skkn tam thức bậc hai và ứng dụng của nó vào giải các bài toán ở phổ thông

TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG CỦA NÓ VÀO GIẢI
CÁC BÀI TOÁN Ở PHỔ THÔNG
Dạng 1. Định m để ph bậc hai có hai nghiệm thoả mãn một hệ thức.
Phương pháp.
• Tìm điều kiện phương trình có hai nghiệm (∆ ≥ 0).
• Kết hợp hệ thức của đề cho với định lí Viet để tìm m.
• Chọn m thoả mãn ∆ ≥ 0.
Dạng 2. Một nghiệm của phương trình này bằng k lần nghiệm một nghiệm của pt kia.
Phương pháp.
• Chọn a là nghiệm cần xét của pt.
• Thế a , ka vào các pt rồi giải hệ.
Dạng 3. Tính biểu thức đối xứng và giá trị LN, NN của tam thức bậc hai.
Biểu thức đối xứng với x
1
, x
2
là biểu thức không đổi dấu khi ta hoán vị x
1
, x
2
Phương pháp.
• Biến đổi biểu thức để xuất hiện S, P ( chủ yếu dùng hằng đẳng thức).
• Ta biết tam thức bậc hai :
2
(a > 0)ax bx c+ +
đạt giá trị nhỏ nhất khi
2
b
x
a
−

=
•
2
(a <0)ax bx c+ +
đạt giá trị lớn khi
2
b
x
a
−
=
• Để chứng minh điều trên ta có thể dùng bảng biến thiên hàm số
2
y ax bx c= + +
hoặc đưa
tam thức về dạng
2
2
2
4
4
b
=a x+
2a
b ac
ax bx c
a
−
 
+ + −

 ÷
 
.
• Nếu tam thức bậc hai có biến x bị giới hạn thì các điều trên không chắc đã đúng. Khi đó
dùng bảng biến thiên là mạnh nhất. Chỉ được sử dụng phương pháp còn lại khi biết chắc
rằng
b
2a
−
thuộc tập giá trị x.
Dạng 4. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m.
1
Phương pháp.
• Sử dụng định lí Viet.
• Khử m của hệ từ đó suy ra hệ thức liên hệ.
Dạng 5. Lập pt bậc hai, biết nghiệm của nó thoả mãn một điều kiện cho trước.
Phương pháp.
• Sử dụng định lí Viet để tìm tổng, tích các nghiệm của pt cần lập.
• Sử dụng công thức nghiệm
b
2a
± ∆
−
.
Dạng 6. Dấu nghiệm số của pt:
2
= 0 (1)ax bx c+ +
.
Phương pháp.
Gọi x

1
, x
2
là các nghiệm của pt (1). Ta có:
Điều kiện Kết luận
P < 0 x
1
< 0 < x
2
P> 0, ∆ ≥ 0
S < 0
1 2
0x x
≤ <
S > 0
1 2
0 x x< ≤
P = 0 S < 0 Nghiệm lớn hơn bằng 0
S > 0 Nghiệm nhỏ hơn bằng 0
S = 0 Hai nghiệm cùng bằng 0
Hệ quả:
1.
1 2
0 0
P =0
V
S > 0
x x P

≤ < ⇔ <



2.
1 2
0 0
P =0
V
S > 0
x x P

< ≤ ⇔ <


3.
1 2
0
0
P 0
S 0
x x
∆ ≥


≤ ≤ ⇔
≥


≤

4.

1 2
0
0
P 0
S 0
x x
∆ ≥


≤ ≤ ⇔
≥


≥

Dạng 7. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.
Phương pháp.
Sử dụng tính chất có nghiệm của pt bậc hai ( tính ∆ (∆’ ≥ 0). Tuỳ từng bài mà sử dụng cho linh
2
hoạt.
Dạng 8. Chứng minh pt có nghiệm.
Phương pháp.
• Trước hết ta kiểm tra phương trình đã cho đã là pt bậc hai chưa.
• Khi đã là pt bậc hai thì sử dụng tính chất có nghiệm của pt (tính ∆ (∆’ ≥ 0) ).
+ Chứng minh ac <0
+ Chứng minh tồn tại số a sao cho c f(c) < 0.
+ Chứng minh tồn tại hai số b , c sao cho f(c). f(b) < 0
Dạng 9. Phương trình bậc cao quy về phương trình bậc hai.
Dạng 10. Các phương trình vô tỷ quy về phương trình bậc hai.
Phương pháp.

