Ôn thi tốt nghiệp toán 12 phần giới hạn hàm số

A. Tóm tắt lý thuyết cần nhớ
1. Các giới hạn đặc biệt
Với
k
+
∀ ∈Z
ta có
lim
k
x
x
→+∞
= +∞
Nếu
k
chẵn:
lim
k
x
x
→−∞
= +∞
Nếu
k
lẻ:
lim
k
x
x
→−∞
= −∞

lim 0
k
x
c
x
→−∞
=
lim 0
k
x
c
x
→+∞
=
0
lim
x x
c c
→
=
(1),
c
là hằng số
(1) đúng khi
0
x x
+
→
,
0

x x
−
→
,
x
→ ±∞
0
0
lim
k k
x x
x x
→
=
2. Định lý về giới hạn hữu hạn
Định lý 1: Giả sử
( )
0
lim
x x
f x L
→
=
và
( )
0
lim
x x
g x M
→

=

( )
,L M ∈R
. Khi đó
a.
( ) ( )
0
lim
x x
f x g x L M
→
± = ± 
 
b.
( ) ( )
0
lim .
x x
f x g x L M
→
+ = 
 
(Nếu
c
là hằng số thì
( )
0
lim . .
x x

c f x c L
→
= 
 
)
c. Nếu
0M ≠
thì
( )
( )
0
lim
x x
f x
L
g x M
→
=
Định lý 2: Giả sử
0
lim
x x
L
→
=
. Khi đó
a.
( )
0
lim

x x
f x L
→
=
b.
( )
0
3
3
lim
x x
f x L
→
=
c. Nếu
( )
0f x ≥
,
{ }
0
\x K x∀ ∈
,
K
là 1 khoảng chứa
0
x
thì
0L ≥
và
( )

0
lim
x x
f x L
→
=
Định lý 1, 2 vẫn đúng khi thay
0
x x→
bởi
x → ±∞
,
0
x x
+
→
,
0
x x
−
→
1
3 Quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc 1: Nếu
( )
0
lim
x x
f x c
→

=
và
0
lim
x x→
= ±∞
thì
( )
( )
0
lim 0.
x x
f x
g x
→
=
Quy tắc 2: Nếu
( )
0
lim
x x
f x
→
= ±∞
và
( )
0
lim 0
x x
g x L

→
= ≠
thì
( ) ( )
lim f x g x 
 
được cho trong
bảng sau:
Quy tắc 3: Nếu
( ) ( )
0 0
lim , lim 0
x x x x
f x L g x
→ →
= =
và
( )
0g x >
hoặc
( )
0g x <
với
{ }
0
\x K x∀ ∈
,
trong đó
K
là một khoảng chứa

0
x
thì
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
→
được cho trong bảng sau:
( Quy tắc 1, quy tắc 2, quy tắc 3 được áp dụng cho các trường hợp
0 0
, ,x x x x x
+ −
→ → → ±∞
)
Các dạng vô định:

( )
0
lim
x x
f x
→
Dấu của
L

( ) ( )

0
lim .
x x
f x g x
→
 
 
+∞
+∞
−∞
−∞
+
-
+
-

+∞

−∞

−∞

+∞

Dấu của
L
Dấu của
( )
g x

( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
→
+
+
-
-
+
-
+
-

+∞

−∞

−∞

+∞
2
Khi tìm giới hạn của một biểu thức, ta có thể gặp các trường hợp sau:
a)
( )
( )
lim

f x
g x
với
( ) ( )
0, 0f x g x→ →
hoặc
( ) ( )
,f x g x→ ±∞ → ±∞
. Ta gọi là dạng vô
định
0
0
hoặc
∞
∞
.
b)
( ) ( )
lim f x g x − 
 
với
( ) ( )
,f x g x→ +∞ → +∞
hoặc
( ) ( )
,f x g x→ −∞ → −∞
. Ta gọi
là dạng vô định
∞ − ∞
.

