HỆ PHƯƠNG TRÌNH ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN VÀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (879.99 KB, 28 trang )
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 1 ~
HỆ PHƢƠNG TRÌNH
Biên soạn: Trần Thị Thu Ngân – SĐT: 01667872256
Cựu học sinh trường THCS Lý Tự Trọng – TP Lào Cai
Cựu học sinh trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm.
MỤC LỤC
I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
2
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
4
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
6
IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƯƠNG TRÌNH LÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT ẨN
8
V. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
9
VI. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I
11
VII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II
13
VIII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
14
IX. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
15
X. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC
16
BÀI TẬP TỔNG HỢP (~ 200 Bài)
18
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 2 ~
I. HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Ví dụ 1. Cho hệ phương trình:
1 1 1
122
a x y a
x a y
(a là tham số).
a) Giải hệ phương trình với
2a
.
b) Giải và biện luận hệ phương trình.
c) Tìm các số nguyên
a
để hệ phương trình có nghiệm nguyên.
d) Tìm a để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn
xy
đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải.
a) Viết lại hệ phương trình đã cho với
2a
và giải hệ phương trình mới:
5
3 3 4 5
4
2 2 5 3
2
44
x
x y x
x y y x
y
Vậy với
2a
hệ phương trình có nghiệm
53
;;
44
xy
.
b) Giải và biện luận:
Từ phương trình
1
ta có:
1 1 3y a x a
thế vào phương trình
2
ta được:
2 2 2 2
1 1 1 2 1 1 2 1 4x a a x a x a x a a x a
Nếu
0a
, phương trình
4
có nghiệm duy nhất
2
2
1a
x
a
. Thay vào
3
ta có:
22
2 3 2 3 2
2 2 2 2
1 1 1
1 1 1
1 . 1
a a a a
a a a a a a a
y a a
a a a a
.
Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2
22
11
;;
aa
xy
aa
.
Nếu
0a
, phương trình
4
vô nghiệm.
Suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Vậy:
0a
hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2
22
11
;;
aa
xy
aa
.
0a
hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
c) Với
0a
thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2
22
11
;;
aa
xy
aa
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 3 ~
Hệ phương trình có nghiệm nguyên:
2
2
2
1
1
a
x
a
a
y
a
a
.
Điều kiện cần:
2
22
1
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1
a
x a U a a
a a a
Điều kiện đủ:
2
11
10
1
ay
(nhận)
2
11
12
1
ay
(nhận)
Vậy
1a
hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.
d) Với
0a
thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2
22
11
;;
aa
xy
aa
.
Ta có:
22
2 2 2 2
1 1 2 1 2
1
a a a a
xy
a a a a a
. Đặt
1
t
a
ta được:
22
22
1 1 1 7 1 7 7
2 1 2 2 2
2 2 4 16 4 8 8
x y t t t t t t
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
4
t
, khi đó
4a
.
Vậy
4a
thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn
xy
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
7
8
.
Ví dụ 2. Cho hệ phương trình:
2015 1
2
x x y y
x x y y k
(k là số cho trước).
Biết rằng hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt
; ; ; ;x y a b c d
.
Tính tổng
a b c d
theo k.
Giải.
Trừ vế theo vế của
1
cho
2
ta có:
2 2 2015 2 2015 3x y k x y k
.
Vì hệ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt nên ta có:
24x y a b c d
.
Từ
3
và
4
suy ra:
2015a b c d k
.
Vậy
2015a b c d k
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 4 ~
BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG I
Bài I.1. Cho hệ phương trình:
21
3 1 1
mx y
x m y
(m là tham số).
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m.
b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm nguyên.
Bài I.2. Biết
;;x y z
thỏa mãn hệ phương trình:
2
2
2
0
0
0
x my m z
x ny n z
x py p z
. Trong đó
;;m n p
đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng:
0x y z
.
Bài I.3. Cho hệ phương trình:
3
29
mx y
x my
.
a) Giải hệ phương trình khi
1m
.
b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất
;xy
sao cho biểu thức
3A x y
nhận giá trị nguyên.
Bài I.4. Cho hệ phương trình:
ax by c
bx cy a
cx ay b
(
;;abc
là tham số). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ của
hệ phương trình đã cho có nghiệm là:
3 3 3
3a b c abc
.
II. HỆ PHƢƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Với dạng này ta sẽ sử dụng phương pháp thế. Từ phương trình bậc nhất trong hệ, ta biểu diễn ẩn bậc
nhất theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình:
22
21
27
xy
x xy y
.
