Tuyển tập đề kiểm tra và đáp án chi tiết môn toán lớp 11 học kì 2

Tuyển tập đề kiểm tra và đáp án Toán lớp 11 – học kì 2
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Mơn TOÁN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 1

I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
lim

a)

2n3 + 3n + 1
3

lim

2

n + 2n + 1

b)

x →0

x +1 −1
x

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x = 1:

 x2 − x

f ( x ) =  x − 1 khi x ≠ 1
m
khi x = 1


Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)

y = x 2 .cos x

b)

y = ( x − 2) x 2 + 1

Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Trên đường thẳng vng
góc với mặt phẳng (ABC) tại B, ta lấy một điểm M sao cho MB = 2a. Gọi I là
trung điểm của BC.
a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng AI ⊥ (MBC).
b) (1,0 điểm) Tính góc hợp bởi đường thẳng IM với mặt phẳng (ABC).
c) (1,0 điểm) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAI).


II. Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau:
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm:
5x 5 − 3x 4 + 4 x 3 − 5 = 0

Câu 6a: (2 điểm) Cho hàm số

a) Giải bất phương trình:

y = f ( x) = x 3 − 3x 2 − 9 x + 5
y′ ≥ 0

.

.

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ bằng 1.

2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 3 nghiệm:
x 3 − 19 x − 30 = 0

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số
a) Giải bất phương trình:

y = f (x) = x3 + x2 + x − 5

y′ ≤ 6

.

.

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến có hệ số góc
bằng 6.

––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SBD :. . . . . . . . . .

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 1
CÂU
1

Ý
a)

NỘI DUNG

I = lim

3

2n + 3n + 1
n3 + 2 n 2 + 1

= lim

2+

3
2

+

1

n
n3
2 1
1+ +
n n3

I=2
b)

lim

x →0

x +1 −1
= lim
x→0 x
x

x →0

1
x +1 +1

=

(

x

)

x +1 +1

1
2

0,50

0,50

f(1) = m

0,25

lim f ( x ) = lim
x →1

0,50

0,50

= lim
2

ĐIỂM

x →1

x ( x − 1)
= lim x = 1
x →1
x −1
lim f ( x ) = f (1) ⇔ m = 1
x →1

0,50

0,25

f(x) liên tục tại x = 1 
3

a)

y = x 2 cos x ⇒ y ' = 2 x cos x − x 2 s inx

1,00


b)

y = ( x − 2) x 2 + 1 ⇒ y ' = x 2 + 1 +

y' =
4

a)

( x − 2) x
0,50

x2 + 1

2 x2 − 2x + 1
0,50

x2 +1
M

H

0,25
I

B

C

A

a
2

b)

Tam giác ABC đều cạnh a , IB = IC =
 AI  BC

BM  (ABC)  BM AI
Từ (1) và (2) ta có AI  (MBC)
BM  (ABC)  BI là hình chiếu của MI trên (ABC)

·
(· ,( ABC )) = MIB,
MI
c)

0,25

·
tan MIB =

(1)
(2)

MB
=4
IB


AI (MBC) (cmt) nên (MAI)  (MBC)

MI = ( MAI ) ∩ ( MBC ) ⇒ BH ⊥ MI ⇒ BH ⊥ ( MAI )

⇒ d ( B,( MAI )) = BH

5x 5 − 3x 4 + 4 x 3 − 5 = 0

f ( x ) = 5x 5 − 3x 4 + 4 x 3 − 5

Với PT:
, đặt
f(0) = –5, f(1) = 1  f(0).f(1) < 0
 Phuơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1)
6a

a)

0,50
0,25
0,25
0,25

1
1
1
1
4
17
2a 17
=
+ 2 = 2 + 2 = 2 ⇒ BH =
2
2
17
BH
MB
BI

4a a
4a
5a

0,25
0,25
0,50

y = f ( x ) = x 3 − 3x 2 − 9x + 5

y′ = 3 x 2 − 6 x − 9


0,25

0,25
0,50
0,25
0,50


y ' ≥ 0 ⇔ 3 x 2 − 6 x − 9 ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞;1) ∪ (3; +∞)
x0 = 1 ⇒ y0 = −6

0,25

k = f ' ( 1) = −12

b)