c)
( ) ( )
lim f x g x 
 
với
( ) ( )
0,f x g x→ → ±∞
. Ta gọi là dạng vô định
0. .
∞
(2)
B. Phân dạng bài tập và giới hạn hàm số
I. Tìm giới hạn của dạng vô định
0
.
0
Đây là dạng bài tập quan trọng nhất trong hệ thống các bài tập giới hạn hàm số và
cũng là dạng bài tập mà học sinh thường gặp, khi giải quyết dạng toán này các em gặp nhiều
khó khăn . Sau đây, tôi xin đưa ra một số phương pháp thường sử dụng khi gặp các dạng này.
I.1. Giới hạn
0
0
mà cả tử số và mẫu số là hàm đa thức
Phương pháp:
0
( )
lim
( )
x x
f x

g x
→
có dạng
0
0
ta thường phân tích
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
.
x
x
A
x x
f x
g x x x B
−
=
−
rồi rút gọn.
Khi đó: Tìm
( )
( )
( )
( )

0 0
lim lim
x
x x x x
x
A
f x
g x B
→ →
=
( Ta sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý giới hạn ).
I.1.1 Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm
2
2
2
4
lim
5 6
x
x
x x
→
−
− +
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
2

2
2 2 2
2 2
4 2
lim lim lim 4.
5 6 2 3 3
x x x
x x
x x
x x x x x
→ → →
− +
− +
= = = −
− + − − −
Ví dụ 2. Tính
3 2
2
1
3 2
lim
6 5
x
x x
x x
→
− +
− +
Lời giải
Ta có

3 2 2
2
1 1
3 2 ( 1)( 2 2)
lim lim
6 5 ( 1)( 5)
x x
x x x x x
x x x x
→ →
− + − − −
=
− + − −

=
2
1
2 2 3
lim
5 4
x
x x
x
→
− −
=
−
.
I.1.2 Bài tập tương tự
3

Tính giới hạn
1)
3
2
1
3 2
lim
1
x
x x
x
→
− +
−
2)
3
2
2
3 2
lim
3 2
x
x x
x x
→
− +
− +
3)
5
2

1
5 4
lim
1
x
x x
x
→
− +
−
5)
2
2
1
2 3 1
lim
1
x
x x
x
→
− +
−
5)
2
2
3
4 3
lim
9

x
x x
x
→
− +
−
I.2 Giới hạn
0
0
trong đó có chứa hàm vô tỉ.
Tất nhiên nhiệm vụ của chúng ta vẫn là làm sao để khử được nhân tử “gây ra” phép
toán vô định này đó là (x – x
0
). Tuy nhiên, đối với hàm vô tỉ thì không thể phân tích thành
nhân tử ngay được mà trước tiên ta phải “trục căn thức” rồi mới phân tích thành nhân tử (x –
x
0
) và rút gọn như trên được.
Ở mục này ta luôn phải sử dụng một số hằng đẳng thức quen thuộc sau:
1)
2 2
a b
a b
a b
−
− =
+
2)
3 3
2 2

a b
a b
a ab b
−
− =
+ +
3)
1 2 1

n n
n n n
a b
a b
a a b b
− − −
−
− =
+ + +
4)
3 3
2 2
a b
a b
a ab b
+
+ =
− +
I.2.1 Các hàm chứa một loại căn
Ví dụ 1. Tìm
1

2 7 3
lim .
1
x
x
x
→
+ −
−
Đặt vấn đề: Ở bài toán trên, ta chưa thể làm xuất hiện nhân tử (x - 1) ở tử số ngay được. Vì
vậy cần khử căn thức trên tử. với căn bậc hai thì sử dụng hằng đẳng thức nào?
Trả lời: Sử dụng 1)
Lời giải
Ta có
( )
( )
2 2
1 1
2 7 3 ( 2 7) 3
lim lim
1
1 2 7 3
x x
x x
x
x x
→ →
+ − + −
=
−

− + +

( )
( )
( )
1 1
2 1
2 1
lim lim .
3
2 7 3
1 2 7 3
x x
x
x
x x
→ →
−
− −
= = =
+ +
− − + +
Ví dụ 2. Tính giới hạn sau
4
3 3
2
6 10
lim .
2
x

x x
x
→
+ − −
−
Câu hỏi: Với căn bậc ba thì sử dụng hằng đẳng thức nào?
Trả lời: Sử dụng 2)
Lời giải
Ta có
3 3
2
2 2
3
3 3
6 10 ( 6) (10 )
lim lim
2
( 2)[ ( 6) ( 6)(10 ) (10 )]
x x
x x x x
x
x x x x x
→ →
+ − − + − −
=
−
− + + + − + −

