TRUNG TÂM 17 QUANG TRUNG - TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.93 MB, 85 trang )
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 1 -
TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
17 QUANG TRUNG
Cần Thơ 2013
Địa chỉ: 17 Quang Trung – Xuân Khánh – Ninh Kiều – Cần Thơ
Điện thoại: 0939.922.727 – 0915.684.278 – (07103)751.929
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 2 -
f(x)=(1/8)(x^3-3x^2-9x-5)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 3 -
1. Định nghĩa
Hàm số f đồng biến trên
1 2 1 2 1 2
D x ,x D,x x f(x ) f(x )
Hàm số f nghịch biến trên
1 2 1 2 1 2
D x ,x D,x x f(x ) f(x )
2. Điều kiện cần
Giả sử f có đạo hàm trên khảng I
a) Nếu f đồng biến trên khảng I thì
f '(x) 0, x I
b) Nếu f đồng biến trên khảng I thì
f '(x) 0, x I
3. Điều kiện đủ
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I
a) Nếu
f '(x) 0, x I
(
f '(x) 0
tại một số điểm hữu hạn) thì f đồng biến trên I
b) Nếu
f '(x) 0, x I
(
f '(x) 0
tại một số điểm hữu hạn) thì f nghịch biến trên I
c) Nếu
f '(x) 0, x I
thì f không đổi trên I
Bài toán 1. Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số
y f(x)
ta thực hiện các bước sau:
Tìm tập xác định của hàm số
Tính
y'
. Tìm các điểm mà tại đó
y' 0
hoặc
y'
không tồn tại (gọi là các điểm
tới hạn)
Lập bảng xét dấu
y'
. Từ đó kết luận sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
BÀI TẬP
1. Xét chiều biến thiên của hàm số
a)
2
y 2x 4x 5
b)
2
1 5
y x x
4 4
c)
2
y x 4x 3
d)
3 2
y x 2x x 2
e)
2
y (4 x)(x 1)
f)
3 2
y x 3x 4x 1
g)
4 2
1
y x 2x 1
4
h)
4 2
y x 2x 3
i)
4 2
1 1
y x x 2
10 10
j)
2x 1
y
x 5
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 4 -
k)
x 1
y
2 x
l)
1
y 1
1 x
m)
2
2x x 26
y
x 2
n)
1
y x 3
1 x
o)
2
4x 15x 9
y
3x
2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau
a)
4 3 2
y 6x 8x 3x 1
b)
2
2
x 1
y
x 4
c)
2
2
x x 1
y
x x 1
d)
2
2x 1
y
x
e)
2
x
y
x 3x 2
f)
y x 3 2 2 x
g)
y 2x 1 3 x
h)
2
y x 2 x
i)
2
y 2x x
j)
y sin2x x
2 2
k)
y sin2x x x
2 2
Bài toán 2. Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến
Cho hàm số
y f(x,m)
, m tham số, có tập xác định D
Hàm số đồng biến trên
D y' 0, x D
Hàm số đồng biến trên
D y' 0, x D
Từ đó suy ra điều kiện của m
Chú ý
1.
y' 0
chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
2. Nếu
2
y' ax bx c
thì:
a b 0
c 0
y' 0, x
a 0
0
a b 0
c 0
y' 0, x
a 0
0
3. Định lý về dấu của tam thức bậc 2
2
g(x) ax bx c
Nếu
0
thì
g(x)
luôn cùng dấu với a
Nếu
0
thì
g(x)
luôn cùng dấu với a (trừ
b
x
2a
)
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 5 -
Nếu
0
thì
g(x)
cùng dấu với a ngoài khoảng 2 nghiệm và trái dấu với a
trong khoảng 2 nghiệm.
4. So sánh của nghiệm
1 2
x ,x
của tam thức bậc với 0
1 2
0
x x 0 P 0
S 0
1 2
0
0 x x P 0
S 0
1 2
x 0 x P 0
5. Để hàm số
3 2
y ax bx cx d
có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến)
1 2
(x ,x )
bằng d ta thực hiện như sau:
Tính
y'
Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hay nghịch biến
a 0
(1)
0
Biến đổi
1 2
x x d
thành
2 2
1 2 1 2
(x x ) 4x x d
Giải phương trình, so sánh với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
BÀI TẬP
1. chứng minh các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
a)
3
y x 5x 13
b)
3 2
1
y x 3x 9x 1
3
c)
2x 1
y
x 2
d)
2
x 2x 3
y
x 1
e)
y 3x sin(3x 1)
f)
2
x 2mx 1
y
x m
2. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định của nó
a)
y 5x cot(x 1)
b)
y cosx x
c)
y sin x cosx 2 x
3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định của nó
a)
3 2
y x 3mx (m 2)x m
b)
x m
y
x m
c)
mx 4
y
x m
d)
3 2
1 m
y x x 2x 1
3 2
e)
2
x 2mx 1
y
x m
f)
2 2
x 2mx 3m
y
x 2m
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 6 -
4. Tìm m để hàm số
a)
3 2
y x 3x mx m
nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1
b)
3 2
1 1
y x mx 2mx 3m 1
3 2
nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3
c)
3 2
1
y x (m 1)x (m 3)x 4
3
đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 4
5. Tìm m để hàm số
a)
3 2
1
y x (m 1)x (m 1)x 1
3
đồng biến trên khoảng
(1, )
b)
3 2
y x 3(2m 1)x (12m 5)x 2
đồng biến trên khoảng
(2, )
c)
x 4
y (m 2)
x m
đồng biến trên khoảng
(1, )
d)
x m
y
x m
đồng biến trên khoảng
( 1, )
Bài toán 3. Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau
Chuyển bất đẳng thức về dạng
f(x) 0
(hoặc
, ,
). Xét hàm số
y f(x)
trên tập xác định của bài toán.
