ÔN tập tuyển sinh lớp 10 Tỉnh Quảng Trị

Chuyªn ®Ị vỊ HƯ ph¬ng tr×nh

Ngun C«ng Minh
Chuyªn ®Ị: hƯ ph¬ng tr×nh
C¸c kiÕn thøc cÇn nhí
1) HƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:
- §Þnh nghÜa: Cho hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ax+by=c vµ a'x+b'y=c'. Khi ®ã ta
cã hƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn:
(1)
' ' '(2)
ax by c
a x b y c
ì
+ =
ï
ï
ï
í
ï
+ =
ï
ï
ỵ
(I)
- NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy cã nghiƯm chung (x
0
; y
0
) th× (x
0
; y

0
) ®ỵc gäi lµ nghiƯm cđa
hƯ (I)
- NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy kh«ng cã nghiƯm chung th× ta nãi hƯ v« nghiƯm
2) Quan hƯ gi÷a sè nghiƯm cđa hƯ vµ ®êng th¼ng biĨu diƠn tËp nghiƯm
Ph¬ng tr×nh (1) ®ỵc biĨu diƠn bëi ®êng th¼ng (d)
Ph¬ng tr×nh (2) ®ỵc biĨu diƠn bëi ®êng th¼ng (d')
- NÕu (d) c¾t (d') hƯ cã nghiƯm duy nhÊt
- NÕu (d) song song víi (d') th× hƯ v« nghiƯm
- NÕu (d) trïng (d') th× hƯ v« sè nghiƯm.
3) HƯ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng:
Hai hƯ ph¬ng tr×nh ®ỵc gäi lµ t¬ng ®¬ng víi nhau nÕu chóng cã cïng tËp nghiƯm
4) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ, ph¬ng ph¸p céng.
a) Quy t¾c thÕ: Quy t¾c thÕ dïng ®Ĩ biÕn ®ỉi mét hƯ ph¬ng tr×nh thµnh hƯ ph¬ng
tr×nh t¬ng ®¬ng.
+ Bíc 1: Tõ mét ph¬ng tr×nh cđa hƯ ®· cho ta biĨu diƠn mét Èn theo Èn kia råi thÕ
vµo ph¬ng tr×nh thø hai ®Ĩ ®ỵc mét ph¬ng tr×nh míi (chØ cßn 1 Èn).
+ Bíc 2: Dïng ph¬ng tr×nh míi Êy ®Ĩ thay thÕ cho ph¬ng tr×nh thø hai trong hƯ (ph-
¬ng tr×nh thø nhÊt còng thêng ®ỵc thay thÕ bëi hƯ thøc biĨu diƠn mét Èn theo Èn kia
cã ®ỵc ë bíc 1).
b) Quy t¾c céng ®¹i sè: Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình
thành hệ phương trình tương đương.
+ Bíc 1: Céng hay trõ tõng vÕ hai ph¬ng tr×nh cđa hƯ cđa hƯ ph¬ng tr×nh ®· cho ®Ĩ
®ỵc mét ph¬ng tr×nh míi.
+ Bíc 2: Dïng ph¬ng tr×nh míi Êy thay thÕ cho mét trong h¸i ph¬ng tr×nh cđa hƯ (vµ
gi÷a nguyªn ph¬ng tr×nh kia)
______________________________________________________________
Trêng THCS Nam Hoa – Nam Trùc – Nam §Þnh 1


Chuyên đề về Hệ phơng trình

Nguyễn Công Minh
L u ý : Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau) thì ta cộng (hoặc
trừ) hai vế của hệ. Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối
nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để đa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau
(hoặc bằng nhau).
Bài tập
Bài tập và h ớng dẫn :
Bài 1: : Giải các HPT sau:
1.1.
a.
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =

b.
2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ =


+ =

Giải:
a. Dùng PP thế:
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


2 3 2 3 2 2
3 2 3 7 5 10 2.2 3 1
y x y x x x
x x x y y
= = = =



+ = = = =

Vọy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y
=

=

Dùng PP cộng:
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


5 10 2 2
3 7 3.2 7 1
x x x
x y y y
= = =



+ = + = =

Vậy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y

=


=


- Để giảI loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi.