2 2
2

3 3
3
2 1
lim .
6
( 6) ( 6)(10 ) (10 )
x
x x x x
→
=
+ + + − + −
Ví dụ 3. Tính giới hạn sau
3
1
7 1
lim .
1
x
x
x
→
+ −
−
Lời giải
Ta có
3
2
1 1
3
3

7 2 ( 7) 8
lim lim
1
( 1)[ ( 7) 2 ( 7) 4]
x x
x x
x
x x x
→ →
+ − + −
=
−
− + + + +
=
2
1
3
3
1 1
lim
12
( 7) 2 ( 7) 4
x
x x
→
=
+ + + +
.
Ví dụ 4. Tính giới hạn sau
4

0
1 1
lim .
x
x
x
→
+ −
Câu hỏi: Với căn bậc bốn thì ta phải dung hằng đẳng thức nào?
Trả lời: Sử dụng 3)
Lời giải
Ta có
4
4 4
3 2
0 0
4 4
4
1 1 ( 1) 1
lim lim
[ ( 1) + ( 1) ( 1) 1]
x x
x x
x
x x x x
→ →
+ − + −
=
+ + + + +
=

3 2
0
4 4
4
1 1
lim
4
( 1) + ( 1) ( 1) 1
x
x x x
→
=
+ + + + +
.
Ví dụ 5. Tính giới hạn sau
0
1 1
lim .
n
x
x
x
→
+ −
Câu hỏi: Với căn bậc n thì ta phải dung hằng đẳng thức nào?
Trả lời: Sử dụng 3)
Lời giải
Ta có
5
1 2

0 0
1 1 ( 1) 1
lim lim
[ ( 1) + ( 1) 1]
n
n n
n n
x x
n n
x x
x
x x x
− −
→ →
+ − + −
=
+ + + +
=
1 2
0
1 1
lim
( 1) + ( 1) 1
n n
x
n n
n
x x
− −
→

=
+ + + +
.
Nhận xét: Trên thực tế, ngoài việc lũy thừa để khử căn, người ta còn có thể sử dụng phương
pháp đặt ẩn phụ để giải quyết những bài toán trên.
Ví dụ 1. Tính giới hạn sau
L =
3
1
7 1
lim .
1
x
x
x
→
+ −
−
Lời giải 2 (Lời giải 1 đã có ở ví dụ 3)
Đặt
3
7x t+ =
⇔ x = t
3
- 7
Khi x dần tới 1 thì t dần tới 2
Vậy L =
3 2 2
2 2 2
2 2 1 1

lim lim lim .
7 1 ( 2)( 2 4) 2 4 12
t t t
t t
t t t t t t
→ → →
− −
= = =
− − − + + + +
Ví dụ 2. Tính giới hạn sau
0
1 1
lim .
n
x
x
x
→
+ −
Lời giải 2
Đặt
1
n
x t+ =
⇔ x = t
n
- 1
Khi x dần tới 0 thì t dần tới 1
Vậy L =
1 2 1 2

2 2 2
1 1 1 1
lim lim lim .
1 ( 2)( 1) 1
n n n n n
t t t
t t
t t t t t t n
− − − −
→ → →
− −
= = =
− − + + + + + +
I.2.1 Các hàm chứa nhiều loại căn
I.2.1.1. Chứa hai loại căn
a) Phương pháp 1. Nếu chứa căn bậc n và căn bậc m, ta có thể nâng lên lũy thừa bậc
[m,n] – bội số chung nhỏ nhất của m và n.
Ví dụ 1. Tìm
3
0
1 1
lim
x
x x
x
→
+ − +
.
Câu hỏi: Biểu thức trên chứa những loại căn nào?
Ta nên nâng lên lũy thừa bậc mấy?

