Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 5

MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH NHANH
I. CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY CÁCH ĐỀU.
A. Công thức tính.
Tổng = (Số đầu + số cuối) x số số hạng : 2
Số khoảng cách = (Số lớn nhất - số bé nhất) : giá trị 1 khoảng cách
Số số hạng = Số k/cách + 1 = (Số lớn nhất - số bé nhất) : giá trị 1 k/ cách + 1
Số lớn nhất = giá trị 1 khoảng cách x số k/cách + số bé nhất
Số bé nhất = Số lớn nhất - giá trị 1 khoảng cách x số k/cách
Giá trị1 khoảng cách = hiệu 2 số liền nhau
B. Bài tập vận dụng.
Tính nhanh các tổng sau.
1, 1 + 3 + 5 + 7 + …( dãy có 50 số hạng)
Giải
Dãy trên là dãy cách đều, hai số liền nhau hơn kém nhau 2 đơn vị: 3-1=2 ; 5-3=2…
Dãy có 50 số hạng nên số đầu cách số cuối 49 khoảng cách 2 đơn vị hay hiệu của chúng
bằng : 49 x 2 = 98
Số cuối của dãy là : 1 + 98 = 99.
Tổng của dãy là : (1 + 99) x 50 : 2 = 2500
Đáp số : 2500
2, 1,2 + 1,5 + 1,8 + . . . 6,6 + 6,9
Giải
Dãy trên là dãy cách đều, hai số liền nhau hơn kém nhau 0,3 đơn vị: 1,5-1,2= 0,3 ; 1,8-1,5
= 0,3. . .
Số số hạng của dãy là: (6,9 - 1,2) : 0,3 + 1 = 20 (số hạng)
Tổng của dãy là : (1,2 + 6,9) x 20 : 2 = 81
Đáp số : 81
C. Bài tập tự làm:
Bài 1: Tính nhanh giá trị các dãy sau:
1, Tổng của 20 số lẻ liên tiếp đầu tiên
2, 3 + 6 + 9 + . . . (dãy có 20 số hạng)
3, 0,1 + 0,2 + . . . + 0,98 + 0.99

4, 1,1 - 1,11 + 1,12 - 1,13 …- 1,97 + 1,98
Bài 2 : Tìm x, biết:
1, (x+9) + (x-2) + (x+7) + (x - 4) + (x+5) + (x - 6) + (x + 3) + (x - 8) + (x + 1) =95
2, (x+1) + (x+2) + (x+3) . . . + (x+99) (x+100) = 5250
II. CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY CẤP SỐ NHÂN.
A. Công thức tính.
S = + + + . . . +
Nếu : = : = … = k thì S x k = + + + …+ = + S -
S x (k - 1) = - ; S = ( - ) : (k - 1)
B. Bài tập vận dụng.
Tính nhanh giá trị các dãy sau:
1
1, + + + +
Cách 1: Giải
Ta thấy : : =2 ; : = 2 ; : = 2; : = 2
Đặt S = + + + +
S x 2 = 2 x ( + + + + ) = 1 + + + +
S x 2 = 1 + S -
Bớt S ở cả hai vế, ta có:
S = 1 - =
Đáp số: S =
Cách 2: Giải
Ta thấy : = 1 - ; = - ; = - ; = - ; = -
Vậy : + + + + = 1 - + - + - + - + - = 1 - =
Đáp số :
Cách 3: Giải
Ta thấy : + = = 1 - ; + + = = 1 - ; …
Vậy : + + + + = 1 - =
Đáp số :
2, 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 8192

Giải
Ta thấy : 1 + 2 = 3 = 4 -1
1 + 2 + 4 = 7 = 8 - 1
1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 16 -1.(hay = 8 x 2 -1) . . .
Vậy 1 + 2 + 4 + 8 + . . . + 8192 = (8192 x 2) - 1 = 16384 - 1 = 16383
Đáp số : 16383
C. Bài tập tự làm:
Bài 1 : Tính nhanh giá trị các dãy sau:
1, + + + … +
2, + + + +
3, + + + + . . . ( Dãy có 8 số hạng)
Bài 2 : Tìm x.
1, + + + + + =
2, x X ( + + + + ) =
III. CÁC BÀI TOÁN QUI VỀ THỪA SỐ ĐỐI NHAU
A. Công thức tính.
+ + = - + - + - = - (Với c-b = d-c = e-d = a)
B. Bài tập vận dụng.
Tính nhanh giá trị các dãy sau.
1, + + +
Giải
Ta thấy : = = 1 - ; = = - . . .
Vậy : + + + = 1- + - + - + - = 1 - =
Đáp số :
2
2, 1 x + x + x + x
Giải
Ta có : 1 x + x + x + x = + + +
Đặt : S = + + +
Sx2 = 2 x ( + + + ) = + + +

Sx2 = 1 - + - + - + - = 1- =
S = : 2 =
Vậy : 1 x + x + x + x =
Đáp số :
C. Bài tập tự làm:
Tính nhanh giá trị các dãy sau:
1, x + x + x + x + x
2, + + +
3, + + + + +
IV. CÁC BÀI TOÁN VẬN DỤNG CÁC TÍNH CHẤT GIAO HOÁN, KẾT HỢP… CỦA PHÉP CỘNG (PHÉP NHÂN, .
.) ĐỂ ĐƯA VỀ TỔNG (TÍCH,. . . ) TRÒN CHỤC, TRÒN TRĂM…
A. Lí thuyết.
a + b = b + a a x b = b x a
a + 0 = 0 + a = a a x 0 = 0
a x 1 = a a : 1 = a 0 : a = 0
(a + b) + c = a + (b + c) (a x b) x c = a x (b x c)
(a + b) x c = a x c + b x c (a - b) x c = a x c - b x c
(a + b) : c = a : c + b : c (a - b) : c = a : c - b : c
(a : b) : c = a : b : c = a : c : b (a x b) : c = (a : c) x b = a x (b : c)
a : (b : c) = a : b x c = a x c : b a : (b x c) = a : b : c = a : c : b
a - (b + c - d - e) = a - b - c + d + e a + (b + c - d - e) = a + b + c - d - e
a x 0,25 = a : 4 a : 0,25 = a x 4
a x 0,5 = a : 2 a : 0,5 = a x 2
a x 0,125 = a : 8 a : 0,125 = a x 8
a x 0,2 = a : 5 a : 0,2 = a x 5
a x 0,75 = a x 3 : 4 a : 0,75 = a : 3 x 4
a x 5 = a x 10 : 2 a : 5 = a : 10 x 2
a x 25 = a x 100 : 4 a : 25 = a : 100 x 4
. . . . . . . .
- Chia nhẩm (nhân nhẩm) một số thập phân cho (với) 10; 100; 1000…ta dời dấu phẩy

của số đó sang trái (sang phải) một, hai … chữ số
- Nhân nhẩm (chia nhẩm) một số thập phân với (cho) 0,1; 0,01; 0,001…ta dơid dấu
phẩy của số đó sang phải (sang trái) một, hai ….chữ số.
- Cùng thêm hoặc cùng bớt một lượng ở cả hai số thì hiệu hai số không thay đổi.
- Thêm bao nhiêu ở số này và bớt bấy nhiêu ở số kia thì tổng hai số không thay đổi.
- Thêm a đơn vị ở số trừ và giữ nguyên số bị trừ thì hiệu giảm a đơn vị
- Thêm a đơn vị ở số bị trừ và giữ nguyên số trừ thì hiệu tăng a đơn vị
. . . . .
B. Bài tập vận dụng.
3
Tính nhanh các giá trị sau:
1, 36,75+ 1,32 - 1,75 + 3,68 + 0,5
Giải
36,75+ 1,32 - 1,75 + 3,68 + 0,5
= (36,75 - 1,75) + (1,32 + 3,68) + 0,5
= 35 + 5 + 0,5 = 40 + 0,5 = 40,5
Đáp số : 40,5
2,
42,0:25,113,32
225,0:25,65,0:52,12
xxx
xx
Giải
=
42,0:25,113,32
225,0:25,65,0:52,12
xxx
xx
=
4525,113,32

2425,6252,12
xxxx
xxxx
4525,113,32
24525,12413,3
xxxx
xxxxxx
= 4 x2 = 8
Đáp số : 8
3, 467 x 138 + 138 x 534
Giải
467 x 138 + 138 x 534 = 467 x 138 + 138 x (533 + 1)
= 467 x 138 + 138 x 533 + 138 x 1 = (467 + 533) x 138 + 138
= 1000 x 138 + 138 = 138000 + 138 = 138138
Đáp số : 138138
C. Bài tập tự làm:
Bài 1 : Tính nhanh giá trị các dãy sau.
1, 32,6 x 98 + 3 x 32,6 - 32,6
2,
02,04200
10:2025,0165,08,4
x
xx ++
3,
191463827
100445064
xx
xx
+
+

4,
419618426625
6286475614
−−+
++ xxx
5, 1,25 x 25 x 3,86 x 32
6,
1
5
2
4 −
4
3
-
7, (792,81 x 0,25 + 792,81 x 0,75) x (11 x 9 - 90 x 0,1 - 9)
8, 87 x 11 x 0,1 + 1,235 x 5555 x (3 : 4 - 0,75)
9, 817 x 15 + 85 x 816
10,
234638
153847
+
−
x
x
11, - + - +
12,
__________________________________________________
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ VÀ CHỮ SỐ
4
A. Lí thuyết.

