Ứng dụng số phức vào gải các bài toán đại số

S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
1
A. T VN 
Trong chng trình ph thông, i s (phng trình , h phng trình,
bt đng thc, lng giác, ) là mt trong nhng ni dung trng tâm, xuyên
sut quá trình , nó có mt hu ht trong các kì thi i hc, Cao đng và
Trung hc chuyên nghip cng nh trong các k thi hc sinh gii trong
nhng nm gn đây.
Vic gii các bài toán v i s có nhiu phng pháp nh : bin đi
tng đng , đt n ph , lng giác hoá , hình hc…, mc dù có nhiu
cách gii nh th , nhng đng trc các bài toán dng này vn còn nhiu
hc sinh lúng túng, cha đa ra đc li gii , hoc đa li gii cha chính
xác .
Nhiu hc sinh bây gi đang còn hc theo kiu “làm nhiu ri quen dng ,
làm nhiu ri nh”, nu hc nh th s không phát trin đc t duy sáng
to, s không linh hot khi đng trc mt tình hung mi l hay mt bài
toán tng hp .
Vì lí do đó, đ giúp hc sinh tháo g nhng vng mc trên , nhm nâng
cao cht lng dy và hc, đáp ng nhu cu đi mi giáo dc và giúp hc
sinh có thêm phng pháp trong gii toán ,tôi đã quyt đnh ly đ tài :
“S dng s phc vào gii mt s bài toán i s ”.
Vi đ tài này tôi hy vng s giúp cho hc sinh d dàng nm bt và vn
dng thành tho s phc vào gii toán nói chung , gii các bài toán v i s
nói riêng .
B. GII QUYT VN 
I. C s lý lun ca vn đ
Trong chng trình THPT s phc đc đa vào và ging dy  lp 12. S
ra đi ca s phc là do nhu cu m rng ca tp hp s, s phc là cu ni
hoàn ho gia các phân môn i s, Lng giác, Hình hc và gii tích (th
hin rõ qua công thc

1 0
i
e

 
). Khi làm toán trên s phc hc sinh s d
dàng thc hin đc vì các đnh ngha và phép toán trong chng trình khá
c bn. Vi nhng tính cht c bn ca s phc, khi ging dy ni dung này
giáo viên có nhiu hng khai thác, phát trin bài toán to nên s lôi cun,
hp dn ngi hc. Bng vic kt hp các tính cht ca s phc vi mt s
kin thc đn gin v lng giác, gii tích, đi s và hình hc giáo viên có
th xây dng đc khá nhiu dng toán vi ni dung hp dn và hoàn toàn
mi m.  giúp hc sinh có s nhìn sâu và rng hn v s phc và thy
đc mi liên h mt thit gia s phc vi i s, Lng giác, Hình hc và
gii tích, trong quá trình ging dy tôi luôn tìm tòi khai thác và kt hp các
kin thc khác v toán hc đ xây dng các bài tp cho hc sinh.
II. Thc trng ca vn đ
Khái nim v s phc và các phép toán là mt trong nhng khái nim c
bn , đn gin . Hc sinh d dàng bit đc vic thc hin các phép toán v
s phc  dng đi s cng nh dng lng giác và vic gii phng trình
bc hai.
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
2
Khi s dng đnh ngha hai s phc bng nhau bng cách tách phn thc,
phn o s cho ta mt h phng trình, khi s dng công thc Moa-vr ta s
thy đc mi liên h gia s phc vi các biu thc v lng giác cng nh
các biu thc v

k
n
C
trong khai trin nh thc Niu-Tn và khi s dng tính
cht v môđun ca s phc  dng bt đng thc s cho ta các bt đng thc
đi s tng ng . iu đó chng t rng s phc liên h rt gn gi vi
các bài toán v đi s, nên ta có th khai thác s phc nh mt công c đ
gii toán. Tuy nhiên vic vn dng vn đ này vào gii các bài toán đi s thì
hc sinh vn cha thành tho, còn lúng túng. Hng dn các em vn dng tt
phn này s to cho các em có thêm phng pháp, có s linh hot hn trong
vic gii quyt các dng toán v đi s.
Trc khi áp dng đ tài này vào dy hc, tôi đã kho sát cht lng hc tp
ca Hc sinh (v vn đ s dng s phc vào gii mt s bài toán đi s).
ã thu đc kt qu nh sau :
Lp
S
s
Gii Khá TB Yu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
12A
3

50 3 6 18 36 28 56 1 2 0 0
12A
6

54 2 4 16 30 34 63 2 3 0 0
12 B
5

52 1 2 10 19 33 63 8 16 0 0
Nh vy s lng Hc sinh nm bt các dng này không nhiu do cha có
đc ngun kin thc và k nng cn thit .
Thc hin đ tài này tôi đã khai thác vic s dng s phc thông qua các
ng dng c th và bài tp tng ng cho mi ng dng đ
ó .
Cui cùng là bài tp tng hp đ hc sinh vn dng các tính cht đã đc hc
vào gii quyt . Do khuôn kh đ tài có hn nên tôi ch đa ra đc bn ng
dng đ gii quyt mt s bài toán v đi s đó là: ng dng gii h phng
trình, ng dng trong vic chng minh bt đng thc, ng dng trong vic
chng minh các đng thc lng giác và ng dng trong vic tính tng các
biu thc cha
k
n
C
(s các t hp chp k ca n ).
III. Gii pháp t chc thc hin
Thc hin đ tài này v ni dung tôi chia làm ba phn :
Phn 1 . Nêu các kin thc c bn s dng trong đ tài
Phn 2 . Nêu các ng dng
Phn 3 . Gii mt s bài toán v đi s thông qua các bài tp tng ng cho
mi ng dng.
Sau đây là ni dung c th :
Phn 1. Các kin thc c bn
Các kin thc c bn s dng trng đ tài bao gm các đnh ngha và tính
cht t sách giáo khoa mà hc sinh đã đc hc.
1. nh ngha
* Mt s phc là mt biu thc dng a + bi , trong đó a , b là nhng s thc
và i là s tha mãn
2

1
i
 
. Kí hiu s phc đó là
z
và vit
z a bi
 

WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
3
i đc gi là đn v o , a đc gi là phn thc , b đc gi là phn o ca
s phc
z a bi
 
.
* Hai s phc
1 2
; z
z a bi c di
   
gi là bng nhau nu a = c , b = d .
Khi đó ta vit
1 2
z z

.