Nhận xét: Nhìn vào hệ phương trình đã cho ta dễ dàng thấy được phương trình thứ nhất là phương trình bậc
nhất của cả x và y. Tuy nhiên, hệ số của y nhỏ hơn nên ta sẽ rút y theo x để tiện cho việc tính toán. Rồi sau
đó thế vào phương trình thứ hai.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 5 ~
Giải.
2
2 2 2 2 2
2
21
2 1 2 1
2 7 4 2 4 4 1 7 0
2 2 1 2 1 7
yx
x y y x
x xy y x x x x x
x x x x
2
4
4
21
2. 4 1
21
9
21
4
4 2 0
2 8 0
2
2
2
3
2.2 1
x
x
yx
y
yx
y
yx
x
xx
xx
x
x
x
y
y
.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
; 4; 9 ; 2 ;3xy
.
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình:
22
2
1 1 3 4 1
1
x y x y x x
xy x x
.
Nhận xét: Nhìn vào hệ phương trình đã cho ta thấy rằng phương trình thứ hai là phương trình bậc nhất đổi
với ẩn y. Theo cách giải của dạng này ta sẽ biểu diễn y theo x rồi thế vào phương trình thứ nhất.
Giải.
22
2
1 1 3 4 1 1
12
x y x y x x
xy x x
Ta thấy
0x
không thỏa mãn phương trình
2
. Với
0x
, từ phương trình
2
ta có:
2
1
1
x
y
x
thay
vào phương trình
1
ta được:
22
2 2 2 2 2 2 2
11
. . 3 4 1 1 2 1 3 4 1 1 2 1 1 3 1
xx
x x x x x x x x x x x x
xx
3 2 3 2 2
1 2 2 1 1 3 1 0 1 2 2 4 0 2 1 2 0x x x x x x x x x x x x x x
2
1
2 1 2 0
2
x
x x x
x
(vì
0x
).
Với
1x
thì
2
11
11
1
y
.
Với
2x
thì
2
21
5
1
22
y
.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
5
; 1; 1 ; 2 ;
2
xy
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 6 ~
BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG II
Bài II.1. Giải hệ phương trình:
12
2 2 0
xy
xy
.
Bài II.2. Giải hệ phương trình:
22
4 3 2 0
2 3 5
x y x
xy
.
Bài II.3. Giải hệ phương trình:
22
10
2 3 7 12 1 0
xy
x xy y x y
.
Bài II.4. Giải hệ phương trình:
2
42
39
4 2 3 48 48 155 0
xy
y x y y x
.
III. HỆ PHƢƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƢƠNG TRÌNH ĐƢA ĐƢỢC VỀ
PHƢƠNG TRÌNH TÍCH
Với dạng này ta cần tìm và đưa một phương trình về phương trình tích. Sau đó tìm cách rút một ẩn theo
ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại.
Để nhận ra nhanh phương trình có thể đưa về phương trình tích các bạn nên làm nhiều bài tập “phân
tích đa thức thành nhân tử” theo chương trình lớp 8 và thêm các bài “phân tích đa thức thành nhân tử
có chứa căn thức” theo chương trình lớp 9.
Bên cạnh những hệ ta có thể nhận ra ngay phương trình đưa được về phương trình tích ta còn có những
bài cần phải biến đổi một vài bước mới có, thông thường sử dụng phương pháp cộng đại số,…
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình:
22
2 2 0
5 15
xy x y
x xy y
.
Giải.
22
22
22
22
22
1
1
1 5.1. 15 0
1 2 0
2 2 0
2
5 15
2
5 15
5 15
5.2. 2 15 0
x
x
yy
xy
xy x y
y
x xy y
y
x xy y
x xy y
xx
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 7 ~
2
2
1
1
1
7
7 2 0
2
5 14 0
22
2
1 11 0
1
10 11 0
11
x
x
x
y
yy
y
yy
yy
y
xx
x
xx
x
.
Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm
; 1;7 ; 1; 2 ; 1;2 ; 1 1;2xy
.
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình:
22
2
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y
.
Giải. ĐKXĐ:
1; 0xy
.
2 2 2
22
0 1 0
2
2 1 2 2
2 1 2 2
2 1 2 2
x y xy x y y x y x y y x y
xy x y x y
x y y x x y
x y y x x y
x y y x x y
1 0 2 1 0
2 1 0
2 1 2 2
2 1 2 2 2 1 2 2
x y x y y x y x y
xy
x y y x x y
x y y x x y x y y x x y
(vì
0xy
)
2 1 2 1
21
2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 0
2 2 2 2
x y x y
xy
y y y y y y y y y
y y y y
21
21
21
1
1 2 2 0
2
2
xy
xy
xy
y
yy
y
y
(vì
0y
)
22
2.2 1 5
yy
xx
(nhận, thỏa mãn ĐKXĐ).