1, Dủng 10 chữ số để viết số trong hệ thập phân : 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2, ab = a x 10 + b
abc = a x 100 + b x 10 + c
= ab x 10 + c
= a x 100 + bc
. . . . .
3, Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị
4, Hai số chẵn hoặc hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị
5, Dãy STN liên tiếp bắt đầu từ 1 thì số lượng số của dãy bằng giá trị số đứng sau
cùng. Nếu bắt đầu khác 1 thì số lượng số của dãy bằng số lớn nhất trừ số bé nhất + 1.
6, Dãy STN liên tiếp bắt đầu chẵn, kết thúc lẻ (hoặc bắt đầu lẻ, kết thúc chẵn) thì số
lượng số chẵn bằng số lượng số lẻ.
7, Dãy STN liên tiếp bắt đầu chẵn, kết thúc chẵn thì số lượng số chẵn hơn số lượng
số lẻ là 1
8, Dãy STN l/ tiếp bắt đầu lẻ, kết thúc lẻ thì số lượng số lẻ hơn số lượng số chẵn là 1
B. Bài tập vận dụng.
Bài1: Dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 99 có bao nhiêu số? Bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu
số lẻ?
Giải
Dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 thì số lượng số của dãy bằng giá trị số đứng sau
cùng. Vậy dãy có 99 số.
Dãy STN l/ tiếp bắt đầu lẻ, kết thúc lẻ thì số lượng số lẻ hơn số lượng số chẵn là1.
Vậy dãy có số lượng số chẵn là : (99 - 1) : 2 = 49 (số)
Số lượng số lẻ là : 99 - 49 = 50 (hoặc 49 + 1 = 50)
Đáp số : 99 số; 49 số chẵn và 50 số lẻ.
Bài 2: Cho 4 chữ số : 0, 3, 8, 9
a, Ta có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau ? Có 3 chữ số khác nhau ?
b, Hãy lập các số có 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho.
Giải
a, Có 3 cách chọn các chữ số đứng ở hàng nghìn (trừ chữ số 0)

Có 3 cách chọn các chữ số đứng ở hàng trăm (trừ các chữ số đã chọn đứng ở hàng nghìn)
Có hai cách chọn các chữ số đứng ở hàng chục (trừ các chữ số đã chọn đứng ở hàng nghìn,
hàng trăm)
Có một cách chọn các chữ số đứng ở hàng đơn vị (trừ các chữ số đã chọn đứng ở hàng
nghìn, hàng trăm, hàng chục)
Ta lập được số lượng số có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho là:
3 x 3 x 2 x 1 =18 (số)
b, Các số lập được là: 389; 398; 380; 308; 390; 309; 893; 839; 809; 890; 803; 830; 983;
938; 908; 980; 903; 930.
Đáp số : 18 số; 18 số trên.
Bài 3: Để đánh quyển sách dày 108 trang cần ghi bao nhiêu chữ số?
Giải
5
Có 9 trang được ghi bằng 1 chữ số từ 1 đến 9
Có 90 trang được ghi bằng 2 chữ số từ 10 đến 99
Số trang được ghi bằng 3 chữ số là : 108 - (90 + 9) = 9 (trang)
Để đánh quyển sách dày 108 trang cần ghi số chữ số là:
9 x 1 + 90 x 2 + 9 x 3 = 216 (chữ số)
Đáp số : 216 chữ số
Bài 4: Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng nếu thêm chữ số 2 vào bên trái của số phải
tìm thì số mới này gấp 9 lần số phải tìm.
Giải
Gọi STN có ba chữ số cần tìm là abc (a = 0);
khi thêm chữ số 2 vào bên trái số đó ta được số 2abc.
Theo bài ra ta có: 2abc = 9 x abc
2000 + abc = 9 x abc
Bớt abc ở cả hai vế ta có :
8 x abc = 2000
abc = 2000 : 8
abc = 250

Thử lại : 250 x 9 = 2250
Đáp số : 250
Bài 5: Điền số thích hợp vào các chữ trong các phép tính sau, biết các chữ khác nhau thay
bằng các số khác nhau
a, abcde x 4 = edcba
Giải
Để phép tính có nghĩa thì a và e phải khác 0.
Vì thừa số thứ nhất có 5 chữ số và tích có 5 chữ số nên a <3 (a = 0).
Vậy a = 1 hoặc a = 2.
Ta thấy, e x 4 cho kết quả tận cùng bằng a và là kết quả chẵn, suy ra a = 2.
Mặt khác, a = 2 nên chữ số hàng chục nghìn của tích bằng 8 hoặc bằng 9, hay e = 8 hoặc e
= 9. Vì e x 4 cho tận cùng bằng a (hay bằng 2), suy ra e = 8.
Ta lại thấy, tích của 4 với chữ số hàng nghìn không qua 10 nên b <3, vậy b = 0 (hoặc 1; 2)
mà 4 x d + 3 (nhớ ở hàng đơn vị sang) cho kq tận cùng bằng b (là kết quả lẻ) suy ra b = 1.
4 x d + 3 cho kq tận cùng bằng b (bằng1); nên d = 7 hoặc d = 2. Nếu d = 2 thì 4 x c + 1
(nhớ ở hàng chục sang) cho tận cùng bằng c (loại - vì không có giá trị nào thoả mãn). Vậy
d = 7. Với d = 7 thì c x 4+ 3 (nhớ ở hàng chục sang) cho tận cùng bằng c. Suy ra, c = 9.
Thay a = 2; b = 1; c = 9; d = 7; e = 8 ,ta có phép tính đúng : 21978 x 4 = 87912
Đáp số : abcde = 21978 (a = 2; b = 1; c = 9; d = 7; e = 8)
b, ab,cd - a,bcd = 17,865
Giải
ab,cd - a,bcd = 17,865 a,bcd x 10 - a,bcd x 1 = 17,865
a,bcd x (10 - 1) = 17,865 a,bcd x 9 = 17,865
a,bcd = 17,865 : 9
a,bcd = 1,985 (hay a =1; b = 9; c = 8; d = 5)
Ta có phép tính đúng : 19.85 - 1,985 = 17,865
6
Đáp số : a,bcd = 1,985 (a= 1; b = 9; c = 8; d = 5)
C. Bài tập tự làm.
Bài 1: Dãy số tự nhiên 2; 3; 4 ….102; 103. có bao nhiêu số? Bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu

số lẻ?
Bài 2: Cho bốn chữ số 1; 2; 4; 7 .Ta cố thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ
bốn chữ số đã cho? (không liệt kê các số để tính).
Bài 3: Để đánh một quyển sách dày 128 trang thì cần ghi bao nhiêu chữ số?
Bài 4: Người ta phải đánh quyển sách dày bao nhiêu trang để tổng số chữ số của các trang
gấp đôi số trang?
Bài 4: Thay a, b,c bởi các chữ số thích hợp trong các biểu thức sau để có phép tính đúng:
1, a,b : (a + b) = 0,5
2, a7b,8c9 : 10,01 = ac,b
3, cab = 3 x ab + 8
4, 15abc : abc = 121
5, abab + ab = 2550
Bài 5 : Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó
tăng thêm 1112 đơn vị.
Bài 6: Cho một số có ba chữ số, nếu ta xoá bỏ chữ số hàng trăm thì số đó giảm đI 7 lần.
Tìm số đó.
Bài 7: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó chia cho hiệu các chữ số của nó được
thương là 28 và dư 1.
Bài 8: Tìm số có hai chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được số
lớn hơn số phải tìm 230 đơn vị.
Bài 9: Hiệu của hai số là 319. Nếu xoá bỏ chữ số 4 ở hàng đơn vị của số bị trừ thì ta được
số trừ. Tìm hai số đã cho.
Bài 10: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng viết thêm chữ số 0 xen giữa chữ số hàng trăm và
hàng chục ta được một số lớn gấp 7 lần số đó.
Bài 11: Cho một số thập phân, dời dấu phẩy của số thập phân đó sang bên phải một chữ số
được số TP thứ hai. Cộng hai số TP lại ta được 294,58. Tìm số TP ban đầu.
Bài 12: Cho một số TP, dời dấu phẩy của số TP đó sang bên trái hai chữ số, ta được số thứ
hai. Lấy số ban đầu trừ đi số thứ hai ta được hiệu bằng 261,657. Tìm số thập phân ban
đầu.
Bài 13: Cho một số TP, dời dấu phẩy của số đó sang bên phải một chữ số ta được số thứ

