Chứng minh thẳng hàng trong các bài Toán Vector lớp 10

CHUYÊN MỤC :

DIỄN ĐÀN DẠY HỌC TOÁN

CHỨNG MINH THẲNG HÀNG TRONG CÁC BÀI TOÁN VECTƠ LỚP 10

 Các bài toán chứng minh thẳng hàng và đồng quy thường làm khó học sinh, điều này càng dễ hiểu khi ta mới
tiếp cận các dạng toán về Vectơ. Có một phương pháp nhất quán và hiệu quả để giải các dạng Toán này, tôi xin
nêu lại sau đây:
 Phương Pháp: Để chứng minh ba điểm
, ,
A B C
thẳng hàng trong các bài toán vectơ, ta chọn một điểm
gốc (chẳng hạn
A
) rồi chứng
 
 
( 0).
AB kAC k

 Công thức ngọn trừ gốc :  
  
BC AC AB
(Chọn điểm
A
làm gốc).
 Từ các hệ thức đã cho ta làm xuất hiện 2 vectơ
AC, AB
 
và các vectơ

1 2
, , ,
  
n
AM AM AM
(theo
cùng điểm gốc
A
) bằng cách sử dụng công thức ngọn trừ gốc
MN AN AM
 
  
.
 Biểu diễn
1 1 2 2

n n
AB AM AM AM
  
   
   
và
1 1 2 2

n n
AC AM AM AM
  
   
   
với

1 2
1 2

n
n
k
 
  
   
. Khi đó ta có :

 
AB kAC
.
Baøi 1. Cho tam giác
ABC
, trên
BC
lấy điểm
D
sao cho
3
5
BD BC

 
. Gọi
E
là điểm thỏa điều kiện
10 2 3 0

EA EB EC
  
   
. Chứng minh ba điểm
, ,
A E D
thẳng hàng.
Lời giải. Chọn điểm gốc là
E
. Ta có :



3 3
5 2 3 (1)
5 5
BD BC ED EB EC EB ED EB EC       
        
.

10 2 0 10 2 3 (2)
EA EB EC EA EB EC      
      

Từ
(1)(2)
suy ra :
5 10
ED EA
 

 
hay
 
 
2
ED EA
. Vậy ba điểm
, ,
A E D
thẳng hàng.
Baøi 2. Cho tam giác ABC và hai điểm
,
M N
thỏa điều kiện
3 0; 2 3 0
MA MC NA NB NC
    
      
. Chứng minh
rằng 3 điểm
, ,
B M N
thẳng hàng.
Lời giải. Chọn điểm
B
làm điểm gốc. Ta có :



3 0 3 0 4 3 (1)

MA MC BA BM BC BM BM BA BC         

          

.



2 3 0 2 3 0 6 3 (2)
NA NB NC BA BN BN BC BN BN BA BC           
         
  
.
Từ (1) và (2) suy ra :
4 6
BM BN

 
hay
3
2
BM BN

 
. Do đó 3 điểm
, ,
B M N
thẳng hàng.
Baøi 3. Cho tam giác
ABC

có
P
là trung điểm của
AB
và hai điểm
,
M N
thỏa các hệ thức
2 0
MB MC
 
  
và
2 0
NA NC
 
  
. Chứng minh ba điểm
, ,
M N P
thẳng hàng.
Lời giải. Chọn điểm gốc là
M
. Ta có :



2 0 2 0 3 2
NA NC MA MN MC MN MN MA MC
         

         
 

Mà 2 0 2
MB MC MC MB
   
    
nên 3 2
MN MA MB MP
  
   
(Do
P
là trung điểm của
AB
)
Hay

 
2
3
MN MP
vì vậy ba điểm
, ,
M N P
thẳng hàng.
Baøi 4. Cho hình bình hành
ABCD
. Gọi
,

H K
lần lượt là hai điểm trên cạnh
,
BC BD
sao cho
1 1
,
5 6
BH BC BK BD
 
   
. Chứng minh ba điểm
, ,
A H K
thẳng hàng.
Lời giải. Chọn điểm gốc là
A
. Ta có :



1 1
5 5 5 4 (1)
5 5
BH BC AH AB AC AB AH AB AC AB AH AB AC           
        
    
.






1 1
6 6 6 4
6 6
BK BD AK AB AD AB AK AB AD AB AK AB AB AD
            
        
     
.