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
; 5;2xy
.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG III
Bài III.1. Giải hệ phương trình:
22
22
2 3 3 0
2 15 4 12 45 24 0
x xy y x y
x xy y x y
.
Bài III.2. Giải hệ phương trình:
3
3
5
5
x x y
y y x
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 8 ~
Bài III.3. Giải hệ phương trình:
22
22
18
6
x y x y
x y x y
.
Bài III.4. Giải hệ phương trình:
2
2
2 2 0
2 2 0
x x xy y
y y xy x
.
Bài III.5. Giải hệ phương trình:
22
22
4 5 1
3 4 1
x y xy y
x y xy y
.
IV. HỆ PHƢƠNG TRÌNH CÓ MỘT PHƢƠNG TRÌNH LÀ PHƢƠNG
TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT ẨN
Với dạng này ta cần tìm và đưa một phương trình về phương trình bậc hai theo một ẩn bằng cách coi ẩn
kia là tham số và biểu diễn ẩn theo tham số rồi sau đó thế vào phương trình còn lại.
Ví dụ 7 (Cách làm khác của Ví dụ 6). Giải hệ phương trình:
22
2
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y
.
Giải. ĐKXĐ:
1; 0xy
.
Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc hai ẩn x tham số y sau:
22
1 2 0 1x y x y y
.
22
2 2 2 2
1 4. 2 2 1 8 4 9 6 1 3 1 0 0 3 1y y y y y y y y y y y y
.
Phương trình
1
có hai nghiệm phân biệt:
1
2
1 3 1 4 2
21
2.1 2
1 3 1 2
2.1 2
y y y
xy
y y y
xy
.
Với
21xy
thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có:
2 1 2 2 2 2 1 2y y y y y y
2 2 2 2 2 1 2 1 0y y y y y y y
1
1 2 2 0 2
2
y
y y y
y
(vì
0y
)
2.2 1 5x
(thỏa mãn
1x
)
Với
0x y x y
, không tồn tại điều này vì
1; 0 1 0x y x y
.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất
; 5;2xy
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 9 ~
BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG IV
Bài IV.1. Giải hệ phương trình:
2
22
5 4 4
5 4 16 8 16 0
y x x
y x xy x y
.
Bài IV.2. Giải hệ phương trình:
2
2
2
41
2 7 2
x x y y x
x x y y x
.
Bài IV.3. Giải hệ phương trình:
2
2
10
1 2 0
x y x y
x x y y
.
V. GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Với dạng này ta cần tìm được lượng thích hợp để đặt ẩn phụ (phát hiện ẩn phụ), ẩn phụ có thể thấy ngay
hoặc xuất hiện sau một số phép biến đổi, thông thường sẽ là biến đổi hằng đẳng thức hoặc phép chia cho
một biểu thức khác 0. Sau khi đặt ẩn phụ hệ phương trình sẽ đưa về các dạng đã biết cách giải.
Lưu ý có những bài đặt ẩn phụ không hoàn toàn!
Ví dụ 8. Giải hệ phương trình:
2 2 2 2
2 2 2 2
185
65
x xy y x y
x xy y x y
.
Nhận xét: Nhìn vào hệ phương trình đã cho ta thấy xuất hiện những lượng chung của hai phương trình là
xy
và
22
xy
, ta nghĩ đến đặt ẩn phụ để đơn giản hệ phương trình đã cho.
Giải.
Đặt
22
0a x y
b xy
. Hệ phương trình đã cho trở thành:
2
3
3
2
185
185
65
65
a b a
a ab
a ab
a b a
33
3
33
5
2 250 125 5 5
5 60 12
5 5 185
185 185
a
a a a a
bb
b
a ab a ab
(nhận, thỏa mãn điều kiện).
Với
5a
và
12b
ta có hệ phương trình:
22
22
22
12
25
5
2 24 2 1
12
xy
xy
xy
xy x xy y
xy
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 10 ~
2
2
2
11
1
12 12
12
1 12 4 3 0
12 0
11
11
1
1
11
1 12 4 3 0
12 0
y x y x
yx
xy xy
xy
x x x x
xx
x y y x
y x y x
yx
xy
x y y x
x x x x
xx
44
1 4 1 3
4
33
3
3 1 4
1 4 4
4 1 3
4
3
33
3 1 4
xx
y x y y
x
xx
x
yy
y x x x
yy
x
x
xx
yy
(nhận)
Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm
; 4 ;3 ; 3; 4 ; 4; 3 ; 3;4xy
.