hai, dời dấu phẩy của số ban đầu sang bên trái một chữ số ta được số thứ ba, cộng ba số lại
ta được tổng bằng 360,306. Hãy tìm số TP ban đầu.
Bài 14: Khi thực hiện phép cộng hai số TP, một HS đã viết nhầm dấu phẩy của một số
hạng sang bên phải một chữ số, do đó được kết quả là 692,22. Em hãy tìm hai số đã cho,
biết tổng đúng của chúng bằng 100,556.
Bài 15: Trong một phép trừ có số bị trừ là số tự nhiên, số trừ là số thập phân mà phần thập
phân có một chữ số. Một HS vì chép thiếu dấu phẩy nên đã tiến hành trừ hai số tự nhiên và
tìm được kết quả là 164. Em hãy tìm số bị trừ, số trừ đã cho biết hiệu đúng của chúng bằng
328,7.
Bài 16: Khi nhân một số tự nhiên với 45, một HS đã đặt các tích riêng thẳng cột như trong
phép cộng nên được kết quả là 2934. Em hãy tìm tích đúng của phép tính.
7
Bài 17: Không thực hiện phép tính, hãy tìm chữ số tận cùng của kết quả mỗi phép tính sau
(có giải thích).
a, 1 x 3 x 5 x 7 x 9 x. . . x 99
b, (1999 + 2378 + 4545 + 7956) - (315 + 598 +736 + 89)
c, 56 x 66 x 76 x 86 - 51 x 61 x 71 x 81.
Bài 18: Một người viết liên tiếp nhóm chữ CHAM HOC CHAM LAM thành dãy CHAM
HOC CHAM LAM CHAM HOC CHAM LAM ….
a, Chữ cái thứ 1000 trong dãy là chữ gì?
b, Nếu đếm được trong dãy có 1200 chữ H thì đếm được bao nhiêu chữ A?
c, Một người đếm được trong dãy có 1996 chữ C, hỏi người đó đếm đúng hay sai? Giải
thích tại sao?
Bài 19: Điền các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 vào các ô tròn sao cho tổng 3 ô liền nhau trong một
hàng bằng nhau và bằng 10; bằng 12.


Bài 20: Tìm x là số tự nhiên biết :
a, (x + 238) x 45 = 22140
b, 6203 : x = 326 (dư 9)

c, 4,25 x (x + 41,53) - 12,5 = 53,5
d, x : 6 X 7,2 + 1,3 X x + x : 2 + 15 = 19,95
e, 7,75 - (0,5 X x : 5 - 6,2) = 5
g, + = 1
h, (0,3 x x - 2,7) : 9,1 = 0
I , < <
k, 12,34 < x X 2 < 13,34
l, (x - ) x = -
m, 200 - 18 : (372 : 3 X x - 1) - 28 = 166
_____________________________________________________
DẤU HIỆU CHIA HẾT
A. Lí thuyết
1, Dấu hiệu chia hết cho 2 : Các số chẵn thì chia hết cho 2 (các số có chữ số tận cùng
là 0; 2; 4; 6; 8; )
2, Dấu hiệu chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là 0; 5 thì chia hết cho 5.
3, Số chia hết cho cả 2 và 5: Là những số có chữ số tận cùng bằng 0.
4, Dấu hiệu chia hết cho 3: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết
cho 3.
5, Dấu hiệu chia hết cho 9: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì số đó chia hết
cho 9. (Những số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3)
6, a : c và b : c thì (a + b) : c và (a - b) : c
7, (a + b) : c mà a : c (dư r) thì (b + r) : c.
8
8, a : c (dư r) và b : c (dư r) thì (a - b) : c
9, a : b và a : c thì a : (b x c) và ngược lại.
10,Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25): Là những số có 2 chữ số tận cùng hợp thành số
chia hết cho 4 (hoặc 25).
11,Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125): Là những số có 3 chữ số tận cùng hợp thành
số chia hết cho 8 (hoặc 125).
12,Số 1001 : 7 : 11 : 13 vì 7 x 11 x 13 = 1001.

B. Bài tập vận dụng.
Bài 1: Viết một chữ số vào dấu * để số 123*:
a, Chia hết cho 2: 1230; 1232; 1234; 1236; 1238
b, Chia hết cho 9: 1233
c, Chia hết cho 5: 1230; 1235
d, Chia hết cho cả 2 và 3: 1230; 1236
e, Chia hết cho cả 2 và 5: 1230
g, Chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 3: 1232; 1234; 1238.
Bài 2: Không thực hiện phép tính, hãy giải thích tại sao : 2010 và 1992 có tổng và hiệu
đều chia hết cho cả 2 và 3.
Giải
2010 : 2 và 1992 : 2 (vì 2010 và 1992 đều là số chẵn)
nên (2010 + 1992) : 2 và (2010 - 1992) : 2
2010 : 3 (vì 2 + 0 + 1 + 0 = 3; 3 : 3) và 1992 : 3 (vì 1 + 9 + 9 + 2 = 21 ; 21: 3)
Nên (2010 + 1992) : 3 và (2010 - 1992) : 3
Bài 3: Thay x và y trong số 1996xy để được số chia hết cho cả 2,; 5; và 9
Giải
Để 1996xy : 2 thì y = 0 (hoặc 2; 4; 6; 8)
Để 1996xy : 5 thì y = 0 hoặc 5.
Để 1996xy : 2 : 5 thì y = 0
Thay y = 0 ta có : 1996xy = 1996x0
Để 1996x0 : 9 thì (1 + 9 + 9 + 6 + x + 0 ) : 9 hay (25 + x) : 9
Vì 25 : 9 = 2 (dư 7) nên (x + 7) : 9 ; x là số tự nhiên bé hơn 10 nên x = 2.
Thay x = 2 vào ta có : 1996x0 = 199620
199620 : 2 : 5 : 9
Vậy với x = 2 ; y = 0 ta có 1996xy = 199620 : 2 : 5 : 9
Đáp số : x = 2 ; y = 0 ta được số 199620 : 2 : 5 : 9
Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 2 dư 1; chia cho 3 dư 2; chia cho 4 dư 3 và chia
cho 5 dư 4 và chia cho 6 dư 5.
Giải

Gọi số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là A.
A : 2 dư 1 nên (A + 1) : 2; A : 3 dư 2 nên (A + 1) : 3
A : 4 dư 3 nên (A + 1) : 4 A : 5 dư 4 nên (A + 1) : 5
A : 6 dư 5 nên (A + 1) : 6
Số chia hết cho 6 thì sẽ chia hết cho 2 và 3 (vì 6 = 2 x 3)
Số nhỏ nhất chia hết cho cả 6 và 4 là 12 .
Vậy số nhỏ nhất chia hết cho cả 2; 3; 4; 5; 6 bằng : 12 x 5 = 60
9
Hay A + 1 = 60 A = 60 - 1 A = 59
Đáp số : A = 59
Bài 5: Chứng tỏ rằng không thể thay mỗi chữ cái trong phép tính sau bằng chữ số thích
hợp để được một phép tính đúng.
HOC HOC HOC
_
TOT TOT TOT
1234 567 891
Giải
Tổng các chữ của HOC HOC HOC là : 3 x ( H + O + C) : 3
Tổng các chữ của TOT TOT TOT là : 3 x ( T x 2 + O ) : 3
Nên 3 x (H + O + C) + 3 x ( T x 2 + O ) :3 hay (HOC HOC HOC - TOT TOT TOT) :3
Mà số 1234 567 891 không chia hết cho 3 nên ta không thể thay thế mỗi chữ cái trên bằng
chữ số thích hợp đẻ có phép tính đúng.
Bài 5: Một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (trong mỗi rổ chỉ đựng một loại
quả). Số quả trong mỗi rổ lần lượt là 104; 115; 132; 136 và 148 quả. Sau khi bán được một
rổ cam, người bán hàng thấy rằng số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. Hỏi cửa hàng đó có
bao nhiêu quả mỗi loại?
Giải
Tổng số cam và chanh cửa hàng có là:
104 + 115 + 132 + 136 + 148 + 635 (quả)
Khi bán đi một rổ cam thì số chanh còn lại gấp 4 lần số cam nên tổng số chanh và cam còn

