chuyên đề : nhị thức niuton

Nhị thức NIU-TƠN Nhóm
Trang 1
TỔ HỢP - NHỊ THỨC NIUTƠN
A. Lý thuyết:
I. TỔ HỢP:
1. Định nghĩa:
Cho n phần tử khác nhau. Một tổ hợp chập n phần tử là một tập con chứa r phần
tử
2.
Số tổ hợp n chập r là



 
)!(!
!
3.2.1
)1) (3)(2(1
rnr
n
r
rnnnnn
C
r
n





3. Tính chất:

a)
CC
rn
n
r
n




b)
1
0

CC
n
nn

,
n
CC
n
nn

11

c)
CCC
r
n

r
n
r
n
1
11




d)
CC
r
n
r
n
r
rn
1
1
1





e)
2

210

n
n
nnnn
CCCC



II. NHỊ THỨC NIUTƠN


   
bCbaCaCaC
ba
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
1

222110




(1)

Nhận xét: trong biểu thức ở VP của công thức (1)
- Số hạng tử là n+1.
- Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến
n, nhưng tồng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n
(qui ước a
0
= b
0
= 1).
- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
- Số hạng tử thứ k+1 la T
k+1
= C
n
k
a
n – k
b
k

Chú ý:
a = b = 1 ta có
CCCCCC
n
n
n
n
k

nnnn
n

1210

2

a=1; b= -1 ta có 0
   
CCCCC
n
n
n
k
n
k
nnn
11

210



B. BÀI TẬP
Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton
Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị của biểu thức
Dạng 3: Giải phương trình
Dạng 4: Tìm giá trị của hệ số trong khai triển Newton
Phương pháp:
Ta có :

 
baC
ba
iin
n
i
i
n
n





0

Khi đó:
Nhị thức NIU-TƠN Nhóm
Trang 2
Hệ số của số hạng tử thứ i là
C
i
n

Số hạng tử thứ i là
baC
iini
n


Ta có:
     
xC
xx
C
xx
iin
n
i
i
n
iin
n
i
i
n
n









)(
00

Khi đó:

Hệ số của
x
k
là
C
i
n
trong đó I là nghiệm của phương trình :
kiin 

)(

Khi k = 0 đó là số hạng không phụ thuộc vào x

Dạng 5: Sử dụng khai triển Newton chứng minh đẳng thức - bất đẳng thức

Nhị thức NIU-TƠN Nhóm
Trang 3
BÀI TẬP NHỊ THỨC NIU – TƠN


Dạng 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn
Dạng 2: Rút gọn, tính giá trị biểu thức
Dạng 3: Giải phương trình
Bài 1: a)
 
5

2ba 
=



5
0
5
5
.)2.(
k
kkk
abC

=
500
5
.)2.( abC
+
411
5
.)2.( abC
+ … +
055
5
.)2.( abC

=
5
a

+
4
10ba
+
32
40 ab
+
23
80 ab
+
ab
4
80
+
5
32b

Bài 2: Viết 3 số hạng đầ tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong khai triển

 
8
23 x
=



5
0
8
5

)2.()3.(
k
kkk
xC

Bài 3: Tính
a) S=
5
5
52
5
21
5
0
5
CxCxxCC 

Ta có:

2433
2 223
2 22)21(
)1(
5
5
5
52
5
21
5

0
5
5
5
5
52
5
21
5
0
5
5
5
5
52
5
21
5
0
5
5




S
CCCC
CCCC
CxCxxCCx

c) C =
0
n
C
+
2
1
n
C
+ … +
1n
C
n
n


 
dxx
n


1
0
1
=
 
dxxCxCC
nn

nnn


1
0
10

=
1
0
1
1
)1(



n
x
n
=
1
12
1



n
n

Vậy C =

1
12
1



n
n

d) D =
1
n
C
- 2
2
n
C
+ … +
1
)1(


n
. n.
n
n
C


 

