Tài liệu luyện thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (138.4 KB, 5 trang )
DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên
CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I.Hệ phương trình đối xứng loại 1:
2 2 2 2 3 3
4 4 2 2
2 2 2 2 3 3
2 2 4 4
5( ) 2 19
7 / / 18 7
1/ ;2/ ;3/ ;4/
3 35
5 12 ( ) 2
5 4
17 ( ) 78
5/ ;6/ ;7 / ;8/
7 ( )( ) 280
13 97
x y xy
x xy y x y y x x y
x y xy
x y x y xy x y
x y xy x y
x y x y xy
x y xy x y x y
x y xy x y
+ + = −
− + = + = + =
+ + = −
+ = + = + = −
+ + = + =
+ = + =
+ + = + + =
+ + = + =
II.Hệ phương trình đối xứng loại 2:
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 1 2
13 4
1/ ;2/ 2;3/ 1;4/ 2 ;5/
13 4
2 1 2
xyz x y z
xy z x y z x yz x
x x y yzt y z t
yz x y z x y zx y
ztx z t x
y y x
zx y z x y z xy z
txy t x y
= + +
+ = + + = + =
= + = + +
+ = + + = + =
= + +
= +
+ = + + = + =
= + +
III.Hệ phương trình đẳng cấp:
2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 5 2 2
2 3 9 3 2 11 1 2 9 ( )(2 3) 1
4 5 5 2 3 17 2 2 3
x xy y x xy y x y x y x y xy x y
x xy y x xy y x y xy y x xy y x y x y
− + = + + = + = − = − + + =
− + = + + = + + = − + = + = +
IV.Hệ phương trình vô tỉ:
2 2
2
2 2
2 2
2 2
30
2 8 2
4
2 2 8 2
8
128
35
128
4 2 16
x y y x
x y xy
x y x y
S P P
x y x
x y
x x y y
x y
x y S P
+ =
+ + =
+ + − =
− + =
− = −
⇔ ⇔
+ =
+ =
+ =
+ = + =
2 2
3 3
2 2 2 2
3
3
2(1)
2 2 5 2 7
2( ) 3( )
; ; ;
2 2 5 2 7
6 4
x y x y
x y x y
x y x y xy
y x y x
x y x y x y
+ − − =
+ − = + + − =
+ = +
+ − = + + − =
+ = + + − =
( bp (1) )
2 2
3 2 1 20 /
20
2 2 7
; ; ; ( )
3 2 23
136
0 16 /5
x y x y y x x y x y
x y x y
x y x y
x y
x y
x y x y x y x y x y
+ − + = − = + + −
+ + + =
+ + + + =
×
+ =
+ =
+ + − = = + − −
V. Giải HPT bằng pp đánh giá:
2 2 2 2
2 2 3 4 2
2 2 4 6 4 2
2 2 2
2
1
2 /(1 ) 2 /(1 )
1/ 1
2
1; 1/ 1; 2 /(1 ) ; 3 /( 1) ;
2
1/ 1
2 /(1 ) 4 /( 1)
1
12
x y yz
x y
x x y x x y
x y
z y xz
y z y z y y z y y y z
x z yx
z x
z z x z z z z x
z x
x y z
+ =
= +
+ = + =
− =
+ =
= + − = + = + + =
+ =
− =
+ = + + + =
= +
+ + =
1
DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên
2 2
2
2 2 2 4 6
3 4 4 5 7
2
2
1 4 1 ( 1)
1 2
1 1
; ;
1 1
1 2 1 4
1 2 1 4
xy z
z xy
x y x y z
x y x y z
x yz xy
x yz xy
− = − +
+ =
+ = + + =
⇔
+ = + + =
− = −
− = −
VI. Một số HPT khác:
2 2 2 2 3 3
3
2 2 2 2 2 2
6 5 1/ 1/
2 ( ) 3 ( ) ) 3 7 7
; ; ; ;
2 1
( ) 10 ( )( ) 15 2
2
x y x y
x x y y
y x y x x y x y x x y y