0,50

0,50

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = –12x + 6
5b

3

0,25

3

x − 19 x − 30 = 0

x − 19 x − 30 = 0

Với PT:
đặt f(x) =
f(–2) = 0, f(–3) = 0  phương trình có nghiệm x = –2 và x = –3

∃c0 ∈ (5;6)
f(5) = –30, f(6) = 72  f(5).f(6) < 0 nên

là nghiệm của PT

c0 ≠ −2, c0 ≠ −3
Rõ ràng
6b

a)

, PT đã cho bậc 3 nên PT có đúng ba nghiệm thực

y = f (x) = x3 + x2 + x − 5

y ' = 3x 2 + 4 x + 1

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25



y ' ≥ 6 ⇔ 3x 2 + 2 x + 1 ≥ 6

0,25

⇔ 3x 2 + 2 x − 5 ≥ 0

0,25


5
⇔ x ∈  −∞; − ÷∪ ( 1; +∞ )
3


0,25

( x0 ; y0 )

b)
Gọi

y '( x0 ) = 6

0,25

là toạ độ của tiếp điểm 

 x0 = 1
⇔ 3 x + 2 x0 − 5 = 0 ⇔ 
x = − 5
2
⇔ 3 x 0 + 2 x0 + 1 = 6
 0

3
2
0

0,25

x0 = 1 ⇒ y0 = −2 ⇒ PTTT : y = 6 x − 8

0,25

5
230
175
x0 = − ⇒ y0 = −
⇒ PTTT : y = 6 x +
3
27
27

0,25

Với

Với

Đề số 2

ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Mơn TỐN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút


I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
lim

a)

x →3 x 2

x −3

lim

+ 2 x − 15

b)

x →1

x +3 −2
x −1

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại x = –1:
 x2 − x − 2

f ( x) =  x + 1
a + 1


khi x ≠ −1
khi x = 1

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)

y = ( x 2 + x )(5 − 3 x 2 )

b)

y = sin x + 2 x

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng
a và SA ⊥ (ABCD).
a) Chứng minh BD ⊥ SC.
b) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC).

c) Cho SA =

a 6
3

. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).

II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn


Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm:
x5 − x2 − 2x − 1 = 0

Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số
a) Giải bất phương trình:

y = −2 x 3 + x 2 + 5x − 7
2 y′ + 6 > 0

có đồ thị (C).

.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ

x0 = −1

.

2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:
4x4 + 2x2 − x − 3 = 0

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số
a) Giải bất phương trình:

y = x 2 ( x + 1)
y′ ≤ 0

có đồ thị (C).
.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng d:

y = 5x

.

--------------------Hết-------------------

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SBD :. . . . . . . . . .

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 2

CÂU
1

Ý
a)

NỘI DUNG

lim

x −3

x →3 x 2

+ 2 x − 15

x −3
x →3 ( x − 3)( x + 5)

= lim

ĐIỂM

0,50

= lim

1
1
=
x+5 8

0,50

lim

x +3 −2
x −1
= lim
x →1 ( x − 1) ( x + 1 + 1)
x −1

0,50

x →3

b)

x →1

= lim
x →1

2

1
x +3+2

=

1
4

f(1) = a +1

0,25

( x + 1)( x − 2)
= lim( x − 2) = −1
x →1
x →1
x +1

lim f ( x ) = lim
x →1

0,50

lim f ( x ) = f (1) ⇔ a + 1 = −1 ⇔ a = −2
x →1

0,50

0,25

f(x) liên tục tại x = 1 
3

a)

y = ( x 2 + x )(5 − 3 x 2 ) ⇒ y = −3 x 4 − 3 x 3 + 5 x 2 + 5 x
⇒ y ' = −12 x 3 − 9 x 2 + 10 x + 5

0,50
0,50


b)

4

y = sin x + 2 x ⇒ y ' =

a)

cos x + 2
2 sin x + 2 x

0,50

S

0,25

B
A
O
D

b)

c)

C

ABCD là hình vng nên AC  BD
(1)
SA  (ABCD)  SA  BD
(2)
Từ (1) và (2)  BD  (SAC)  BD  SC
BC  AB (ABCD là hình vng)
(3)
SA  (ABCD)  SA  BC
(4)
Từ (3) và (4)  BC  (SAB)
 (SAB)  (SBC)
SA  (ABCD)  hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC

·
SCA

Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là

a 6
SA
3
·
⇒ tan ( SC ,( ABCD ) ) = tan SCA =
= 3 =
AC a 2
3
·
SCA = 300
f (x) = x5 − x2 − 2x −1
Đặt

f(0) = –1, f(2) = 23  f(0).f(1) < 0

f (x)
liên tục trên R.