Trả lời: bậc 6
Lời giải
Ta có
6 6
3
3
5 4 5
0 0
3
3
(1 ) (1 )
1 1
lim lim
[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ]
x x
x x
x x
x
x x x x x
→ →
+ − +
+ − +
=
+ + + + + + +
=
3 2
5 4 5
0
3
3

(1 ) (1 )
lim
[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ]
x
x x
x x x x x
→
+ − +
+ + + + + + +
6
=
2
5 4 5
0
3
3
(1 ) 1
lim
6
[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ]
x
x
x x x x
→
+
=
+ + + + + + +
Ví dụ 2. Tìm
3
2

0
1 2 1 3
lim
x
x x
x
→
+ − +
.
Câu hỏi: Biểu thức trên chứa những loại căn nào?
Ta nên nâng lên lũy thừa bậc mấy?
Trả lời: bậc 6
Lời giải
Ta có
6 6
3
3
2
2 5 4 5
0 0
3
3
(1 2 ) (1 3 )
1 2 1 3
lim lim
[ (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) ]
x x
x x
x x
x

x x x x x
→ →
+ − +
+ − +
=
+ + + + + + +
=
3 2
2 5 4 5
0
3
3
(1 2 ) (1 3 )
lim
[ (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) ]
x
x x
x x x x x
→
+ − +
+ + + + + + +
=
5 4 5
0
3
3
3 8 1
lim
2
[ (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) ]

x
x
x x x x
→
+
=
+ + + + + + +
Ví dụ 3. Tính giới hạn
4
0
1 2 1
lim
x
x x
x
→
+ − +
Câu hỏi: Biểu thức trên chứa những loại căn nào?
Ta nên nâng lên lũy thừa bậc mấy?
Trả lời: bậc 4
Lời giải
Ta có
4 4
4
4
3 2 2 3
0 0
4 4
4
(1 2 ) (1 )

1 2 1
lim lim
[ (1 2 ) (1 2 ) (1 ) (1 2 ) (1 ) (1 ) ]
x x
x x
x x
x
x x x x x x x
→ →
+ − +
+ − +
=
+ + + + + + + + +
=
2
3 2 2 3
0
4 4
4
(1 2 ) (1 )
lim
[ (1 2 ) (1 2 ) (1 ) (1 2 ) (1 ) (1 ) ]
x
x x
x x x x x x x
→
+ − +
+ + + + + + + + +
=
3 2 2 3

0
4 4
4
3 4 3
lim
4
[ (1 2 ) (1 2 ) (1 ) (1 2 ) (1 ) (1 ) ]
x
x
x x x x x x
→
+
=
+ + + + + + + + +
b) Phương pháp 2. Đặt ẩn phụ
Ta cũng có thể dung phương pháp đặt ẩn phụ để dưa về dạng giới hạn hàm số chỉ chứa
một loại căn.
Ví dụ 1. Tìm
3
0
1 1
lim
x
x x
x
→
+ − +
.
Lời giải
Đặt

3
1 x t+ =
⇔ x = t
3
– 1
Khi x dần tới 0 thì t dần tới 1
Khi đó
7
3
3
3 2
0 1 1
1 1 ( 1)
lim lim lim
1 ( 1)( 1)
x t t
x x t t t t
x t t t t
→ → →
+ − + − −
= =
− − + +
=
2
1
1
lim
6
( 1)( 1)
t

t
t t t
→
=
+ + +

Ví dụ 3. Tính giới hạn
4
0
1 2 1
lim
x
x x
x
→
+ − +
Lời giải
Đặt
4
1 x t+ =
⇔ x = t
4
– 1
Khi x dần tới 0 thì t dần tới 1
Ta có
4
0
1 2 1
lim
x

x x
x
→
+ − +
=
4
4
4 4
1 1
1 2( 1)
2 1
lim lim
1 1
t t
t t
t t
t t
→ →
+ − −
− −
=
− −
=
4 2 2
2 2 4 2 4
1 1
2 1 2 1 3
lim lim
4
( 1)( 1)( 2 1 ) ( 1)( 2 1 )