Xét dấu
f '(x)
. Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến
Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.
Chú ý:
Trong trường hợp ta chua xét được dấu của
f '(x)
thì ta đặt
h(x) f '(x)
và quay
lại xét dấu
h'(x)
…đến khi nào xét dấu được thì thôi.
Nếu bất đẳng thức có 2 biến thì đưa bất đẳng thức về dạng
f(a) f(b)
và xét
tính đơn điệu của hàm số trên khoảng
(a,b)
BÀI TẬP
1. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a)
3
x
x sin x x (x 0)
3
b)
2 1
sin x tanx x (0 x )
3 3 2
c)
x tan x (0 x )
2
d)
sin x tan x 2x (0 x )
2
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 7 -
2. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a)
tana a
(0 a b )
tanb b 2
b)
a sina b sinb (0 a b )
2
c)
a tana b tan b (0 x )
2
3. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a)
2x
sinx (0 x )
2
b)
3 3 5
x x x
x sin x x (0 x)
3 6 20
4. Chứng minh các bất đẳng thức sau
a)
x
e 1 x (x 0)
b)
ln(x 1) x (0 x)
c)
1
ln(x 1) lnx (0 x)
1 x
Bài toán 4. Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
Để chứng minh phương trình
f(x) g(x) (*)
ta thực hiện các bước sau:
Nhẩm nghiệm
0
x
của phương trình
Xét các hàm
1
(C ): y f(x)
và
2
(C ): y g(x)
. Ta cần chứng minh một hàm số
đồng biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó nghiệm
0
x
là duy nhất.
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng thì kết luận trên vẫn đúng.
BÀI TẬP
1. Giải các phương trình sau
a)
x x 5 5
b)
5 3
x x 1 3x 4 0
c)
x x 5 x 7 x 16 14
d)
2 2
x 15 3x 2 x 8
2. Giải các phương trình sau
a)
5 5 5
x 1 x 2 x 3 0
b)
ln(x 4) 5 x
c)
x x x
3 4 5
d)
x x x
3 4 5 38
3. Giải các bất phương trình sau
a)
3 5
4
x 1 5x 7 7x 5 13x 7 8
b)
2
2x x x 7 2 x 7x 35
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 8 -
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số f xác định trên D và
0
x D
a)
0
x
là điểm cực đại của f nếu tồn tại
(a,b) D
và
0
x (a,b)
sao cho
0 0 0
f(x) f (x ) , x (a,b) \{x }
Khi đó
0
f(x )
được gọi là giá trị cực đại của hàm số
b)
0
x
là điểm cực tiểu của f nếu tồn tại
(a,b) D
và
0
x (a,b)
sao cho
0 0 0
f(x) f(x ) , x (a,b) \{x }
Khi đó
0
f(x )
được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số
c) Điểm
0
x
là điểm cực đại hay cực tiểu ta gọi trung là điểm cực trị.
2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Nếu hàm số f có đạo hàm tại
0
x
và đạt cực trị tại điểm đó thì
0
f '(x ) 0
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà ở đó có đạo hàm bằng 0
hoặc không có đạo hàm.
3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
a) Định lý 1: Giả sử hàm số f lien tục trên khoảng
(a,b)
chứa điểm
0
x
và có đạo
hàm trên khoảng
(a,b)
(có thể trừ
0
x
)
Nếu
f '(x)
đổi dấu từ âm sang dương khi x qua
0
x
thì f đạt cực tiểu tại
0
x
Nếu
f '(x)
đổi dấu từ dương sang âm khi x qua
0
x
thì f đạt cực đại tại
0
x
b) Định lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng
(a,b)
chứa điểm C,
0
f '(x ) 0
và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại
0
x
.
Nếu
0
f ''(x ) 0
thì f đạt cực đại tại
0
x
Nếu
0
f ''(x ) 0
thì f đạt cực tiểu tại
0
x
Bài toán 1. Tìm cực trị của hàm số
Qui tắc 1. Dùng định lý 1
Tìm
f '(x)
Tìm các điểm
i
x (i 1,2, )
mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
Xét dấu
f '(x)
. Nếu
f '(x)
đổi dấu khi x qua
i
x
thì hàm số đạt cực trị tại
i
x
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 9 -
Qui tắc 2. Dùng định lý 2
Tìm
f '(x)
Tìm các điểm
i
x (i 1,2, )
mà tại đó đạo hàm bằng 0.