Ví dụ 9. Giải hệ phương trình:
2
2
14
1 2 1
x y y x y
x y x
.
Giải.
Ta thấy
0y
không là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Với
0y
, chia hai vế của hai phương trình của
hệ cho
y
ta được:
2
2
1
4
1
21
x
yx
y
x
yx
y
. Đặt
2
1
2
x
a
y
y x b
ta được hệ phương trình mới theo a và b:
2
2
2
2
2
2 1 1
21
1 2 1 1
2 1 0
10
ba
ba
ba
a b a a
aa
ab b b
aa
a
.
Với
1ab
, ta có hệ phương trình:
2
2
2
1
3
3
1
1
1 2 0
3 2 0
21
x
yx
yx
xy
y
xx
x y x x
yx
1
1
3
31
2
1
2
2
2
32
5
x
x
yx
y
y
x
x
x
x
y
y
(nhận)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
; 1;2 ; 2 ;5xy
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 11 ~
BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG V
Bài V.1. Giải hệ phương trình:
22
22
3 1 10 0
3
0
3 1 20
x y xy
xy
xy
.
Bài V.2. Giải hệ phương trình:
22
3 2 6
3 2 1
xy x y
x y x y
.
Bài V.3. Giải hệ phương trình:
2
2
10
1 2 0
x y x y
x x y y
.
Bài V.4. Giải hệ phương trình:
2
4 2 2 2
30
3 5 0
x xy x y
x x y x y
.
VI. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I
Hệ phương trình hai ẩn x; y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại I nếu mỗi phương trình không đổi
khi ta thay đối vai trò x; y.
Cách giải tổng quát: Tìm x + y và xy từ hệ phương trình.
Ví dụ 10. Giải hệ phương trình:
22
11
3 4 2
xy
x xy y
.
Giải.
2
22
2 11
11
3 4 2
3 4 2
x y xy
xy
x xy y
x y xy
.
Đặt
x y a
I
xy b
, ta được hệ phương trình mới theo a và b:
22
22
2 11 2 11
3 4 2 3 4 2
3 4 2 2 2 6 8 2
2 17 8 2 2 1 18 8 2
a b a b
b a b a
a b a b
a a a a
2
2
3 4 2 3 4 2
3 4 2
3 4 2
1 4 2 3 2
1 4 2
1 4 2
1 4 2 5 2
b a b a
ba
ba
aa
a
a
aa
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 12 ~
3 2 3 2
3 4 2 3 2 3 2
5 2 5 2
3 4 2 5 2 8 5 2
aa
bb
aa
bb
.
Với
32
32
a
b
, thay vào
I
ta được hệ phương trình:
32
32
3 2 3 2
32
yx
xy
xx
xy
2
3
3
32
32
3 2 3
2
3
3 2 3 2 0
2
2
2
3
3 2 2
x
x
yx
yx
y
y
x
xx
x
x
x
y
y
.
Với
52
8 5 2
a
b
, thay vào
I
ta được hệ phương trình:
52
8 5 2
xy
xy
2
5 2 5 2
5 2 8 5 2 5 2 8 5 2 0
y x y x
x x x x
(loại,
2
5 2 8 5 2 0xx
).
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
; 3; 2 ; 2;3xy
.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG VI
Bài VI.1. Giải hệ phương trình:
22
17
9
xy
x xy y
.
Bài VI.2. Giải hệ phương trình:
22
15
63
x y xy
x y xy
.
Bài VI.3. Giải hệ phương trình:
22
33
7
3
x xy y
x y x y
.
Bài VI.4. Giải hệ phương trình:
22
4 2 2 4
4
8
x xy y
x x y y
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 13 ~
VII. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II
Hệ phương trình hai ẩn x; y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại II nếu ta đổi vai trò x cho y thì
phương trình này biến thành phương trình kia và ngược lại.
Cách giải tổng quát: Trừ vế theo vế của hai phương trình để có nhân tử chung là (x – y).
Ví dụ 11. Giải hệ phương trình:
2
2
4 2 5
4 2 5
x x y
y y x
.
Nhận xét: Khi đổi vai trò của hai ẩn cho nhau ta thấy phương trình này biến thành phương trình kia. Hệ đã
cho là hệ phương trình đối xứng loại II.