f (x) = 0

6a

a)

có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1)

y = −2 x 3 + x 2 + 5 x − 7

y′ = − 6 x 2 + 2 x + 5


2 y′ + 6 > 0 ⇔ −12 x 2 + 4 x + 16 > 0 ⇔ 3 x 2 − x − 4 < 0
BPT


4
⇔ x ∈  −1; ÷
3


0,25

0,25

0,25


5a

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,50

0,25
0,25
0,25
0,50


b)

y = −2 x 3 + x 2 + 5 x − 7
x0 = −1 ⇒ y0 = −9

0,25

y′ (−1) = −3

0,25



y = −3 x − 12

0,50

 PTTT:
5b

f (x) = 4x4 + 2x2 − x − 3
Đặt

f ( x)



0,25

liên tục trên R.

c1 ∈ (−1; 0)

f (−1) = 4, f (0) = −3 ⇒ f (−1). f (0) < 0
 PT có ít nhất 1 nghiệm

c2 ∈ (0;1)

f (0) = −3, f (1) = 2 ⇒ f (0). f (1) < 0
 PT có ít nhất 1 nghiệm

c1 ≠ c2
a)

0,25
0,25

 PT có ít nhất 2 nghiệm trên khoảng (–1; 1)
6b

0,25

y = x 2 ( x + 1) ⇒ y = x 3 + x 2 ⇒ y ' = 3 x 2 + 2 x

0,25

y ' ≤ 0 ⇔ 3x 2 + 2 x ≤ 0

0,25

BPT

 2 
⇔ x ∈  − ;0 
 3 

0,50

y = 5x

b)
Vì tiếp tuyến song song với d:

nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 5

0,25

( x0 ; y0 )
Gọi

là toạ độ của tiếp điểm.

 x0 = 1
⇔ 3x + 2 x0 − 5 = 0 ⇔ 
x = − 5

2
y '( x0 ) = 5 ⇔ 3 x0 + 2 x0 = 5
 0

3
2
0

x0 = 1 ⇒ y0 = 2
Với

y = 5x − 3

0,25

 PTTT:

5
50
x 0 = − ⇒ y0 = −
3
27
Với

y = 5x +

175
27

0,25

 PTTT:

Đề số 3

0,25

ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Mơn TỐN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút


I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
lim

a)

2 n3 + n 2 + 4
2 − 3n

lim+

3

b)

x →1

2x − 3
x −1

Câu 2: (1,0 điểm) Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 0:
 x + 2a
khi x < 0
f (x) =  2
 x + x + 1 khi x ≥ 0

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)

y = (4 x 2 + 2 x )(3 x − 7 x 5 )

b)

y = (2 + sin 2 2 x )3

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của SA và SC.
a) Chứng minh AC ⊥ SD.
b) Chứng minh MN ⊥ (SBD).
c) Cho AB = SA = a. Tính cosin của góc giữa (SBC) và (ABCD).

II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau ln có nghiệm với mọi m:


m( x − 1)3 ( x + 2) + 2 x + 3 = 0

Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số
a) Giải phương trình:

y′ = 2

y = x 4 − 3x 2 − 4

có đồ thị (C).

.

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ

x0 = 1

.

2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: Chứng minh rằng phương trình sau ln có nghiệm với mọi m:
(m 2 + m + 1) x 4 + 2 x − 2 = 0

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số
a) Giải bất phương trình:

y = f ( x ) = ( x 2 − 1)( x + 1)
f ′( x ) ≥ 0

có đồ thị (C).

.

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục
hồnh.

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SBD :. . . . . . . . . .


ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 3

Câu
1

Ý
a)

Nội dung

lim

−

3

2

2n + n + 4

2 − 3n3

= lim

1 4
+
n n3
2
−3
n3

Điểm

2+

2
3

0,50

0,50

=
b)

 lim( x − 1) = 0
 x →1+

 lim(2 x − 3) = −1 < 0
+

 x →1 +
x → 1 ⇒ x −1 > 0


0,75

Nhận xét được:

lim+

x →1

2x − 3
= −∞
x −1

0,25

Kết luận:
2

 x + 2a
khi x < 0
f (x) =  2
 x + x + 1 khi x ≥ 0

0,50


lim f ( x ) = f (0) = 1

x → 0+



lim f ( x ) = lim− ( x + 2a) = 2 a

x → 0−

0,25

x→0



⇔a=

1
2

0,25

 f(x) liên tục tại x = 0  2a = 1
3

a)