* Cho
z a bi
 
, ta có s phc liên hp ca z là
z a bi
 
,
môđun ca z là
2 2
z a b
 
.
* Vi mi s phc
1 2 3
; ;
z z z
ta có:

1 2 1 2
z z z z
  
và
1 2 3 1 2 3
z z z z z z
    
.
2. Phng trình bc hai
Dng :
2
0

Az Bz C
  
, trong đó A, B , C là nhng s phc
0
A


Cách gii
Xét bit thc
2
4
B AC
  

* Nu
0
 
thì phng trình có hai nghim phân bit

1
2
B
z
A

 
 ,
2
2
B

z
A

 
 (trong đó

là mt cn bc hai ca

)
* Nu
0
 
thì phng trình có nghim kép
1 2
2
B
z z
A
   .
3. Dng lng giác ca s phc
* Mi s phc z đu có th vit đc di dng
( os )
z r c isin
 
 
( trong
đó
r
là môđun ca z và


là mt acgumen ca z ) đc gi là dng lng
giác ca s phc.
* Nu
( os )
z r c isin
 
 
thì z có ba cn bc ba là
3 3 3
2 2 4 4
( os .sin ) , ( os .sin ) , ( os .sin )
3 3 3 3 3 3
r c i r c i r c i
         
   
  
* Nu
( os )
z r c isin
 
 
thì
*
(cos sin ) (n N )
n n
z r n i n
 
  
(công thc Moa-vr).
4. Công thc nh thc Niu-tn



0 1 1

n
n n k n k k n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
 
      
.
H qu


0 1
1
n
k k n n
n n n n
x C C x C x C x
      
.
5. Tng n s hng đu tiên ca cp s nhân
Cho


n
u
là mt cp s nhân vi công bi
1

q

, ta có
1
1 2
(1 )

1
n
n
u q
u u u
q

   


Phn 2. Các ng dng ca s phc
1. ng dng gii h phng trình
Kin thc s dng
* H pt
( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; )
A x y B x y
A x y iC x y B x y iD x y
C x y D x y


   




.
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
4
* Nu
( os )
z r c isin
 
 
thì z có ba cn bc ba là
3 3 3
2 2 4 4
( os .sin ) , ( os .sin ) , ( os .sin )
3 3 3 3 3 3
r c i r c i r c i
         
   
  
2. ng dng trong vic chng minh bt đng thc
Kin thc s dng
* Cho
z a bi
 
, ta có môđun ca z là
2 2

z a b
 
.
* Vi mi s phc
1 2 3
; ;
z z z
ta có:
1 2 1 2
z z z z
  
và
1 2 3 1 2 3
z z z z z z
    
.
3. ng dng trong vic chng minh các đng thc lng giác
Kin thc s dng
* Nu
( os )
z r c isin
 
 
thì
*
(cos sin ) (n N )
n n
z r n i n
 
  

(công thc Moa-vr).
* Cho


n
u
là mt cp s nhân vi công bi
1
q

, ta có
1
1 2
(1 )

1
n
n
u q
u u u
q

   


4. ng dng trong vic tính tng các biu thc cha
k
n
C
(s các t hp

chp k ca n )
Kin thc s dng
*


0 1
1
n
k k n n
n n n n
x C C x C x C x
       .
* Nu
( os )
z r c isin
 
 
thì
*
(cos sin ) (n N )
n n
z r n i n
 
  
(công thc Moa-vr).
* A + Bi = C + Di
A C
B D








Phn 3. Gii mt s bài toán v đi s thông qua các bài tp tng ng
cho mi ng dng.
Ta s xét tng ng dng vào gii toán đi s thông qua các ví d . Sau
cùng là các bài tp vn dng .
1. NG DNG TRONG VIC GII H PHNG TRÌNH
Kin thc s dng
* H pt
( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; )
A x y B x y
A x y iC x y B x y iD x y
C x y D x y


   



.
* Nu
( os )
z r c isin
 
 

thì z có ba cn bc ba là
3 3 3
2 2 4 4
( os .sin ) , ( os .sin ) , ( os .sin )
3 3 3 3 3 3
r c i r c i r c i
         
   
  

Ví d 1. Gii các h phng trình sau:
a.
3 2
2 3
2 6 5
6 2 5 3
x xy
x y y
 



 



Gii
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S

Nguyn Vn Mnh
5
Hpt


3 2 2 3
2 6 6 2 5 5 3
x xy i x y y i
     
 
3
1 3
5
2 2
x yi i
 
   
 
 

z x yi
  
là mt cn bc ba ca
1 3
5
2 2
i
 

 

 
,vì
1 3
5 5( os sin )
2 2 3 3
i c
 
 
   
 
 