lại phải chia hết cho 5.
Tổng số quả là số chia hết cho 5 (635 : 5) ; số quả còn lại sau khi bán là số chia hết cho 5
(vì chanh gấp 4 lần cam nên tổng số quả còn lại gấp 5 lần cam) nên rổ cam bán đi có số
quả là số chia hết cho 5 . Trong 5 rổ chỉ có một rổ có số quả chia hết cho 5 . Vậy rổ cam
bán đi là rổ 115 quả.
Số quả còn lại là: 635 - 115 = 520 (quả)
Ta có sơ đồ số quả còn lại :
Cam :
520 quả
Chanh :
Theo sơ đồ Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 4 = 5 (phần)
Số cam còn lại là : 520 : 5 = 1 0 4 (quả)
Số cam lúc đầu là : 115 + 104 = 219 (quả)
Số chanh lúc đầu là: 635 - 219 = 416 (quả)
Đáp số : 219 quả ; 416 quả.
C. Bài tập tự làm
Bài 1: Cho 4 chữ số 0; 1; 5 và 8. Hãy thiết lập các số có 3 chữ số khác nhau thoả mãn điều
kiện:
a, Chia hết cho 6 b, Chia hết cho 15
Bài 2:Hãy xác định các chữ số a, b để khi thay vào số 6a49b ta được sốchia hết cho:
a, 2; 5 và 9 b, 2 và 9
10
Bài 3: Cho a = 5x1y. Hãy thay x, y bằng những chữ số thích hợp để được một số có 4 chữ
số khác nhau chia hết cho 2; 3 và chia cho 5 dư 4.
Bài 4: Viết:
a, Số lớn nhất có hai chữ số và là số chia hết cho 5
b, Số nhỏ nhất có ba chữ số và là số không chia hết cho 5
c, Số lớn nhất có ba chữ số và là số chia hết cho 5.
Bài 5: Tìm tất cả các số chẵn có ba chữ số mà khi chia mỗi số đó cho 9 ta được thương là
số có ba chữ số

Bài 6: Cho ab là số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng ab chia hết cho 9; chia cho 5 dư 3.
Tìm các chữ số a, b.
Bài 7: cho a = x459y. Hãy tìm x, y bởi những chữ số thích hợp để khi chia a cho 2, 5 và 9
đều dư 1.
Bài 8: Trong một đợt trồng cây, số cây lớp 5 A trồng được bằng số cây lớp 5 B trồng.
Tính số cây mỗi lớp trồng, biết tổng số cây của hai lớp trồng được là một số chia hết cho
2; 3 và nhiều hơn 150 cây nhưng ít hơn 200 cây.
Bài 9: Cần phải viết thêm số có hai chữ số nào vào bên phải số 1935 để được số mới chia
hết cho 102?
Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 2 dư 1, cho 3 dư 2, cho 4 dư
3, cho 5 dư 4, cho 6 dư 5 và cho 7 dư 6.
___________________________________________________
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ QUI LUẬT CỦA DÃY SỐ
A. Lí thuyết
Một số qui luật thường gặp.
1, Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ)
với một số tự nhiên.
2, Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia)
với một số tự nhiên q khác 0.
3, Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng trước nó.
4, Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với
số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.
5, Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B. Bài tập vận dụng.
Viết tiếp ba số hạng vào dãy số sau:
a, 1, 3, 4, 7, 11, 18, . . .
b, 0, 2, 4, 6, 12, 22, …
c, 1, 2, 6, 24, …
a, Giải

Ta thấy: 4 = 1 + 3 7 = 3 + 4 11 = 4 + 7 18 = 7 + 11 . . . .
Qui luật của dãy : Mỗi số hạng (kể trừ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số đứng trước
nó.
Ta viết được 3 số hạng tiếp theo của dãy là:
29 (29 = 11 + 18) ; 47 (47 = 18 + 29) ; 76 (76 = 29 + 47)
11
Ta có dãy : 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,…
Đáp số : 1, 2, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76…
b, Giải
Ta thấy: 6 = 0 + 2 + 4 ; 12 = 2 + 4 + 6 ; 22 = 4 + 6 + 12
Qui luật của dãy : Kể từ số hạng thứ tư trở đi, mỗi số bằng tổng ba số đứng liền trước nó.
Ta viết được 3 số hạng tiếp theo của dãy là:
40 (40 = 6 + 12 + 22) ; 74 (74 = 12 + 22 + 40) ; 136 (136 = 22 + 40 + 74)
Ta có dãy : 0, 2, 43, 6, 12, 22, 40, 74, 136, …
Đáp số : 0, 2, 43, 6, 12, 22, 40, 74, 136, …
c, Giải
Ta thấy : 2 = 1 x 2 ; 6 = 2 x 3 ; 24 = 6 x 4
Qui luật của dãy : Kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số bằng tích của số hạng đứng liền
trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy.
Ta viết được 3 số hạng tiếp theo của dãy là:
120 (120 = 24 x 5) ; 720 (720 = 120 x 6) ; 5040 (5040 = 720 x 7)
Ta có dãy : 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ….
Đáp số: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, …….
C. Bài tập tự làm
Bài 1: Viết tiếp ba số hạng sau của dãy.
a, 0, 3, 7, 12, …
b,100, 93, 85, 76, …
c, 1, 3, 3, 9, 27, …
Bài 2: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy sau:
a, …, 17, 19, 21.

b, …,64, 81, 1000
biết rằng mỗi dãy có 10 số hạng.
Bài 3: Em hãy cho biết:
a, Các số 50 và 133 có thuộc dãy90; 95; 100; …hay không?
b, Số 1996 thuộc dãy 2, 5, 8, 11, …hay không?
c, Số nào trong các số 666, 1000, 9999, thuộc dãy 3, 6, 12, 24,
d, Cho dãy số 1, 4, 7, 10, 13, ….
Số 1996 có thuộc dãy trên hay không?
Giải thích tại sao?
Bài 4: a, Cho dãy số 11, 14, 17, …
Số hạng thứ 1996 là số mấy?
b, Cho dãy số 1, 3, 6, 10, … Số hạng thứ 40 của dãy là số mấy?
Bài 5: Điền các số thích hợp vào ô trống, sao cho tổng các số ở 3 ô liên tiếp đều bằng
1996:
496 996
___________________________________________________
SO SÁNH PHÂN SỐ
A. Lí thuyết
Một số cách so sánh phân số.
1, So sánh hai phân số cùng mẫu số.
12
Trong hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn
và ngược lại. Hai phân số có tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
2, So sánh hai phân số cùng tử số
Trong hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó bé hơn và
ngược lại. Hai phân số có mẫu số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
3, So sánh với 1
Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số đó lớn hơn 1 và ngược lại.Phân số có tử số
bằng mẫu số thì phân số đó bằng 1.
4, So sánh “phần bù” đơn vị của hai phân số.

Trong hai phân số, phân số nào có phần bù đơn vị lớn hơn thì phân số đó bé hơn và ngược
lại.
Ví dụ : So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy : 1 - = ; 1 - =
Vì > nên <
Đáp số: <
(Thường dùng khi hiệu m/ số và tử số của hai PS bằng nhau hoặc chia hết cho nhau)
5, So sánh “phần hơn” đơn vị của hai phân số
Trong hai phân số, phân số nào có “phần hơn” đơn vị lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và
ngược lại.
Ví dụ : So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy : - 1 = - 1 =
Vì > nên >
Đáp số: >
(Thường dùng khi hiệu tử số và m/ số của hai PS bằng nhau hoặc chia hết cho nhau)
6, Đưa về hỗn số để so sánh.
Trong hai hỗn số, hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn và ngược lại;
nếu phần nguyên bằng nhau thì hỗn số nào có phần phần phân số bé hơn 1 lớn hơn thì hỗn
số đó lớn hơn.
Ví dụ: a, So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy : = 4 và = 3
Vì 4 > 3 nên 4 > 3 . Vậy >
Đáp số: và
b, So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy: = 3 và = 3
Vì < nên 3 < 3 . Vậy <