• Tìm điều kiện để các biểu thức của ẩn số chứa trong dấu căn bậc chẵn không âm.
• Nâng lên luỹ thừa để đưa về. ( Cần chú ý đặt điều kiện để phép biến đổi là tương
đương)
• Đặt ẩn số phụ.
Dạng 11. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
Phương pháp.
Khử dấu giá trị tuyệt đối.
• Chia nhỏ TXĐ thành các khoảng sau đó phá dấu giá trị tuyệt đối dựa vào các khoảng đó.
• Bình phương hai vế để phá
Dạng 12. Các phương trình mũ quy về PT bậc 2.
Phương pháp:
I. Phương trình.
1. Dạng cơ bản
0 1
0
( )
( ) log
f x
a
a
a b f x b
b
< ≠


= ⇔ =


>


.
2. Đưa về cùng cơ số. Biến đổi phương trình về dạng
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
= ⇔ =
.
3. Lấy loga hai vế.
4. Đặt ẩn phụ.
3
5. Chứng minh pt có nghiệm duy nhất
Một số phương trình có thể giải được bằng cách đoán nhận được một nghiệm. Sau đó
dùng tính đồng biến, nghịch biến để chứng tỏ nghiệm tìm được là duy nhất.
II. Bất phương trình.
Ta có thể dùng các phương pháp như đối với phương trình loga. Cần chú ý là cơ sở để
giải các BPT mũ là dựa vào các tính chất sau:
1. Nếu a > 1 thì:
0
( ) ( )
log ( ) log ( )
( )
a a
f x g x
f x g x
g x
>

> ⇔


>

.
2. Nếu 0 < a < 1 thì
0
( ) ( )
log ( ) log ( )
( )
a a
f x g x
f x g x
f x
<

> ⇔

>

.
Tổng quát ta có:
1.
1 0
0 0
1 0
log ( ) log ( )
( ) , ( )
( )( ( ) ( ))
a a
a
f x g x

f x g x
a f x g x
≠ >


> ⇔
> >


− − >


1 0
0 0
1 0
log ( ) log ( )
( ) , ( )
( )( ( ) ( ))
a a
a
f x g x
f x g x
a f x g x
≠ >


≥ ⇔
> >



− − ≥


Dạng 13. Các phương trình loogarit quy về PT bậc 2.
Phương pháp:
I. Phương trình.
6. Dạng cơ bản
0 1
log ( )
( )
a
b
a
f x b
f x a
< ≠

= ⇔

=

.
7. Đưa về cùng cơ số. Biến đổi phương trình về dạng
log ( ) log ( )
a a
f x g x=
0 1
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a

a
f x g x
f x g x
< ≠

= ⇔

=

8. Đặt ẩn phụ.
9. Chứng minh pt có nghiệm duy nhất
Một số phương trình có thể giải được bằng cách đoán nhận được một nghiệm. Sau đó
4
dùng tính đồng biến, nghịch biến để chứng tỏ nghiệm tìm được là duy nhất.
II. Bất phương trình.
Ta có thể dùng các phương pháp như đối với phương trình loga. Cần chú ý là cơ sở để
giải các BPT loga là dựa vào các tính chất sau:
3. Nếu a > 1 thì:
0
( ) ( )
log ( ) log ( )
( )
a a
f x g x
f x g x
g x
>

> ⇔


>

.
4. Nếu 0 < a < 1 thì
0
( ) ( )
log ( ) log ( )
( )
a a
f x g x
f x g x
f x
<

> ⇔

>

.
Tổng quát ta có:
2.
1 0
0 0
1 0
log ( ) log ( )
( ) , ( )
( )( ( ) ( ))
a a
a
f x g x

f x g x
a f x g x
≠ >


> ⇔
> >


− − >

3.
1 0
0 0
1 0
log ( ) log ( )
( ) , ( )
( )( ( ) ( ))
a a
a
f x g x
f x g x
a f x g x
≠ >