t t
t t t
t t t t t t t
→ →
− − +
= =
− + − + + − +
.
c) Phương pháp 3. Phương pháp gọi số hạng vắng
Với hai kĩ thuật trên có thể giải quyết được hầu hết các bài toán giới hạn dạng này. Tuy
nhiên, học sinh cũng thường gặp rất nhiều khó khăn với phương pháp trên vì biểu thức liên
hợp thường khá cồng kềnh, phức tạp. Vì vậy, chúng ta còn một lựa chọn thứ ba, đó là phương
pháp gọi số hạng vắng !
Đặc biệt, với những bài chứa nhiều hơn hai loại hàm khác nhau thì phương pháp này là
lựa chọn tốt nhất !
Thông thường, khi gặp bài toán tính giới hạn hàm số chứa tổng nhiều loại hàm khác
nhau, ta thường thêm ‘‘số hạng vắng’’ để tách ra nhiều giới hạn khác nhau. Trong mỗi giới
hạn đó chỉ chứa một loại hàm. Vấn đề ở chỗ là thêm số nào, hằng số hay hàm số.
Nếu là thêm hằng số, ta chỉ việc thay giá trị x
0
vào biểu thức đầu, được bao nhiêu ta trừ
đi chính số đó.
Nếu là thêm hàm số, ta thường phải sử dụng tham số để tính.
Ví dụ 1: Tính giới hạn
3
0
1 1
lim
x
x x

x
→
+ − +
.
Câu hỏi : Thêm số nào ?
Trả lời : Thay x = 0 vào biểu thức
1 x+
được số 1, vậy số cần thêm là số 1.
Lời giải
Ta có:

( )
( )
( )
3 3
2
3
3
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1 1
x x x x x x
x x x
x x
x x x
+ − + + − − +
= + = −
+ +
+ + + +
8

=
2
3
3
1 1
1 1
1 1 (1 )
x
x x
−
+ +
+ + + +
Vậy
3
0
1 1
lim
x
x x
x
→
+ − +
=
0
lim
x→
(
2
3
3

1 1
1 1
1 1 (1 )
x
x x
−
+ +
+ + + +
) =
1
6
.
Ví dụ 2. Tính giới hạn
3
2
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x
→
+ − +
.
Sai lầm thường gặp
=
3
2 2
0 0
1 2 1 1 1 3

lim lim
x x
x x
x x
→ →
+ − − +
+
=
2
0 0 3
3
2 3
lim lim
(1 1 2 )
(1 1 3 (1 3 ) )
x x
x x
x x x
→ →
−
+ = ∞
+ +
+ + + +
Phần nguyên nhân sai lầm, xin dành cho bạn đọc!
Như vậy, việc thêm hằng số ở đây không đạt được mục đích!
Lời giải
Ta cần thêm hàm số 1 + ax, với a phải là số thỏa mãn (1 + 2x) – (1 + ax)
2
có nhân tử x
2

Hay (2 – 2a)x – a
2
x
2
phải có nhân tử x
2
hay a = 1.
Ta có
3
2
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x
→
+ − +
=
3
2
0
1 2 (1 ) (1 ) 1 3
lim
x
x x x x
x
→
+ − + + + − +
=

3
2 2
0
1 2 (1 ) (1 ) 1 3
lim( )
x
x x x x
x x
→
+ − + + − +
+
=
2
0 3
3
1 3 1
lim( )
2
1 2 1
1 1 3 (1 3 )
x
x
x x
x x
→
− +
+ =
+ + +
+ + + +
Đặc biệt, với những bài giới hạn chứa tổng nhiều hơn hai loại hàm khác nhau thì sử dụng

phương pháp này sẽ đem lại hiệu quả hơn cả!
Ví dụ 3. Tính giới hạn sau
3
4
0
4 1 2 1
lim
x
x x x
x
→
+ − + − +
Lời giải
Tách
3 3
4 4
4 1 2 1 4 2 1 1 2 1 1x x x x x x
x x x x
+ − + − + + − − + − +
= + +
Công việc còn lại xin nhường cho bạn đọc.
Ví dụ 4. Tính giới hạn sau
3
0
1 . 1 2 1
lim
x
x x
x
→

+ + −
9
Vấn đề ở đây là: làm sao để tách hai căn thức trên ra, đưa về giới hạn quen thuộc?
Lời giải
Ta có
3 3 3 3
0 0
1 . 1 2 1 1 . 1 2 1 2 1 2 1
lim lim
x x
x x x x x x
x x
→ →
+ + − + + − + + + −
=
=
3 3
0
1 2 ( 1 1) 1 2 1
lim( )
x
x x x
x x
→
+ + − + −
+
Công việc còn lại, xin nhường cho bạn đọc.
I.2.3. Bài tập tương tự
Tính các giới hạn sau
1)

3
0
4 2 1 2
lim
x
x x
x
→
+ − +
2)
3
1
4 3 2 1
lim
1
x
x x
x
→
− − −
−
3)
3
0
4 1 2 1
lim
x
x x
x
→