Tìm
f ''(x)
. Tính
i
f ''(x )
+ Nếu
i
f ''(x ) 0
thì hàm số đạt cực đại tại
i
x
+ Nếu
i
f ''(x ) 0
thì hàm số đạt cực tiểu tại
i
x
BÀI TẬP
1. Tìm cực trị của các hàm số sau
a)
2 3
y 3x 2x
b)
3 2
y x 2x 2x 1
c)
3 2
1
y x 4x 15x
3
d)
4 2
1
y x x 3
2
e)
4 2
y x 4x 5
f)
4 2
1 3
y x x
2 2
g)
2
x 3x 6
y
x 2
h)
2
3x 4x 5
y
x 1
k)
2
x 2x 15
y
x 3
l)
2
x 2x 3
y
x 1
2. Tìm cực trị của các hàm số sau
a)
3 4
y (x 2) (x 1)
b)
2
2
4x 2x 1
y
2x x 3
c)
2
2
3x 4x 4
y
x x 1
d)
2
y x x 4
e)
2
y x 2x 5
f)
2
y x 2x x
3. Tìm cực trị của các hàm số sau
a)
3 2
y x 1
b)
3
2
x
y
2x 1
c)
x x
y e 4e
d)
2
y x 5x 5 2ln x
e)
2
y x 4sin x
f)
2
y x ln(1 x )
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 10 -
Bài toán 2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
1. Nếu hàm số
y f(x)
đạt cực trị tại
0
x
thì
0
f '(x ) 0
hoặc tại
0
x
không có đạo
hàm
2. Để hàm số
y f(x)
đạt cực trị tại
0
x
thì
f '(x)
phải đổi dấu khi x qua
0
x
.
BÀI TẬP
1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu
a)
3 2 2 3
y x 3mx 3(m 1)x m
b)
3 2
y 2x 3(2m 1)x 6m(m 1)x 1
2. Tìm m để hàm số
a)
3 2
y (m 2)x 3x mx 5
có cực đại, cực tiểu.
b)
3 2 2
y x 3(m 1)x (2m 3m 2)x m(m 1)
có cực đại, cực tiểu.
c)
3 2 2
y x 3mx (m 1)x 2
đạt cực đại tại
x 2
d)
4 2
y mx 2(m 2)x m 5
có một cực đại tại
1
x
2
e)
2
x 2mx 2
y
x m
đạt cực tiểu khi
x 2
f)
2
x x m
y
x 1
có một giá trị cực đại bằng 0.
3. Tìm m để hàm số sau không có cực trị
a)
3 2
y x 3x 3mx 3m 4
b)
3 2
y mx 3mx (m 1)x 1
4. Tìm a, b, c để hàm số
a)
3 2
y ax bx cx d
đạt CT bằng 0 tại
x 0
và đạt CĐ bằng
4
27
tại
1
x
3
b)
4 2
y ax bx c
có đồ thị đi gốc tọa độ O và đạt cực trị bằng – 9 tại
x 3
c)
2
x bx c
y
x 1
đạt cực trị bằng – 6 tại
x 1
5. Tìm m để hàm số
a)
3 2 2 2
y x 2(m 1)x (m 4m 1)x 2(m 1)
đạt cực trị tại 2 điểm
1 2
x ,x
sao cho
1 2
1 2
1 1 1
(x x )
x x 2
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 11 -
b)
3 2
1
y x mx mx 1
3
đạt cực trị tại 2 điểm
1 2
x ,x
sao cho
1 2
| x x | 8
c)
3 2
1 1
y mx (m 1)x 3(m 2)x
3 3
đạt cực trị tại 2 điểm
1 2
x ,x
sao cho
1 2
x 2x 1
6. Tìm m để đồ thị hàm số
a)
3 2
y x mx 4
có 2 điểm cực trị là A và B và
2
2
900m
AB
729
b)
4 2
y x mx 4x m
có 3 cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc tọa
độ O làm trọng tâm.
