ôn tập lượng giác lớp 10

ÔN T P L NG GIÁC-10Ậ ƯỢ
I- GÓC VÀ CUNG L NG GIÁCƯỢ :
1. Công th c quy đ i đ – Rađian: ứ ổ ộ
180
a
α
π
=
( a tính b ng đ , ằ ộ
α
tính b ng rad)ằ
2. S đo góc và cung l ng giác theo đ và radian.ố ượ ộ
sđ(ox, ot) = a
0
+ k360
0
ho c sđ(ox, ot) = ặ
α
+ k2
π
, k ∈ Z. (v i 0ớ
0
≤ a < 360
0
, 0
0
≤
α
< 2π)
sđ AB = a
0

+ k360
0
ho c sđ AB = ặ
α
+ k2
π
, k ∈ Z. ( v i 0ớ
0
≤ a < 360
0
, 0
0
≤
α
< 2π)
3. Công th c tính đ dài cung: lứ ộ =
α
.R (
α
tính b ng rad)ằ
II.NHÓM CÔNG TH C L NG GIÁC 1:Ứ ƯỢ
1. H ng đ ng th c l ng giác:ằ ẳ ứ ượ
 sin
2
x + cos
2
x = 1⇔

= −


= −


2 2
2 2
sin x 1 cos x
cos x 1 sin x
⇔
2
2
1
1

= ± −


= ± −

x x
x x
sin cos
cos sin
 1+tan
2
x =
2
1
cos x
⇔ cos
2

x =
+
2
1
1 tan x
⇔ cosx =
±
+
2
1
1 tan x
 1+cot
2
x =
2
1
sin x
⇔ sin
2
x =
+
2
1
1 cot x
⇔ sinx =
±
+
2
1
1 cot x

 tanx.cotx = 1 ⇔ tanx =
=
sin x 1
cos x cot x
⇔ cotx =
=
cos x 1
sin x tan x
 Chú ý: Trong các công th c có ch a d u (ứ ứ ấ ± ) , vi c ch n d u (+) ho c d u (–) c n nh n xét giá trệ ọ ấ ặ ấ ầ ậ ị
c a cung x trên đ ng tròn l ng giác.ủ ườ ượ
2. Cung liên k t:ế
–x
π
– x
π
2
– x
π
+ x
π
2
+ x
sin –sinx sinx cosx –sinx cosx
cos cosx –cosx sinx –cosx –sinx
tan –tanx –tanx cotx tanx –cotx
cot –cotx –cotx tanx cotx –tanx
3. Chú ý:
a + b = π ≡ 180
0
cosb = –cosa sinb = sina

a + b =
π
2
≡ 90
0
cosb = sina sinb = cosa
∆AB
C
sin(B + C) = sinA cos(B + C) = –cosA tan(B + C) = – tanA
+
=
B C A
sin cos
2 2
+
=
B C A
cos sin
2 2
+
=
B C A
tan cot
2 2
sin(x + k2π) = sinx
cos(x + k2π) = cosx
tan(x + kπ) = tanx
cot(x + kπ) = cotx
III. NHÓM CÔNG TH C L NG GIÁC 2:Ứ ƯỢ
1.Công th c c ng:ứ ộ

cos(a ± b) = cosa.cosb
m
sina.sinb sin(a ± b) = sina.cosb ± sinb.cosa
tan(a ± b) =
±
m
tana tanb
1 tana.tanb
2.Công th c nhân:ứ
Đ ng Thanh C u_Tài li u ôn hèặ ầ ệ
1
cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 2cos
2
a – 1 = 1 – 2sin
2
a =
−
+
2
2
1 tan a
1 tan a
sin2a = 2sina.cosa =
+
2
2 tana

1 tan a
; tan2a =
−
2
2 tana
1 tan a
3.Công th c h b c:ứ ạ ậ
−
=
2
1 cos2a
sin a
2
;
+
=
2
1 cos2a
cos a
2
;
−
=
+
2
1 cos2a
tan a
1 cos2a
4.Công th c tính theo t :ứ
=

a
t tan
2
=
+
2
2t
sina
1 t
−
=
+
2
2
1 t
cosa
1 t
=
−
2
2t
tana
1 t
5. Công th c bi n đ i tích thành t ng:ứ ế ổ ổ
2cosa.cosb = cos(a + b) + cos(a – b) 2sina.sinb = –[ cos(a + b) – cos(a – b) ]
2sina.cosb = sin(a + b) + sin(a – b)
6. Công th c bi n đ i t ng thành tích:ứ ế ổ ổ
+ −
+ =
a b a b

cosa cosb 2cos cos
2 2
+ −
− =−
a b a b
cosa cosb 2sin sin
2 2
tana + tanb =
a b
a b
sin( )
cos .cos
+
+ −
+ =
a b a b
sina sinb 2 sin cos
2 2
+ −
− =
a b a b
sina sinb 2cos sin
2 2
tana – tanb =
a b
a b
sin( )
cos .cos
−
H quệ ả: cosx + sinx =