Đáp số: <
(Thường dùng khi các phân số khi đưa về hỗn số có sự chênh lệch về phần nguyên hoặc
phần nguyên bằng nhau nhưng phần phân số có các tử số hoặc các mẫu số bằng nhau hay
chia hết cho nhau)
7, So sánh hai phân số qua phân số trung gian.
Phân số trung gian là phân số nằm giữa, lớn hơn PS này nhưng bé hơn phân số kia
13
< và < thì < và ngược lại.
Ví dụ: So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy: < mà < . Vậy <
Hoặc < mà < . Vậy <
Đáp số: <
(Thường dùng khi tử số của phân số A bé hơn tử số của phân số B nhưng mẫu số của phân
số A lại lớn hơn mẫu số của phân số B và ngược lại. Phân số trung gian trong trường hợp
đó chính là phân số có tử số của phân số A và mẫu số của phân số B hoặc mẫu số của phân
số A và tử số của phân số B)
8, Rút gọn rồi so sánh.
Rút gọn, đưa hai phân số về cùng tử số hoặc cùng mẫu số để so sánh.
Ví dụ: So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy : = = =
Vì > nên >
Đáp số: >
9, Nhân với phân số nghịch đảo.
A x C > B x C thì A > B
Mục đích của việc nhân với phân số nghịch đảo là để đưa một giá trị về bằng 1 và giá trị
còn lại sẽ lớn hơn hoặc bé hơn 1.
Ví dụ: So sánh hai phân số và
Giải

Ta thấy: x = 1 ; x =
Vì 1 < nên <
Đáp số: <
10, Nghịch đảo phân số.
Phân số nào khi nghịch đảo có giá trị lớn hơn thì phân số đó bé hơn.
Ví dụ: So sánh hai phân số và
Giải
Nghịch đảo phân số ta được phân số = 1 = 1
Nghịch đảo phân số ta được phân số = 1
Vì > nên 1 > 1 hay >
> nên <
Đáp số: <
11, So sánh thương tìm được.
Ví dụ: So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy : = 0,04 ; = 0,15
Vì 0,04 < 0,15 nên <
Đáp số: <
12, So sánh bằng sơ đồ đoạn thẳng.
Biểu thị giá trị các phân số trên sơ đồ đoạn thẳng rồi so sánh.
Ví dụ: So sánh hai phân số và
Giải
14
Ta biểu thị giá trị hai phân số trên sơ đồ đoạn thẳng như sau:
5/8

7/10
Nhìn vào sơ đồ ta thấy phân số <
Đáp số: <
13, So sánh số lần gấp của tử số và mẫu số.

Ví dụ: So sánh hai phân số và
Giải
Ta thấy: 14 : 2 = 7 30 : 5 = 6
Vì 7 > 6 nên >
Đáp số: >
(Các cách thường vận dụng là so sánh phần bù đơn vị, phần hơn đơn vị, so sánh qua phân
số trung gian, so sánh hai phân số cùng tử số, cùng mẫu số)
B. Bài tập tự làm.
Bài 1: Hãy so sánh các cặp phân số sau bằng cách nhanh nhất.
a, và b, và c, và
d, và e, và g, và
h, và i, và k, và
l, và m, và n, và
Bài 2: Hãy chứng tỏ các phân số sau bằng nhau.
a, và b, và c, và
Bài 3: Hãy xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:
; ; ; ;
Bài 4: Không qui đồng mẫu số, hãy so sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất rồi
sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần:
a, ; ; ;
b, ; ; ;
Bài 5: Tìm phân số nhỏ nhất trong các phân số sau.
a, ; ; ; ;
b, ; ; ; ;
Bài 6: Hãy tìm 5 phân số nằm giữa hai phân số
a, và b, và
____________________________________________________
DẠNG TOÁN TÌM SỐ TRUNG BÌNH CỘNG
A. Lí thuyết
1, Trung bình cộng của ba số a, b, c là (a + b + c) : 3

2, Trung bình cộng của 3 số là a đơn vị thì tổng của 3 số bằng a x 3
15
3, Trong 3 số, nếu một số bằng trung bình cộng của cả 3 số thì sẽ bằng trung bình
cộng của hai số còn lại .
4, Trong 3 số, nếu một số bằng trung bình cộng của hai số còn lại thì sẽ bằng trung
bình cộng của cả ba số đó .
5, Cho 3 số a, b, c . Nếu c vượt mức trung bình cộng cả cả ba số là d đơn vị thì trung
bình cộng của chúng bằng (a + b + d) : 2.
6, Cho 3 số a, b, c . Nếu c kém mức trung bình cộng cả cả ba số là d đơn vị thì trung
bình cộng của chúng bằng (a + b - d) : 2.
7, Trong dãy cách đều, trung bình cộng của dãy chính bằng trung bình cộng của các
cặp số ở hai đầu dãy lại và nếu số lượng số lẻ thì trung bình cộng của dãy cũng chính
bằng giá trị số đứng giữa.
B. Bài tập vận dụng.
Bài 1: Trung bình cộng của hai số là 13. Nếu xét thêm một số thứ ba nữa thì trung bình
cộng của ba số là 11. Tìm số thứ ba.
Giải
Tổng của hai số đầu là : 13 x 2 = 26
Tổng của cả ba số là: 11 x 3 = 33
Số thứ ba là: 33 - 26 = 7
Đáp số: 7
Bài 2: Tìm 5 số lẻ liên tiếp biết tổng của chúng là 105
Giải
Trung bình cộng của 5 số lẻ liên tiếp hay giá trị số đứng ở giữa là:
105 : 5 = 21
Hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị. Hai số lẻ đứng trước 21 là 19 và 17 còn hai số
lẻ đứng sau 21 là 23 và 25
Vậy 5 số lẻ cần tìm là: 17 ; 19 ; 21 ; 23 ; 25
Đáp số: 17 ; 19 ; 21 ; 23 ; 25
Bài 3:Lân có 20 hòn bi. Long có số bi bằng nữa số bi của Lân. Quí có số bi nhiều hơn

trung bình cộng của cả ba bạn là 6 hòn bi. Hỏi quí có bao nhiêu hòn bi?
Giải
Số bi của Long là: 20 : 2 = 10 (hòn bi)
Tổng số bi của Long và Lân là: 20 + 10 = 30 (hòn bi)
Ta có sơ đồ:
Số bi của Long và Lân (30 bi) Quí ? bi
6bi
Trung bình cộng

Nhìn vào sơ đồ ta thấy, trung bình cộng số bi của ba bạn là:
(30 + 6) : 2 = 18 (hòn bi)
Số bi Quí có là: 18 + 6 = 24 (hòn bi)
Đáp số: 24 hòn bi.
16
Bài 4: Có ba con gà, vịt và ngan. Hai con gà và vịt nặng tất cả 5 kg. Hai con gà và ngan
nặng tất cả là 9 kg. Hai con ngan và vịt nặng tất cả là 10 kg. Hỏi trung bình mỗi con nặng
tất cả mấy ki lô gam?
Giải
Theo bài ra ta có: gà + vịt = 5 kg
gà + ngan = 9 kg
ngan + vịt = 10 kg
2 x (gà + ngan + vịt) = 24 kg
Vậy ba con ngan , gà , vịt nặng tất cả là:
24 : 2 = 12 (kg)
Trung bình mỗi con nặng số kg là: 12 : 3 = 4 (kg)
Đáp số: 4 kg
C. Bài tập tự làm
Bài 1: Trung bình cộng của cả ba số là 35. Tìm ba số đó, biết rằng số thứ nhất gấp đôI số
thứ hai và số thứ hai gấp đôI số thứ ba.
Bài 2: Tìm sáu số chẵn liên tiếp biết tổng của chúng là 90.

Bài 3: Trung bình cộng số tuổi của hai anh emít hơn tuổi anh là 4 tuổi. Hỏi anh hơn em
mấy tuổi.
Bài 4: Tuổi trung bình của một đội bóng đá (11 người) là 22. Nếu không kể đội trưởng thì
tuổi trung bình của 10 cầu thủ còn lại chỉ là 21. Tính tuổi của đội trưởng.
Bài 5: Lớp 4A có 40 học sinh. Lớp 4B có 36 học sinh. Lớp 4C có số học sinh ít hơn trung
bình cộng của cả ba lớp là 2 bạn. Tính số học sinh lớp 4C.
Bài 6: Có ba xe chở gạo. Xe thứ nhất chở 4,9 tấn, xe thứ hai chở 4,3 tấn, xe thứ ba chở
kém mức trung bình của cả ba xe là 0,2 tấn. Hỏi:
a, Mức trung bình của cả ba xe?
b, Xe thứ ba chở bao nhiêu?
___________________________________________________
DẠNG TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI SỐ ĐÓ
A. Lí thuyết
SB = (T - H) : 2 SL = SB + H hoặc SL = T - SB
SL = (T + H) : 2 SB = SL - H hoặc SB = T - SL
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tổng của hai số chẵn là 106. Tìm hai số chẵn đó biết rằng giữa chúng còn có 5 số lẻ
nữa.
Giải
Giữa hai số chẵn còn có 5 số lẻ nên dãy có 6 số chẵn, số chẵn đầu cách số chẵn cuối 5
khoảng cách 2 đơn vị hay hiệu của chúng bằng:
2 x 5 = 10
Số chẵn bé là: (106 - 10) : 2 = 48
Số chẵn lớn là: 106 - 48 = 58
(hoặc 48 + 10 = 58)
Đáp số: 48 ; 58
17
Bài 2: Trong một phép trừ biết tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu bằng 6542 và hiệu lớn hơn
số trừ 684. Tìm số bị trừ, số trừ và hiệu.
Giải