≥ ⇔
> >



− − ≥

Dạng 14. Phương trình lượng giác quy về PT bậc 2.
Dạng 15. Giải các phương trình phức hợp quy về PT bậc 2.
Dạng 16. Một số hệ phương trình quy về phương trình bậc hai.
Dạng 17. Một số phương trình có ẩn số ở mẫu.
Dạng 18. Giải và biện luận bất phương trình bậc 2
Phương pháp:
1. Laapk bảng xét dấu a , ∆.
2. Dựa vào bảng này mà phân chia bài toán thành các trường hợp.
3. Trong mỗi trường hợp ta giải BPT đã cho.
Dạng 19: Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R
Phương pháp:
Cho
2
( ) ( 0) (1)f x ax bx c a= + + ≠
. Ta có:
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

( )
( )
( )
( )
a
f x x
a
f x x
a
f x x
a
f x x
>

> ∀ ∈ ⇔

∆ <

>

≥ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤

<

< ∀ ∈ ⇔

∆ <


<

≤ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤

¡
¡
¡
¡
Dạng 20: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số α cho trước
Phương pháp giải:
Ta sử dụng kiến thức sau để giải: Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 ta có:
Điều kiện Kết kuận
a. f(α) < 0 x
1
< α < x
2
a. f(α) > 0, ∆ ≥ 0 S/2 -α < 0 x
1
≤ x
2
< α

S/2 -α > 0 α < x
1
≤ x
2
a. f(α) = 0 S/2 -α < 0 α là nghiệm lớn
S/2 -α > 0 α là nghiệm nhỏ
S/2 - α = 0 2 nghiệm cùng bằng α
Hệ quả 1: x
1
< α ≤ x
2
⇔ a. f(α) < 0 V
( ) 0
0
2
af
S
α
α
=



− <


Hệ quả 2:
1 2
0x x af
α α

≤ ≤ ⇔ <( )
V
( ) 0
0
2
af
S
α
α
=



− >


Hệ quả 3
1 2
0
0
0
2
x x af
S
α α
α


∆ >


< ≤ ⇔ ≥



− <

( )
Hệ quả 4
1 2
0
0
0
2
x x af
S
α α
α


∆ ≥

≤ ≤ ⇔ ≥



− ≤

( )
6
Hệ quả 5

1 2
0
0
0
2
x x af
S
α α
α


∆ >

≤ < ⇔ ≥



− >

( )
Hệ quả6
1 2
0
0
0
2
x x af
S
α α
α



∆ ≥

≤ ≤ ⇔ ≥



− ≥

( )
Dạng 21. Điều kiện để phương trình bậc hai có ít nhất (hay duy nhất) một nghiệm lớn
hơn hay bằng (hay bé hơn) một số cho trước.
Dạng 22. So sánh các nghiệm x
1
, x
2
của phương trình bậc hai với hai số thực α, β (α < β).
Phương pháp:
stt
Các trường
hợp  af( )
af(
) s/2 - 
s/2 -
 Ghi chú
1
1 2
x x
α β

< < <
+ + +
Chỉ so sánh với β
2
1 2
x x
α β
< < <
+ + -
Chỉ so sánh với α
3
1 2
x x
α β
< < <
+ + + + -
4
1 2
x x
α β
< < <
+ -
Nếu trong α, β có một số
thuộc (x
1
, x
2
) thì bỏ được điều
kiện về ∆ và về S/2
5

1 2
x x
α β
< < <
- +
6
1 2
x x
α β
< < <
- -
+ Nếu chưa rõ α < β thì phải thêm điều kiện α < β vào các điều kiện trên.
+ (4) V (5) ⇔ f(α) .f(β) < 0 ( a
≠
0).
+ Nếu có dấu “ =” thì thêm các điều kiện tương tương hoặc tách ra xét riêng.
Dạng 23. Phương trình bậc hai có ít nhất hay duy nhất một nghiệm thuộc đoạn, khoảng.
Dạng 24. Điều kiện tam thức không đổi dấu trên một miền I.
Phương pháp.
Giả sử ta cần định m để f(x) > 0 (1) với mọi x ∈ I ( hay f( x) < 0 , f(x) ≥ 0,
( ) 0f x ≤
). Ta sẽ:
7
• Giải (1) để tìm tập hợp nghiệm S ( thường phải xét trong nhiều trường hợp)
• Trong mỗi trường hợp xét điều kiện để I∈ S.
Dạng 25. Dùng định lí dấu tam thức để chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm.
Phương pháp:
Cho phương trình
2
( ) 0 (1)f x ax bx c= + + =