+ − + −
4)
3
0
4 1 2 2
lim
x
x x
x
→
− + −
5)
3
2
2 6
lim
2
x
x x
x
→
+ − +
−
5)
3
4
0
4 1 1 2
lim
x

x x x
x
→
+ − − − +
7)
3
0
1 . 8 2
lim
x
x x
x
→
+ + −
8)
0
9 2 3
lim
x
x
x
→
+ −
9)
3
2
4 2 2
lim
2
x

x
x
→
+ −
−
10)
2
1
3 2
lim
1
x
x x x
x
→
+ − + +
−
11)
3
3
2 2 5
lim
3
x
x x
x
→
− − −
−
12)

3
1
4 3 2 1
lim
1
x
x x
x
→
− − −
−
13)
2
3
0
4 2 1 1
lim
x
x x x
x
→
+ − + − +
14)
3
1
4 3 2 1 1
lim
1
x
x x

x
→
− − −
−
15)
3
2
3 2 6
lim
2
x
x x
x
→
− − +
−
15)
3
4
1
5 2 2 1
lim
1
x
x x x
x
→
− − − − −
−
17)

3
3
4 . 5 2
lim
3
x
x x
x
→
− + −
−
18)
5
2 1 3
lim
5
x
x
x
→
− −
−
19)
3
2
3 2 2
lim
2
x
x

x
→
+ −
−
20)
2 2
1
3 3 1
lim
1
x
x x x x
x
→
+ − − − +
−
II. Giới hạn tại vô cực
II.1. Tìm giới hạn dạng
∞
∞
Phương pháp: Chia tử số và mẫu số cho
n
x
, với
n
là số mũ cao nhất có mặt ở mẫu
số hoặc đưa x
n
ra ngoài.
10

Ví dụ 1. Tìm
3 5
lim
2 7
x
x
x
→+∞
−
−
Lời giải
5
3
3 5 3
lim lim
2
2 7 7
7
x x
x
x
x
x
→+∞ →+∞
−
−
= =
− −
− +
Ví dụ 2: Tìm

2
4
3 2
lim
5 1
x
x x
x x
→−∞
+
− + +
Lời giải
2
2 3
4
3 4
3 2
3 2
lim lim 0
5 1
5 1
1
x x
x x
x x
x x
x x
→−∞ →−∞
+
+

= =
− + +
− + +
Ví dụ 3: Tìm
3
2 3 1
lim
5
x
x x
x
→+∞
+ +
− +
Lời giải
3
3
2 3
3 1
2
2 3 1
lim lim
5
5
1
x x
x
x x
x x
x

x
x
→+∞ →+∞
 
+ +
 ÷
+ +
 
=
− +  
− +
 ÷
 

2 3
2
3 1
2
lim
5
1
x
x x
x
x
→+∞
 
+ +
 ÷
= = −∞

 ÷
 ÷
− +
 
Ví dụ 4: Tìm
2
2
2 3
lim
4 1 1
x
x x x
x x
→−∞
+ + +
+ − +
Lời giải
Ta có
2
2
1 2
2 1x x x
x x
+ + = + +
2
2
1
4 1 4x x
x
+ = +

Khi đó
2 2
2 2 2
1 2 1 2
1 3 1 3
2
lim lim
3
1 1 1
2 4 1 4 1
x x
x x
x x x x
x
x x x
→−∞ →−∞
− + + + − + + +
= =
−
− + − + − + − +
11
Thường được biến đổi như trục căn thức, biến đổi quy đồng, đặt ẩn phụ .để đưa về 2
dạng quen thuộc I, II ở trên.
II.2. Tìm giới hạn dạng
;0.∞ ± ∞ ∞
.
Phương pháp 1. Dùng một số phép biến đổi: đưa biến cao nhất ra ngoài, nhân biểu
thức liên hợp để đưa về dạng xác định.
Ví dụ 1. Tính giới hạn sau
2

lim ( 2 1 )
x
x x x
→−∞
+ − −
Lời giải
Ta có
2
2
2 1
lim ( 2 1 ) lim [ ( 1 1)]
x x
x x x x
x x
→−∞ →−∞
+ − − = − + − + = +∞
Ví dụ 2. Tính giới hạn sau
2
lim ( 2 1 )
x
x x x
→+∞
+ − −
Lời giải
Ta có
2
2
2
2 2
2 1