2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ =


+ =


10 15 10 11 22 2 2
10 4 12 5 2 6 5 2.( 2 6) 2
x y y y x
x y x y x y
+ = = = =



+ = + = + = =

Vaọy HPT có nghiệm là
2

2
x
y
=


=

- Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai cách giảI sau đây:

1.2.
2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ =

+



+ =

+

+ Cách 1: Sử dụng PP cộng. ĐK:
1, 0x y
.
______________________________________________________________
Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 2


Chuyªn ®Ị vỊ HƯ ph¬ng tr×nh

Ngun C«ng Minh

2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ = −

+



+ = −

+


2
2
1 1
1 3
1
2 2
2 5 2
2 5
1 4
1 1
1
1 1 1
1
y y
y
x x
y y
x x
x y

=
= =
 
 

+ = − = −
    
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    

+ = = −
    
= =
+ =
+ +
 
 

+


Vậy HPT cã nghiƯm lµ
3
2
1
x
y

= −



=

+ C¸ch 2: Sư dơng PP ®Ỉt Èn phơ. §K:
1, 0x y≠ − ≠
.
§Ỉt
1
1

a
x
=
+
;
1
b
y
=
. HPT ®· cho trë thµnh:

2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2
2 5 1 2 2 1 1
a b a b a a
a b b b b
+ = − + = + = = −
   
⇔ ⇔ ⇔
   
+ = = = =
   

1
2
3
1
2
1
1
1

x
x
y
y

= −


= −
+
 
⇒ ⇔
 
 
=
=




(TM§K)
Vậy HPT cã nghiƯm lµ
3
2
1
x
y

= −




=

Lu ý: - NhiỊu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy.
- Cã thĨ thư l¹i nghiƯm cđa HPT võa gi¶i.
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp thế)
1.1:
3
)
3 4 2
x y
a
x y
− =


− =


7 3 5
)
4 2
x y
b
x y
− =


+ =


1.2.
2 2 5
)
2 2
x y
a
x y

− =


+ =



( )
( )
2 1 2
)
2 1 1
x y
b
x y

− − =


+ + =



Bài 3: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp cộng đại số)
2.1.
3 3
)
2 7
x y
a
x y
+ =


− =


4 3 6
)
2 4
x y
b
x y
+ =


+ =


3 2 10
)
2 1

3
3 3
x y
c
x y
− =



− =


2.2.
2 3 1
)
2 2 2
x y
a
x y

− =


+ = −



5 3 2 2
)
6 2 2

x y
b
x y

+ =


− =


Bài 4:
Giải hệ phương trình
2
3 1
( 1) 6 2
x y
m x y m
+ =


+ + =

trong mỗi trường hợp sau
______________________________________________________________
Trêng THCS Nam Hoa – Nam Trùc – Nam §Þnh 3


Chuyªn ®Ị vỊ HƯ ph¬ng tr×nh

Ngun C«ng Minh

a) m = -1 b) m = 0 c) m = 1
Bài 5:
a) Xác đònh hệ số avàb, biết rằng hệ phương trình
2 4
5
x by
bx ay
+ =


− = −

có
nghiệm là (1; -2)
b) Cũng hỏi như vậy nếu hệ phương trình có nghiệm
( )
2 1; 2−
Bài 6: Giải hệ phương trình sau:
2 2
3 1
x y
x y

+ =


+ = −


a) Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình

2
2
1 1
3
1
1 1
m n
m n
m n
m n

+ =


+ +


+ = −

+ +

Bài 7: Giải các hệ phương trình sau:

