Chương III - Bài 2: Dãy số

Ngày soạn 07/0/2007
Chơng 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Ngày giảng:
Bài 2. dãy số (tiết1)
A-mục đích
1. Kiến thức:
+) Nắm đợc ĐN dãy số theo quan điểm hàm số
+) Nắm đợc các cách cho một dãy số
+) Nắm đợc KN dãy số tăng , dãy số giảm, dãy bị chặn trên, dãy bị chặn d-
ới và dãy bị chặn.
2. Kĩ năng:
+) Biết cách cho một dãy số
+) Biết cách xác định dãy tăng hay giảm
B-Các bớc tiến hành
1.ổn định lớp
2. Kiểm tra bài cũ: Nhắc lại khái niệm hàm số
3. Bài mới
1.định nghĩa và ví dụ
hoạt động 1
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh
Hệ thống các câu hỏi:
1, Hãy viết liên tiếp các luỹ thừa với số
mũ tự nhiên của 2, theo thứ tự tăng dẫn
của số mũ.
2, Bây giờ ta kí hiệu
n
u
là số nằm ở vị trí
thứ n kể từ trái qua phải khi đó hay xác
định
n

u
?
3, Có thể coi dãy số (1) nh là một hàm số
đợc hay không?
4, Hãy ĐN nghĩa khác về dãy số ( coi là
một hàm số)
Trả lời:
0 1 2 3
2 , 2 , 2 , 2 ,...
(1)
Ta đợc một dãy số
1
2
n
n
u

=
Là một hàm số xác định trên tập
Ơ
SGK
* GV: Kí hiệu dãy số
( )
u u n=
bởi (
n
u
)
1
u

đợc gọi là số hạng đầu tiên của dãy
n
u
đợc gọi là số hạng tổng quát của dãy.
1
Ví dụ 1: Hàm số cho bởi công thức
( ) ( )
2
1u n n= +
, xác định trên tập
*
Ơ
, có xác định cho
ta một hàm số hay không? Nếu có hãy xác định 5 số hạng đầu tiên của dãy và xác định
số hạng thứ 10 của dãy.
1 2 3 4 5
4, 9, 16, 25, 36.u u u u u= = = = =
10
121.u =
*Chú ý:
Hàm số
( )
u n
, xác định trên tập chỉ gồm m số nguyên dơng đâu tiên cũng
đơc gọi là một dãy số hữu hạn,
1
u
gọi là số hạng đầu,
m
u

đợc gọi là số hạng cuối.
Ví dụ 2: Cho tập X={ 1,2,3,4,5} và dãy số hữu hạn
( )
1 1u n n= +
, xác định trên tập X.
Hãy liệt kê các số hạng trong dãy và xác định số hạng đầu và số hạng cuối.
1 2 3 4 5
2 1, 3 1, 1, 5 1, 6 1u u u u u= = = = =
2. các cách cho một dãy số
* Cách 1: Cho dãy số bởi công thức số hạng tổng quát
Ví dụ: Cho dãy số (
n
u
) với
1
n
n
u
n
=
+
Xác định
35 101
,u u
=?
* Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi
Ví dụ: Cho dãy số (
n
u
) xác định bởi

1
5u =
và với
2n

ta có
1
1
2
n
n
u
u

= +
Ví dụ: Cho dãy số (
n
u
) xác định bởi
1 2
1, 1u u= =
và với
3n

ta có
1 2
2
n n n
u u u

= +

* Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi hạng của dãy
Ví dụ 5: Cho dãy số (
n
u
) với
n
u
là độ dài của dây cung
n
AM
trong hình 3.1 SGK
3. dãy số tăng, dãy số giảm
ĐN: Dãy số (
n
u
) đợc gọi là dãy số tăng nếu
*
n Ơ
ta luôn có
1n n
u u
+
<
.
Dãy số (
n
u
) đợc gọi là dãy số giảm nếu

*
n Ơ
ta luôn có
1n n
u u
+
>
.
* Chú ý : Có những dãy số không tăng cũng không giảm
1.Củng cố: Nhắc lại những kiến thức nổi bật trọng bài
2. Bài tập về nhà:
Ngày soạn: 15/07/08
Chơng 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
Ngày giảng:
2
Bài 2. dãy số (tiết 2)
A-mục đích
1. Kiến thức:
+) Nắm đợc KN dãy bị chặn trên, dãy bị chặn dới và dãy bị chặn.
2. Kĩ năng:
+) Biết cách cho một dãy số
+) Biết cách xác định dãy tăng hay giảm
+) Biết cách chứng minh dãy bị chặn.
+) Biết cách xác định công thức tổng quát của dãy ở một số bài đơn giản.
B-Các bớc tiến hành
1.ổn định lớp
2. Kiểm tra bài cũ:
Câu hỏi 1: ĐN dãy số, dãy tăng, dãy giảm.
3. Bài mới:
4. Dãy số bị chặn