lim ( 2 1 ) lim [ ( 1 1)]
2 1 1
(1 1) 2
lim lim 1
2 1 2 1
1 1 1 1
x x
x x
x x x x
x x
x
x x x
x x x x
→+∞ →+∞
→+∞ →+∞
+ − − = + − −
+ − − −
= = =
+ − + + − +
Ví dụ 3. Tìm
2 33
lim ( )
x
x x x x
→+∞
+ − +
.
Lời giải
Ta có
2 33

lim ( )
x
x x x x
→+∞
+ − +
=
6 6
3
3
5 4 5
3 3
1 1
(1 ) (1 )
1 1
lim ( 1 1 ) lim
1 1 1 1
[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ]
x x
x x
x x
x x
x x x x
→+∞ →+∞
+ − +
+ − + =
+ + + + + + +
12
=
3 2
5 4 5

3 3
1 1
[(1 ) (1 ) ]
lim
1 1 1 1
[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ]
x
x
x x
x x x x
→+∞
+ − +
+ + + + + + +
=
2
5 4 5
3 3
1
(1 )
1
lim
6
1 1 1 1
[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ]
x
x
x x x x
→+∞
+
=

+ + + + + + +
Ví dụ 4. Tính giới hạn sau
3 2 2 33 3
lim ( 8 8 ).
x
x x x x
→+∞
+ − −
Lời giải
Ta có
3 2 3 23 3
3 3
8 8
lim ( 8 8 ) lim ( 1 1 )
x x
x x x x x
x x
→+∞ →+∞
+ − − = + − −
=
2 2
3 3 3
8 8
(1 1)
lim
8 8 8 8
(1 ) (1 )(1 ) (1 )
x
x
x x

x x x x
→+∞
+ + −
+ + + − + −
2 2
3 3 3
16 16
lim
3
8 8 8 8
(1 ) (1 )(1 ) (1 )
x
x x x x
→+∞
= =
+ + + − + −
.

Ví dụ 5. Tính giới hạn sau
4 3
4
lim ( ).
x
x x x
→+∞
+ −
Lời giải
Ta có
4 3
4

4
1
lim ( ) lim ( 1 1)
x x
x x x x
x
→+∞ →+∞
+ − = + −
=
3 2
4 4 4
1
(1 1)
lim
1 1 1
(1 ) + (1 ) (1 ) 1
x
x
x
x x x
→+∞
+ −
+ + + + +
=
3 2
4 4 4
1 1
lim
4
1 1 1

(1 ) + (1 ) (1 ) 1
x
x x x
→+∞
=
+ + + + +
Ví dụ 6. Tìm
4 3 6 53
lim ( 2 3 )
x
x x x x
→+∞
+ − +
.
Lời giải
13
Ta có
2 6 6
3
2
3
5 4 5
3 3
2 3
[ (1 ) (1 ) ]
2 3
lim [ 1 1 ] lim
2 2 3 3
[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ]
x x

x
x x
x
x x
x x x x
→+∞ →+∞
+ − +
+ − + =
+ + + + + + +
=
2 3 2
5 4 5
3 3
2 3
[(1 ) (1 ) ]
lim
2 2 3 3
[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ]
x
x
x x
x x x x
→+∞
+ − +
+ + + + + + +
=
5 4 5
3 3
8
3

1
lim
2
2 2 3 3
[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ]
x
x
x x x x
→+∞
+
=
+ + + + + + +
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ
Khi x dần tới vô cùng, ta có thể đặt
1
t
x
=
với t dần tới 0. Đưa về dạng I. (Có thể áp
dụng cho hầu hết các bài toán về giới hạn tại vô cực)
Ví dụ 1. Tìm
3 5
lim
2 7
x
x
x
→+∞
−
−

Lời giải
Đặt
1
t
x
=
, t dần tới 0
+
0 0
3
5
3 5 3 5 3
lim lim lim
7
2 7 7 2 7
2
x
x x
x x
x
x x
x
+ +
→+∞
→ →
−
− −
= = = −
− − +
− +