1 3
5
2 2
i
 

 
 
có ba cn bc 3 là:
3 3 3
0 1 2
7 7 13 13
5( os sin ) ; 5( os sin ) ; 5( os sin )
9 9 9 9 9 9
z c z c z c
     
     
xét
0 1 2

; ;
z z z z z z
  
, ta đc :
3 3 3
3 3 3
7 13
5. os 5. os 5. os
9 9 9
; ;
7 13
5.sin 5.sin 5.sin
9 9 9
x c x c x c
y y y
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
là nghim ca hpt đã cho
b.
3 2 2 2
3 2

3 3 3 3 0
3 6 3 1 0
x xy x y x
y x y xy y
    


    


Gii
Hpt
3 2
2 3
( 1) 3 ( 1) 1
3( 1) 1
x y x
x y y
   



  


3 2 2 3
( 1) 3 .( 1) 3( 1) . 1
x y x i x y y i
        
 

 
3
( 1 ) 1
x iy i
    

1
z x yi
   
là mt cn bc 3 ca
1
i

, vì
1 2( os sin )
4 4
i c
 
  

Nên
1
i

có 3 cn bc ba là:
6 6 6
0 1 2
3 3 17 17
2( os sin ) ; 2( os sin ) ; 2( os sin )
12 12 4 4 12 12

z c i z c i z c i
     
     
xét
0 1 2
; ;
z z z z z z
  
, ta đc:
6
6
1 2. os
12
2.sin
12
x c
y



  







;
6

6
3
1 2. os
4
3
2.sin
4
x c
y



  







;
6
6
17
1 2. os
12
17
2.sin
12
x c

y



  








Ví d 2. Gii các h phng trình:
a.
2 2
2 2
5 7 5
7 0
7 5 5
0
x y
x
x y
x y
y
x y


  







 




Gii
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
6
K
2 2
0
x y
 

Hpt
2 2 2 2
5 7 5 7 5 5
7
x y x y
x i y
x y x y

 
 
    
 
 
 
2 2 2 2
ix
5. 7 5. 7
x iy y
x yi
x y x y
 
    
 
(*)
t
2 2 2 2
1 ix
;
x iy y i
z x yi
x y z x y z
 
    
 
, khi đó :
(*)
5
7 5. 7

i
z
z z
   
2
7 5 7 5 0
z z i
    
7 5
5
z i
z i

 






Vi
7 5
z i
 
7
5
x
y






 


; vi
5
z i

0
5
x
y








(tmđk)
KL: h phng trình có hai nghim là: (7 ;
5

) và (0 ;
5
)
b.

4 4 3 2
3 2 3 3 2 2
3 3 2 4 0
2 3 2 3 (2 1) 1 2 4
x y x xy x y
x y x y xy y x y y
     

       


Gii
Hpt
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( )( ) 3 ( ) 2( 2 ) 0
2 ( ) 3 ( ) 4( ) 2(2 ) 0
x y x y x x y x y
xy x y y x y x y x y
      



       


Nu x = y = 0 ; tha mãn h pt nên x = y = 0 là nghim ca h
Nu
2 2
0

x y
 

Hpt
2 2
2 2
2 2
2
3 2. 0
2
2 3 4 2. 0
x y
x y x
x y
x y
xy y
x y


   







   






2 2
2 2
2
3 2.
x y
x y x
x y

  

+i.[
2 2
2
2 3 4 2.
x y
xy y
x y

  

] = 0
2 2
2 2 2 2
( 2 ) 3( ) 2. 4. 4 0
x iy y xi
x xyi y x yi i
x y x y

 
        
 

2
2 2 2 2
( ) 3( ) 2. 4. 4 0
x iy y xi
x yi x yi i
x y x y
 
       
 

t
2 2 2 2
1 ix
;
x iy y i
z x yi
x y z x y z
 
    
 
; ta có phng
trình:
2
2 4
3 4 0
i

z z i
z z
    
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
7
3 2 2
3 4 2 4 0 ( 1)( 2 4 2) 0
z z iz i z z z i
           
2
1
1
3
2 4 2 0
1
z
z
z i
z z i
z i





   



   


  


Vi
1
1
0
x
z
y


 



; vi
3
3
1
x
z i
y


  


 

; vi
1
1
1
x
z i
y
 

   




KL: h pt đã cho có 4 nghim là : (0 ; 0) ; (1; 0) ; (3 ; -1) và (-1; 1) .
Ví d 3. Gii các h phng trình:
a.
12
1 . 2
3
12
1 . 6
3
x
y x
y
y x


 
 

 

 

 

 
 


 


Gii
K :
, 0 ; 3 0
x y y x
  

t
3

u x
v y








( u , v

0 ). Ta có h phng trình:
2 2
2 2
12
2 3
12
6
u
u
u v
v
v
u v

 





 



2 2 2 2
12 12
2 3 6
u v
u i v i
u v u v
 
     
 
 
 

2 2
12. 2 3 6
u iv
u vi i
u v

    

; đt
z u iv
 
2 2
1
u iv
u v z

 


; ta có pt
1
12. 2 3 6
z i
z
  
2
2( 3 3 ). 12 0
z i z
    
( 3 3) (3 3)
( 3 3) (3 3)
z i
z i

   


   


; do u , v

0 nên
( 3 3) (3 3)
z i
   

2
2

(3 3)
3 3 4 2 3
3
3 3 12 6 3
(3 3)
u x
x
v y
y


 
   

  
  
  
   
 

 
 


LK: h pt đã cho có nghim duy nht :
4 2 3
12 6 3
x
y


 


 


.
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
8
b.
1
3 . 1 2
1
7 . 1 4 2
x
x y
y
x y

 
 

 

  

 


 
 


 


Gii
K :
, 0 ; 0
x y y x
  
; đt ;
x u y v
 
( u , v

0 ).
Ta có h phng trình:
2 2
2 2
2
3
4 2
7
u
u
u v
v

v
u v

 





 



