Đề thi HSG 13-14

TRƯỜNG THCS
THIỆU PHÚ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN
( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề )
Câu 1: (2,5 đ)
Cho biểu thức: M = (
25
1
25
a a
a
−
−
−
) : (
25 5 2
3 10 2 5
a a a
a a a a
− − +
− −
+ − − +
)
a. Rút gọn M
b. Tìm giá trị của a để M<1
c. Tìm GTLN của M
Câu 2: ( 1 đ): Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3
x
+ 4

x
= 5
x
Câu 3: ( 3 đ)
a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
2 2
1 1
M x y
y x
 
 
= + +
 ÷
 ÷
 
 
b/ Cho x, y, z là các số dương thoả mãn
1 1 1
6
x y y z z x
+ + =
+ + +
.
Chứng minh rằng:
1 1 1 3
3 3 2 3 2 3 2 3 3 2x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +

.
Câu 4: ( 2 đ) Cho điểm A di chuyển trên đường tròn O đường kính BC = 2R ( A
không trùng với B và C). Trên tia AB lấy điểm M sao cho B là trung điểm của
AM. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC và I là trung điểm của HC.
a/ CMR: M chuyển động trên một đường tròn cố định.
b/ CMR:
∆
AHM đồng dạng với
∆
CIA.
Câu 5: ( 1,5 đ)
Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho tam giác MAB có ba
góc nhọn. Gọi H là trực tâm của tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M
của tam giác MAB. Tìm GTLN của tích KH.KM./.
Hết
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 9
Năm học: 2013 -2014
Thời gian làm bài: 150 phút.
Câu Ý Nội dung Điểm
1 2,5đ
a.
ĐK: a
≥
0 ; a
≠
4 ; a
≠
≠
25
(a

 
 
 
( 5)
1
( 5)( 5)
a a
a a
 
−
−
 
− +
 
:
25 5 2
( 5)( 2) 2 5
a a a
a a a a
 
− − +
+ −
 
+ − − +
 

=
5
5a
−

+
:
25 25 4
( 5)( 2)
a a a
a a
 
− + − − +
 
+ −
 

=
5
5a
−
+
.
( 5)( 2)
4
a a
a
+ −
−
=
5
2a +

0,5
0,5

0,5
b
c.
5
2a +
< 1 <=>
5
2a +
-1< 0 <=>
5 2
2
a
a
− −
+
< 0
<=> 3-
a
< 0 ( vì
a
+ 2>0)
<=>
a
> 3 <=> a >9
Vậy với a>9; a
≠
≠
25 thì M<1
Để M đạt GTLN < = >
5

2a +
< = >
a
+ 2 nhỏ nhất < = >
a
= 0
Vậy với a= 0 thì M đạt GTLN
0,5
0,5
2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3
x
+ 4
x
= 5
x

3
x
+ 4
x
= 5
x
<=> (
3
5
)
x
+ (
4
5

)
x
=1
Ta thấy : x= 2 là nghiệm của phương trình
Xét : x
≠
2
Nếu x> 2 thì (
3
5
)
x
+ (
4
5
)
x
>1
Nếu x< 2 dễ thấy : x= 0 và x= 1 không là nghiệm của phương trình
Nếu x<0 ta đặt x= -y thì y > 0 nên y
≥
1
Ta có: (
3
5
)
x
+ (
4
5

)
x
=1
<=> (
3
5
)
-y
+ (
4
5
)
-y
= 1
1đ
0,25
0,25
0,25
<= > (
5
3
)
y
+ (
5
4
)
y
= 1 phương trình vô nghiệm vì (
5

3
)
y
+ (
5
4
)
y

≥
5 5
3 4
+
> 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên duy nhất : x = 2
0,25
3 3,0 đ
a Cho hai số dương thỏa mãn: x + y =1.
Tìm GTNN của biểu thức: M =
2 2
2 2
1 1
x y
y x
 
 
+ +
 ÷
 ÷
 

 
M =
2 2
2 2
1 1
x y
y x
 
 
+ +
 ÷
 ÷
 
 
=
4 4 2 2
2 2
2 2 2 2
1 2 1
1 1
x y x y
x y
x y x y
+ +
+ + + =

( )
2
2
2

2 2
2 2
2 2
1
1 1
x y
x y
xy
x y xy xy
+
 
 
+
= = = +
 ÷
 ÷
 
 
Ta có:
1 1 15
16 16
xy xy
xy xy xy
 
+ = + +
 ÷
 
* Ta có:
1 1 1 1
2 . 2.