Ta thấy: Tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu chính bằng hai lần số bị trừ.
Vậy số bị trừ hay tổng của hiệu và số trừ bằng : 6542 : 2 = 3271
Số trừ bằng: (3271 - 684) : = 1293,5
Hiệu bằng : 1293 + 684 = 1977,5
Đáp số: 3271 ; 1293,5 ; 1977,5
Bài 3: Mẹ sinh ra Tâm lúc mẹ 26 tuổi. Đến năm 2000 thì tổng số tuổi của hai mẹ con là
42. Hỏi mẹ sinh ra Tâm vào năm nào?
Giải
Mẹ sinh Tâm lúc mẹ 26 tuổi tức mẹ hơn Tâm 26 tuổi.
Đến năm 2000 thì tuổi mẹ là: (42 + 26) : 2 = 34 (Tuổi)
Mẹ sinh Tâm cách đây số năm : 34 - 26 = 8 (năm)
Vậy mẹ sinh Tâm năm 2000 - 8 = 1992
Đáp số: Năm 1992.
Bài 4: Tổng của ba số là 1999. Số thứ nhất lớn hơn tổng của hai số kia 67 đơn vị. Số thứ
hai lớn hơn số thứ ba 48 đơn vị. Tìm ba số đó.
Giải
Theo bài ra ta có sơ đồ:
67
Số thứ nhất:
1999
Tổng hai số kia:
Số thứ nhất là : (1999 + 67) : 2 = 1033
Tổng hai số kia là: 1999 - 1033 = 966
Số thứ hai là : (966 + 48) : 2 = 507
Số thứ ba là : 459 - 48 = 459
Đáp số: 1033 ; 507 ; 459
Bài 5: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 96 m. Biết rằng nếu tăng chiều rộng thêm
4,5 m và giảm chiều dài đi 5,5 m thì mảnh đất đó trở thành hình vuông. Hãy tính diện tích
mảnh đất đó.
Giải

Khi tăng chiều rộng thêm 4,5 m và giảm chiều dài đi 5,5 m thì chiều dài bằng chiều rộng.
Vậy lúc đầu chiều dài hơn chiều rộng số m là :
4,5 + 5,5 = 10 (m)
Nửa chu vi hay tổng chiều dài và chiều rộng mảnh đất là :
96 : 2 = 48 (m)
Chiều rộng mảnh đất là : (48 - 10) : 19 (m)
Chiều dài mảnh đất là: 19 + 10 = 29 (m)
Diện tích mảnh đất là : 19 x 29 = 511 (m
2
)
Đáp số: 511 m
2
C. Bài tập tự làm
Bài 1: Tổng của hai số lẻ liên tiếp là 284. Tìm hai số đó.
18
Bài 2: Hiện nay mẹ 31 tuổi. Sau 20 năm nữa tuổi mẹ sẽ bằng tổng số tuổi của con trai và
con gái. Tính tuổi hiện nay của mỗi con, biết rằng con trai kém con gái 3 tuổi.
Bài 3: Một mảnh vườn hình thang có diện tích 2240 m
2
, chiều cao 35 m và đáy lớn dài
hơn đáy bé 34 m. Tìm độ dài mỗi đáy.
Bài 4: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 784 m. Tính diện tích thử ruộng biết rằng
khi viết thêm chữ số 2 vào trước số đo chiều rộng thì được số đo chiều dài.
Bài 5: Cho một số có hai chữ số và tổng hai chữ số đó là 10. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho
nhau thì số đã cho giảm 54 đơn vị. Tìm số đó.
Bài 6: Ngày xuân, ba bạn Huệ, Mai, Hằng đi trồng cây. Biết rằng, tổng số cây của ba bạn
trồng được là 17 cây. Số cây của hai bạn Huệ và Hằng trồng được nhiều hơn số cây của
Mai trồng được là 3 cây. Số cây của Huệ trồng được bằng 2/3 số cây trồng được của Hằng.
Em hãy tính xem mỗi bạn trồng bao nhiêu cây?
Bài 7: Hai bể dầu chứa tất cả 3980 lít dầu. Nếu người ta chuyển 5000 l dầu từ bể thứ nhất

sang bể thứ hai thì lúc đó bể thứ hai sẽ nhiều hơn bể thứ nhất 160 l dầu. Hãy tính xem lúc
đầu mỗi bể chứa bao nhiêu l dầu?
Bài 8: Khối lớp Bốn của nhà trường có bốn lớp với tổng số học sinh là 174 bạn. Lớp 4A
nhiều hơn lớp 4B là 16 bạn, lớp 4C ít hơn lớp 4A là 10 bạn, lớp 4D và lớp 4B có số học
sinh bằng nhau. Hãy tính xem mỗi lớp đó có bao nhiêu học sinh?
Bài 9: Tìm hai số biết rằng 5/8 tổng hai số lớn hơn hiệu của chúng là 16 đơn vị. Nửa tổng
hai số phải tìm lớn gấp 8 lần nửa hiệu của chúng.
Bài 10: Tổng của hai số bằng 3618. Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái số bé thì được số
lớn. Tìm hai số đã cho lúc đầu.
____________________________________________________
DẠNGTOÁN TÌM CÁCSỐ KHI BIẾT TỔNG(HIỆU) VÀ TỈ SỐ CỦA CHÚNG
A. Lí thuyết.
Các bước giải.
Bước 1: Vẽ sơ đồ
Bước 2: Tìm tổng (hiệu) số phần bằng nhau.
Bước 3: Tìm giá trị một phần = tổng (hiệu) : tổng (hiệu) số phần bằng nhau.
Bước 4: Tìm các giá trị của bài toán.
Số lớn = giá trị 1 phần x số phần của số lớn.
Số bé = giá trị 1 phần x số phần của số bé (hoặc lấy tổng - số lớn)
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tổng của hai số bằng 0,25 . Thương của hai số cũng bằng 0,25 . Tìm hai số đó.
Giải
0,25 =
Theo bài ra ta có sơ đồ bài toán
Số thứ nhất :
0,25
Số thứ hai:
19
Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là: 1 + 4 = 5 (phần)
Số thứ nhất là: 0,25 : 5 x 1 = 0,05

Số thứ hai là: 0,05 x 4 = 0,2
Đáp số: 0,05 ; 0,2
Bài 2: Một người có số gạo tẻ nhiều hơn số gạo nếp là 25 kg. Người đó đã bán 10,5 kg
gạo mỗi loại nên số gạo nếp còn lại bằng số gạo tẻ còn lại. Hỏi lúc đầu người đó có tất cả
bao nhiêu kg gạo?
Giải
Khi bán 10,5 kg số gạo mỗi loại thì số gạo tẻ vẫn hơn số gạo nếp 25 kg.
Ta có sơ đồ bài toán: Số gạo nếp: 25 kg


Số gạo tẻ:
Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 7 - 3 = 4 (phần)
Số gạo nếp còn lại sau khi bán là: 25 : (7 - 3 ) x 3 = 18,75 (kg)
Số gạo nếp người đó có lúc đầu là: 18,75 + 10,5 = 29,25 (kg)
Số gạo tẻ người đó có lúc đầu là: 29,25 + 25 = 54,25 (kg)
Lúc đầu người đó có tất cả số kg gạo là: 29,25 + 54, 25 = 83,5 (kg)
Đáp số : 83,5 kg
Bài 3: Kho I chứa 35,4 tấn ngô, kho II chứa 27,8 tấn ngô. Người ta vừa chuyển một số
tấn ngô từ kho I sang kho II nên lượng ngô ở kho I bằng lượng ngô ở kho II. Hỏi người ta
đã chuyển bao nhiêu tấn ngô từ kho I sang kho II?
Giải
Tổng số ngô ở kho I và kho II là: 35,4 + 27,8 = 63,2 (tấn)
Khi chuyển một số tấn ngô ở kho I sang kho II thì tổng số ngô ở cả hai kho không thay đổi
hay vẫn bằng 63,2 tấn.
Ta có sơ đồ số ngô sau khi chuyển :
Kho I :
63,2 tấn
Kho II :
Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là : 2 + 3 = 5 (phần)
Số ngô ở kho I sau khi chuyển sang ở kho II là : 63,2 : (2 + 3) x 2 = 25,28 (tấn)

