Đề thi HSG khối 6 năm 2013 - 2014 có đáp án

PHÒNG GD&ĐT BÙ ĐĂNG KÌ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 6
TRƯỜNG THCS THỐNG NHẤT NĂM HỌC: 2013 -2014
Họ và tên:………………………… Lớp:…… Thời gian: 90 phút (không kể thời
gian phát đề)
ĐỀ 2:
Câu 1: (1đ)
a. Tính : 2 + 4 + 6 +… +100.
b. Viết tập hợp M các số chẵn a thỏa mãn a
≤
10
c. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số?
Câu 2 (1.5 đ): Tính
a) 4. 5
2
– 3. (24 – 9) b)
2
1
7 6.
2
 
+ −
 ÷
 
c)
5 5
2 .7 2
5 2 5
2 .5 2 .3
+
−
Câu 3 (1.5 đ): Tìm x, biết:

a) (x - 15) : 5 + 22 = 24 b) 5
2x-3
– 2.5
2
= 5
2
.3 c)
1 1 5 5
: 9
2 3 7 7
x
 
− + =
 ÷
 
Câu 4 (1đ): Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số
chia hết cho 3.
Câu 5 (2đ): Người ta viết các số tự nhiên từ 1 đến 2013 thành một số tự
nhiên L. hỏi L có bao nhiêu chữ số?
Câu 6 (2đ): a) Chứng minh: Với k
∈
N
*
ta luôn có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 1 3. 1k k k k k k k k+ + − − + = +

b) Cho A =
2 3 4 60
2 2 2 2 2+ + + + +

. Chứng minh rằng A chia hết
cho 3
Câu 7 (1đ): Cho 20 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, cứ 2
điểm ta sẽ vẽ được một đường thẳng. Hỏi tất cả có bao nhiêu đường
thẳng?
ĐÁP ÁN:
Câu 1: (1đ)
a) 2 + 4 + 6 + + 100 = (100 + 2).[(100 – 2): 2 +1 ] = 6000
(0.5)
b) M = {0 ;2; 4; 6; 8; 10} (0.25)
c) 1000, 1001, , 9999 gồm 9999 – 1000 + 1 = 9000 (số)
(0.25)
Câu 2: (1,5đ)
a) 55 (0.5)
b)
17
2
(0.5)
c)
4
11
(0.5)
Câu 3: (1,5đ) Mỗi ý đúng được 0.5đ
a) x = 25 b) x = 3 c)
261
70

Câu 4: (1đ) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n; n + 1 và n + 2
Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 chia hết cho 3.
Câu 5: (2đ)

Từ 1 đến 9 có: 9 – 1 + 1 = 9 số có 1 chữ số (0,25đ)
Từ 10 đến 99 có: 99 – 10 + 1 = 90 số có 2 chữ số
(0,25đ)
Từ 100 đến 999 có: 999 – 100 + 1 = 900 số có 3 chữ số
(0,25đ)
Từ 1000 đến 2013 có: 2013 – 1000 + 1 = 1014 số có 4 chữ số
(0.25đ)
Vậy nếu viết các số từ 1 đến 2013 thành 1 số L thì L có 9 + 90.2 + 900.3
+1014.4 = 6945 chữ số.
(1đ)
Câu 6: a) Ta có: k.(k+1).(k+2) – (k-1).k.(k+1) = k(k+1)[(k+2) – (k-1)] =
3k(k+1) (1đ)
b) Ta có A =
2 3 4 59 60
(2 2 ) (2 2 ) (2 2 )+ + + + + +

= 2(1+2) + 2
3
(1+2)+… + 2
59
(1+2) chia hết cho 3 vì tất cả
các số hạng của tổng đều chia hết cho 3. (1đ)
Câu 7: (1đ)
Chon 1 điểm, qua điểm đó và từng điểm trong 19 đường còn lại ta vẽ
được 19 đường thẳng. Làm như vậy đối với 20 đường thẳng ta có 19.20
đường thẳng. Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần, do đó tất cả chỉ
có 19.20:2 = 190 đường thẳng.