x y x y
y x
x x y y x y x y x y x y
xy
+ −
+ = − = −
− = − − = + = +
− +
= +
+ = + + = + = + +
=
2 2
2 2 2 2 2 2
(3 2 )( 1) 12 ( 2)(2 ) 9 ( )(1 1/ ) 5
18
; ; ;
( 1)( 1) 72 4 2 8 4 6 ( )(1 1/ ) 49
x x y x x x x y x y xy
x y x y
xy x y x x y x x y x y x y
+ + = + + = + + =
+ + + =
+ + = + + = + + = + + =
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 3 9 9
6 ( )( ) 45
7 ; 4 9 189 189; ( )( ) 63
( )( ) 54
14 3 4
x y z x u v
x y z x y x y z
xy yz zx x y z x u v y z x y z
z x x y z
x y z xz y xv u
− + = − + =
+ + = + + + =
+ − = + + = ⇔ + + = + + + =
+ + + =
+ + = = =
5 6( ) 5 24( ) 0 1 ( ) 2
7 12( ); 7 24( ); 0; 5; ( ) 3
3 4( ) 4( ) 0 2 ( ) 6
xy x y xyz x y xy a x y xy x x y z yz
yz y z xyz y z yz b y z yz y x y z xz
xz z x xyz z x zx c z x zx z x y z xy
= + = + = > + + = + + = −
= + = + = > + + = + + = −
= + = + = > + + = + + = −
2 2 2 2 2
2 3 2 3
2 0 2 /( 1) 1 1
1
2 4 3 0 2( 1) 1 0
x y x y y x x x
y
x x y x y
− + = = + ≤ =
⇔ ⇒
= −
− + + = − + + =
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
1/ 1/ 1
2
2 2 1 2
1 1 2
x y
x y x y
x y
x y xy
x y xy
+ =
+ =
⇔ ⇒ = = ±
+ − + = +
− + − = +
3
3
4
16
, 0 8 3 4 8 2
3 8
x y
x y x y x y x y
x y
=
⇒ > ⇒ = + ≥ = ⇒ = =
+ =
2
4
2
4 4
4
32 3
( 32 ) ( 32 ) 6 21 12. 12 16; 3
32 6 24
x x y
x x x x y y VT x y
x x y
+ − − = −
⇒ + − + + − = − + ≥ ≤ ⇒ = =
+ − + =
4 3 2 2 4 3 2 2
2 2
3 2 2
1 1
( 1) 0
1
1
1 ( 1)( 1) 0
x x y x y x x y x y
x x
x y
xy
x y x xy xy x
− + = − + =
− =
⇔ ⇒ ⇒ = = ±
=
− + = − + =
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
1/ 6 / ( ) 6 6
6 3 1;2 (1/ 2;1)
2 2;1 (1;2)
1/ 5 5 2 5
1 5
x y x y yz z y SP
y xy x S y
P z
x y z y S P
x y x
+ = + = =
+ = = =
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ⇒ ⇒
= =
+ = + = − =
+ =
3 3 3
3 3 3 3
2 2
1 19 / 16/ 3
1/ 19 19
;
/ 9/ 2
1/ 6 / ( ) 6
6
x y x xy x y
x y z y
xy y x
x y x y zy z y
y xy x
+ = − =
+ = + =
⇔ ⇔
− =
+ = − + = −
+ = −
2
DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
8
64 2
1 1 18
4
4
9 9 10
9 9 10
1 1 2
x y
x y xy
x x y x y y x y
x
y
x y
x y
x x y x y y x y
+ =
+ = −
+ + + + + + + + + =
=
⇔ ⇒ ⇒
=
+ + + =
+ + + =
+ + + − + + + + − =
2
3
2
3
2
3
1 6 1(1)
(1) (2) 1 6 1
1 6 1(2)
x y y
x y x x x
y x x
− + + = −
− ⇒ = ⇒ − + + = −
− + + = −
2
3
2
3
3
2 2
1 1 6 2 4 ( 2)( 2) 2
1 1
( 6) 2 6 4
x x
x x x x x x
x
x x
− −
− − + + − = − ⇔ + = − + ⇒ =
− +
+ + + +
2 2
2 2
( 8)( 2)(1)
(2) 5 4;4 ( 2; 6);(19;99);(0;4);(2;2);(5; 1)