Ngưòi ta đã chuyển số tấn ngô từ kho I sang kho II là: 35,4 - 25,8 = 9,6 (tấn)
Đáp số: 9,6 tấn
Bài 4: Lừa và ngựa cùng nhau thồ hàng, các bao hàng đều nặng bằng nhau. Lừa kêu ca là
mang nặng. Ngựa bèn nói: “ Bạn còn kêu nỗi gì? Nếu tôi cho bớt bạn 1 bao hàng thì chúng
ta mới mang nặng ngang nhau. Còn nếu bạn cho bớt tôi 1 bao hàng thì số bao hàng của tôi
sẽ gấp đôi của bạn. “ Tính xem mỗi con mang mấy bao hàng?
Giải
Ngựa cho Lừa 1 bao thì số bao chúng mang bằng nhau. Vậy số bao lúc đầu Ngựa mang
nhiều hơn Lừa là : 1 + 1 = 2 (bao)
20
Nếu Ngựa bớt sang cho Lừa 1 bao thì số bao Ngựa mang nhiều hơn Lừa là:
2 + 1 x 2 = 4 (bao)
Theo bài ra, ta có sơ đồ:
Lừa:
4 bao
Ngựa :
Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 2 - 1 = 1 (phần)
Lúc đầu, Ngựa mang số bao hàng là: 4 : 1 x 2 - 1 = 7 (bao)
Lúc đầu, Lừa mang số bao hàng là: 7 - 2 = 5 (bao)
Đáp số : 5 bao ; 7 bao
Bài 5: số kẹo của Dũng thì bằng số kẹo của Hùng. Hai bạn có tất cả 38 cáikẹo. Tính số
kẹo của mỗi bạn?
Giải
= ; =
Hay số kẹo của Dũng = số kẹo của Hùng
Ta có sơ đồ bài toán:
Dũng :
38 kẹo
Hùng :

Theo sơ đồ, tổng số phần bằng nhau là: 9 + 10 = 19 (phần)
Dũng có số kẹo là : 38 : 19 x 10 = 20 (kẹo)
Hùng có số kẹo là : 38 - 20 = 18 (kẹo)
Đáp số : 20 kẹo ; 18 kẹo.
C. Bài tập tự làm.
Bài 1 : Hai tấm vải xanh và đỏ dài tất cả 68 m. Nếu cắt bớt tấm vải xanh và tấm vải đỏ
thì phần còn lại của hai tấm vải dài bằng nhau. Tính chiều dài của mỗi tấm vải.
Bài 2: Tuổi của Tuấn (tính theo số ngày) thì bằng tuổi của bố (tính theo số tuần). Còn tuổi
của Tuấn (tính theo số tháng) thì bằng tuổi của ông (tính theo số năm). Biết rằng nếu tính
theo số năm như bình thường thì ông hơn bố 30 tuổi. Tính số tuổi bình thường của mỗi
người.
Bài 3: Cho 4 số có tổng là 45. Nếu đem số thứ nhất cộng với 2, số thứ hai trừ đi 2, số thứ
ba nhân với 2, số thứ tư chia cho 2 thì được bốn kết quả bằng nhau. Tìm bốn số đã cho.
Bài 4: Vườn nhà em có số cây cam bằng 75% số cây chuối, số cây chanh bằng số cây
cam. Biết rằng số cây chuối nhiều hơn số cây chanh 33 cây, hãy tính số cây mỗi loại.
Bài 5: Lớp A và lớp B tham gia trồng cây. Ngày đầu cả hai lớp trồng được 115 cây. Ngày
sau lớp A trồng được 20 cây, lớp B trồng được 15 cây. Sau hai ngày trồng cây, số cây
của lớp A đã trồng bằng số cây của lớp B đã trồng. Hỏi mỗi lớp đã trồng được bao nhiêu
cây?
21
Bài 6: Ba khu vực dân cư A, B và C có tổng số dân là 12 000 người. Hãy tính số dân
mỗi khu vực, biết rằng số dân khu vực A bằng 50% số dân khu vực B và bằng 40% số
dân khu vực C.
Bài 7: Cho phân số . Hãy tìm một số nào đó sao cho khi tử số trừ đi số đó và mẫu số
cộng với số đó thì được phân số mới có giá trị bằng
Bài 8: Tổng số học sinh các khối lớp 1,2,3 của một trường Tiểu học là 430 em. Biết tỉ số
giữa học sinh khối1 và số học sinh khối 2 là ; Tỉ số giữa học sinh khối 2 và khối3 là .
Hỏi mỗi khối có bao nhiêu học sinh
Bài 9: Hiệu hai sốtự nhiên bằng 1996. Nếu số bị trừ cộng thêm 24 thì được số mới gấp 5
lần số trừ. Tìm hai số đã cho.

Bài 10: Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 72 và số thứ nhất bé hơn số thứ hai 1 đơn
vị.
____________________________________________________
DẠNG TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT HAI TỈ SỐ
A. Lí thuyết.
Đối với dạng toán này cần tìm giá trị không đổi của một đại lượng trọng bài toán, biểu thị
các đại lượng còn lại qua giá trị không đổi đó.
B. Bài tập vận dụng.
Bài 1: Một giá sách gồm hai ngăn: số sách ngăn dưới bằng số sách ngăn trên. Nếu xếp
thêm 15 cuốn sách mới mua vào ngăn trên thì lúc đó số sách ngăn dưới bằng số sách ngăn
trên. Hỏi lúc đầu ở mỗi ngăn có bao nhiêu cuốn sách?
Giải
Lúc đầu số sách ngăn dưói bằng số sách ngăn trên hay số sách ngăn trên bằng số sách
ngăn dưới.
Sau khi xếp thêm 15 quyển vào ngăn trên thì số sách ngăn dưới bằng số sách ngăn trên
hay số sách ngăn trên bằng số sách ngăn dưới.
Phân số chỉ 15 quyển sách là: - = (số sách ngăn dưới)
Lúc đầu ngăn dưới có số sách là: 15 : = 180 (quyển)
Lúc đầu ngăn trên có số sách là: 180 x = 150 (quyển)
Đáp số: 180 quyển ; 150 quyển
(Khi thêm 15 quyển vào ngăn trên thì số sách ngăn trên thay đổi, số sách ngăn dưới không
thay đổi; ta biểu thị số sách ngăn trên qua số sách ngăn dưới).
Bài 2: Cuối học kì I, lớp 5A có số học sinh giỏi bằng số học sinh còn lại của lớp. Cuối
năm học, lớp 5A có thêm 4 học sinh giỏi nên tổng số học sinh giỏi bằng số học sinh còn
lại của lớp. Hỏi lớp 5A có tất cả bao nhiêu học sinh?
Giải
Cuối kì I, lớp 5A có số học sinh giỏi bằng số học sinh còn lại của lớp tức bằng tổng số
học sinh cả lớp.
Cuối năm học, lớp 5A có số học sinh giỏi bằng số học sinh còn lại của lớp tức bằng
tổng số học sinh cả lớp.

Phân số chỉ 4 học sinh giỏi là: - = (số học sinh cả lớp)
Lớp 5A có số học sinh là: 4 : = 40 (em)
Đáp số : 40 em
22
Bài 3: Hiện nay tuổi cha gấp 4 lần tuổi con. Trước đây 6 năm, tuổi cha gấp 13 lần tuổi con
lúc đó. Tính tuổi cha hiện nay.
Giải
Hiệu tuổi hai cha con hiện nay là : 4 - 1 = 3 (lần tuổi con)
Vậy tuổi con bằng hiệu tuổi hai cha con
Cách đây 6 năm, hiệu tuổi hai cha con là : 13 - 1 = 12 (lần tuổi con)
Hay tuổi con bằng hiệu tuổi hai cha con.
Vì hiệu tuổi hai cha con không đổi nên 6 năm ứng với :
- = (hiệu tuổi hai cha con)
Hiệu tuổi hai cha con là: 6 : = 24 (tuổi)
Tuổi con hiện nay là: 24 x = 8 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là: 8 x 4 = 32 (tuổi)
Đáp số: 42 tuổi
Cách 2: Giải
Hiệu tuổi hai cha con hiện nay là : 4 - 1 = 3 (lần tuổi con)
Cách đây 6 năm, hiệu tuổi hai cha con là : 13 - 1 = 12 (lần tuổi con)
Vì hiệu tuổi hai cha con không thay đổi nên 3 lần tuổi con hiện nay = 12 lần tuổi con cách
đây 6 năm. Hay tuổi con hiện nay = 4 lần tuổi con cách đây 6 năm.
Ta có sơ đồ bài toán:
Tuổi con cách đây 6 năm :
6 tuổi