Tr
ung tâm Thăng Long TP.HCM
Địa chỉ: 766/36 -766/38 CMT8, P5, Q. Tân Bình.
Giáo viên: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu (ĐT: 0907415107)
Nguyễn Thị Duy An

Do tứ giác
ABCD
là hình bình hành nên ta có :
AB AD AC
 
  
. Do đó :
6 4 (1)
AK AB AC 
  
.
Suy ra :

5 6
AH AK

 
hay
6
5
AH AK

 
. Vậy ba điểm
, ,
A H K
thẳng hàng.
Baøi 5. Cho tam giác
ABC
và hai điểm
,
I J
thỏa điều kiện
2 ; 3 2 0.
IA IB JA JC
  
    
Chứng minh
IJ
đi qua trọng
tâm tam giác
ABC
.

Lời giải. Gọi
G
là trọng tâm tam giác
ABC
, ta có :
0
GA GB GC
  
   
. Chứng minh
IJ
đi qua trọng tâm
G

nghĩa là chứng minh
, ,
G I J
thẳng hàng. Ta có :



2 2 2 (1)
IA IB GA GI GB GI GI GA GB        
        
.






3 2 0 3 2 0 5 3 2 (2)
JA JC GA GJ GC GJ GJ GA GC         
          
.
Từ
(1)(2)
, ta có :


5 2 0 5
GI GJ GA GB GC GI GJ
       
       
. Suy ra ba điểm
, ,
G I J
thẳng hàng hay
IJ

đi qua trọng tâm
G
của tam giác
ABC
.
Baøi 6. Cho tam giác
ABC
. Gọi
, ,
O G H
lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác

ABC
. Chứng minh rằng:
, ,
O G H
thẳng hàng.

H
G
C
B
D
O
A


Lời giải. Chọn điểm gốc là
O
.
Ta có: 3  
   
OA OB OC OG
(Do
G
là trọng tâm tam giác
ABC
) (1)
Gọi
D
là điểm đối xứng với
A

qua
O
, ta được:


BH CD
(cùng vuông góc với AC) và

CH BD
(cùng vuông góc với AB)


Tứ giác
BHCD
là hình bình hành.
  
  
HB HC HD
.

     
     
OB OH OC OH OD OH
.

       
      
OH OD OB OC OA OB OC
(O là trung điểm của AD) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:

3.

 
OH OG
. Vậy 3 điểm
, ,
O G H
thẳng hàng.
Bài Tập
Baøi 1. Cho tam giác
ABC
. Gọi
,
D I
thỏa điều kiện
3 2 0
DB DC
 
  
và
3 2 0
IA IB IC
  
   
. Chứng minh 3 điểm
, ,
A D I
thẳng hàng.
Baøi 2. Cho tam giác
ABC

. Gọi
, ,
M N P
thỏa điều kiện
2 2 0
MB MC NA NC PA PB
     
      
. Chứng minh 3
điểm
, ,
M N P
thẳng hàng.
Baøi 3. Cho tam giác
ABC
. Gọi
,
M N
lần lượt là trung điểm của
,
AB AC
và các điểm
,
E F
thỏa điều kiện
1
3

 
ME MN

;
1
3

 
BF BC
. Chứng minh 3 điểm
, ,
A E F
thẳng hàng.
Baøi 4. Cho tứ giác
ABCD
có
AB CD

. Các đường thẳng
,
AC BD
cắt nhau ở
E
và các đường thẳng
,
AD BC
cắt
nhau ở
F
. Gọi
,
M N
theo thứ tự là trung điểm của các cạnh

,
AB CD
. Chứng minh rằng
, , ,
E F M N
cùng nằm
trên một đường thẳng.
Baøi 5. Trên các cạnh
, ,
BC CA AB
của tam giác
ABC
tương ứng lấy các điểm
1 1 1
, ,
A B C
. Gọi
, ,
a b c
G G G
theo thứ
tự là trọng tâm của các tam giác
1 1 1 1 1 1
, ,
AB C C A B A B C
và
1 2
, ,
G G G
theo thứ tự là trọng tâm các tam giác

1 1 1
, ,
a b c
ABC A B C G G G
. Chứng minh 3 điểm
1 2
, ,
G G G
thẳng hàng.