2 2 2 2
2 4 2
. .
7
3
u v
u i v i
u v u v
 
     
 
 
 
2 2
2 4 2
7
3

u vi
u vi i
u v

    

; đt
z u iv
 
2 2
1
u iv
u v z

 

, ta có pt
2
1 2 4 2 1 2 2
2 . 1 0
3 7 3 7
z i z i z
z
 
       
 
 
; có
' 2
38 4 2 2

. ( 2. )
21
21 21
i i
     

1 2 2 2
2
3 21 7
1 2 2 2
2
3 21 7
z i
z i

 
 
   

 
 
 

 

 
 

   
 

 

 
 


Do u , v

0 , nên
2
2
1 2
11 4
3 21
21
3 7
22 8
2 2
2
7
7
7
u
x u
y v
v


 
  



 

 
 
  
 
 



KL: h pt đã cho có nghim duy nht
11 4 22 8
( ; ) ;
21 7
3 7 7
x y
 
  
 
 

WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
9
2. NG DNG TRONG VIC CHNG MINH BT NG THC
Kin thc s dng
* Cho
z a bi
 
, ta có môđun ca z là
2 2
z a b
 
.
* Vi mi s phc
1 2 3
; ;
z z z
ta có:
1 2 1 2
z z z z
  
và
1 2 3 1 2 3
z z z z z z
    
.

Ví d 1. Chng minh rng vi
x R
 
, ta luôn có:
2 2
2 5 2 5 2 5
x x x x     
Gii
Bđt
   
2 2
2 2
1 2 1 2 2 5
x x      
Xét các s phc
1
1 2
z x i
  
;
2
1 2
z x i
  

1 2
2 4
z z i
   

Vì
1 2 1 2
z z z z
  

   
2 2
2 2 2 2
1 2 1 2 2 4 2 5
x x       

Nên

đpcm
Ví d 2. Chng minh rng vi
, ,
x y z R
 
, ta luôn có:
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz z y yz z
       

Gii
Bđt
2 2
2 2
2 2
3 3

2 2 2 2
y y z z
x x y yz z
   
   
         
   
   
   
   

Xét
1
3
2 2
y y
z x i
   ;
2
3
2 2
z z
z x i
   
   
1 2
1 3
2 2
z z y z y z i
     

Vì
1 2 1 2
z z z z
  
2 2
2 2
3 3
2 2 2 2
y y z z
x x
   
   
      
   
   
   
   

   
2
2
2 2
1 3
2 2
y z y z y yz z
 
 
      
 
 

 
 
nên

đpcm
Ví d 3. Chng minh rng vi
x R
 
, ta luôn có:
2 2 2 2
1 1 16 32 1 1 4 8
2 4 10 4 2 2
2 2 5 5 2 2 5 5
x x x x x x x           
Gii
Bđt
2 2 2 2
32 64 8 16
4 8 20 4 2 4
5 5 5 5
x x x x x x x
            

WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
10
 
2 2 2 2

2
2 2 2
16 8 4 8
2 4 2 4 2 4
5 5 5 5
x x x x
 
       
 
 
            
       
 
 
       
 
 
Xét
1
2
z x i
 
;
2
4 2
z x i
  
;
3
16 8

5 5
z x i
  
;
4
4 8
5 5
z x i
  


1 2
4 4
z z i
   
;
3 4
12 16
5 5
z z i
    , vì
1 2 3 4 1 2 3 4
z z z z z z z z
   
      
   
2 2
2 2
12 16
4 4 4 2 4

5 5
VT
   
      
   
   
nên

đpcm
Ví d 4. Cho a , b, c, d là bn s thc tha mãn điu kin




2 2 2 2
1 2 ; c 36 12
a b a b d c d
       
.Chng minh rng :
   


6
2 2
2 1
a c b d
    

Gii
T gi thit ta có









2 2 2 2
1 1 1 ; 6 6 36
a b c d
       

Xét




1 2 3
1 1 , 6 6 , z 5 5
z a b i z c d i i
         

1 2 3
( ) ( )
z z z c a d b i
      
, vì
1 2 3 1 2 3
z z z z z z

    

   
2 2
1 6 5 2
c a d b
      
   


6
2 2
2 1
a c b d
     

Ví d 5. Cho
, , 0
a b c

tha mãn ab + bc + ca = 1.Chng minh rng :
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
b a c b a c
ba cb ac
  
  

Gii

Bđt
2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
3
a b b c c a
     
      
     
     

Xét
1 2 3
1 2 1 2 1 2
; ;
z i z i z i
a b b c c a
     
1 2 3
1 1 1 1 1 1
2
z z z i
a b c a b c
   
        
   
   
, vì
1 2 3 1 2 3
z z z z z z

    
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3VT
a b c a b c a b c
     
         
     
     
,vì
ab + bc + ca = 1
1 1 1
1
a b c
   
, nên VT
3



đpcm

WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
11
Ví d 6. Chng minh rng vi
, , 0
x y z

 
, ta có :


2 2 2 2 2 2
3
x xy y y yz z z zx x x y z
          

Gii
Bđt
 
2 2 2
2 2 2
3 3 3
3
2 2 2 2 2 2
y y z z x x
x y z x y z
     
     
           
     
     
     
     
xét
1
3
2 2

y y
z x i
   ;
2
3
2 2
z z
z y i
   ;
3
3
2 2
x x
z z i
  
   
1 2 3
3 3
2 2
z z z x y z x y z i
         ,vì
1 2 3 1 2 3
z z z z z z
    

     
2 29 3
3
4 4
VT x y z x y z x y z

         