7. Tìm m để đồ thị hàm số
a)
3 2
y 2x mx 12x 13
có 2 điểm cực trị cách đều trục tung
b)
3 2 3
y x 3x 4m
có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường
phân giác thứ nhất.
c)
3 2 3
y x 3mx 4m
có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với
đường thẳng
(d):3x 2y 8 0
Bài toán 3. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
1. Hàm số
3 2
y ax bx cx d
Chia
f(x)
cho
f '(x)
ta được
f(x) Q(x).f '(x) Ax b
Khi đó phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là
y Ax B
2. Hàm số
2
P(x) ax bx c
y
Q(x) dx e
Giả sử
0 0
(x , y )
là cực trị thì
0
0
P'(x )
y
Q'(x)
Đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu là
P'(x) 2ax b
y
Q'(x) d
BÀI TẬP
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số
a)
3 2
y x 2x x 1
b)
3 2
y 2x 3x
c)
3 2
y x 3x 6x 8
d)
2
2x x 1
y
x 3
e)
2
x x 1
y
x 2
f)
2
2x x 1
y
2x 3
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 12 -
2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị của hàm số
a)
3 2 2 3
y x 3mx 3(m 1)x m
b)
2
x mx 6
y
x m
c)
3 2 2
y x 3(m 1)x (2m 3m 2)x m(m 1)
d)
2
x mx m 2
y
x m 1
3. Tìm m để hàm số
a)
3 2
y 2x 3(m 1)x 6(m 2)x 1
có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
song song với đường thẳng
y 4x 1
b)
3 2
y 2x 3(m 1)x 6m(1 2m)x
có các cực đại, cực tiểu đồ thị nằm trên
đường thẳng
y 4x
c)
3 2
y x mx 7x 3
có đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với
đường thẳng
y 3x 7
d)
3 2 2
y x 3x m x m
có các cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường
thẳng
1 5
( ): y x
2 2
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 13 -
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số f xác định trên miền D
a)
D
0 0
f(x) M, x D
M maxf (x)
x D:f(x ) M
b)
D
0 0
f(x) M, x D
m minf (x)
x D:f(x ) m
2. Tính chất
a) Nếu hàm số f đồng biến trên
[a,b]
thì
[a,b]
maxf(x) f (b)
,
[a,b]
minf(x) f(a)
b) Nếu hàm số f nghịch biến trên
[a,b]
thì
[a,b]
maxf (x) f(a)
,
[a,b]
minf(x) f(b)
Bài toán 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên
Cách 1. Thường dung GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng
Tính
f '(x)
Xét dấu
f '(x)
và lập bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2. Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên
[a,b]
Tính
f '(x)
Giải phương trình
f '(x) 0
tìm được các nghiệm
i
x
trên
[a,b]
(nếu có)
Tính
i
f(a),f(b),f(x )
So sánh các kết quả và kết luận.
BÀI TẬP
1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số số
a)
2
y x 4x 3
b)
3 4
y 4x 3x
c)
4 2
y x 2x 2
d)
2
y x x 2
e)
2
x 1
y
x 2x 2
f)
2
2
2x 4x 5
y
x 1
g)
2
1
y x (x 0)
x
h)
2
2
x x 1
y
x x 1
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 14 -
2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số số
a)
3 2
y 2x 3x 12x 1
trên
[ 1,5]
b)
3
y x 3x
trên
[ 2,3]
c)
4 2
y x 2x 3
trên
[ 3,2]
d)
4 2
y x 2x 5
trên
[ 2,2]
e)
3x 1
y
x 3
trên
[0,2]
f)
x 1
y
x 1
trên
[0,4]
g)
2
4x 7x 7
y
x 2
trên
[0,2]
h)
2
2
1 x x
y
1 x x
trên
[0,1]
k)
2
y 100 x
trên
[ 6,8]
l)
y 2 x 4 x
3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số số
a)
2sin x 1
y
sin x 2
b)
2
1
y
cos x cosx 1
c)
2
y 2sin x cosx 1
d)
y cos2x 2sin x 1
e)
3 3
y sin x cos x
f)
2
4 2
x 1
y
x x 1
g)
2 2
y 4 x 2x 5 x 2x 3
h)
2 2
y x 4x 3 x 4x
Bài toán 2. Tìm GTLN, GTNN bằng cách dùng miền giá trị
Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số
f(x)
trên miền D
Gọi
0
y
là một giá trị tùy ý của
f(x)
trên D, thì hệ phương trình ẩn x sau có
nghiệm:
0
f(x) y (1)
x D (2)
Tùy theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường sau
khi biến đổi có dạng
0
m y M
Suy ra giá trị cần tìm
BÀI TẬP
1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau
a)
2
2
x x 1
y
x x 1
b)
2
2
2x 7x 23
y
x 2x 10
c)
2sinx cosx 1
y
sin x 2cosx 3
d)
2sin x cosx 3
y
2cosx sin x 4
TT LUYỆN THI ĐẠI HỌC 17 QUANG TRUNG ĐT: (07103)751.929 Trang - 15 -
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Tìm tập xác định của hàm số.
Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính
y'
+ Tìm các điểm mà tại đó
y' 0
hoặc khơng xác định
+ Tìm các giới hạn tại vơ cực, giới hạn vơ cực và tìm tiệm cận (nếu có)
+ Lập bảng biến thiên và ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của
hàm số
Vẽ đồ thị của hàm số
+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm bậc 3)
+ Vẽ đồ thị
BÀI TỐN LIÊN QUAN
Bài tốn 1. Sự tương giao của các đồ thị
1. Cho 2 đồ thị
1
(C ): y f(x)
và
2
(C ): y g(x)
. Để tìm hồnh độ giao điểm của
1
(C )
và
2
(C )
ta giải phương trình
f(x) g(x)
(phương trình hồnh độ giao
điểm). Khi đó số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm 2 đồ thị.
