tập hợp tài liệu về phương pháp tọa độ trong không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (119.58 KB, 4 trang )
Phương pháp tọa độ trong không gian
79
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
ĐN: Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong không gian
1 2 3
2 2 2
1 2 3
1 2 2 3 3 1
e ; e ; e
e e e 1
e e e e e e 0
x Ox y Oy z Oz x Ox
x Ox y Oy z Oz
′ ′ ′ ′
⊥ ⊥ ⊥
′ ′ ′
∈ ∈ ∈
= = =
⋅ = ⋅ = ⋅ =
II. TỌA ĐỘ CỦA 1 ĐIỂM
1.
(
)
, ,
M x y z
⇔
(
)
1 2 3
, , e e e
OM x y z OM x y z
⇔ = ⋅ + ⋅ + ⋅
2. Tọa độ các điểm đặc biệt
Cho
(
)
( )
( )
1 1 1
2 2 2
3 3 3
, ,
, ,
, ,
A x y z
B x y z
C x y z
⇒
Trung điểm của AB có tọa độ là:
1 2 1 2 1 2
I , ,
2 2 2
x x y y z z
+ + +
Điểm chia AB tỉ số
k
là điểm thoả mãn
JA
k
JB
=
⇔
1 2 1 2 1 2
, ,
1 1 1
x kx y ky z kz
J
k k k
− − −
− − −
Tọa độ trọng tâm tam giác ABC:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
, ,
3 3 3
x x x y y y z z z
G
+ + + + + +
III. TỌA ĐỘ CỦA 1 VÉCTƠ
1. Định nghĩa:
(
)
( )
1 2 3 1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 1 2 2 3 3
, , e e e
, , e e e
a a a a a a a a
b b b b b b b b
= ⇔ = + +
= ⇔ = + +
.
Nếu
(
)
( )
1 1 1
2 2 2
, ,
, ,
A x y z
B x y z
thì
(
)
2 1 2 1 2 1
, ,
AB x x y y z z
= − − −
.
2. Phép toán:
(
)
1 1 2 2 3 3
, , ;
a b a b a b a b± = ± ± ±
(
)
1 1 2 2 3 3
, ,
a b a b a b a b
α ⋅ ± β ⋅ = α⋅ ± β ⋅ α ⋅ ± β⋅ α ⋅ ± β⋅
1
e
z
y
2
e
3
e
O
x
L
M
M’
K
H
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương
80
IV. TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ĐỘ DÀI
1.
(
)
cos ,
a b a b a b
⋅ = ⋅
;
2.
1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b
⋅ = + +
;
3.
1 1 2 2 3 3
0 0
a b a b a b a b a b
⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + + =
4.
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
;
a a a a b b b b
= + + = + +
;
5.
( ) ( )
( )
2 2
2
1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b+ = + + + + +
6
.
( ) ( )
( )
2 2
2
1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b− = − + − + −
;
7.
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1
AB x x y y z z= − + − + −
8.
( )
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos ,
a b a b a b
a b
a a a b b b
+ +
=
+ + + +
;
9.
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
sin ,
a b a b a b a b a b a b
a b
a a a b b b
− + − + −
=
+ + + +
V. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ:
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3 1 2 3
, , ; , , ; , ,
a a a a b b b b c c c c
= = =
1. Định nghĩa:
[ ]
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1
1 2
a a a a
a a
a b p
b b b b
b b
⋅ = =
2. Tính chất:
a p b
⊥ ⊥
;
a
cùng phương
b
[
]
0
a b
⇔ ⋅ =
[ ]
( )
2 2 2
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
sin ,
a a a a
a a
a b a b a b
b b b b b b
⋅ = + + = ⋅
, ,
a b c
đồng phẳng
⇔
[
]
0
a b c
⋅ ⋅ =
VI. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
, , ; , , ; , , ; , ,
A x y z B x y z C x y z D x y z
( )
2
2 2
1 1
, .
2 2
ABC
S AB AC AB AC AB AC
∆
= = − ⋅
;
1
,
6
ABCD
V AB AC AD
= ⋅
;
,
AD
V AB AD AA
′
′
= ⋅
hép
Phương pháp tọa độ trong không gian
81
BÀI TẬP
Bài 1.
Cho
(
)
(
)
(
)
3; 4; 1 ; 2; 0;3 ; 3;5;4
A B C− −
. Tìm độ dài các cạnh của
∆
ABC.
Tìm cosin của các góc A, B, C. Tìm diện tích
∆
ABC.
Bài 2.
Cho
(
)
(
)
(
)
2;1; 1 , 3; 0;1 , 2; 1;3
A B C− −
và
O
D y
∈
. Biết thể tích V của
ABCD là 5. Tìm tọa độ D.
Bài 3.
Cho
∆
ABC với
(
)
(
)
(
)
1; 2; 1 , 2; 1;3 , 4;7;5
A B C− − −
. Tính độ dài đường
phân giác trong góc B.
Bài 4.
Cho
( ) ( ) ( )
2;3;1 , 5;7;0 , 3; 2; 4
a b c= = = −
.