* ĐN: +) Dãy số
( )
n
u
đợc gọi là dãy số bị chặn trên nếu
*
: ,
n
M u M n Ơ
+) Dãy số
( )
n
u
đợc gọi là dãy số bị chặn dới nếu
*
: ,
n
m u m n Ơ
+) Dãy số
( )
n
u
đợc gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn d-
ới.
hoạt động 1
* xác định các số hạng của dãy số:
Hoat động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh
Bài 9: Tim 5 số hạng đầu của mỗi dãy số
sau:
a)

2
2 3
( ) :
n n
n
u u
n

=
b)
2
2
( ) : sin cos
4 3
n n
n n
u u

= +
c)
( ) : ( 1) . 4
n n
n n
u u =
Bài 10: Tìm số hạng thhứ 3 và số hạng thứ
5 của mỗi dãy số sau:
a)
1
2
1

0
2
, 2
1
n
n
u
u n
u

=



=

+

b)
1
2
1 2
1
2
2 , 3
n n n
u
u
u u u n

=


=


=

a)
1
u =
1 ,
2
u =
5
2
,
3
u =
5,
4
u =
29
4
,
1
u =
57
5
b) ...

c)...
a)
3
u =
Hoạt động 2
3
*Chứng minh dãy số tăng, giảm, bị chặn:
Hoat động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh
Bài 13: Hãy xét tính tăng giảm của các
dãy số sau:
a)
3 2
( ) : 3 5 7
n n
u u n n n= +
b)
1
( ) :
3
n n
n
n
x x
+
=
c)
( ) : 1
n n
a a n n= +
Bài 14: Chứng minh rằng dãy số

2 3
( ) :
3 2
n n
n
u u
n
+
=
+
là dãy số giảm vá bị
chặn
Bài làm thêm1:
Với giá trị nào của a thì dãy số
2
( ) : ,
1
n n
an
u u
n
+
=
+
là dãy số tăng?, là dãy
số giảm?
Bài làm thêm 2:
Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a)
2

2 1
( ) :
n n
n
u u
n
+
=
b)
3
( ) :
2
n
n n
n
n
u u =
c)
2
( ) : 1
n n
u u n n=
d)
1 1
( ) :
n n
n
u u
n
+

=
Bài làm thêm 3:
Chng minh rằng dãy số sau là dãy số
bị chặn
2
2
1
( ) :
2 3
n n
n
u u
n
+
=

a) Xét
1n n
u u
+

=
2
3( 1) 0n n + >
,
n
u
là dãy
số tăng
b) Do

0
n
x >
, xét tỉ số
1n
n
x
x
+
=
2
1
2 (2 1)
n
n n
+
<
+ + +
, suy ra dãy số
n
x
là
dãy số giảm.
c) Xét
1n
n
a
a
+
+) Xét hiệu

1
2( 1) 3 2 3 5
0
3( 1) 2 3 2 (3 5)(3 2)
n n
n n
u u
n n n n
+
+ + +
= = <
+ + + + +
, suy ra
( )
n
u
là dãy số giảm.
+) Do dãy giảm nên nó bị chặn trên bởi 1,
+) Ta chứng minh
n
u
> 2/3.
Suy ra dãy đã cho là dãy bị chặn.
* Xác định số hạng tổng quát của dãy
4
hoạt động 3
Hoat động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh
Bài 12: Cho dãy
( )
n

u
xác định bởi :
1
1
1
2 3, 2
n n
u
u u n

=


= +

Bằng phơng pháp quy nạp, chứng minh
rằng
1
2 3
n
n
u
+
=
Bài làm thêm 4:
Tiìm công thức số hạng tổng quát của
các dãy số sau:
a)
1
1

2
1
2 , 2
n
n
u
u n
u

=



=


b)
1
1
2
1, 2
n n
u
u u n

=


=

c)
1
1
1
2
, 1
n n
u
u u n
+

=



=

+) n=1, ta có
2
1
1 2 3u = =
suy ra đúng với
n=1.
+) G/S: đúng với n=k, k
*
Ơ
. Ta chứng
minh đợc đúng với n=k+1.
Thật vậy, ta có
1 2

1
2 3 2.(2 3) 3 2 3
k k
k k
u u
+ +
+
= + = + =
.
4. Củng cố:
+) Nắm đợc cách xác định số hàng của dãy
+) Nắm đợc cách chứng minh dãy số tăng , giảm và bị chặn
+) Cách xác định số hạng tổng quát.
5. Bài tập về nhà:
Ngày soạn: 15/07/08
Chơng 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân
5