2. Đồ thị hàm bậc ba
3 2
y ax bx cx d (a 0)
cắt trục hồnh tại 3 điểm phân
biệt
Phương trình
3 2
ax bx cx d 0
có 3 nghiệm phân biệt
Hàm số
3 2
y ax bx cx d (a 0)
có cực đại, cực tiểu và
CD CT
y .y 0
BÀI TẬP
1. Tìm tọa độ giao điểm của các đồ thị sau
a)
2
x 3
y 3x
2 2
x 1
y
2 2
b)
2
2x 4
y
x 1
y x 2x 4
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 16 -
c)
4 2
2
y x x 1
y 4x 5
d)
3 2
2
y x 5x 10x 5
y x x 1
2. Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thị hàm số sau
a)
3
y x 3x 2
y m(x 2)
b)
3 2
x x
y 2x
3 2
1 13
y m x
2 12
c)
2x 1
y
x 2
y 2x m
d)
x 1
y
x 1
y 2x m
e)
3
x
y 3x
3
y m(x 3)
f)
3
2
y 2x x 1
y m(x 1)
3. Tìm m để đồ thị các hàm số
a)
3 2
y x 3x mx 2m
và
y x 2
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
b)
3 2
y mx 3mx (1 2m)x 1
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c)
2 2
y (x 1)(x mx m 3)
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
d)
3 2
y x 2x 2x 2m 1
và
2
y 2x x 2
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
e)
3 2 2
y x 2x m x 3m
và
2
y 2x 1
cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
4. Tìm m để đồ thị các hàm số
a)
4 2
y x 2x 1
và
y m
cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.
b)
4 2 3
y x m(m 1)x m
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
c)
4 2 2
y x (2m 3)x m 3m
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
5. Tìm m để đồ thị các hàm số
a)
3x 1
y
x 4
và
y x 2m
cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m
để đoạn AB ngắn nhất
b)
4x 1
y
2 x
và
y x m
cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m
để đoạn AB ngắn nhất
6. Tìm m để đồ thị các hàm số
a)
3 2
y x 3mx 6mx 8
cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp
số cộng.
TT LUYEN THI ẹAẽI HOẽC 17 QUANG TRUNG ẹT: (07103)751.929 Trang - 17 -
b)
3 2
y x 3x x 1
v
y 4x m
ct nhau ti A, B, C vi B l trung im
ca AC.
c)
4 2 2
y x (2m 4)x m
ct trc honh ti bn im phõn bit lp thnh cp
s cng.
d)
3 2
y x (m 1)x (m 1)x 2m 1
ct trc honh ti ba im phõn bit lp
thnh cp s cng.
e)
3 2
y 3x (2m 2)x 9mx 192
ct trc honh ti ba im phõn bit lp
thnh cp s nhõn.
Bi toỏn 2. Bin lun s nghim phng trỡnh bng th
1. C s ca phng phỏp: Xột phng trỡnh
f(x) g(x) (1)
S nghim ca phng trỡnh (1) chớnh l s giao im ca
1
(C ): y f (x)
v
2
(C ): y g(x)
2. bin lun s nghim ca phng trỡnh
F(x,m) 0 (*)
bng th ta bin i
(*) v mt trong cỏc dng sau:
Dng 1:
F(x,m) 0 f(x) g(m) (1)
+ Khi ú (1) cú th xem l phng trỡnh honh giao im ca hai ng
(C) : y f(x)
v
(d): y g(m)
+ Trong ú (d) l ng thng song song vi trc honh.
Dng 2:
F(x,m) 0 f(x) kx m (2)
+ Khi ú (1) cú th xem l phng trỡnh honh giao im ca hai ng
(C) : y f(x)
v
(d): y kx m
+ Trong ú (d) l ng thng cựng phng vi ng thng y = kx
+ Vit cỏc tip tuyn
1 2
d ,d ,
ca (C) cú h s gúc k
+ Da v tung gc
1 2
b ,b ,
ca
1 2
d ,d ,
bin lun.
BI TP
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s. Dựng th (C) bin lun
theo m s nghim ca phng trỡnh.
a)
3 3
y x 3x 1; x 3x 1 m 0
b)
3 3
y x 3x 1; x 3x m 1 0
c)
3 3 2
y x 3x 1; x 3x m 2m 2 0
d)
3 3
y x 3x 1; x 3x m 4 0
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 18 -
e)
4
2 4 2
x
y 2x 2; x 4x 4 2m 0
2
f)
4 2 4 2
y x 2x 2; x 2x m 2 0
2. Cho hàm số
x 2
y f(x)
x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng
x 3y 0
c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình
2
3x (m 2)x m 2 0
3. Cho hàm số
x 1
y f(x)
x 1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng
x 2y 0
c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình
2
2x (m 1)x m 1 0
4. Cho
4 2
1 3
y x x
4 2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị.
b) Tìm m để phương trình
4 2
x 2x m 0
có nghiệm duy nhất.