Giải.
Trừ vế theo vế của hai phương trình của hệ, ta được:
2
2
22
4 2 5
4 2 5
20
2 2 0
x x y
x x y
x y x y
x y x y
2
2
2
2
2
2
2
4 2 5
4 2 5
6 5 0
6 5 0
0
2
2
4 2 5
20
4 2 2 5 0
2 2 1 0
yx
yx
x x y
x x y
xx
y x x x
xy
yx
yx
x x y
xy
x x x
y x x x
2
10
1 5 0
1
50
1
5
10
10
5
2
2
x
xx
x
x
yx
y
yx
x
x
x
y
yx
yx
.
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
; 1;1 ; 5;5xy
.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG VII
Bài VII.1. Giải hệ phương trình:
3
3
6 13
6 13
x y x
y x y
.
Bài VII.2. Cho hệ phương trình:
2
2
1
1
xy x a y
xy y a x
. Tìm các giá trị của a để hệ đã cho có nghiệm duy nhất.
Bài VII.3. Giải hệ phương trình:
2 3 2
2 3 2
48
48
x y y y
y x x x
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 14 ~
VIII. HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng
22
22
' ' ' '
ax bxy cy d
a x b xy c y d
.
Có hai cách giải tổng quát cho dạng này:
Cách 1: Dùng phương pháp cộng đại số, sau đó biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương
trình còn lại.
Cách 2: Xét xem
0x
có là nghiệm của hệ hay không. Sau đó xét
0x
, đặt
y kx
rồi thay vào
hai phương trình của hệ, khử ẩn x rồi tìm giá trị của k. Từ đó suy ra x và y.
Ví dụ 12. Giải hệ phương trình:
22
22
1
2 3 4 3
x xy y
x xy y
.
Giải.
+ Cách 1:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
22
0
1 3 3 3 3 0
2 3 4 3 2 3 4 3 1
1
x y x y
x xy y x xy y x y
x xy y x xy y x xy y
x xy y
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
1
1
1
0
3
1
11
1
3
0
1
1
11
3
3
1
3
xy
xy
yx
x
x y y x
x
x xy y x x x
y
yx
x y y x
x
x xy y x x x
x
y
.
Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm
1 1 1 1
; 1;1 ; 1; 1 ; ; ; ;
3 3 3 3
xy
.
+ Cách 2:
Ta thấy
0x
không là nghiệm của hệ phương trình đã cho. Xét
0x
, đặt
y kx
, thay vào hệ phương trình
đã cho ta được hệ phương trình mới theo x và k là:
2 2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2 2
1*
11
3 3 3 2 3 4 0 1 1
2 3 4 3
2 3 4 3
x kx k x
kk
k k k k k k
kk
x kx k x
.
Với
1k
, thay vào
*
ta được:
2 2 2 2
1 1 1
1
3
33
x x x x x y
.
Với
1k
, thay vào
*
ta được:
2 2 2 2
1 1 1 1x x x x x y
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 15 ~
Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm
1 1 1 1
; 1;1 ; 1; 1 ; ; ; ;
3 3 3 3
xy
.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG VIII
Bài VIII.1. Giải hệ phương trình:
22
22
2 3 0
2 13 15 0
x xy y
x xy y
.
Bài VIII.2. Giải hệ phương trình:
22
22
3 5 4 38
5 9 3 15
x xy y
x xy y
.
Bài VIII.3. Giải hệ phương trình:
22
2
41
34
x xy y
x xy
.
IX. GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Với dạng này ta cần lưu ý, phát hiện các biểu thức âm hoặc dương trong hệ và cần nắm vững cách vận
dụng các bất thức cơ bản như Bất đẳng thức Cauchy, Bất đẳng thức Bunyakovsky.
Ví dụ 13 [ĐH – A – 2014] Giải hệ phương trình:
2
3
12 12 12 1
8 1 2 2 2
x y y x
x x y
.
Giải. ĐKXĐ:
2 3 2 3;2 12xy
.
+ Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy.
Ta có:
2
12
12
2
xy
xy
và
2
2
12
12
2
yx
yx
.
Nên:
22
2
12 12
12 12 12
22
x y y x
x y y x
. Do đó:
2
0
1
12
x
yx
.
+ Sử dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky.
Ta có:
2 2 2
12 12 12 12 12x y y x x x y y
. Do đó:
2
0
1
12
x
yx
.
Thay vào phương trình
2
ta được
3 2 3 2
8 1 2 10 8 3 2 1 10 0x x x x x x
2
2
23
3 3 1 3 0
1 10
x
x x x x
x
(vì
0x
nên
2
2
23
3 1 0
1 10
x
xx
x
).