đpcm
3. NG DNG TRONG VIC CHNG MINH CÁC NG THC
LNG GIÁC
Kin thc s dng
* Nu
( os )
z r c isin
 
 
thì
*
(cos sin ) (n N )
n n
z r n i n
 
  
(công thc Moa-vr).
* Cho


n
u
là mt cp s nhân vi công bi
1
q

, ta có
1

1 2
(1 )

1
n
n
u q
u u u
q

   



Ví d 1. Chng minh rng:
a.
3 5 1
os os os
7 7 7 2
c c c
  
  

b.
3 5 1
sin sin sin .cot
7 7 7 2 14
   
  
Gii

Xét
os sin
7 7
z c i
 
  ; ta có:
3 5
3 5 3 5
os os os sin sin sin
7 7 7 7 7 7
z z z c c c i
     
   
       
   
   
(1)

Mt khác :
7
3 5
2 2
1 1
1 1 1
z z z
z z z
z z z
  
    
  

=
2 2
1 os sin
1 1 1
7 7
.cot
2 2 14
1 os sin (1 os ) sin
7 7 7 7
c i
i
c i c
 

   
 
   
   
(2)
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
12
T (1) và (2)
3 5 1
os os os
7 7 7 2
3 5 1
sin sin sin .cot

7 7 7 2 14
c c c
  
   

  





  


(đpcm)
Ví d 2. Chng minh rng vi
2
x k

 
, ta có :
a.
( 1)
sin . os
2 2
cos os2 cos 1
sin
2
n x nx
c

x c x nx
x

     
b.
( 1)
sin .sin
2 2
sin sin 2 sin
sin
2
n x nx
x x nx
x

   
Gii
t
cos os2 cos
A x c x nx
   
;
sin sin2 sin
B x x nx
   

Xét
cos isin
z x x
 

, ta có:
2

n
A Bi z z z
    
2
1 1
n
A Bi z z z
        
1
1
1
n
z
z




1 os( 1) isin( 1)
1
1 cos sinx
c n x n x
A Bi
x i
   
   
 

2
2
( 1) ( 1) ( 1)
2sin 2 .sin . os
2 2 2
2sin 2 .sin . os
2 2 2
n x n x n x
i c
x x x
i c
  



( 1) ( 1)
sin . os sin .sin
2 2 2 2
1
sin sin
2 2
n x nx n x nx
c
A Bi i
x x
 
    
( 1) ( 1)
sin . os sin .sin
2 2 2 2

1 ; B =
sin sin
2 2
n x nx n x nx
c
A
x x
 
    (đpcm)
Ví d 3. Tính các tng sau:
0 0
.sin( ) ; T . os( )
n n
k k
n n
k k
S q k q c k
   
 
   
 

( trong đó
; ; q
 
là các s thc cho trc )
Gii
Ta có :







iS os isin os( ) .sin( ) os( ) .sin( )
n
n n
T c q c i q c n i n
         
           
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
13
2
( os .sin ). 1 ( os .sin ) ( os2 .sin2 ) (cos .sin )
n
c i q c i q c i q n i n
       
        
 
 
đt
os .sin
z c i
 
 
; ta đc
2 2

. ( os .sin ). 1
n n
n n
T i S c i qz q z q z
 
      
 
 
1
( ) 1
( os +i.sin ).
1
n
qz
c
qz
 

 


 

 
( os .sin ) ( os(n+1) +i.sin(n+1) )-1
( os .sin ) 1
n
c i q c
q c i
   

 

 
 

 



 
1 2
2
1 2
2
os . os(n - )-q os ( 1) os( )
1 2 cos
sin sin( ) sin( 1) sin( )
.
1 2 cos
n n
n n
c qc c n q c n
q q
q n q n q n
i
q q
      

      


 
 
    
 
 
      

 

Vy


1 2
2
sin sin( ) sin( 1) sin( )
1 2 cos
n n
n
q n q n q n
S
q q
      

 
      

 


và



1 2
2
os . os(n - )-q os ( 1) os( )
1 2 cos
n n
n
c q c c n q c n
T
q q
      

 
    

 

Ví d 4. Chng minh rng :
 
3
3 3 3 3
2 4 8 1
os os os 5 3 7
7 7 7 2
c c c
  
   
Gii
Ta có

2 2
os .sin ; ( k = 0 ,1, ,6)
7 7
k
k k
x c i
 
  là các nghim ca pt
7
1
x

, t đó
k
x

(k = 0 ,1, , 6) là nghim ca pt
3 2
6 5
1 1 1
1 0 2 1 0
x x x x x x
x x x
     
            
     
     

t
1

y x
x
 
, khi đó
1 2
2. os
7
k k k k
k
k
y x x x c
x

     ( k = 1 ,2 ,3 ) là
nghim ca pt :
3 2
2 1 0
y y y
   
.Theo đnh lý viet ta có:
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
1
2
2
y y y
y y y y y y
y y y
   



   


 

;
đt
3 3 3 3 3 3
1 2 3 1 2 2 3 3 1
;
A y y y B y y y y y y
      , ta có
3 3
3
1 2 3 1 2 3
3 3 4 3 (1)
A y y y y y y AB A AB         , tng t
3
5 3 (2)
B AB   , Ly (1) nhân vi (2) ta đc
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
14









3 3
3 4 3 5 3 7 0
AB AB AB AB
      
3
3 7
AB
  
, thay vào
(1) ta đc
3 3
3 3
5 3 7 5 3 7
A A    

 
3
3 3 3 3
2 4 6 1
os os os 5 3 7
7 7 7 2
c c c
  
     ,mà
6 8

cos os
7 7
c
 


Nên
 
3
3 3 3 3
2 4 8 1
os os os 5 3 7
7 7 7 2
c c c
  
   