(8 4 ) 16 16 5 0(2)
y x x
y x x
y x y x x
= + +
⇒ = + − ⇒ − − −
− + + + − =
2 2
2 1 2 2 1
2
3 2
(1 4 ).5 1 2 (1)
1 4
(1) 5. 5. 1 2.2 2 1
5 5
4 1 ln( 2 ) 0(2)
x y x y
x y x y x y
x y
x y
y x y x
− −
− − + − +
−
+ = +
⇔ + = + ⇒ − =
÷ ÷
+ + + + =
. Thay vào (2) ta được:
3 2 2 2 2 2 2
( ) 2 3 ln( 1) 0. '( ) 3 2 (2 1) /( 1) 3 (2 4 3) /( 1) 0f y y y y y f y y y y y y y y y y y= + + + + + = = + + + + + = + + + + + > ∀
Nên pt có nghiệm dn y = - 1. Vậy hpt có nghiệm dn ( 0; - 1 )
2 2
1 3 5 1 3 5(1)
5 5 7
(1) ( 5) ( 1) 5 1 6
2
80(2)
x x x y y y
f y f x y x x y
x y x y
+ + + + + = − + − + −
−
⇔ − = + ⇒ − = + ⇒ = − =
+ + + =
2 2
2 2
2 2
21 1
21 5 1 1 4 2
21 1
x y y
x y x x x x
y x x
+ = − +
⇒ = ⇒ + − = − − + − ⇒ =
+ = − +
2
2
5
30 25 4
5 2 6
3 2
9
42
3
42 (42 )
60 4 8
27
( ; 0)
30 25 8 28 ( )
42
5
5 2 6
9
2 3 4
42 (42 )
42
9
x
x
x y
y x
x y x y x
x y
y x L
x y x y
y
y
x y x y y
x y
+
+ =
+ + =
÷
=
+
=
+ +
> ⇔ ⇒ = − ⇒
= −
+
+
− + =
− =
=
÷
+ +
+
2 2 4 4 6 2
6 2 3 2 2 2 2 3 3
2 3 2
2 (1 )
1 (1 ) 1 1 ( ) 2
1 ( ) (2 ) 0
x y x y y x x
y x x x y x y xy x
x y x y x
− = + −
⇒ + − = − − ≤ ≤ + + ≤ − −
+ + + + ≤
3 2 3 2 2
( ) 0 & 1& 1x y x y x y x y x y⇒ + ≤ ⇒ = − = = − ⇒ = − =
VII. Biện luận hệ phương trình:
1/ Tìm gt của m để hpt sau có nghiệm:
2 2
(1)
x y xy m
x y m
+ + =
+ =
Giải: Đặt S = x + y; P = xy
2 2
& 2 2 3 0. ' 1 3 0 1/ 3S P m S P m S S m m m⇒ + = − = ⇒ + − = ∆ = + ≥ ⇔ ≥ −
. Để (1)
có nghiệm thì
2 2
4 2 2 2 2( ) 2 2 2 3 1 0S P S P P m P m m S m S m m− = − − = − = − − = − + = − − ± + ≥
. Để (1) có
nghiệm ta chỉ cần đk:
2 3 1 0 3 1 2 0 8m m m m m− − + + ≥ ⇔ + ≥ + ⇒ ≤ ≤
( do
0m ≥
từ pt thứ hai của hệ ).
3
DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên
2/ Giải và bl hpt:
2
2
2
2
x xy y mx
y xy x my
+ − =
+ − =
Giải: Trừ các vế của 2 pt ta được:
( )( 1 ) 0x y x y m− + + − =
a/
2
3 ( 1) 0 0;( 1) /3x y x m x x m= ⇒ − + = ⇒ = +
b/
2
1 ( 1) 1 0. ( 1)( 5)y m x x m x m m m= − − ⇒ − − + − = ∆ = − −
Kết luận: +/ 1 < m < 5: hpt có nghiệm
0; ( 1)/ 3x y x y m= = = = +
+/
1 5m m≤ ∨ ≥
: hpt có nghiệm:
0; ( 1)/ 3x y x y m= = = = +
;
1 1
( ; )
2 2
m m− ± ∆ − ∆m
3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:
2 2
2 2
1(1)
3 2 (2)
x xy y
x xy y m
− + =
− + =
Giải: Đặt
2 2
(1) : ( 1) 1x ty y t t= ⇒ − + =
(3). Vì
2
1 0t t− + >
với mọi t nên (3) luôn có nghiệm. Từ hpt ta suy ra:
2 2 2
( 3 2) /( 1) ( 1) (3 ) 2 0t t t t m m t m t m− + − + = ⇒ − + − + − =
(4).