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 16 ~
Với
33xy
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất
; 3; 3xy
.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG IX
Bài IX.1. Giải hệ phương trình:
2
3
2
2
2
3
2
29
2
29
xy
x x y
xx
xy
y y x
yy
.
Bài IX.2. Giải hệ phương trình:
3
3
34
2 6 2
y x x
x y y
.
Bài IX.3. Giải hệ phương trình:
2 2 3
3 1 3 1 4
x y xy
xy
.
Bài IX.4. Giải hệ phương trình:
1
21
xy y y
xy y y
.
X. MỘT SỐ HỆ PHƢƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC
Ví dụ 14. Giải hệ phương trình:
12
15
20
xy
xz
yz
.
Giải.
Dễ thấy
0 ; 0; 0x y z
.
Nhân theo từng vế với ba phương trình của hệ, ta được:
2 2 2
3600x y z
, suy ra
60 1xyz
.
Chia từng vế của phương trình
1
cho lần lượt từng phương trình của hệ đã cho được:
5; 4; 3z y x
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm
; ; 3;4;5 ; 3; 4 ; 5x y z
.
Ví dụ 15. Giải hệ phương trình:
2
21
4 2 3
xy
x y xy z
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 17 ~
Giải.
Từ phương trình thứ nhất của hệ phương trình đã cho ta có:
21yx
. Thế vào phương trình thứ hai của hệ
ta được:
2 2 2
4 2 1 2 2 1 3 4 8 4 0x x x x z x x z
2
2
2
2
1
4 1 0
4 2 0 1
0
0
x
x
x z y
z
z
Vậy hệ phương trình đã cho nghiệm duy nhất
; ; 1;1;0x y z
.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP THEO DẠNG X
Bài X.1. Giải hệ phương trình:
2
2
2
48
12
84
x xy xz
xy y yz
xz yz z
.
Bài X.2. Giải hệ phương trình:
5
8
9
x y z
y x z
z x y
.
Bài X.3. Giải hệ phương trình:
22
33
5
13
35
x y z
x y z
x y z
.
Bài X.4. Giải hệ phương trình:
2
108
180
x y xy
xy yz zx
xyz
.
Bài X.5. Giải hệ phương trình:
2 2 2
2
13
91
x y z
x y z
y xz
.
Bài X.6. Giải hệ phương trình:
2 2 2
3 3 3
2
6
8
x y z
x y z
x y z
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 18 ~
Bài X.7. Giải hệ phương trình:
2
2
2
4 7 0
6 14 0
2 7 0
xy
yz
zx
.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1. [Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dƣơng, 2011] Giải hệ phương trình:
32
4
2 1 5 2 0
x x x y y
x x y
.
2. [Chuyên Hƣng Yên, 2012] Giải hệ phương trình:
22
22
2 5 2 0
40
x y xy y x
x y x y
.
3. [Chuyên Hùng Vƣơng, Phú Thọ, 2012] Giải hệ phương trình:
41
2
23
4 12 7 2 3
x y x y
x y x y x y
.
4. [Chuyên Ngoại Ngữ, ĐHQGHN, 2012] Giải hệ phương trình:
22
45
2 5 4 27
xy
x y xy
.
5. [Chuyên Bắc Ninh, 2012] Giải hệ phương trình:
2
2
32
9 8 8
xy
yx
.
6. [Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An, 2012] Giải hệ phương trình:
22
3
1 1 2
2 2 3
xy x y
x x y y
.
7. [Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dƣơng, 2013]
Giải hệ phương trình:
22
22
2012 2012 2012
4 8 0
x x y y
x z y z
.
8. [Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng, 2013] Giải hệ phương trình:
2
2
x x y
y y x
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 19 ~
9. [Chuyên Lý Tự Trọng, Nghệ An, 2013] Giải hệ phương trình:
1 1 2
11
1
xy
xy
.
10. [Chuyên Quảng Nam, 2013] Giải hệ phương trình:
2
2
46
1
x xy x
y xy
.
11. [Chuyên Bình Phƣớc, 2013] Giải hệ phương trình:
22
22
2 3 4
5
x y y x
xy
.
12. [Chuyên Lê Quý Đôn, Bình Định, 2013] Giải hệ phương trình:
22
22
2 2 0
6 12 0
x y xy y x
x y x
.
13. [Chuyên Hùng Vƣơng, Bình Dƣơng, 2013] Giải hệ phương trình:
2
4
1 1 4
x xy x y
x xy
.