• Nếu có số c sao cho af( c) < 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt.
• Nếu có 2 số c , d thoả mãn:
+ f( c) f(d) < 0 thì (1) có nghiệm.
+ f( c) f( d) < 0 thì a ≠ 0 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Dạng 26. Ứng dụng tam thức bậc hai tìm GTLN- GTNN của hàm số.
Trong phần này chúng ta ứng dụng tính chất định tính và định hình của tam thức bậc hai để
nghiên cứu GTLN- GTNN của hàm số thông qua các ví dụ.
Phương pháp giải.
Với hàm số
2
( ) ( >0) (1)f x ax bx c a= + +
( với a < 0 ta xét tương tự), xét trên đoạn [c, d].
Nếu muốn tìm GTLN- GTNN của hàm số ta cần phân biệt hai trường hợp:
+ Nếu hoành độ đỉnh (P)
[ ]
0
,
2
b
x c d
a
= − ∈
thì
[ ]
{ }
min 0 max
( ) , f max ( ), ( )f f x f c f d= =
.
+ Nếu hoành độ đỉnh (P)
[ ]

0
,
2
b
x c d
a
= − ∉
thì
[ ]
{ }
[ ]
{ }
min max
f min ( ), ( ) , f max ( ), ( )f c f d f c f d= =
.
Dạng 27. Vị trí hai cặp nghiệm của các phương trình bậc hai.
Phương pháp giải.
Cơ sở của phương pháp là định các tham số m để vị trí của 2 cặp nghiệm x
1
, x
2
và x
3
, x
4
của
hai phương trình

2
1 1 1

2
2 2 2
( ) 0
( ) 0
f x a x b x c
g x a x b x c

= + + =

= + + =

thoả mãn một trong hai bất đẳng thức sau:
1 2 3 4 3 1 2 4
, x < xx x x x x x< < < < <
( có 4 nghiệm xen kẽ hoặc hai nghiệm của phương trình này
nằm trong khoảng hai nghiệm của phương trình kia).
Dang28. Các phương trình bậc hai tương đương.
8
Phương pháp.
Cơ sở của pp là tìm các giá trị hàm sô, chẳng hạn nghiệm làm cho hai phương trình
2
1 1 1
2
2 2 2
( ) 0
( ) 0
f x a x b x c
g x a x b x c

= + + =


= + + =

tương đương ( có cùng tập nghiệm ). Ta thực hiện qua hai bước:
1. Tìm điều kiện cần bằng cách xét 2 trường hợp xẩy ra để tìm ra các tham số m
1 2
1 2
1 2 1 2 3 4
1 2
1 2 3 4
1 2
1 2
0
S
0
0
0
0
0
S
f
g
f
f
g
g
S
b b
S x x x x
a a

x x x x
c c
a a
φ
φ
∆ <

+ = = ⇔

∆ <

∆ ≥

∆ ≥


∆ ≥


∆ ≥



=
+ = ≠ ⇔ + = + ⇔
 
 
=
 
=

 


2. Tìm điều kiện cần bằng cách khử m.
Dạng 29. Dạng
( ) 0
( ) 0
f x
g x
=


=

có 1 nghiệm chung, có hai nghiệm chung.
Phương pháp.
+ Phương pháp 1: Gọi a là nghiệm chung của hai phương trình từ đó suy ra phương trình đặc
trưng của nghiệm chung chẳng hạn theo tham số m. F
m
( a) =0 (1). Giải và biện luận (1) ta
suy ra các giá trị nghiệm của tham số là điều kiện cần. Sau đó giải điều kiện đủ bằng cách thử
các nghiệm tìm được để xác định a và m thoả mãn yêu cầu bài toán.
+ Phương pháp 2: Cơ sở của là dùng hệ phương trình đặc trưng của a qua 2 bước.
1. Đặt a
2
=y ≥ 0 với a là nghiệm chung. Ta có hệ phương trình ( chẳng han chứa tham
số). Từ hệ này suy ra các giá trị nghiệm là tham số có yêu cầu trong đề toán ( điều
kiện cần).
2. Dùng phép thử các giá trị a cho yêu cầu đề toán.
Dạng 30. Sử dụng tam thức bậc hai giải các bài toán trong tam giác.