')1(
n
x
=
 
 
nn
n
n
nnnn
xCxCxCxCC 1
332210


-n
1
)1(


n
x
=
 
12321
1 32


nn
n
n

nnn
xnCxCxCC

Chọn n
1
)11(


n
= D

D = 0
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
A =
12
2
3
2
1
2



n
nnn
CCC

B =
n
nnn

CCC
2
2
2
2
0
2


Ta có A + B =
12
2
3
2
1
2



n
nnn
CCC
+
n
nnn
CCC
2
2
2
2

0
2


=
n
)11( 

=
n
2
(1)


Nhị thức NIU-TƠN Nhóm
Trang 4
và A - B =
12
2
3
2
1
2



n
nnn
CCC
-

 
n
nnn
CCC
2
2
2
2
0
2


=
n
)11( 

= 0 (2)
Từ (1) và (2), ta có
12
2


n
BA


Bài 5: Giải phương trình:

10921



x
x
c
x
x
x
x
x
CCCC
= 1023
)10( x



109210

xxxxx
CCCCC 
= 1024



x
2
=
10
2



x
=
10


Dạng 4: Tìm giá trị của hệ số trong khai triển Niu-tơn
Bài 1: Tìm số hạng thứ 13 của khai triển
 
15
3
23 

Ta có số hạng thứ k+1 của khai triển là
T
kkk
k
C )2.()3.(
15
3
151




Theo giả thuyết T

1k

T
13


k+1 = 13

k = 12
Khi đó T
123
3
12
1513
)2.()3.(C

= 87360.
Vậy T
13
= 87360
Bài 2: Tìm số hạng thứ 5 của khai triển
13
3
1







z

z
, số hạng nào chứa z với mũ
số tự nhiên.
Giải
Ta có số hạng thứ k+1 của khai triển là
T
kkk
k
z
zC )
1
.(.
3
13
131





Theo giả thuyết T

1k
T
5
k+1 = 5 k = 4
Khi đó T
4
3
94

135
)
1
.(.
z
zC


= 715.
3
8
z
z

Vậy T
5
= 715.
3
8
z
z

Mặt khác, ta có: T
kkk
k
z
zC )
1
.(.
3

13
131






k
k
k
zC )1.(.
3
439
13



Do đó, z có số mũ tự nhiên 39 – 4k 3 (0 ≤ k ≤13)






 k
k
439
34 

Nhị thức NIU-TƠN Nhóm
Trang 5













9
6
3
0
k
k
k
k


+ Với k=0 T
1
=
13
z

+ Với k=3 T
4
= -
93
13
.zC
= -286
9
z

+ Với k=6 T
7
=
56
13
.zC
= 1716
5
z

+ Với k=9 T
10
= -
19
13
.zC
= -175
z

Vậy các số hạng chứa z với số mũ tự nhiên là
T
1
=
13
z
, T
3
= -286
9
z
, T
7
= 1716
5
z
, T
10
= -175
z

Bài 3: Viết lại P(x) =
 
x1
+ 2
 
2
1 x
+ … + 20
 

20
1 x
dưới dạng
P(x) = a
0
+ a
1
x

+ a
2
2
x
+ … + a
20
20
x
. Tìm a
9
Giải

Ta có: P(x) =
 
x1
+ 2
 
2
1 x
+ … + 20
 

20
1 x

= (1 + 2
0
2
C
+ 3
0
3
C
+ … + 20
0
20
C
) + (1 + 2
1
2
C
+ 3
1
3
C
+ … + 20
1
20
C
)
x

+ (2
2
2
C
+ 3
2
3
C
+ … + 20
2
20
C
)
2
x
+ … + 20
20
20
C
20
x



a
9
= 9
9
9
C

+ 10
9
10
C
+ … + 20
9
20
C

Bài 4: Trong khai triển
n
xxx










15
28
3
hãy tìm số hạng không phụ thuộc x, biết:

n
n
C

+
1n
n
C
+
2n
n
C
= 79
Giải Ta có
n
n
C
+
1n
n
C
+
2n
n
C
= 79


1 + n +
 
2
1nn
= 79



2
n
+ n - 156 = 0








13
12
n
n


n = 12
Số hạng thứ k + 1 là T
 
k
kn
k
k
xxxC













15
28
3
81

=
 
5
16
3
4
.
kn
k
n
xC


Số hạng không phụ thuộc biến



5
16
3
4 kn

= 0

k = 5


5
12
C
= 792
Bài 6 : Cho biết ba hạng tử đầu tiên của khai triển
n
x
x









4
2

1
có các hệ số là
3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng. Tìm tất cả các hạng tử hữu tỷ của khai triển
trên.
Giải
Nhị thức NIU-TƠN Nhóm
Trang 6
Theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có:
Số hạng thứ nhất là : C
0
n