14. [Chuyên Quảng Trị, 2013] Giải hệ phương trình:
22
1 1 17 1
31
x y xy
xy x y
.
15. [Phổ thông năng khiếu ĐHQG TP.HCM, 2014] Giải hệ phương trình:
2
2
2
3 2 1 2 2
3 2 1 2 2
3 2 1 2 2
x y z x
y z x y
z x y x
.
16. [Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, 2014] Giải hệ phương trình:
22
22
2 3 2
3
x xy y y
xy
.
17. [Chuyên Bắc Giang, 2014] Giải hệ phương trình:
22
2
22
2 251
52
5
21
5
x y xy
xy
x xy y
xy
xy
.
18. [Chuyên Lƣơng Văn Chánh, Phú Yên, 2014] Giải hệ phương trình:
22
3 2 6
2 4 53
xy x y
x y x y
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 20 ~
19. [Chuyên Hùng Vƣơng, Phú Thọ, 2014] Cho hệ phương trình:
2
21
x y m
x y m
.
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
;xy
sao cho
;xy
là độ dài cách cạnh góc vuông của một tam giác có
độ dài cạnh huyền bằng
5
.
20. [Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dƣơng, 2014] Giải hệ phương trình:
22
22
5
6
xy
xy x y
.
21. [Chuyên Lào Cai, 2014] Giải hệ phương trình:
14
2
32
12 4 7 2 3
x y x y
y x x y x y
.
22. [Dự bị Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, 2014] Giải hệ phương trình:
3 7 1 3
4 2 4 3 7 1
x y x
y x x
.
23. [Chuyên An Giang, 2014] Cho hệ phương trình:
22
3 4 8 7
x y m
x y m
.
24. [Chuyên TP.Hà Nội, 2014] Giải hệ phương trình:
22
22
2 3 2 4 0
3 5 4 12 0
x xy y y
x y x
.
25. [Chuyên Khánh Hòa, 2014] Giải hệ phương trình:
22
5 2 3
6 4 1 1 2 2 1 3 2
x y y
x y x y x y x y
.
26. [Chuyên Bắc Ninh, 2014] Giải hệ phương trình:
2
2
2
21
21
21
xy
yz
zx
27. [Chuyên Vĩnh Phúc, 2014] Giải hệ phương trình:
1
5
2
xy x y
yz y z
zx z x
.
28. [Chuyên Ngoại Ngữ, ĐHQGHN, 2014] Giải hệ phương trình:
22
24
24
x y y
x y xy
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 21 ~
29. [Chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An] Giải hệ phương trình:
3
3
23
3 2 1
x y y
yx
.
30. [Chuyên Quảng Nam, 2014] Giải hệ phương trình:
2 2 20
1 2 4
3
xy x y
yx
.
31. [Chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng, 2014] Giải hệ phương trình:
44
3
3
1 1 4
1 1 1
x y xy
x y x
.
32. [Chuyên Quốc học Huế, 2010] Giải hệ phương trình:
11
40
1
40
xy
xy
xy
xy
xy y x
.
33. [Chuyên Đà Nẵng, 2010] Giải hệ phương trình:
2
2 3 3
2
4 3 2
3
x y z
xy z y
.
34. [Phổ thông năng khiếu ĐHQG TP.HCM] Giải hệ phương trình:
3 3 3 2 2 2
3
1
63
x y z
xy yz xz
x y z x y z
.
35. [Chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa, 2011] Giải hệ phương trình:
22
1 10 10 1
33
82
9
x x y y
yy
xy
.
36. [Chuyên Quảng Bình, 2011] Giải hệ phương trình:
2010 6 6
2010 6 6
2010 6 6
2.
2.
2.
x y z
y z x
z x y
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 22 ~
37. [Chu Văn An, Amsterdam, Hà Nội, Chung, 1994] Cho hệ phương trình:
1 2 1
31
a x y
x ay
.
a) Giải hệ phương trình với
31a
.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số a, hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
c) Tìm a để
xy
đạt giá trị lớn nhất.
38. [Chu Văn An, Amsterdam, Hà Nội, Chung, 2002] Cho hệ phương trình hai ẩn x, y với m là tham số:
21
22
mx y
m x y m
a) Giải hệ phương trình với
3m
.
b) Trong mặt phẳng
Oxy
xét hai đường thẳng có phương trình là (1) và (2).
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (1) đi qua điểm B cố định và đường thẳng (2) đi
qua điểm C cố định.