5. Cho hàm số
3 2
y x 3x 6
a) Khảo sát và vẽ đồ thị.
b) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình
3 2
| x 3x 6| a
6. Cho hàm số
x 1
y
x 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x 1
2m
x 1
7. Cho hàm số
3 2
y x 6x 9x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị.
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình
3 2
| x | 6x 9| x | 3 m 0
8. Cho hàm số
3
y 3x 4x
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị.
b) Từ (C) hãy vẽ đồ thị
2
y | x | (3 4x )
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 19 -
9. Cho hàm số
3 2
y x 3x 2
a) Khào sát và vẽ đồ thị.
b) Tìm m để phương trình
3 2
x 3x m 0
có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có
một nghiệm lớn hơn 1.
10. Cho hàm số
3 2
y 2x 9x 12x 4
. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm
thực phân biệt
3 2
2| x | 9x 12| x | m
11. Cho
4 2
1 3
y x x
4 2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị.
b) Tìm m để phương trình
4 2
x 2x m 0
có nghiệm duy nhất.
12. Cho hàm số
3 2
y x 3x 6
a) Khảo sát và vẽ đồ thị.
b) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình
3 2
| x 3x 6| a
13. Cho hàm số
x 1
y
x 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x 1
2m
x 1
14. Cho hàm số
3 2
y x 6x 9x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị.
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình
3 2
| x | 6x 9| x | 3 m 0
15. Cho hàm số
3
y 3x 4x
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị.
b) Từ (C) hãy vẽ đồ thị
2
y | x | (3 4x )
16. Cho hàm số
3 2
y x 3x 2
a) Khào sát và vẽ đồ thị.
b) Tìm m để phương trình
3 2
x 3x m 0
có 3 nghiệm phân biệt, trong đó có
một nghiệm lớn hơn 1.
17. Cho hàm số
3 2
y 2x 9x 12x 4
. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm
thực phân biệt
3 2
2 | x | 9x 12 | x | m
TT LUYEN THI ẹAẽI HOẽC 17 QUANG TRUNG ẹT: (07103)751.929 Trang - 20 -
Bi toỏn 3. Bin lun s nghim phng trỡnh bc 3
C s ca phng phỏp:
+ Xột phng trỡnh bc 3:
3 2
ax bx cx d 0 (a 0) (1)
+ Gi (C) l th ca hm s bc 3:
3 2
y f(x) ax bx cx d
. Khi ú s
nghim ca (1) chớnh l s giao im ca (C) vi trc honh.
Dng 1: Bin lun s nghim ca phng trỡnh bc 3.
Trng hp 1: (1) ch cú 1 nghim
Tc l
(C)
v Ox cú 1 im chung
CD CT
0
0
y .y 0
Trng hp 2: (1) cú ỳng 2 nghim
Tc l (C) tip xỳc Ox
CD CT
0
y y 0
Trng hp 3: (1) cú 3 nghim phõn bit
Tc l (C) ct Ox ti 3 im phõn bit
CD CT
0
y .y 0
Dng 2: Phng trỡnh bc ba cú 3 nghim cựng du
Trng hp 1: (1) cú 3 nghim dng phõn bit
Tc l (C) ct Ox ti 3 im phõn bit cú honh dng
CD CT
CD CT
0
y y 0
x 0,x 0
af(0) 0
Trng hp 2: (1) cú 3 nghim õm phõn bit
Tc l (C) ct Ox ti 3 im phõn bit cú honh õm
CD CT
CD CT
0
y y 0
x 0,x 0
af(0) 0
BI TP
1. Tỡm m cỏc phng trỡnh sau ch cú mt nghim
a)
3 2
2x 3(m 1)x 6mx 2 0
b)
3 2
x 3x 3(m 1)x 1 3m 0
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 21 -
c)
3 2
2x 3mx 6(m 1)x 3m 12 0
d)
3 2
x 6x 3(m 4)x 4m 8 0
e)
3 2
2x 3(m 1)x 6(m 2)x 2 m 0
f)
3 2
x 3mx 2m 0
2. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm
a)
3 2 2
x (m 1)x (2m 3m 2)x 2m(2m 1) 0
b)
3
x 3mx 2m 0
c)
3 2
x (2m 1)x (3m 1)x (m 1) 0
d)
3 2
x 3x 3(1 m)x 1 3m 0
3. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 3 nghiệm phân biệt
a)
3 2 2 2
x 3mx 3(m 1)x (m 1) 0
b)
3 2
x 6x 3(m 4)x 4m 8 0
c)
3 2
2x 3(m 1)x 6(m 2)x 2 m 0
d)
3
1
x x m 0
3
4. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt
a)
3 2 2 2
x 3mx 3(m 1)x (m 1) 0
b)
3 2
x 6x 3(m 4)x 4m 8 0
c)
3 2
1 5 7
x x 4x m 0
3 2 6
d)
3 2
x mx (2m 1)x m 2 0
5. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt
a)
3 2
2x 3(m 1)x 6(m 2)x 2 m 0
b)
3 2 2 2
x 3mx 3(m 1)x (m 1) 0
c)
3 2
x 3x 9x m 0
d)
3 2
x x 18mx 2m 0
6. Cho
m
(C )
là đồ thị của hàm số
3 2
y x (m 3)x (2m 1)x 3(m 1)
a) Xác định m để
m
(C )
cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương.