9
Dạng 31. Sử dụng tam thức bậc hai để chứng minh BĐT.
MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÓ VỀ TAM THỨC BẬC HAI MÀ
Ở CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG ÍT GẶP
1. Dạng 1. Tìm GTLN, GTNN của đa thức bậc hai.
2. Dạng 2. Biện luận pt, bất pt bằng đồ thị.
Phương pháp.
• Bước 1: Đưa phương trình giả thiết
0( )
n
f x =
về dạng
2
( ) : y=ax
(d): y=m
P bx c

+ +


.
• Bước 2: Khi d // Ox do m thay đổi bằng trực quan hình học xác định số giao điểm,
sự cắt không cắt và tiếp xúc.
• Bước 3: Lập bảng liệt kê theo m các giao điểm mà tìm được để kết luận bài toán.
Ví dụ: 1. Tìm tham số a để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt.

2 2
2 10 8 5x x x x a− + + = + +
2. Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất.

2 2
2 3 2 5 8 2x x a x x− − = − −
Chú ý: Đối với ví dụ trên ta có thể giải bằng phương pháp thông thường:
+ Đặt điều kiện cho hai vế không âm.
+ Bình phương hai vế.
+ Đưa về một tuyển phương trình bậc hai để giải ( nhưng việc giải nó rất dài và dễ
nhầm lần).
PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY
Mục đích: Giúp các em học sinh hiểu rõ bản chất vấn đề và biết vận dụng nó vào giải một số
bài tập cụ thể. Vì hầu hết các em học xong phần này đều chưa biết vận dụng để giải quyết các
bài toán.
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI
1. Phương pháp 1. Tiến hành qua 4 bước:
10
a. Phân tích bài toán.
Ở bước này ta phải hoàn thành các công việc sau:
+ Đưa bài toán về dạng quen thuộc.
+ Chia nhỏ bài toán thành nhiều phần.
b. Biểu diễn bằng đồ thị: ứng với mỗi phần ở a) ta biểu diễn nó bằng một đồ thị.
c. Viết hệ điều kiện: Điều này được suy ra từ b).
d. Giải hệ điều kiện và kết luận.
2. Phương pháp 2.
a. Biến đổi phương trình đã cho về dạng: p(x) = g(m).
Trong đó: p(x): là tam thức bậc hai.
g(m): biểu thức chứa m.
Ta cần chú ý là có bài toán thì đưa về được ngay dạng trên có bài toán cần phải thông
qua một vài phép biến đổi.
b. Vẽ đồ thị hàm số y = p(x).
c. Coi g(m) là đường thẳng song song với Ox. Dựa vào đồ thị hàm số để giải và biện luận
theo yêu cầu bài toán.

d. Kết luận.
Ưu điểm nổi bật của PP:
1. Dễ hiểu bởi sử dụng hình ảnh trực quan.
2. Học sinh khắc sâu được kiến thức.
3. Tránh được nhầm lẫn khi viết hệ điều kiện.
NGOẠI KHOÁ TOÁN
Nội dung: Phương trình bậc hai chiếm một vị trí rất quan trọng trong chương trình đại số 10.
Trong đó phải kể đến định lí Viet. Nó giống như chiếc chìa khoá để mở cửa vào pt bậc hai
và tam thức bậc hai. Đối với mức độ tư duy của học sinh lớp 10 thì định lí này cũng không
phải là quá khó nhưng cũng không quá dễ. Việc hiểu thấu đáo về nó thì thật không phải đơn
giản.
11
I. Định lí Viet.
II. Ứng dụng của định lí
Một bài toán về phương trình bậc hai nói riêng và tam thức bậc hai nói chung đều liên quan
đến nghiệm để giải nó. Điều đầu tiên ta nghĩ đến đó là định lí Viet. Hầu hết học sinh sau khi
học xong định lí đều chưa hiểu hết tác dụng và ứng dụng của định lí.
Như ta đã biết định lí này có nhiều ứng dụng:
1. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.
2. Dùng để biện luận đối với những bài toán chứa tham số có liên quan đến nghiệm.
3. Các dạng toán khác có liên quan.
Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
Đối với những pt bậc hai đơn giản thì thay cho việc giải pt để tìm ngiệm ta có thể dùng định lí
Viet để nhẩm nghiệm.
Phương pháp
• Áp dụng định lí Viet
1 2
1 2
(1)

(2)
b
x x
a
c
x x
a

+ = −




=


• Từ (2) ta suy ra hai nghiệm của pt cùng dấu hay khác dấu, kết hợp với (1) ta biết được hai
nghiệm đó cùng âm hay cùng dương.
• Phân tích c/a thành hai nhân tử (có nhiều cặp) và dựa vào (1) để suy ra nghiệm của pt.

12