0,50

⇒ y ' = −196 x 6 − 84 x 5 + 36 x 2 + 12 x

0,50

y = (2 + sin 2 2 x )3 ⇒ y ' = 3(2 + sin 2 2 x )2 .4sin 2 x.cos2 x

0,50

⇒ y ' = 6(2 + sin 2 2 x ).sin 4 x

b)

y = (4 x 2 + 2 x )(3 x − 7 x 5 ) ⇒ y = −28 x 7 − 14 x 6 + 12 x 3 + 6 x 2

0,50

4

0,25

a)

ABCD là hình vng  ACBD

SO ⊥ AC

S.ABCD là chóp đều nên SO(ABCD) 

⊥

b)

c)

⇒ AC ⊥ SD

(1)
0,50
(2)

Từ (1) và (2)  AC (SBD)
Từ giả thiết M, N là trung điểm các cạnh SA, SC nên MN // AC
(3)
AC  (SBD)
(4). Từ (3) và (4)  MN  (SBD)
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều và AB = SA = a nên SBC đều cạnh a. Gọi K là
trung điểm BC  OK  BC và SK  BC

ϕ = ( (SBC ),( ABCD )) = ·SKO

0,25
0,50
0,50
0,25
0,25



a 3
2

a

2
Tam giác vng SOK có OK =

, SK =

0,25


a
OK
1
cos ϕ = cos·SKO =
= 2 =
SK a 3
3
2

0,25


5a

f ( x ) = m( x − 1)3 ( x + 2) + 2 x + 3
Gọi
f(1) = 5, f(–2) = –1  f(–2).f(1) < 0

f (x) = 0

 PT
6a

a)

f (x)


0,25

liên tục trên R

0,50

c ∈ (−2;1), ∀m ∈ R

0,25

có ít nhất một nghiệm

y = x 4 − 3x 2 − 4

y′ = 4 x 3 − 6 x

0,25



y′ = 2 ⇔ 4 x 3 − 6 x = 2 ⇔ ( x + 1)(2 x 2 − 2 x − 1) = 0
x = −1; x =

0,25

1− 3
1+ 3
; x=
2
2

0,50


b)

y0 = −6, k = y′ (1) = −2

x0 = 1
Tại



0,50

y = −2 x − 4

0,50

Phương trình tiếp tuyến là
5b

Gọi

f ( x ) = (m 2 + m + 1) x 4 + 2 x − 2

0,25

f ( x)

f(0)

=

liên tục trên R
–2, f(1) =
2


1 3
m + m +1 =  m + ÷ + > 0
2 4

2

0,50

 f(0).f(1) < 0
Kết luận phương trình

f ( x) = 0

nhất

đã cho có ít
một
nghiệm

0,25

c ∈ (0;1), ∀m

6b

a)

y = f ( x ) = ( x 2 − 1)( x + 1) ⇒ f ( x ) = x 3 + x 2 − x − 1 ⇒ f ′( x ) = 3 x 2 + 2 x − 1
1

f ′( x ) ≥ 0 ⇔ 3 x 2 + 2 x − 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ (−∞; −1) ∪  ; +∞ ÷
3


b)

BPT
Tìm được giao điêm của ( C ) với Ox là A (–1; 0) và B(1; 0)

0,50

0,50
0,50

k1 = f ′(−1) = 0
Tại A (–1; 0):

y=0
 PTTT:

k2 = f ′(1) = 4
Tại B(1; 0):

0,25
(trục Ox)

y = 4x − 4

0,25

 PTTT:

ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Mơn TỐN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 4

I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
lim

a)

x →1

3x 2 − 2 x − 1

lim−

3

x −1

b)

x →3

x +3
x −3

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm
 2 x 2 − 3x − 2


f (x) =  2 x − 4
3
2


khi x ≠ 2
khi x = 2

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
y=

a)

2x − 3
x−2

b)

y = (1 + cot x )2

x0 = 2

:


Câu 4: (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi một vng góc với
nhau. Gọi H là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ACD.
a) Chứng minh:

CD ⊥ BH.

b) Gọi K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABH. Chứng minh AK ⊥
(BCD).
c) Cho AB = AC = AD = a. Tính cosin của góc giữa (BCD) và (ACD).