b) Xác định m để
m
(C )
cắt Ox tại 3 điểm lập thành cấp số cộng.
TT LUYEN THI ẹAẽI HOẽC 17 QUANG TRUNG ẹT: (07103)751.929 Trang - 22 -
7. Cho th hm s
m
(C )
:
3 2 2
y x 3(m 1)x 2(m 4m 1)x 4m(m 1)
xỏc
nh m
m
(C )
ct Ox ti 3 im phõn bit cú honh ln hn 1.
8. Cho hm s
3 2 2 2
y x 3mx 3(m 1)x (m 1)
. Tỡm m th hm s trờn
ct Ox ti 3 im phõn bit cú honh dng.
9. Cho hm s
3 2 2
y x 3mx 2m(m 4)x 9m m
. Xỏc nh m th hm
s trờn ct Ox ti 3 im phõn bit lp thnh cp s cng.
10. Cho
3
a
(C ) : y x ax b
. nh a v b
a
(C )
ct trc honh ti 3 im phõn
bit m mt im cỏch u 2 dim kia.
11. Cho
3 2
a
(C ) : y x 3x 9x a
. nh a
a
(C )
ct trc honh ti 3 im phõn
bit A, B, C m AB = BC.
Bi toỏn 4. Bi toỏn tip xỳc Tip tuyn ca ng cong
1. iu kin cn v hai ng cong
1
(C ): y f(x)
v
2
(C ) : y g(x)
tip
xỳc nhau l h phng trỡnh sau cú nghim:
f(x) g(x)
f '(x) g'(x)
2. Nu
1
(C ): y px q
v
2
2
(C ) : y ax bx c
thỡ
1
(C )
tip xỳc
2
(C )
khi v ch
khi phng trỡnh
2
ax bx c px q
cú nghim kộp.
3. Vit phng trỡnh tip tuyn ca ng cong
(C) : y f(x)
Dng 1: Phng trỡnh tip tuyn
( )
ti im
0 0 0
M (x ,y )
Nu cho
0
x
thỡ tỡm
0
y
(v ngc li)
Tớnh
0
y' f '(x )
Phng trỡnh tip tuyn
0 0 0
( ): y y f '(x )(x x )
Dng 2: Phng trỡnh tip tuyn
( )
khi bit h s gúc k
Gi
0 0
M(x ,y )
l ta tip im. Tớnh
f '(x)
( )
cú h s gúc k
0
f '(x ) k (1)
Gii (1) tỡm
0
x
v suy ra
0 0
y f(x )
Vit phng trỡnh
( )
Dng 3: Phng trỡnh tip tuyn
( )
qua im
A A
A(x ,y )
Phng trỡnh ng thng
( )
qua
A A
A(x ,y )
v cú h s gúc k l
A A
y y k(x x )
Dựng iu kin tip xỳc:
( )
tip xỳc (C)
A A
f(x) k(x x ) y
(*)
f '(x) k
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 23 -
Giải (*) tìm được k.
Viết phương trình
( )
Dạng 4: Phương trình tiếp tuyến chung của
1
(C ) : y f(x)
và
2
(C ) : y g(x)
Gọi
( ): y ax b
là phương trình tiếp tuyến chung của
1 2
(C )và (C )
( )
tiếp xúc
1 2
(C )và (C )
f(x) ax b g(x) ax b
và
f '(x) a g'(x) a
Giải tìm a, b
Viết phương trình
( )
BÀI TẬP
1. Tìm m để 2 đường thẳng
1 2
(C )và (C )
tiếp xúc nhau
a)
3 2
1
(C ) : y x (3 m)x mx 2
và
2
(C )
là trục hoành
b)
3 2
1
(C ) : y x 2x (m 1)x m
và
2
(C )
là trục hoành
c)
3
1
(C ) : y x m(x 1) 1
và
2
(C ) : y x 1
d)
3 2
1
(C ) : y x 2x 2x 1
và
2
(C ) : y x m
2. Tìm m để 2 đường thẳng
1 2
(C )và (C )
tiếp xúc nhau
a)
4 2
1
(C ) : y x 2x 1
và
2
2
(C ) : y 2mx m
b)
4 2
1
(C ) : y x x 1
và
2
2
(C ) : y x m
c)
4 2
1
1 9
(C ) : y x 2x
4 4
và
2
2
(C ) : y x m
d)
2 2
1
(C ) : y (x 1) (x 1)
và
2
2
(C ) : y 2x m
3. Cho
3 2
m
(C ): y x (m 3)x (2m 1)x 3(m 1)
. Định m để
m
(C )
tiếp xúc
trục hoành.
