đề thi học sinh gioi tỉnh nghệ an 2013-2014

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN
——————–
Đề chính thức
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN : TOÁN - BẢNG A
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1(7 điểm)
a.Giải bất phương trình :

x(x + 2 +
√
x ≥

(x + 1)
3
.
b.Giải hệ phương trình




x +
√
x
2
+ 4

y +

y

2
+ 1

= 1
27x
6
= x
3
− 8y + 2
Câu 2(3 điểm).
Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình 5x
6
− 12x
5
+ 10x
3
− 90x
2
≥ m đúng với mọi số
thực x
Câu 3(3 điểm).
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn đường kính BC có phương trình
(C) : (x + 1)
2
+ (y + 2)
2
=
5
3
. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (C) (M, N là các tiếp

điểm và nằm cùng phía với đường thẳng BC). Tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm
trên đường thẳng MN và A thuộc đường thẳng d : 2x + y − 1 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A.
Câu 4(4 điểm).
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân, AB=2a, BC=CD=DA=a. SA vuông góc với
(ABCD), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và SCD bằng ϕ. Từ A kẻ AH vuông góc với mặt phẳng
(SCD) (H ∈ (SCD)); AK vuông góc với SC, (K ∈ SC)
a. Chứng minh

HAK = ϕ
b.Cho cos ϕ =
√
10
5
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Câu 5(3 điểm).
Cho 3 số thực không âm a,b,c thỏa mãn a > b > c; 3ab + 5bc + 7ca ≤ 9 Tìm GTNN của
P =
32
(a − b)
4
+
1
(b − c)
4
+
1
(c − a)
4
.
Hết

1