II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm:

cos2 x − x = 0

Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số

y = f ( x ) = − x 3 − 3x 2 + 9 x + 2011

a) Giải bất phương trình:

f ′( x ) ≤ 0

có đồ thị (C).

.

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ bằng 1.

2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm nằm
trong khoảng

(−1; 2)

:
(m 2 + 1) x 2 − x 3 − 1 = 0


y=

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số
a) Giải phương trình:

y′ = 0

2x2 + x + 1
x −1

có đồ thị (C).

.

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục
tung.

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SBD :. . . . . . . . . .

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 4

Câu
1

Ý
a)

Nội dung

lim

2

3x − 2 x − 1

x →1

= lim

x3 − 1
3x + 1

x →1 x 2

+ x +1

= lim

( x − 1)(3 x + 1)

x →1 ( x − 1)( x 2

=

4
3

Điểm

+ x + 1)

0,50
0,50


b)

 lim( x − 3) = 0
 x →3−

−
x → 3 ⇔ x − 3 < 0
 lim( x + 3) = 6 > 0
 x →3−


0,75

Viết được ba ý

lim
−

x →3

x+3
= −∞
x −3

0,25

Kết luận được
2

 2 x 2 − 3x − 2


f (x) =  2 x − 4
3
2


khi x ≠ 2
khi x = 2

0,25

3
2
Tập xác định D = R.

2 x − 3 x − 2 = lim ( x − 2)(2 x + 1)
2x + 1 5
= lim
=
x →2
x →2
x →2
2( x − 2)
2x − 4
2

2

lim f ( x ) = lim
x →2

Tính được f(2) =
2

Kết luận hàm số không liên tục tại x = 2.
3

a)

b)

y=

2 x − 3 ⇒ y ' = −1
( x − 2)2
x −2

 −1 
⇒ y′ = 2(1 + cot x )  2 ÷ = −2(1 + cot x )(1 + cot 2 x )
y = (1 + cot x )
 sin x 
2

4

a)

0,50
0,25
0,50

0,50
0,25


a)
b)

AB  AC, AB  AD AB  (ACD)  AB  CD (1)
AH  CD
(2). Từ (1) và (2)  CD  (AHB)  CD  BH
AK BH, AK  CD (do CD  (AHB) (cmt)
 AK (BCD)

0,25
0,50
0,50
0,50

( (BCD ),( ACD ) ) = ·AHB

c)

0,25

Ta có AH  CD, BH  CD 

CD a 2
=
2
2

0,25

Khi AB = AC = AD = a thì AH =

AB 2 + AH 2 = a2 +

a2 a 6
=
2
2

0,25

BH =

AH
1
cos·AHB =
=
BH
3

0,25

5a
2

(0; +∞)

cos x − x
Đặt f(x) =

 π
 0; 2 



 f(x) liên tục trên

0,25

 f(x) liên tục trên

π 
π 
π
f (0) = 1, f  ÷ = −
⇒ f (0). f  ÷ < 0
2
2
2
 π
 0; ÷
 2

0,50

0,25

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm trên
6a

a)

y = f ( x ) = − x 3 − 3 x 2 + 9 x + 2011

f ′( x ) = −3 x 2 − 6 x + 9


f ′( x ) ≤ 0 ⇔ −3 x 2 − 6 x + 9 ≤ 0
BPT

 x ≤ −3
x ≥ 1



0,25
0,25
0,50


b)

x0 = 1 ⇒ y0 = 2016 f ′(1) = 0

0,50

,
Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 2016
5b

0,50

(m 2 + 1) x 2 − x 3 − 1
Đặt f(x) =

[ − 1; 2]
 f(x) liên tục trên R nên liên tục trên

f (−1) = m 2 + 1, f (0) = −1 ⇒ f (−1). f (0) < 0, ∀m ∈ R

0,50

(−1; 0) ⊂ ( −1; 2 )
 phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc
6b

a)

0,25
(đpcm)

2x2 − 4 x − 2

y' =
( x − 1)2

2x2 + x + 1
y=
x −1

0,25

0,50

, TXĐ : D = R\{1},

x = 1− 2
⇔ 2x2 − 4x − 2 = 0 ⇔ x2 − 2x −1 = 0 ⇔ 
x = 1+ 2


0,50

Phương trình y’ = 0
Giao của ( C) với Oy là A(0; –1)

0,25

x0 = 0, y0 = −1, k = f ′(0) = −2

b)

0,20

y = −2 x − 1

0,50

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2
Mơn TỐN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

Đề số 5

I. Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
lim

a)

x →2

x 2 − 3x + 2

lim

3

x − 2x − 4

b)

x →+∞

(

x2 + 2 x − 1 − x

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm

x0 = 1

:

)


 2 x 2 − 3x + 1

f ( x) =  2 x − 2
2


khi x ≠ 1
khi x = 1

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)

y = ( x 3 + 2)( x + 1)

b)

y = 3sin2 x.sin 3 x

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, SA
vng góc với đáy.
a) Chứng minh tam giác SBC vuông.
b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC) ⊥
(SBH).
c) Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).