(đpcm)
4. NG DNG TRONG VIC TÍNH TNG CÁC BIU THC CHA
k
n
C
(S T HP CHP k CA n )
Kin thc s dng
*


0 1
1
n

k k n n
n n n n
x C C x C x C x
      
.
* Nu
( os )
z r c isin
 
 
thì
*
(cos sin ) (n N )
n n
z r n i n
 
  
(công thc Moa-vr).
* A + Bi = C + Di
A C
B D







Ví d 1. Tính tng:
A =

10 0 9 2 8 4 7 6 2 16 18 20
20 20 20 20 20 20 20
3 - 3 3 - 3 3 - 3
C C C C C C C
   
Gii
Xét khai trin:


20
20 0 19 1 18 2 2 18 19 20
20 20 20 20 20 20
3 i ( 3) C i( 3) C ( 3) C ( 3) C i 3C C
        =
= (
10 0 9 2 8 4 7 6 2 16 18 20
20 20 20 20 20 20 20
3 C 3 C 3 C 3 C 3 C 3C C
      
) +
+


19 1 17 3 3 17 19
20 20 20 20
( 3) C ( 3) C ( 3) C 3C
i
   

Mt khác:

 
20
20
20
20 20 20
3 1 20 20
3 2 2 cos sin 2 cos sin
2 2 6 6 6 6
i i i i
   
 
   
       
 
   
   
 
20 20 19 19
4 4 1 3
2 cos isin 2 i 2 2 3 i
3 3 2 2
 
 
 
       
 
 
 
 

So sánh phn thc ca


20
3 i
 trong hai cách tính trên ta có:
10 0 9 2 8 4 7 6 2 16 18 20
20 20 20 20 20 20 20
3 - 3 3 - 3 3 - 3
C C C C C C C
   
= - 2
19

Ví d 2. Tính các tng sau:
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
15
A =
0 2 4 6 12 14
15 15 15 15 15 15
C -3C +5C -7C + +13C -15C

B =
1 3 5 7 13 15
15 15 15 15 15 15
2C -4C +6C -8C + +14C -16C

Gii
Xét khai trin:
(1 + x)
15
=
0 1 2 2 3 3 13 13 14 14 15 15
15 15 15 15 15 15 15
C C C C C C C
x x x x x x      

x(1 + x)
15
=
0 2 1 3 2 4 3 14 13 15 14 16 15
15 15 15 15 15 15 15
C C C C C C x C
x x x x x x
      

o hàm hai v ta có:
(1 + x)
15
+ 15x(1 + x)
14
=
0 1 2 2 3 3 13 13 14 14 15 15
15 15 15 15 15 15 15
2 3 4 14 15 16
C xC x C x C x C x C x C
       

Vi x = i ta có: (1 + i)
15
+ 15i(1 + i)
14
=
=


0 2 4 6 12 14
15 15 15 15 15 15
C 3C 5C 7C 13C 15C
     
+
+


1 3 5 7 13 15
15 15 15 15 15 15
2C 4C 6C 8C 14C 16C
     
i
Mt khác:
(1 + i)
15
+ 15i(1 + i)
14
=
   
15 14
15 14

2 cos sin 15i. 2 cos isin
4 4 4 4
i
   
   
   
   
   

   
15 15
7 7
15 15 14 14 2 2
2 cos isin 15.2 i cos isin 2 i 15.2
4 4 4 4 2 2
   
 
   
        
 
   
   
 
7 7 7 7 7 8 7
2 2 15.2 14.2 2 7.2 2
i i i
       

So sánh phn thc và o ca (1 + i)
15

+ 15i(1 + i)
14
trong hai cách tính trên ta
có:
0 2 4 6 12 14
15 15 15 15 15 15
C -3C +5C -7C + +13C -15C
= 7.2
8


1 3 5 7 13 15
15 15 15 15 15 15
2C -4C +6C -8C + +14C -16C
= -2
7
Ví d 3. Tính tng: S =
0 3 6 3 15 18
20 20 20 20 20 20

k
C C C C C C
      

Gii:
Xét khai trin:
(1 + x)
20
=
0 1 2 2 3 3 18 18 19 19 20 20

20 20 20 20 20 19 20
C C C C C x C x C
x x x x      

Cho x = 1 ta có:
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
16
2
20
=
0 1 2 3 18 19 20
20 20 20 20 20 20 20
C C C C C C C
      
(1)
Cho x =
1 3
2 2
i

   (
2
1
 
   
và
3

1


), ta có:
(1 +

)
20
=
0 1 2 2 3 18 19 2 20
20 20 20 20 20 20 20
C C C C C C C
   
      
(2)
Cho x =
2

ta có:
(1 +
2

)
20
=
0 2 1 2 3 18 2 19 20
20 20 20 20 20 20 20
C C C C C C C
   
      

(3)
Cng v theo v (1), (2) và (3) ta đc:
2
20
+ (1 +

)
20
+(1 +
2

)
20
= 3S.
Mt khác:
20 2 20 40
(1 ) ( )
   
    
;
2 20 20 20 2
(1 ) ( )
   
    

Do vy: 3S = 2
20
– 1. Hay S =
20
2 1

3


Ví d 4. Chng minh rng :
a.
0 2 4 2
2 2 2 2
( 1) 2 os
2
n n n
n n n n
n
C C C C c

     
b.
1 3 5 1 2 1
2 2 2 2
( 1) 2 sin
2
n n n
n n n n
n
C C C C

 
     
Gii
Ta có



2
0 1 2 2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2
1
n
n n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
 
      
Cho x = i ta đc


0 2 4 2 1 3 5 1 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2
1 [ ( 1) ]+[ ( 1) ].
n
n n n n
n n n n n n n n
i C C C C C C C C i
 