1.
Số hạng thứ hai là : C






2
1
.
1
n
2
n

.
Số hạng thứ ba là : C

2
2
2
1
.






n
 
8
1

nn

Theo đề bài ta có :
 
n
nn



8
1
1

089
2
 nn








8
1
n
n
.
Với n = 8 ta có T
1k
=
kk
k
xxC



















4
1
8
2
1
8
2
1

=
k
k
k
xC
4
3
4
8

2

1







.
 Xét x
k
4
3
4
để hữu tỷ thì
0
4
3
4  k

3
16
 k
. Do k nguyên dương nên ta chọn k
= 6, 7, 8.
k = 6 ta được T
7
=
x
xC

16
7

2
1
2
1
6
8
6
















.
k = 7 ta có T
8
=

4
3
16
xx
.
k = 8 ta cũng có T
9
=
2
256
1
x
.
 Xét
k






2
1
.
k
C
8
. Ta có :

k = 0

T
4
1
x
(loại)
k = 1
T
4
3
2
4 xx
(loại)
k = 2
T
xx
2
3
7
(loại)
k= 3
T
4
3
4
7 xx
(loại)
k = 4
T
x
8

35
5

(nhận)
k = 5
T
4
6
4
7
x
(nhận)

Vậy trong khai triển
n
x
x









4
2
1
khi ba số hạng đầu tiên liên tiếp lập thành cấp số

cộng thì ta có các hạng tử hữu tỷ là
4
2
1
x
,
x16
7
,
4
3
16
xx
,
2
256
1
x
,
x
8
35
,
4
4
7
x
.
Bài 7 : Tìm hệ số của
99101

yx
trong khai triển
 
200
32 yx 
.
Giải
Nhị thức NIU-TƠN Nhóm
Trang 7
Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có T
 
1019999
200
99
10199
200100
3.2 3.2. CC 
.
Bài 8 : Tính hệ số của
85
yx
trong khai triển
 
13
yx 
.
Giải
Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T
1287
8

139
 C
.
Bài 9 : Tìm hệ số của x
9
trong khai triển
 
19
2 x

Giải
Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có :
T
 
945950722.1.2.
109
19
9
109
1910
 CC
.
Bài 10 : Tìm hệ số của x
7
trong khai triển
 
15
23 x
.
Giải

Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T
 
787
15
7
87
158
2.3.2.3. CC 
.
Bài 11 : Tìm hệ số của
1025
yx
trong khai triển
 
15
3
xyx 
.
Giải
Áp dụng công thức nhị thức Niu – Tơn ta có : T
 
 
kkk
k
k
k
k
yxCxyxC
245
15

15
3
151




.
Để tìm hệ số của
1025
yx
thì





10
25245
k
k
.
Vậy hệ số của
1025
yx
trong khai triển
 
15
3
xyx 

là T
3003
10
1511
 C
.
Bài 12 : Biết hệ số của x
2n
trong khai triển
n
x







4
1
là 31. Tìm n
Giải
Hạng tử chứa x
2n
trong khai triển là hạng tử chứa hệ số thứ ba, nên theo đề bài ta
có phương trình :
31
4
1
2

2








n
C


 
32.311  nn








31
32
0992
2
n
n
nn

.ta nhận n = 32.
Vậy hệ số của x
2n
trong khai triển
n
x







4
1
là 31 thì n = 32.
Bài 13 : Biết hệ số x
2
trong khai triển
 
n
x31
là 90. Tìm n.
Giải
Theo đề bài ta có phương trình : C
02090)3.(
22
2
 nn
n







4
5
n
n
(loại n = -4)

Vậy hệ số x
2
trong khai triển
 
n
x31
là 90 thì n = 5.
Nhị thức NIU-TƠN Nhóm
Trang 8
Bài 14 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
8
3
1








x
x
.
Giải
Theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có T
 
kk
k
k
k
k
xC
x
xC
424
8
8
3
81
.
1














Để tìm số hạng không chứa x thì
60224  kk
.
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển
8
3
1







x
x
là C
 
281.
6
6
8


.