2 sin( x) 2 cos( x)
4 4
π π
+ = −
cosx – sinx =
2 sin( x) 2 cos( x)
4 4
π π
− = +
III. H TH C L NG TRONG Ệ Ứ ƯỢ ∆ ABC:
1. Đ nh lý hàm s sin và cos:ị ố
a b c
2R
sinA sinB sinC
= = =
2 2 2
a b c 2bc.cos A= + −
2 2 2
b a c 2ac.cosB= + −
2 2 2
c a b 2ab.cosC= + −
2. Chuy n c nh sang góc:ể ạ
a = 2RsinA b = 2RsinB c = 2RsinC
3. Chuy n góc sang c nh:ể ạ
a
sinA
2R
=

2 2 2

b c a
cosA
2bc
+ −
=
4. Công th c di n tích:ứ ệ
= = = = = =
a b c
1 1 1 1 1 1
S a.h b.h c.h bc sinA acsinB absinC
2 2 2 2 2 2

abc
S pr p(p a)(p b)(p c)
4R
= = = − − −
, v i ớ
+ +
=
a b c
p
2

R: Bán kính đ ng tròn ngo i ti p, r: Bán kính đ ng tròn n i ti p ườ ạ ế ườ ộ ế ∆ABC
5. Công th c đ ng trung tuy n và phân giác trong các góc c a ứ ườ ế ủ ∆ ABC:

+
= −
2 2 2
2

a
b c a
m
2 4
+
= −
2 2 2
2
b
a c b
m
2 4
+
= −
2 2 2
2
c
a b c
m
2 4
(m
a
, m
b
, m
c

−
độ dài trung tuy n)ế
=

+
a
2bc A
l cos
b c 2
=
+
b
2ac B
l cos
a c 2
=
+
c
2ab C
l cos
a b 2
(l
a
, l
b
, l
c

−
đ dài phân giác)ộ
Đ ng Thanh C u_Tài li u ôn hèặ ầ ệ
2
B.
BÀI T PẬ

.
V N Đ 1. CÁC BÀI T P C B N V BI N Đ I L NG GIÁC.Ấ Ề Ậ Ơ Ả Ề Ế Ổ ƯỢ
1. Tính giá tr l ng giác c a cung sau.ị ượ ủ
1) sina =
3
5
v i 0 < a < ớ
2
π
2) tana = -
2
v i ớ
2
π
< a <
π
3) cosa =
5
1
v i -ớ
2
π
< a < 0 4) sina =
3
1
v i a ớ ∈ (
2
π
, π ) 5) tana = 2 v i aớ ∈ (π,
2

3π
)
2. Ch ng minh các đ ng th c sau:ứ ẳ ứ
1) sin
2
x + tan
2
x =
2
1
cos x
- cos
2
x 2) tan
2
x - sin
2
x = tan
2
xsin
2
x 3)
2
2
tan3 3 tan
tan 1 3tan
x x
x x
−
=

−
4)
2 2
2 2
cos sin
cot tan
x x
x x
−
−
= sin
2
xcos
2
x 5)
2
2
2
1
(1 cot )( 1)
cos
1 tan
x
x
x
+ −
+
= 1
6) cosx + cos(2π/3 - x) + cos(2π/3 - x) = 0 7) sin(a + b)sin(a - b) = sin
2

a -sin
2
b = cos
2
b - cos
2
a
8)
2 2
2 2
tan tan
1 tan tan
a b
a b
−
−
= tan(a +b)tan(a - b) 9) cos
3
xsinx - sin
3
xcosx =
1
4
sin4x
10)
cos sin
cos sin
x x
x x
−

+
=
1
cos2x
- tan2x 11)
sin 2 2sin
sin 2 2sin
x x
x x
−
+
= -tan
2
2
x
12) sin3xcos
3
x + sin
3
xcos3x =
3
4
sin4x 13) sinx - sin2x +sin3x = 4cos
3
2
x
cosxsin
2
x

14) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos
2
x 15)
4 4 2
2
2
sin cos cos
cos
2(1 cos ) 2
x x x x
x
− +
=
−

3. Rút g n các bi u th c sau: ọ ể ứ
1) A = sin(x +
5
2
π
) - 3cos(x -
7
2
π
) + 2sin(x + π ) 2) B=
( )
11
sin cos 5sin
2 2
x x x

π π
π
   
− + − − +
 ÷  ÷
   
3)
( ) ( ) ( )
os os 2 sin os
2
C c c c
π
α π α π α π α
 
= + + − + − + +
 ÷
 
4) D= 2cosa-3cos(π+a)-5sin(π/2-a)+cot(
3
2
π
- a)
5) cos(π - a) - 2sin(3π/2 + a) + tan(
3
2
π
- a ) + cot(2π - a)
4. Ch ng minh r ng các bi u th c sau không ph thu c vào a.ứ ằ ể ứ ụ ộ
1) A = cos
4

a + cos
2
asin
2
a +sin
2
a 2) B = cos4a - sin4a + 2sin
2
a
3) C = 2(sin
6
a + cos
6
a) - 3(sin
4
a + cos
4
a) 4) D =
1 cot
1 cot
a
a
+
−
-
2
tan 1a −
5) E =
2
sin 4 4cosa a+

+
4 2
cos 4sina a+
6) F = cos
2
a + sin(30
0
+ a)sin(30
0
- a)
7) G = sin
6
a + cos
6
a + 3sin
2
acos
2
a 8) H =
4 4
6 6
sin cos 1
sin cos 1
a a
a a
+ −
+ −

Đ ng Thanh C u_Tài li u ôn hèặ ầ ệ
3

Đ ng Thanh C u_Tài li u ôn hèặ ầ ệ
4