II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau ln có nghiệm với mọi m:
(9 − 5m) x 5 + (m 2 − 1) x 4 − 1 = 0

Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số
a) Giải phương trình:

y = f (x) = 4 x2 − x4

f ′( x ) = 0

có đồ thị (C).

.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hồnh độ bằng 1.

2. Theo chương trình Nâng cao
2a + 3b + 6c = 0

Câu 5b: (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức
. Chứng minh
rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1):
ax 2 + bx + c = 0

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số
a) Giải bất phương trình:

y = f ( x) = 4 x 2 − x 4
f ′( x ) < 0

có đồ thị (C).

.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục
tung.

--------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SBD :. . . . . . . . . .


ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
MƠN TỐN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 5

Câu
1

Ý
a)

Nội dung

lim

x →2

x2 − 3x + 2
x3 − 2x − 4

lim
x →2

=
b)

lim

x →+∞

Điểm

( x − 1)( x − 2)

= lim

x →2 ( x − 2)( x 2

0,50

+ 2 x + 2)

x −1
1
=
x + 2 x + 2 10

0,50

2

(

)

2x −1

x 2 + 2 x − 1 − x = lim

x →+∞

0,50

x2 + 2x −1 + x

1
x
=1
2 1
1+ − 2 +1
x x
2−

0,50

=
f(1) = 2

2

0,25

lim f ( x ) = lim
x →1

x →1

2 x − 3x + 1
2( x − 1)
2

lim
x →1

( x − 1)(2 x − 1)

2x −1
= lim
x →1
2( x − 1)
2

=
a)

3

4

0,50

=

Kết luận hàm số liên tục tại x = 1
3

1
2

0,25
3

0,50

⇒ y ' = 4 x3 + 3x2 + 2
b)

y = ( x + 2)( x + 1) ⇒ y = x + x + 2 x + 2

0,50

y = 3sin 2 x.sin 3 x ⇒ y ' = 6sin x cos x.sin 3 x + 6sin 2 x.cos3 x

0,50

= 6sin x (cos x sin 3 x + sin x cos3 x ) = 5sin x sin 4 x

0,50


4

0,25

a)
b)

SA  (ABC)  BC  SA, BC  AB (gt) BC  (SAB)  BC  SB
Vậy tam giác SBC vuông tại B
SA  (ABC)  BH  SA, mặt khác BH  AC (gt) nên BH  (SAC)
BH  (SBH)  (SBH)  (SAC)

d (B,(SAC )) = BH

c)

0,50
0,25
0,50
0,50

Từ câu b) ta có BH  (SAC) 

1
1
1
=
+
2
2
BH
AB
BC 2
BH 2 =
5a

0,50

AB 2 BC 2
2
10
= ⇒ BH =
2
2
5
5

AB + BC

0,50

f ( x ) = (9 − 5m) x 5 + (m 2 − 1) x 4 − 1
Gọi

f (x)


liên tục trên R.

0,25

2


5 3
f (0) = −1, f (1) =  m − ÷ +
2  4 ⇒ f (0). f (1) < 0


0,50

 Phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1) với mọi m
6a

a)

0,25

y = f ( x ) = 4 x 2 − x 4 f ′( x ) = −4 x 3 + 8x ⇒ f ′( x ) = −4 x ( x 2 − 2)

0,50

,

x = ± 2
f ′( x ) = 0 ⇔ −4 x ( x 2 − 2) = 0 ⇔ 
x = 0


0,50

Phương trình
b)

x0 = 1 ⇒ y0 = 3, k = f ′(1) = 4

0,50

y − 3 = 4( x − 1) ⇔ y = 4 x − 1
Phương trình tiếp tuyến là
5b

f(x)=ax 2 + bx + c
Đặt

0,25

f (x)


0,50

liên tục trên R.