4. Cho
3 2 2
m
(C ): y x mx (2m 7m 7)x 2(m 1)(2m 3)
. Định m để
m
(C )
tiếp xúc trục hoành.
5. Cho
3 2
m
(C ): y 2x 3mx 2m 1
. Định m để
m
(C )
tiếp xúc trục hoành.
6. Xác định a để
3 2
a
(C ) : y x ax 1
tiếp xúc với
(d): y 5
7. Cho
3 2 2
m
(C ): y x (m 1)x (2m 3m 2)x 2m(2m 1)
a) Xác định m để
m
(C )
tiếp xúc Ox.
b) Xác định m để
m
(C )
tiếp xúc
(d) : y 49x 98
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 24 -
8. Cho
(m 1)x m
y
x m
. Chứng minh rằng đồ thị hàm số trên luôn tiếp xúc đường
thẳng cố định với mọi m.
9. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra
a)
3 2
(C) : y 3x x 7x 1
tại
A(0,1)
b)
4 2
(C) : y x 2x 1
tại
B(1,0)
c)
3x 4
(C) : y
2x 3
tại
C(1, 7)
d)
2
(C): y x 1
2x 1
tại
D(0,3)
10. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra
a)
2
x 3x 3
(C): y
x 2
tại điểm A có
A
x 4
b)
3(x 2)
(C): y
x 1
tại điểm B có
B
y 4
c)
x 1
(C): y
x 2
tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung
d)
2
(C): y 2x 2x 1
tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung
e)
3
(C) : y x 3x 1
tại điểm uốn của (C)
f)
4 2
1 9
(C): y x 2x
4 4
tại các giao điểm của (C) với trục hoành.
11. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm với đường được chỉ ra.
a)
3 2
(C) : y 2x 3x 9x 4
và
d : y 7x 4
b)
3 2
(C) : y 2x 3x 9x 4
và
2
(P) : y x 8x 3
c)
3 2
(C) : y 2x 3x 9x 4
và
3 2
(C') : y x 4x 6x 7
12. Tính diện tích tam giác chắn hai trục tọa độ bởi tiếp tuyến của (C) tại :
a)
5x 11
(C) : y
2x 3
tại điểm A có
A
x 2
b)
2
(C) : y x 7x 26
tại B có
B
x 2
13. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn 2 trục tọa độ một
tam giác có diện tích bằng S cho trước.
a)
2x m
(C) : y
x 1
tại điểm A có
A
x 2
và
1
S
2
b)
x 3m
(C) : y
x 2
tại B có
B
x 1
và
1
S
2
c)
3
(C) : y x 1 m(x 1)
tại C có
C
x 0
và
S 8
TT LUYEÄN THI ÑAÏI HOÏC 17 QUANG TRUNG ÑT: (07103)751.929 Trang - 25 -
14. Viết phương trình tiếp tuyến
của (C), biết
có hệ số góc k được chỉ ra
a)
3 2
(C) : y 2x 2x 5, k 12
b)
2x 1
(C): y , k 3
x 2
c)
2
x 3x 4
(C): y , k 1
x 1
d)
2
(C): y x 4x 3, k 1
15. Viết phương trình tiếp tuyến
của (C), biết
song song với đường thẳng (d)
cho trước.
a)
3
2
x
(C): y 2x 3x 1; (d) : y 3x 2
3
b)
2x 1 3
(C) : y ; (d): y x 2
x 2 4
c)
2
x 2x 3
(C) : y ; (d):3x y 5 0
4x 6
d)
4
2
x 3
(C): y 3x ; (d): y 4x 1
4 2
16. Viết phương trình tiếp tuyến
của (C), biết
vuông góc với đường thẳng (d)
cho trước.
a)
3
2
x x
(C): y 2x 3x 1; (d): y 2
3 8
b)
2x 1
(C): y ; (d): y x
x 2
c)
2
x 3
(C): y ; (d) : y 3x
x 1
d)
2
x x 1
(C) : y ; (d): y x 2
x 2
17. Viết phương trình tiếp tuyến
của (C), biết
tạo với chiều dương trục Ox một
góc
a)
3
2 0
x
(C): y 2x x 4; 60
3
b)
3
2 0
x
(C): y 2x x 4; 75
3
c)
0
3x 2
(C): y ; 45
x 1
18. Viết phương trình tiếp tuyến
của (C), biết
tạo với đt (d) một góc
a)
3
2 0
x
(C): y 2x x 4; d : y 3x 7; 45
3
