Đề hsg vòng 1 huyện Thanh Chương (2013-2014)

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 VÒNG I
NĂM HỌC 2013-2014.
MÔN THI: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 2.0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: A =
5 3 3 5
2 3 5 2 3 5
+ −
+
+ + − −

b) Chứng minh B = a
5
- 5a
3
+ 4a chia hết cho 120.
c) Tìm số nguyên m để C =
2
1m m+ +
là số nguyên.
Bài 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình sau:
a)
3
1 1
4
x x x+ + + = +
b)

2
5 8 2 2x x x− + = −
c)
2 2
(4 1) 1 2 2 2x x x x− + = − +
Bài 3: ( 2.5 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức M =
2
2 5x x+ −
b) Cho x; y là các số thực thỏa mãn
2 2
1 1 1.x y y x− + − =
Tính N = x
2
+ y
2
Bài 4: ( 3.0 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của
tam giác ABC.
a) Chứng minh: tanB.tanC =
AD
HD
b) Chứng minh:
2
.
4
BC
DH DA
≤
c) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.

Chứng minh rằng:
bc
aA
2
2
sin
≤
Bài 5: (0.5 điểm) Chứng minh rằng trong 2
n+1
- 1 số nguyên bất kỳ đều tồn tại 2n
số có tổng là một số chẵn.
Hết ./.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
ĐÁP ÁN THI HSG MÔN: TOÁN 9
NĂM HỌC 2013-2014
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
TT Ý Nội dung Điểm
Bài 1
(2.5
điểm)
a
A =
5 3 3 5
2 3 5 2 3 5
+ −
+
+ + − −
=
2( 5 3) 2(3 5)

2 6 2 5 2 6 2 5
+ −
+
+ + − −
A =
2 2
2( 5 3) 2(3 5) 2( 5 3) 2(3 5)
5 3 3 5
2 ( 5 1) 2 ( 5 1)
+ − + −
+ = +
+ −
+ + − −
A =
2 2
0.25
0,5
0.25
b B = a
5
- 5a
3
+ 4a = a(a
4
- 5a
2
+4) = a(a
4
- a
2

- 4a
2
+4)
B = a[a
2
(a
2
- 1) - 4(a
2
- 1)] = a(a
2
- 1)(a
2
- 4)
B= (a - 2)(a - 1) a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 120
0.25
0.5
0.25
c
Để C =
2
1m m+ +
là số nguyên thì
2 2
1 ( )m m k k Z+ + = ∈

2 2 2 2
4 4 4 4 (2 1) 3 4m m k m k⇔ + + = ⇔ + + =
2 2
(2 ) (2 1) 3 (2 2 1)(2 2 1) 3k m k m k m− + = ⇔ + + − − =

Học sinh tìm
được m = 0; m = -1
0,25
0,25
Bài 2
a
ĐK
3
4
x
−
≥
,
3
1 1
4
x x x+ + + = +
3 3 1
1
4 4 4
x x x⇔ + + + + = +
2
3 1
1
4 2
x x
 
⇔ + + = +
 ÷
 ÷

 
3 1
1
4 2
x x⇔ + + = +
3 1
4 2
x x⇔ + = +
Với
3 1
4 2
x
− −
≤ ≤
Pt vô nghiệm; với
1
2
x
−
≥
bình phương hai vế HS
tìm được x =
2
2
0.25
0.25
0.25
b
Đk:
2x

≥
,
2 2
5 8 2 2 6 9 2 2 2 1x x x x x x x− + = − ⇔ − + + − − − +
2 2
( 3) ( 2 1) 0 3x x x− + − − = ⇔ =
0.25
0.5
c
Đặt
2
1 1x y+ = ≥
phương trình trở thành
2
(4 1) 2 2x y y x− = −
4xy - y = 2y
2
- 2x
⇔
2y
2
- 2x - 4xy + y = 0
⇔
y(2y +1) - 2x(2y + 1) = 0
⇔
( 2y + 1)(y - 2x) = 0
⇔
y = 2x (vì y
= -1/2 loại).
⇔

2
1 2x x+ =

⇔
1
3
x =
0.25
0.25
Bài 3
a
Đk:
5 5x− ≤ ≤
.
*)Ta có M
2
= (
2
2 5x x+ −
)
2

2 2 2 2
(2 1 )( 5 ) 25x x≤ + + − =

⇒

2
25M ≤
⇒

5 5M
− ≤ ≤
Nếu M = 5 thì M
2
= 25 dấu bằng BĐT xảy ra
⇔
2
5
2
x
x= −
và
2
5x ≤
⇔
x = 2. Vậy max M = 5 khi x = 2.
0.5
0.5
0,25
*) Theo trên thì
5 5M− ≤ ≤
nhưng giá trị nhỏ nhất của M không
bằng - 5 vì
5 5x− ≤ ≤

⇒

2 5M ≥ −
vậy min M =

2 5−
khi x
=
5−
0.5
b ĐK:
1 ; 1x y− ≤ ≤
.theo bài ra ta có
2 2 2 2
1 1 1 1x y y x x y y x− + − ≤ − + −
=
2 2 2 2
2 2
1 1
1 1 1
2 2
x y y x
x y y x
+ − + −
− + − ≤ + =
Dấu bằng xảy ra khi:
2
1x y= −
và
2
1y x= −
hay x
2
= 1- y
2

hay x
2
+ y
2
= 1 vậy N = 1
0,25
0,25
0,25
Bài 4
K
G
H
E
D
A
B
C
0.25
a
Ta có tanB =
AD
BD
; tanC =
AD
DC

⇒
tanB.tanC =
2

.
AD
BD DC
(1)
Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có
·
·
DAC DBH=
vì cùng phụ
với góc C nên ta có :
AD BD
ADC BDH
DC DH
∆ ∆ ⇒ =:
. .AD DH DB DC⇒ =
⇒
2
.
AD AD
BD DC HD
=
(2)
Từ (1) và (2)
⇒
tanB.tanC =
AD
HD
.
0.5
0.25

0.25
0,25
b
Theo câu a. ta có:
2 2
( )
. .
4 4
DB DC BC
DH DA DB DC
+
= ≤ =
1.0
c
x
F
M
N
A
B
C
Gọi Ax là tia phân giác góc A, kẻ BM; CN lần lượt vuông góc
với Ax
Ta có
·
sin sin
2
A BM
MAB
AB

= =
suy ra
.sin
2
A
BM c=
Tương tự
.sin
2
A
CN b=
do đó
( ).sin
2
A
BM CN b c+ = +
Mặt khác ta luôn có:
BM CN BF FC BC a
+ ≤ + = =
Nên
( ).sin
2
A
b c a+ ≤

sin
2
2 .
A a a
b c

b c
⇒ ≤ ≤
+
0.25
0.25
Bài 5
Vì có tất cả 2
n+1
- 1 = 2(2
n
- 1) + 1 số nên có ít nhất (2
n
-1) + 1 =
2
n
số cùng chẵn hoặc cùng lẻ, suy ra 2n cùng chẵn hoặc cùng lẻ. 0.5
Lưu ý: - Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm bài hình.