Dạng 5: Sử dụng khai triển Niu-tơn chứng minh đẳng thức-bất đẳng thức:
Bài 1: Ta có:
 
n
x1
=


n
k
kk
n
xC
0
.

=
00
.xC
n
+
xC
n
.
1
+

22
.xC
n
+ … +
nn
n
xC .

Thay x = 4, ta được:

 
n
41
=


n
k
kk
n
C
0
4.


n
5
=
00
4.

n
C
+
4.
1
n
C
+
22
4.
n
C
+ … +
nn
n
C 4.
(đpcm !)
Bài 2: Ta có:
 
n
x1
=
00
.xC
n
+
xC
n
.
1

+
22
.xC
n
+ … +
nn
n
xC .


 
n
11
=
0
n
C
+
1
n
C
+
2
n
C
+ … +
n
n
C
(1)

và
 
n
x1
=
00
.xC
n
-
xC
n
.
1
+
22
.xC
n
-
33
.xC
n
+ … +
nn
n
n
xC )1(


 
n

11
=
0
n
C
-
1
n
C
+
2
n
C
-
3
n
C
+ … +
n
n
n
C.)1(
(2)
Lấy (1) + (2), ta được:

n
2
= 2(
0
n

C
+
2
n
C
+
4
n
C
+ …)

1
2
n
=
0
n
C
+
2
n
C
+
4
n
C
+ …
Lấy (1) - (2), ta được:

n

2
= 2(
1
n
C
+
3
n
C
+
5
n
C
+ …)

1
2
n
=
1
n
C
+
3
n
C
+
5
n
C

+ …
Vậy
0
n
C
+
2
n
C
+
4
n
C
+ … =
1
n
C
+
3
n
C
+
5
n
C
+ … =
1
2
n

Bài 3:
1) CMR:
0
n
C
+
2
1
n
C
+ … +
1n
C
n
n
=
1
12
1



n
n

Giải
Ta có:
 
dxx
n



1
0
1
=
1
0
1
1
)1(



n
x
n
=
1
12
1



n
n

Mặt khác:
 
n

x1
=
0
n
C
+
xC
n
.
1
+
22
.xC
n
+ … +
nn
n
xC .

Lấy tích phân 2 vế ta được:

1
12
1



n
n
=

0
n
C
+
2
1
n
C
+ … +
1n
C
n
n
(đpcm!)
Nhị thức NIU-TƠN Nhóm
Trang 9
2) CMR:
0
n
C
-
2
1
n
C
+ … +
n
)1(

1n

C
n
n
=
1
1
n

Giải
Ta có:
 
dxx
n



0
1
1
=
0
1
1
1
)1(




n

x
n
=
1
1
n

Mặt khác:
 
n
x1
=
0
n
C
-
xC
n
.
1
+
22
.xC
n
+ … +
n
)1(
nn
n
xC .

Lấy tích phân 2 vế ta được:

0
n
C
-
2
1
n
C
+ … +
n
)1(
1n
C
n
n
=
1
1
n
(đpcm!)

Bài 4: Với n là số nguyên dương. CMR:
n
1
(
1
n

C
+ 2
2
n
C
+ … + n
n
n
C
) ≤ n!
Giải
Ta có:
 
n
x1
=
0
n
C
+
xC
n
.
1
+
22
.xC
n
+ … +
nn

n
xC .

Lấy đạo hàm 2 vế ta được:
n
 
1
1


n
x
=
1
n
C
+ 2
22
n
Cx
+ … +n
n
n
n
Cx
1

Cho
x
= 1, ta được:

n
 
1
11


n
=
1
n
C
+ 2.
22
1
n
C
+ … +n
n
n
n
C
1
1.



n
1
(
1

n
C
+ 2
2
n
C
+ … + n
n
n
C
) =
1
2
n

Mặt khác:

1
2
n
≤ 1.2.3…n = n!
Vậy
n
1
(
1
n
C
+ 2
2

n
C
+ … + n
n
n
C
) ≤ n!