Bài 2 : Dãy số - tiết 2

GV : Dương Hửu Thanh Cần
GV : Dương Hữu Thanh Cần

KIỂM TRA BÀI CỦ
*
,
1
Nn
n
n
u
n
∈
+
=
* Cho dãy số với
)(
n
u
Viết 4 số hạng đầu của dãy số trên
Giải
Ta có
2
1
=u
2
3
2
=u
4

5
4
=u
3
4
3
=u
( )
,
4
5
,
3
4
,
2
3
,2:
n
u
Hãy biểu diễn các số hạng
của dãy số (u
n
) trên trục số

BÀI 2 : DÃY SỐ
III. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ
Biểu diễn bằng đồ thị
Biểu diễn bằng trục số
*

,
1
Nn
n
n
u
n
∈
+
=
)(
n
u
Biểu diễn hình học của dãy số với
n
u
1
u
2
u
3
u
4
u
)(nu
1
u
2
u
3

u
4
u
0
1
2 3
4
n
0
| || || |
1 2
2
3
3
4
4
5
,
4
5
,
3
4
,
2
3
,2
4321
==== uuuu
•

•
•
•
,
4
5
,
3
4
,
2
3
,2
4321
==== uuuu

III . BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA
III . BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA
DÃY SỐ
DÃY SỐ
DÃY SỐ
VD :
(u
n
) : 4, 9, 14, 19, 24,
Cho dãy số (u
n
) với u
n
= 5n - 1

a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số
b) Tính u
n+1
Ta có
u
n+1
= 5(n + 1) - 1
= 5n + 4
c) Chứng minh u
n+1
> u
n
, với mọi n
*
N∈
Xét :
u
n+1
- u
n
= 5n + 4 - (5n - 1)
= 5 > 0
Vậy u
n+1
> u
n
, với mọi n
*
N∈

III . BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA
III . BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA
DÃY SỐ
DÃY SỐ
DÃY SỐ
IV . DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ
IV . DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ
GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
1 . Dãy số tăng, dãy số giảm
1 . Dãy số tăng, dãy số giảm
* Dãy số (u
n
) được gọi là dãy số tăng
nếu ta có u
n+1
>u
n
với mọi n N
*

∈
* Dãy số (u
n
) được gọi là dãy số giảm
nếu ta có u
n+1
<u
n
với mọi n N

*

∈
VD :
(u
n
) : 4, 9, 14, 19, 24,
Dãy (u
n
) với u
n
= n -n
2
là dãy số giảm
Dãy (u
n
) với u
n
= 5n -1 là dãy số tăng
(u
n
) : 0, -2, -6, -12,

III . BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA
III . BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA
DÃY SỐ
DÃY SỐ
DÃY SỐ
IV . DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ
IV . DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ

GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
1 . Dãy số tăng, dãy số giảm
1 . Dãy số tăng, dãy số giảm
* Dãy số (u
n
) được gọi là dãy số tăng
nếu ta có u
n+1
>u
n
với mọi n N
*

∈
* Dãy số (u
n
) được gọi là dãy số giảm
nếu ta có u
n+1
<u
n
với mọi n N
*

∈
VD : Xét tính đơn điệu của các dãy số sau
a) Dãy (u
n
) với u

n
= 2n +3
* Phương pháp xét tính đơn điệu của
* Phương pháp xét tính đơn điệu của
một dãy số :
một dãy số :
Cách 1:
0,
1
*
>−∈∀⇔
+ nn
uuNn
Dãy số (u
n
) giảm
0,
1
*
<−∈∀⇔
+ nn
uuNn
Dãy số (u
n
) tăng
b) Dãy (u
n
) với
n
n

u
n
1+
=
u
n+1
= 2(n+1) + 3 = 2n + 5
Ta có :
Xét : u
n+1
- u
n

= 2n + 5 - (2n + 3)
= 2 > 0
Vậy (u
n
) là dãy số tăng
Ta có :
1
2
1
+
+
=
+
n
n
u
n

Xét :
nn
uu −
+1
n
n
n
n 1
1
2 +
−
+
+
=
( ) ( )
( )
1
12
2
+
+−+
=
nn
nnn
( )
( )
1
122
22
+

++−+
=
nn
nnnn
( )
1
1
+
−
=
nn
< 0
Vậy (u
n
) là dãy số giảm

III . BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA
III . BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA
DÃY SỐ
DÃY SỐ
DÃY SỐ
IV . DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ
IV . DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ
GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
1 . Dãy số tăng, dãy số giảm
1 . Dãy số tăng, dãy số giảm
* Dãy số (u
n
) được gọi là dãy số tăng

nếu ta có u
n+1
>u
n
với mọi n N
*

∈
* Dãy số (u
n
) được gọi là dãy số giảm
nếu ta có u
n+1
<u
n
với mọi n N
*

∈
VD : Xét tính đơn điệu của các dãy số sau
a) Dãy (u
n
) với u
n
= 2n +3
* Phương pháp xét tính đơn điệu của
* Phương pháp xét tính đơn điệu của
một dãy số :
một dãy số :
Cách 1:

0,
1
*
>−∈∀⇔
+ nn
uuNn
Dãy số (u
n
) giảm
0,
1
*
<−∈∀⇔
+ nn
uuNn
Dãy số (u
n
) tăng
Cách 2: Nếu các số hạng của dãy số (u
n
)
đều dương thì
Dãy số (u
n
) tăng
1,
1
*
>∈∀⇔
+

n
n
u
u
Nn
Dãy số (u
n
) giảm
1,
1
*
<∈∀⇔
+
n
n
u
u
Nn
u
n+1
= 2(n+1) + 3 = 2n + 5
Ta có :
Xét :
Vậy (u
n
) là dãy số tăng
n
n
u
u

1+
32
52
+
+
=
n
n
32
2
1
+
+=
n
> 1

III . BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA
III . BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA
DÃY SỐ
DÃY SỐ
DÃY SỐ
IV . DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ
IV . DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ
GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
1 . Dãy số tăng, dãy số giảm
1 . Dãy số tăng, dãy số giảm
* Dãy số (u
n
) được gọi là dãy số tăng

nếu ta có u
n+1
>u
n
với mọi n N
*

∈
* Dãy số (u
n
) được gọi là dãy số giảm
nếu ta có u
n+1
<u
n
với mọi n N
*

∈
VD :
(u
n
) : -2, 4, -8, 16,
Dãy (u
n
) với u
n
= (-2)
n

* Chú ý :
* Chú ý :
Không phải mọi dãy số đều tăng
hoặc giảm
Dãy số (u
n
) trên không tăng và cũng không
giảm

BÀI 2 : DÃY SỐ
*
Nn ∈
Biểu diễn hình học của dãy số (u
n
) với u
n
= 5n - 1 ,
)(nu
1
u
2
u
3
u
4
u
0
| || || |
9
14

(u
n
) : 4, 9, 14, 19, 24,
4
19
24
5
u

III . BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA
III . BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA
DÃY SỐ
DÃY SỐ
DÃY SỐ
IV . DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM
IV . DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM
VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
1 . Dãy số tăng, dãy số giảm
1 . Dãy số tăng, dãy số giảm
* Dãy số (u
n
) được gọi là dãy số tăng
nếu ta có u
n+1
>u
n
với mọi n N
*

∈
* Dãy số (u
n
) được gọi là dãy số giảm
nếu ta có u
n+1
<u
n
với mọi n N
*

∈
2 . Dãy số bị chặn
2 . Dãy số bị chặn
* Dãy số (u
n
) được gọi là bị chặn trên
nếu tồn tại một số M sao cho
*
, NnMu
n
∈∀≤
*
, Nnmu
n
∈∀≥
* Dãy số (u
n
) được gọi là bị chặn
dưới nếu tồn tại một số m sao cho

* Dãy số (u
n
) được gọi là bị chặn nếu
nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới,
tức là tồn tại các số m, M sao cho
*
, NnMum
n
∈∀≤≤
VD : Trong các dãy số sau, dãy số nào bị
chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn ?
b) Dãy số (u
n
) với
2
nnu
n
−=
Dãy (u
n
) bị chặn trên vì
2≤
a) Dãy số Phi-bô-na-xi
*
,1 Nnu
n
∈∀≥
c) Dãy số (u
n
) với

n
u
n
1
1+=
Ta có
21 ≤≤
n
u
Vậy dãy (u
n
) bị chặn
bị chặn dưới vì
n
u
n
1
1+=
1≥
Vì
*
,1
1
Nn
n
∈∀≤
,nên
n
u
n

1
1+=
Suy ra
0
2
≤−= nnu
n
*
, Nn ∈∀
và không bị chặn dưới vì khi n lớn
vô cùng thì
2
nn −
nhỏ vô cùng

VD : Hãy chứng minh dãy số (u
n
) với bị chặn.
n
n
u
n
12 −
=
Giải
Ta có
n
n 12 −
n
1

2 −=
1≥
*
, Nn ∈∀
Mặt khác
nn 212 <−
2
212 n
n
n
<
−
⇒
2=
21 ≤≤
n
u
Suy ra
Vậy dãy số (u
n
) bị chặn

BÀI TẬP VỀ NHÀ
Cho dãy số (u
n
) với u
n
= , ∀n∈N
*
Chứng minh dãy số giảm và bị chặn.

2
2
1
n
n +