu của bài toán gốc.
b. Bài toán đối ngẫu của bài toán gốc:












≥≥
−=+−
−=+−
≤−+−
≤−+
−≤−−
→+−=
.0,0
,2035
,8223
,164
,9224
,45
max,295)(
21
321
321
321
321
321
321
yy
yyy
yyy
yyy

yyy
yyy
yyyyg
c. Vì đã biết x
0
= (2, 0, 1, -2, 3) là phương án tối ưu của bài toán gốc nên phương án tối ưu
y
0
của bài toán đối ngẫu có thể tìm từ định lí độ lệch bù:
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]














=+−−−
=+−−−
=−+−−
=−+−
=−−−−
=++−−−−
=−−++−−−
=++−+−
03520
02238
0416
02249
054
03222
052429
03455
5321
4321
3321
2321
1321
354321

254321
154321
xyyy
xyyy
xyyy
xyyy
xyyy
yxxxxx
yxxxxx
yxxxxx
Thay các giá trị đã biết vào hệ, ta được:





=
=
=
⇔







−=+−
−=+−
=−

=
0
4
0
2035
822
04
0
3
2
1
32
32
32
1
y
y
y
yy
yy
yy
y
Vậy phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là y
0
= (0, 4, 0).
Với g
max
= f
min
= -36.

7. Xét qui hoạch tuyến tính:









=≥
≤+−
≤++
=+−
→+++=
.4,3,2,1,0
,2032
,84
,162
max,32)(
432
432
321
4321
jx
xxx
xxx
xxx
xxxxxf
j

a. Phát biểu bài toán đối ngẫu của bài toán trên.
b. Hãy giải một trong hai bài toán rồi suy ra phương án tối ưu của bài toán còn lại.
Giải
a. Bài toán đối ngẫu của bài toán gốc:











≥≥
≥+
≥−+
≥++−
≥
→++=
.0,0
,33
,124
,1112
,2
min,20816)(
32
32
321

321
1
321
yy
yy
yyy
yyy
y
yyyyg
b. Ta giải bài toán gốc
Thêm vào hai ẩn phụ x
5
≥ 0, x
6
≥ 0 vào ràng buộc thứ hai và thứ ba. Lập bảng đơn
hình, ta có:
Cơ
sở
Hệ
số
Phươn
g án
A
1
A
2
A
3
A
4

A
5
A
6
θ
2 1 1 3 0 0
A
1
2 16 1 -2 1 0 0 0
A
5
0 8 0 [1] 4 1 1 0 8
A
6
0 20 0 1 -2 3 0 1 20
Bảng 1 32 0 -5 1 -3 0 0
A
1
2 32 1 0 9 2 2 0
A
2
1 8 0 1 4 1 1 0
A
6
0 12 0 0 -6 2 -1 1
Bảng 2 72 0 0 21 2 5 0
⇒ Phương án tối ưu của bài toán gốc là x
0
= (32, 8, 0, 0).
Gọi y

0
= (y
1
, y
2
, y
3
) là phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu.
Dựa vào bảng đơn hình, ta có:





=+=+∆=
=+=+∆=
=+=+∆=
000
505
220
663
552
111
cy
cy
cy
Vậy phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu là y
0
= (2, 5, 0).
Với g

min
= f
max
= 72.