+/ m = 1: t = 1/2
⇒
hpt có nghiệm.
+/
1:m
≠
(4) có
3( 4)( 6)m m∆ = − + −
.
Từ đó ta suy ra hpt có nghiệm khi
4 6m− ≤ ≤
.
4/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:
1 1 3
1 1 1 1
x y
x y y x x y m
+ + + =
+ + + + + + + =
Giải: hpt đã cho tđ với:
2 2
3( , 0)
3
/3
( 1) ( 1)
u v u v
S
P m
u v v u u v m
+ = ≥
=
⇔ ⇒
=
− + − + + =
hpt có nghiệm khi
0 27 / 4m≤ ≤
.
5/ Xác định a để hpt sau có nghiệm duy nhất:
2 3 2
2 3 2
4
4
y x x ax
x y x ay
= − +
= − +
Giải: a/ đk cần: gs hpt có nghiệm:
0 0
( ; )x y
thì nó cũng có nghiệm
0 0
( ; )y x
do đó để hpt có nghiệm duy nhất thì
3 2
0 0 0 0 0
5 0x y x x ax= ⇒ − + =
. Vậy nếu hpt có nghiệm dn thì
25 4 0 25/ 4a a∆ = − < ⇒ >
.
b/ đk đủ: hpt tđ với
2 3 2
2 2
4
( ) 3( ) 0
x y y ay
x y x xy y x y a
= − +
− + + − + + =
. Do pt
2 2
3( ) 0x xy y x y a+ + − + + = ⇔
2 2
( 3) 3 0x y x y y a+ − + − + =
có
2 2 2
( 3) 4( 3 ) 3 6 9 4 0
x
y y y a y y a y∆ = − − − + = − + + − < ∀
vì
'
12(3 ) 0
y
a∆ = − <
do a > 25/4 .
Với x = y thì hpt trở thành
2
( 5 ) 0x x x a− + =
. Do
25/ 4 25 4 0a a> ⇒ ∆ = − <
nên pt chỉ có nghiệm x = 0 do đó
hpt có nghiệm duy nhất x = y = 0 . Vậy với m < 25/4 thì hpt đã cho có nghiệm duy nhất.
6/ Giải và biện luận hpt:
x y xy a
x y a
+ + =
− =
Giải: trừ các vế của hai pt ta được:
2 0 0 4 ( 0)y xy y x y y+ = ⇒ = ∨ = ≤
4
DOÃN XUÂN HUY – THPT Ân Thi – Hưng Yên
a/ a < 0: hpt có hai nghiệm ( a; 0) và ( 4a/3; a/3)
b/
0a ≥
: hpt có nghiệm duy nhất ( a; 0).
MỘT SỐ BÀI TẬP:
1/ Chứng minh hpt sau luôn có nghiệm:
2 2
2
4
3 4
x xy y k
y xy
− + =
− =
2/ Tìm các GT của m để hpt sau có nghiệm:
4 1 4
(13/3 7)
3
x y
m
x y m
− + − =
≤ ≤
+ =
3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm duy nhất:
3 2 2
3 2 2
7
7
x y x mx
y x y my
= + −
= + −
có nghiệm duy nhất ( m > 16 )
4/Cminh với mọi m, hpt sau luôn có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm duy nhất:
2
2 1
( 1)
( )
x y xy m
m
xy x y m m
+ + = +
=
+ = +
5/ Tìm m để hpt sau có nghiệm:
2 2
2 2
3 2 11
59 3897 59 3897
4 4
2 3 17
x xy y
m
x xy y m
+ + =
− +
≤ ≤
÷
+ + = +
6/ Cho hpt:
2 2
9
(2 1) 1 0
x y
m x my m
+ =
+ + + − =
. Tìm m để hpt có 2 nghiệm
1 1 2 2
( ; ) & ( ; )x y x y
sao cho BT sau đạt
GTLN:
2 2
1 2 1 2
( ) ( )A x x y y= − + −
( A là bình phương độ dài dây cung do ĐT và đ tròn tạo thành )
--------------------- // --------------------
5