CMR
:
, ,
a b c
không đồng phẳng.
Cho
( )
4;12; 3
d
= −
. Hãy phân tích vectơ
d
theo 3 vectơ
, ,
a b c
.
Bài 5.
Cho
(
)
(
)
(
)
(
)
1;0;1 , 1;1; 2 , 1;1; 0 , 2; 1; 2
A B C D
− − − −
. CMR:
A
,
B
,
C
,
D
là 4
đỉnh của tứ diện. Tính độ dài đường cao của ABCD hạ từ đỉnh D.
Tính
ABCD
V
, suy ra độ dài đường cao AH của tứ diện.
Bài 6.
Cho
(
)
(
)
(
)
1; 2; 4 , 2; 1;0 , 2;3; 1
A B C
− − −
. Gọi M
(
)
, ,
x y z
∈
(ABC). Tìm hệ
thức liên hệ giữa
, ,
x y z
.
Tìm tọa độ điểm D biết ABCD là hình bình hành và tính
ABCD
S
.
Bài 7.
Cho
(
)
(
)
(
)
1;0;1 , 2;1;3 , 1; 4;0
A B C−
. Gọi M
(
)
, ,
x y z
∈
(ABC).
Tìm hệ thức liên hệ giữa
, ,
x y z
. Tìm trực tâm H của
∆
ABC.
Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC.
Bài 8.
Cho tứ diện ABCD với
(
)
(
)
(
)
(
)
;2;3;1 , 1;1; 2 , 2;1; 0 , 0; 1; 2
A B C D− −
,
đường cao AH. Tìm tọa độ H và AH.
Bài 9.
Cho
(
)
(
)
(
)
2; 2; 2 , 0;3 2; 3 2 , 2;3 2; 3 2
A B C− − + − +
.
CMR
∆
ABC vuông tại A. Tìm điểm D sao cho ABDC là hình vuông.
Tính thể tích của hình hộp đáy ABDC và cạnh bên là AO.
Bài 10.
Cho
(
)
(
)
(
)
(
)
1;1;1 , 4;1;5 , 4;6; 5 , 1;6;1
A B C D
. Xác định hình dạng của tứ
giác ABCD. Tính khoảng cách từ O đến (ABC)
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương
82
Bài 11.
Cho
(
)
(
)
(
)
(
)
1; 2;3 , 1;0;2 , 1; 2; 4 , 0;5; 0
A B C D− − −
.
CMR: ABCD là hình tứ diện. Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên BD.
Tính cosin của góc nhọn tạo bởi cạnh đối AB và CD của tứ diện ABCD.
Bài 12.
Cho
(
)
(
)
(
)
1; 2; 4 ,. 1; 0; 2 , 1; 2;3
A B C− −
,
(
)
0; 4; 2
D
.
CMR: ABCD là hình tứ diện trực tâm.
Tìm tọa độ trực tâm của ABCD.
Bài 13.
Cho hình chóp SABC với
(
)
(
)
(
)
1; 2; 1 , 5; 0;3 , 7; 2; 2
A B C−
,
(
)
,
SA ABC S Oyz
⊥ ∈
. Tính tọa độ S.
Xác định tọa độ giao điểm của O
x
, O
y
với (ABC).
Bài 14.
Cho
(
)
1; 2; 1
A
−
. Tìm B đối xứng với A qua
O
xy
, C đối xứng với A qua
trục O
z
. Tính
ABC
S
Bài 15.
Cho
(
)
15
6; 8;
2
u = − −
. Tìm
a
biết
50
a
=
;
a
cùng phương
u
và
a
tạo
với
( )
0; 0;1
k
một góc nhọn.
Bài 16.
Cho
(
)
(
)
1; 2; 1 , 4;3;5
A B−
. Xác định
O
m x
∈
sao cho M cách đều A, B.
Bài 17.
Cho
(
)
(
)
(
)
1; 2; 1 , 5;10; 1 , 4;1;1
A B C− − − −
.
Chứng minh:
A
,
B
,
C
không thẳng hàng. Tìm tọa độ trực tâm
∆
ABC
Tìm tọa độ trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC.
Bài 18.
Cho
(
)
(
)
4; 1; 2 , 3;5; 1
A B
− − −
. Tìm C biết trung điểm AC thuộc O
y
, trung
điểm BC thuộc O
xz
.
Bài 19.
Cho
(
)
(
)
1; 2; 7 , 5; 4; 2
A B
− −
. AB cắt O
xy
tại M. Điểm M chia đoạn AB
theo tỉ số nào? Tìm tọa độ M.
Bài 20.
Cho
( ) ( )
3; 2; 2 , 18; 22; 5
a b
− −
. Tìm
c
biết
14, ,
c c a c b
= ⊥ ⊥
,
c
tạo với
( )
0; 0;1
k
một góc tù.
Bài 21.
Cho
0
v
≠
. Gọi
, ,
α β γ
là 3 góc tạo bởi
v
với
, ,
Ox Oy Oz
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
cos cos cos 1
α + β + γ =