            (1)
Mt khác
 
2
1 2 os .sin 1 2 os .sin
4 4 2 2
n
n

n n
i c i i c i
   
   
      
   
   

 
2
1 2 os 2 sin
2 2
n
n n
n n
i c i
 
    (2)
T (1) và (2) ta đc
0 2 4 2
2 2 2 2
( 1) 2 os
2
n n n
n n n n
n
C C C C c

     
1 3 5 1 2 1

2 2 2 2
( 1) 2 sin
2
n n n
n n n n
n
C C C C

 
     

đpcm


Ví d 5. Chng minh rng vi mi s t nhiên n ta có:
a.
2 2 2 4 4 4 6 6 6
cos os os .sin os .sin os .sin
n n n n
n n n
n c C c C c C c
       
  
    

b.
1 1 3 3 3 5 5 5
sin os .sin os .sin os .sin
n n n
n n n

n C c C c C c
      
  
   

Gii
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
17
Ta có :
 
0
os .sin os .(isin )
n
n
k n k k
n
k
c i C c
   


  


2 2 2 4 4 4 6 6 6
1 1 3 3 3 5 5 5
( os os .sin os .sin os .sin )

.( os .sin os .sin os .sin ) (1)
n n n n
n n n
n n n
n n n
c C c C c C c
i C c C c C c
      
     
  
  
     
   

Mt khác :


os .sin cos .sin (2)
n
c i n i n
   
  
T (1) và (2) đng nht phn thc , phn o

đpcm.
Ví d 6. Chng minh rng
a.
0 1 2
( 2)
os os2 os3 os( 1) 2 . os . os

2 2
n n n
n n n n
n
C c C c C c C c n c c
 
   

     
b.
0 1 2
( 2)
sin sin2 sin3 sin( 1) 2 . os .sin
2 2
n n n
n n n n
n
C C C C n c
 
   

     
Gii
Ta có


0 1 2 2
1
n
n n

n n n n
x C C x C x C x
     


0 1 2 2 3 1
1
n
n n
n n n n
x x C x C x C x C x

       ; cho
os .sin
x c i
 
 
, ta đc
2
( os isin )(1 os isin ) ( os isin )(2cos 2 .sin . os )
2 2 2
n n
VT c c c i c
  
     
      
2 os ( os isin )( os .sin )
2 2 2
n n
n n

c c c i
  
 
   =
( 2) ( 2)
2 os [ os .sin ]
2 2 2
n n
n n
c c i
  
 
 
( 2) ( 2)
2 os . os .[2 os .sin ]
2 2 2 2
n n n n
n n
c c i c
   
 
  (1)
Mt khác






2 1

0 1
os .sin os .sin os .sin
n
n
n n n
VF C c i C c i C c i
     

      




0 1
os .sin os2 .sin2 [ os(n+1) .sin( 1) ]
n
n n n
C c i C c i C c i n
     
       
0 0
os( 1) sin( 1)
n n
k k
n n
k k
C c k i C k
 
 
   

 
(2)
T (1) và (2) , đng nht phn thc , phn o

đpcm











WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
18
Mt s bài tp áp dng
Bài 1. Gii các h phng trình sau
a.
3 2
2 3
3 1
3 1
x xy
x y y

 


 

b.
2 2
2 2
3
3
3
0
x y
x
x y
x y
y
x y


 






 





c.
6
1 2
3
6
1 1
x
x y
y
x y

 
 

 


 

 

 
 


 

d.

2 2
2 2
12 11
4
11 12
3
x y
x y
x y
x y
y x
x y


  






  




Bài 2.
a. Cho
2 2
1

x y
 
, chng minh rng :
9 4( ) 3 2( ) 3 2
x y x y     

b. Cho x, y, z > 0 tha mãn
1
x y z
  
. Chng minh rng:
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82
x y z
x y z
     

c. Cho a, b là hai s thc tha mãn
2 2
16 8 6
a b a b
   
. Chng minh
rng: 4a + 3b

40.
d. Chng minh rng vi
, , 0

x y z
 
, ta luôn có:
2 2 2 2 2 2
x xy y y yz z x xz z
       
.
Bài 3. Chng minh rng :
0 0 0 0
1 1 1 1
os6 sin 24 sin 48 sin12
c
  
.
Bài 4. Chng minh rng :
 
3
3
3 3 3
2 4 8 1
os os os 3 9 6
9 9 9 2
c c c
  
   

Bài 5. Cho a, b, c là các s thc tha mãn:
cosa + cosb + cosc = sina + sinb + sinc = 0. Chng minh rng
a. cos2a + cos2b + cos2c = sin2a + sin2b + sin2c = 0
b. 3cos(a+b+c) = cos3a + cos3b + cos3c và

3sin(a+b+c) = sin3a + sin3b + sin3c
Bài 6. Chng minh đng thc :




2 2
2 4 1 3 5
1 2
n
n n n n n
C C C C C
       
.
Bài 7. Tính tng:
A =
 
0 2 2 4 23 46 24 48 25 50
50 50 50 50 50 50
50
1
C -3C +3 C 3 C +3 C -3 C
2

Bài 8. Tính tng :
T =
1 4 7 3 1 16 19
20 20 20 20 20 20
C +C +C + +C + +C +C
k

WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
19
IV. Kt qu và kin ngh đ xut
1. Kt qu nghiên cu
Thc tin ging dy  trng THPT Hu Lc IV tôi đc nhà trng giao
cho ging dy 3 lp : 12A
3
, 12A
6
, 12B
5
. Sau khi th nghim dy ni dung
này qua vic lng ghép vào gi dy trên lp, các gi dy t chn, bi dng
tôi thy hc sinh rt hng thú hc tp, tip thu kin thc có hiu qu , cht
lng hc toán đc nâng lên rõ rt .
V vic s dng s phc vào gii mt s bài toán đi s , đã giúp cho Hc
sinh có mt s nhìn nhn tng đi mi m và toàn din v các phng pháp
gii h phng trình, chng minh các đng thc lng giác, tính tng các
biu thc cha
k
n
C
cng nh chng minh bt đng thc. Giúp các em nm
đc mi liên h mt thit gia s phc vi h phng trình , gia s phc
vi lng giác, gia s phc vi nh thc Niu-Tn và vi bt đng thc,