Tuổi con hiện nay :
Theo sơ đồ, hiệu số phần bằng nhau là: 4 - 1 = 3 (phần)
Tuổi con hiện nay là: 6 : 3 x 4 = 8 (tuổi)
Tuổi cha hiện nay là: 8 x 4 = 32 (tuổi)

Đáp số: 32 tuổi
(Đối với cách giảI 2, ta đã qui bài toán về dạng toán “tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của
hai số đó. HS có thể giải theo các cách khác)
C. Bài tập tự làm
Bài 1: Hiện nay tuổi cha gấp 4 lần tuổi con. Sau 20 năm nữa tuổi cha sẽ gấp đôI tuổi con.
Tính tuổi mỗi người hiện nay.
Bài 2: Trong một buổi sinh hoạt văn nghệ của lớp 5A, số bạn lên biểu diễn bằng số bạn
ngồi xem. Sau đó, trong số bạn ngồi xem có 1 bạn lên tham gia nhóm biểu diễn nên lúc
đó số bạn biểu diễn bằng số bạn ngồi xem còn lại. Hãy tính số bạn ngồi xem lúc sau.
Bài 3: Cho hai số tự nhiên mà số thứ nhất gấp 4 lần số thứ hai. Nếu số thứ nhất thêm 30
đơn vị, số thứ hai bớt đi 4 đơn vị thì số thứ nhất gấp 6 lần số thứ hai. Tìm hai số đã cho.
Bài 4: Trước đây, số dân phường A bằng số dân phường B. Hiện nay, do số dânphường A
đã tăng thêm 8000 người và phường B tăng thêm 4000 người nên số dân phường A
bằng số dân phường B. Tính số dân hiện nay của mỗi phường.
Bài 5: Trong một nhà máy có số nam công nhân bằng 75% số nữ công nhân. Nếu chuyển
56 nữ công nhân đi nhà máy khác thì số nam bằng 90% só nữ còn lại. Hỏi lúc đầu nhà
máy có bao nhiêu công nhân?
____________________________________________________
23
DẠNG TOÁN TÌM HAI SỐ KHI BIẾT HAI HIỆU SỐ
A. Lí thuyết.
Các bước giải
- Xác định hiệu thứ nhất
- Xác định hiệu thứ hai
- Tìm thương hai hiệu để xác định một số cần tìm.
- Thưc hiện các phép tính tiếp theo để tìm số thứ hai.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Có một số kẹo đem chia cho một số trẻ em mẫu giáo. Nếu mỗi em được 3 cái thì
còn thừa 2 cái; nếu mỗi em được 4 cái thì còn thiếu 3 cái mới đủ chia. Hỏi có bao nhiêu trẻ
em, có bao nhiêu cái kẹo?

Giải
Ta có sơ đồ bài toán.

Số kẹo đủ chia cho 1 em 3 cái 2 cái
3 cái


Số kẹo đủ chia cho 1 em 4 cái
Nhìn vào sơ đồ ta thấy,số kẹo đủ chia mỗi em 4 cái nhiều hơn số kẹo đủ chia mỗi em 3 cái
là: 3 + 2 = 5 (kẹo)
Mỗi em được chia 4 cái nhiều hơn mỗi em được chia 3 cái số kẹo là:
4 - 3 = 1 (kẹo)
Số trẻ em mẫu giáo được chia kẹo là: 5 : 1 = 5 (em)
Số kẹo đem chia là : 5 x 3 + 2 = 17 (kẹo)
Đáp số: 5 em ; 17 kẹo.
Bài 2: Một tổ xe có một số xe tải. Người tổ trưởng tính rằng: nếu mỗi xe chở 20 bao gạo
thì còn thiếu một xe; nếu mỗi xe chở 30 bao gạo thì lại thừa một xe. Hỏi:
a, Tổ xe có mấy xe tải và định chở mấy bao gạo?
b, Nếu muốn sử dụng tất cả số xe đó chởt hết gạo thì phải bố trí mấy xe chở 20 bao gạo và
mấy xe chở 30 bao gạo?
Giải
a, Mỗi xe chở 20 bao gạo thì còn thiếu 1 xe tức còn thừa 20 bao gạo. Mỗi xe chở 30 bao
gạo thì còn thừa 1 xe tức phải thêm 30 bao gạo mới dùng hết xe để chở.
Mỗi xe chở 20 bao ít hơn mỗi xe ít hơn 30 bao số bao là: 30 - 20 = 10 (bao)
Số bao đủ chở mỗi xe 20 bao ít hơn số bao đủ chở mỗi xe 30 bao là:
20 + 30 = 50 (bao)
Tổ đó có số xe tải là: 50 : 10 = 5 (xe)
Tổ dự định chở số bao là: 5 x 20 + 20 = 120 (bao)
b, Nếu xếp mỗi xe 20 bao thì còn thừa số bao gạo là:
120 - 20 x 5 = 20 (bao)

Mỗi bao chở 30 bao hơn mỗi bao chở 20 bao số bao là:
30 - 20 = 10 (bao)
24
Số xe chở 30 bao gạo là: 20 : 10 = 2 (xe)
Số xe chở 20 bao gạo là: 5 - 2 = 3 (xe)
Đáp số: a, 5 xe ; 120 bao
b, 2 xe ; 3 xe.
C. Bài tập tự làm.
Bài 1: Có một số l dầu và một số can. Nếu mỗi can chứa 5 l dầu thì còn thừa 5 l; nếu mỗi
can chứa 6 l dầu thì có một can để không. Hỏi có bao nhiêu can, bao nhiêu l dầu?
Bài 2: Nhà trưòng giao cho một số lớp trồng cả hai loại cây là cây thông và cây bạch đàn.
Số lượng cây cả hai loại đều bằng nhau. Thầy Hiệu phó tính rằng: nếu mỗi lớp trồng 35
cây thông thì còn thừa 20 cây thông; nếu mỗi lớp trồng 40 cây bạch đàn thì còn thiếu 20
cây bạch đàn. Hỏi nhà trường đã giao tất cả bao nhiêu cây thông và cây bạch đàn cho mấy
lớp đem trồng, biết toàn bộ số cây đó đã được trồng hết.
Bài 3: Có 17 xe vừa xe tắc xi vừa xe lam. Xe tắc xi có 4 bánh, xe lam có 3 bánh. Hỏi có
mấy xe tắc xi, mấy xe lam?
Bài 4: Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn.
Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?
Bài 5: Hai người thợ làm chung nhau một công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình thì
phải 16 giờ mới xong công việc đó. Nếu người thứ hai làm một mình thì phải 24 giờ mới
xong. Đầu tiên, người thứ nhất làm một thời gian rồi giao người thứ hai làm nốt chỗ còn
lại. Tổng số thời gian hai người làm là 19 giờ.
a, Hỏi mỗi người đã làm mấy giờ?
b, Tổng số tiền công được nhận là 3200 đồng. Hỏi mỗi người được nhận bao nhiêu tiền
công?
Bài 6: Có 16,3 kg gạo đóng vào hai loại túi. Một loại chữa 2,5 kg, một loại chứa 4,8 kg

mỗi túi. Tổng số túi là 13. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu túi?
Bài 7: Một nhà hàng mua 200 con vừa cua vừa ếch. Biết rằng số chân ếch nhiều hơn số
chân cua là 240 . Hỏi số ếch và số cua? (coi càng cua cũng là chân)
_____________________________________________________
DẠNG TOÁN THỰC HIỆN CÔNG VIỆC CHUNG
A. Lí thuyết.
- Biểu thị công việc như là một đơn vị, từ đó có thể biểu thị một công việc thành nhiều
phần bằng nhau (phù hợp với điều kiện của các bài toán) để thuận tiện cho việc tính toán.
- Sử dụng phân số được coi là thương của phép chia hai số tự nhiên.
- Cần phải biết chuyển đổi và sử dụng các đơn vị đo thời gian thích hợp cho việc tính toán.
B. Bài tập vận dụng.
Bài 1: An và Bình nhận làm chung một công việc. Nếu một mình An làm thì sau 3 giờ sẽ
xong công việc, còn nếu Bình làm một mình thì sau 6 giờ sẽ xong việc đó. Hỏi cả hai
người cùng làm thì sau mấy giờ sẽ xong công việc đó?
Giải
Trong một giờ, An làm được số công việc là : 1 : 3 = (công việc)
Trong một giờ, Bình làm được số công việc là : 1 : 6 = (công việc)
25