16 16 4 2
xy xy
xy xy
+ ≥ = =
(1) *
1 1 1 1 4 1 15 15
4
2 2 4 16 16 4 16 4
x y
xy xy
xy xy xy
+
≤ = ⇒ ≤ ⇒ ≥ ⇒ ≥ = ⇒ ≥
(2)
Từ (1) và (2)
1 1 15 1 15 17
16 16 2 4 4
xy xy
xy xy xy
   
⇒ + = + + ≥ + =
 ÷  ÷
   
Vậy M =
2
2
1 17 289
4 16
xy
xy

 
 
+ ≥ =
 ÷
 ÷
 
 
Dấu “=” xảy ra
1
1
1
16
4
2
xy
xy
xy
x y
x y
x y


=
=
 
⇔ ⇔ ⇔ = =
 
 
=
=



(Vì x, y > 0)
Vậy min M =
289
16
tại x = y =
1
2
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
b
Cho x, y là các số dương thỏa mãn:
1 1 1
6
x y y z z x
+ + =
+ + +
Chứng minh rằng:
1 1 1 3
3 3 2 3 2 3 2 3 3 2x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
Áp dụng BĐT
1 1 4
a b a b

+ ≥
+
(với a, b > 0)

1 1 1 1
4a b a b
 
⇒ ≤ +
 ÷
+
 
Ta có:
( ) ( )
1 1 1 1 1
3 3 2 2 2 4 2 2x y z x y z x y z x y z x y z
 
= ≤ +
 ÷
+ + + + + + + + + + +
 
0,25
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 4x y x z x y y z x y x z x y y z
 
 
 
≤ + ≤ + + +
 
 

 ÷
+ + + + + + + + + +
 
 
 
 
1 2 1 1
16 x y x z y z
 
≤ + +
 ÷
+ + +
 
Tương tự:
1 1 2 1 1
3 2 3 16x y z x z x y y z
 
≤ + +
 ÷
+ + + + +
 

1 1 2 1 1
2 3 3 16x y z y z x y x z
 
≤ + +
 ÷
+ + + + +
 
cộng vế theo vế, ta có:

1 1 1 1 4 4 4
3 3 2 3 2 3 2 3 3 16x y z x y z x y z x y x z y z
 
+ + ≤ + +
 ÷
+ + + + + + + + +
 
4 1 1 1 1 3
.6
16 4 2x y x z y z
 
≤ + + = =
 ÷
+ + +
 
0,25
0,25
0,25
0,5
4
O'
I
H
M
O
A
B
C
2đ
a Lấy O’ đối xứng với O qua B, khi đó O’ cố định.

Ta có
AOB MO B
′
V : V
( c.g.c)
'O M OA R
⇒ = =
, do đó M chuyển
động trên đường tròn (O’; R) cố định.
0,5
0,5
b Ta có  ABC vuông ở A (Vì có 1 cạnh là đường kính của đường tròn ngoại
tiếp tam giác)
nên:
·
·
MAH ACI
=
(1) (2 góc có cạnh tương ứng vuông góc)
mà  AHB   CHA (g.g)

2
2
AC AB AC AB AC AB AM
HC AH CI AH CI AH AH
= ⇒ = ⇒ = =
Vậy
AC AM
CI AH
=

(2)
Từ (1) & (2)   AHM   CIA (c.g.c)
0,25
0,25
0,25
0,25
5
Ta có: BKM   HKA (g.g)

. .
BK KM
BK KA KM KH
HK KA
= ⇒ =
Mặt khác: BK.KA
2
2
2 4
BK KA AB
+
 
≤ =
 ÷
 
. Dấu “=” xảy ra khi BK = KA
2
.
4
AB
KM KH⇒ ≤

.
Vậy max (KM.KH) =
2
4
AB
khi BK = KA, tức là K là trung điểm của AB.
1,5đ
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
H
K
A
B
M