thy rõ đc vai trò ca vic vn dng s phc vào gii toán nói chung vào
vic gii toán đi s nói riêng .T đó Hc sinh bit đc khi nào thì s dng
s phc vào gii toán và s dng nh th nào .
Sau khi áp dng đ tài trên tôi đã kho sát li hc sinh và thu đc kt qu
nh sau :
Lp
S
s
Gii Khá TB Yu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
12A
3

50 10 20 25 50 15 30 0 0 0 0
12A
6

54 9 17 27 50 18 33 0 0 0 0
12 B
5

52 4 8 20 38 26 50 2 4 0 0
Nh vy qua kt qu trên , so sánh vi s liu kho sát ln đu , tôi nhn thy
cht lng hc tp môn toán ca Hc sinh đc nâng lên rõ rt , s lng
hc sinh khá gii đã tng lên nhiu .
2. Kin ngh và đ xut
Do thi gian dy hc trên lp còn hn ch, nên đ áp dng tt ni dung này
thì phi cn :
* i vi giáo viên :
- Nêu đy đ , ngn gn, các kin thc c bn .

- Nm vng vic hc và kh nng ca tng hc sinh đ giúp các em vn
dng tt trên kh nng ca mình
- Các kin thc đa ra cho hc sinh phi la chn tình hung trong tng tit
hc đ hc sinh ch đng tip thu kin thc
- Phi la chn phng pháp dy hc, phng tin phù hp vi ni dung
bài .
- Khc sâu kin thc kt hp vi luyn tp và đa ra các bài tp t gii cho
hc sinh t giác làm .
- Tham kho ý kin đng nghip, hc sinh đ có bin pháp truyn đt kin
thc hp lí
* i vi Hc sinh :
- Nghiên cu k sách giáo khoa và các sách tài liu khác
WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
20
- Luôn t giác hc tp và làm bài tp .
- Trao đi các thc mc vi giáo viên và bn bè
C. KT LUN
Nh vy qua đ tài, ta thy đc vic khai thác đnh ngha và các tính cht c
bn ca s phc, đã giúp hc sinh s dng s phc nh mt công c đc lc
nhm gii quyt hiu qu nhiu bài toán ca đi s, t đó giúp các em có
thêm phng pháp trong gii toán, có s linh hot hn trong t duy và nâng
cao cht lng dy hc, đáp ng đc yêu cu đi mi trong dy hc. Ngoài
ra các tính cht c bn ca s phc còn đc s dng nhiu trong các bài
toán hình hc, gii tích ,s hc và toán t hp nhng do khuôn kh ca đ tài
nên không th khai thác nhiu hn na v ng dng ca s phc, mong có
dp đc trao đi vi các đng nghip.
Cui cùng, dù đã c gng t nghiên cu, t bi dng và hc hi đng

nghip, song vn không th tránh khi nhng thiu sót. Rt mong đc s
góp ý , b sung ca các đng nghip đ đ tài đc hoàn thin hn .
Tôi xin chân thành cm n !
Hu Lc , ngày 09 tháng 05 nm 2012
Ngi thc hin



Nguyn Vn Mnh

WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
21
Tài liu tham kho
1. Sách giáo khoa i s 10 , i s và gii tích 11 , Gii tích 12
Nhà xut bn giáo dc 2008 – 2009
2 . Toán nâng cao gii tích 12
Phan Huy Khi – Nhà xut bn HQG Hà Ni 2000
3. Bin phc đnh lý và áp dng
Nguyn Vn Mu, Trn Nam Dng, inh Công Hng, Nguyn ng Pht,
T Duy Phng, Nguyn Thy Thanh – Nhà xut bn HQG Hà Ni 2009
4. Toán bi dng hc sinh lp 10 i s – Nhà xut bn Hà Ni 1998
5. Tuyn tp đ thi olympic 30 – 4 ln th V , VI , VII , VIII
Nhà xut bn giáo dc .

WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM
S DNG S PHC VÀO GII MT S BÀI TOÁN I S
Nguyn Vn Mnh
22
Mc Lc

Tên đ mc ………………………………………………………….Trang
A. t vn đ………………………………………………………… 1
B. Gii qut vn đ …………………………………………………… 1
I. C s lý lun ca vn đ…………………………………………… 1
II . Thc trng ca vn đ nghiên cu……………………………… 1
III. Các gii pháp t chc thc hin… ………………………… 2
Phn 1 . Kin thc c bn………………………………… 2
Phn 2 . Các ng dng ca s phc…………………………… … 3
Phn 3 . Gii mt s bài toán v i s thông qua các bài tp tng ng
cho mi ng dng…………………………………………………… 4
ng dng gii h phng trình ……………………………………… 4
ng dng trong vic chng minh bt đng thc…………………… 9
ng dng trong vic chng minh các đng thc lng giác ……… 11
ng dng trong vic tính tng các biu thc cha
k
n
C
……………… 14
Mt s bài tp áp dng……………………………………………… 18
IV. Kt qu và kin ngh đ xut……………………………………… 19
C . Kt lun …………………………………………………………….20

WWW.VINAMATH.COM
WWW.VINAMATH.COM