2 4
3 1
x y
x y
+ =



− =

;
1
3 2 3
x y
x y
− =


+ =

;
2 5
3 1
x y
x y
+ =


− =

;
3 5 0
3 0
x y
x y
− − =



+ − =

;
0,2 3 2
15 10
x y
x y
− =


− =

;
3 2
2 4 2007
x y
x y
= −


+ =

;
3 2
3 9 6
x y
y x
− =



− + =

;
5
2
2 6
y
x
x y

− =



− =

;
2 3 6
5 5
5
3 2
x y
x y
+ =



+ =



;
2 5
3 3 15
2 4 2
x y
x y
+ =



+ =



Bµi 8: Cho hƯ ph¬ng tr×nh



=+
=−
1
2
byax
bayx
a) Gi¶i hƯ khi a=3 ; b=-2
b) T×m a;b ®Ĩ hƯ cã nghiƯm lµ (x;y)=(
)3;2
Bµi 9: Gi¶I c¸c hƯ ph¬ng tr×nh sau
a)








=
−
−
+
=
−
−
+
3
45
2
21
yxyx
yxyx
b)





=+
−=−
22
843

yx
yx
c)





=−+−
=−−−
1222
32423
yx
yx
(®k
x;y
≥
2 )
______________________________________________________________
Trêng THCS Nam Hoa – Nam Trùc – Nam §Þnh 4


Chuyên đề về Hệ phơng trình

Nguyễn Công Minh

3 5
1
x y
x y

+ =


+ =


;
2 1 3
2 5
y x
x y

= +


=


;
6 6 5
4 3
1
x y xy
x y
+ =



=

;
( )( 2 ) 0
5 3
x y x y
x y
+ =


=

;
2 3 5
2 2 3 3 5
x y

=


+ =



3 3 3 2 3
2 3 6 2
x y
x y

=

+ = +


;
( 1) 2( 2) 5
3( 1) ( 2) 1
x y
x y
+ + =


+ =

;
( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
x y x y
x y x y
+ = +


+ = +

.

( 1)( 2) ( 1)( 3) 4
( 3)( 1) ( 3)( 5) 1
x y x y

x y x y
+ + =


+ =

;
3( ) 5( ) 12
5( ) 2( ) 11
x y x y
x y x y
+ + =


+ + =

;

1 1 4
5
1 1 1
5
x y
x y

+ =

=


;
1 2
2
5 4
3
x y x y
x y x y

=

+



=

+

;
1 5 5
2 3 3 8
3 5 3
2 3 3 8
x y x y
x y x y

+ =

+



=

+

;
7 5
4,5
2 1
3 2
4
2 1
x y x y
x y x y

=

+ +



+ =

+ +

1. Giải các hệ phơng trình sau:

a.
3 0
2 1 0
x y
x y
+ =


+ =

(TN THCS 2000- 2001, VP) b.
5 10
7 2 13
x y
x y
+ =


=


c.
5 3 1 0
2
2 3 0
3
x y
x
y
+ =

=


(TS THPT 2001- 2002, VP) d.
5 3 8
3 2 5
x y
x y
+ =


+ =


e.
2 3
5
3 2
1
x y
x y

+ =

=


(TS THPT 2002- 2003, VP) f.
4 3 21
2 5 21
x y
x y
=


=


g.
2 3
2 1
x y
x y
+ =


=

(TS THPT 2004- 2005, VP) h.
4 7 16
4 3 24
x y
x y
+ =

=


i.
5 3 8
3 2 5
x y xy
x y xy
+ =


+ =

(TS THPT 2005- 2006, VP)
k.
4 1
2 7 8
x y
x y
+ =


=

(TS THPT NK Trần Phú 2003- 2004, HP)
l.
4 3 1
2 3 5

x y
x y
+ =


=

(TN THCS 2002- 2003, Bắc Giang)
m.
3 2 7
5 3 3
x y
x y
=


=

(TN THCS 2002- 2003, TP. HCM)
______________________________________________________________
Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 5