Tìm m để giao điểm A của hai đường thẳng thỏa mãn điều kiện góc BAC vuông. Tính diện tích tam
giác ABC ứng với giá trị đó của m.
39. [Chu Văn An, Amsterdam, Hà Nội, Chuyên, 2005] Cho hệ phương trình:
4
22
22
13 6x y x y m
xy x y m
.
a) Giải hệ phương trình với
10m
.
b) Chứng minh rằng không tồn tại giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất.
40. [Chu Văn An, Amsterdam, Hà Nội, Chuyên, 2008]
Cho hệ phương trình:
19 6 2008 1
19 6 2008 1
x y m y
y x m x
a) Giải hệ phương trình khi
2008m
.
b) Chứng minh rằng khi
2008m
thì hệ đã cho có không quá một nghiệm.
41. [Chuyên Thành phố Hà Nội, 2011] Giải hệ phương trình:
22
2 3 2
6
x y xy
xy
.
42. [Chuyên Thành phố Hà Nội, 2012] Giải hệ phương trình:
22
2
2 1 0
4
4 4 1 0
xy
x
x xy y
x
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 23 ~
43. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Vòng 1, 1991] Cho
,,abc
là các số đôi một khác nhau và khác 0.
Giải hệ phương trình:
32
32
32
1
1
1
a x a y az
b x b y bz
c x c y cz
.
44. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Lý + Hóa, 1992] Giải hệ phương trình:
2
22
2
1
x y y
x y x xy y
.
45. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Toán + Tin, Vòng 1, 1992] Giải hệ phương trình:
22
22
2 3 0
20
xy y x
y x y x
.
46. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Toán + Tin, 1994] Giải hệ phương trình:
2
2
2
4
4
4
x y y z xy z
y z z x yz x
z x x y zx y
.
47. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 1995] Giải hệ phương trình:
22
2
21
2
xy
xy x
.
48. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 1995] Giải hệ phương trình:
1
3
7
x xy y
y yz z
z zx x
.
49. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 1996] Giải hệ phương trình:
11
22
11
22
y
x
x
y
.
50. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 1996] Giải hệ phương trình:
1
1
1
xy
yz
zx
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 24 ~
51. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 1997] Giải hệ phương trình:
21
27
22
xy x y
yz y z
xz z x
.
52. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 1997] Giải hệ phương trình:
32
2
3 6 0
3
y y x x y
x xy
.
53. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 1998] Giải hệ phương trình:
22
4 2 2 4
7
21
x xy y
x x y y
.
54. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 1998] Các số
,ab
thỏa mãn điều kiện
32
32
3 19
3 98
a ab
b a b
.
Hãy tính giá trị của biểu thức:
22
P a b
.
55. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 1999] Giải hệ phương trình:
1 1 9
2
15
2
xy
xy
xy
xy
.
56. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2000] Giải hệ phương trình:
2
2
1
3
1
3
x
x
yy
x
x
yy
.
57. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2002] Giải hệ phương trình:
1 1 8
1 1 17
xy
x x y y xy
.
58. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 2002] Giải hệ phương trình:
22
33
1
3
x y xy
x y x y
.
59. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2003] Giải hệ phương trình:
32
32
2 3 5
67
x x y
y xy
.
60. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 2003] Giải hệ phương trình:
22
22
2 5 2 0
40
x xy y x y
x y x y
.
www.facebook.com/onthicunghocsinhCSP
~ 25 ~
61. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 2004] Giải hệ phương trình:
22
22
15
3
x y x y
x y x y
.
62. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2005] Giải hệ phương trình:
22
3
2
x y xy
xy
.
63. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 2005] Giải hệ phương trình:
3 3 2
44
1
44
x y xy
x y x y
.
64. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2006] Giải hệ phương trình:
2
4
1 1 4
x xy x y
x xy
.
65. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 2006] Giải hệ phương trình:
22
22
4 2 3
5
x y x y
xy
.
66. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2007] Giải hệ phương trình:
33
2
4
xy x y
x y x y
.
67. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 2007] Giải hệ phương trình:
22
45
2 4 7
xy
x y xy
.
68. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2008] Giải hệ phương trình:
22
3
3
2
11
x y x
xy
.
69. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chuyên, 2008] Giải hệ phương trình:
22
33
21
87
x y y x
xy
.
70. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2009] Giải hệ phương trình:
22
2
1
33
x y xy
x y y
.
71. [Chuyên KHTN – ĐHQGHN, Chung, 2010] Giải hệ phương trình:
22
22
3 8 12 23
2
x y xy
xy
.