Ví dụ 2. Tìm
2
4
3 2
lim
5 1
x
x x
x x
→−∞
+
− + +
Lời giải
Đặt
1
t
x
=
, khi x dần tới âm vô cực thì t dần tới 0
-
2 2 3
2
4 3 4
0 0
4
3 2
3 2 3 2
lim lim lim 0
1 5
5 1 1 5

1
x
t t
x x t t
t t
x x t t
t t
− −
→−∞
→ →
+
+ +
= = =
− + + − + +
− + +
Ví dụ 3. Tính giới hạn sau
2
lim ( 2 1 )
x
x x x
→−∞
+ − −
Lời giải
14
Đặt
1
t
x
=
, khi x dần tới âm vô cực thì t dần tới 0

-
Ta có
2
2
2
0 0
1 2 1 1 2 1
lim ( 2 1 ) lim[( 1 )] lim
x
t t
t t
x x x
t t t t
− −
→−∞
→ →
+ − +
+ − − = + − − = = +∞
−
Ví dụ 4. Tìm
2 33
lim ( )
x
x x x x
→+∞
+ − +
.
Lời giải
Đặt
1

t
x
=
, khi x dần tới dương vô cực thì t dần tới 0
+
Ta có
2 33
lim ( )
x
x x x x
→+∞
+ − +
=
6 6
3
3
5 4 5
0
0
3
3
(1 ) (1 )
1 1
lim lim
[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ]
x
t
t t
t t
t

t t t t t
+
→
→
+ − +
+ − +
=
+ + + + + + +
=
3 2
5 4 5
0
3
3
(1 ) (1 )
lim
[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ]
x
x x
x x x x x
+
→
+ − +
+ + + + + + +
=
2
5 4 5
0
3
3

(1 ) 1
lim
6
[ (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) ]
x
x
x x x x
+
→
+
=
+ + + + + + +
Ví dụ 5. Tính giới hạn sau
3 2 2 33 3
lim ( 8 8 ).
x
x x x x
→+∞
+ − −
Lời giải
Đặt
1
t
x
=
, khi x dần tới dương vô cực thì t dần tới 0
+
Ta có
3 3
3 2 3 23 3

0
1 8 1 8
lim ( 8 8 ) lim
x
t
t t
x x x x
t
+
→+∞
→
+ − −
+ − − =
=
2 2
0
3 3
3
1 8 8 1
lim
[ (1 8 ) (1 8 )(1 8 ) (1 8 )
t
t t
t t t t t
+
→
+ + −
+ + + − + −
2 2
0

3 3
3
16 16
lim
3
(1 8 ) (1 8 )(1 8 ) (1 8 )
t
t t t t
+
→
= =
+ + + − + −
.
II.3 Bài tập tương tự
Tính các giới hạn sau:
1)
1 3
lim
1 2
x
x
x
→±∞
−
−
2)
2
3 2
2 3
lim

2 1
x
x
x x
→±∞
+
+ +
15
3)
3 2
3
3 2 5
lim
1 2
x
x x
x x
→±∞
− +
− +
4)
2
4
1 3
lim
1 2
x
x x
x x
→±∞

− −
− +
5)
2 3
2
1 3
lim
1 2
x
x x
x
→±∞
− +
−
6)
2 2
lim ( 2 )
x
x x x x
→+∞
+ − −
7)
2 2
lim ( 4 2 4 1)
x
x x x x
→+∞
+ − − +
8)
2 2

lim ( 2 2 )
x
x x x x
→+∞
+ − −
9)
2
lim ( 3 )
x
x x x
→+∞
+ −
10)
32 3 2
lim ( 3 )
x
x x x x
→+∞
+ − +
11)
32 3 2
lim ( 4 8 3 )
x
x x x x
→+∞
+ − +
12)
32 3 2
lim ( 4 2 8 3 )
x

x x x x
→+∞
+ − +
13)
2 2
lim ( 1 )
x
x x x x
→+∞
+ + − −
14)
32 3 2
lim ( 3 1 5 )
x
x x x x
→+∞
+ + − +
15)
32 3 2
lim ( 3 2 )
x
x x x x
→+∞
+ − +
16)
32 3 2
lim ( 1 3 )
x
x x x x
→+∞

+ − − +
I.3. Các giới hạn của hàm số lượng giác
Phương pháp: Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổ hàm số lượng giác thành dạng có
thể sử dụng giới hạn:
x 0
sin x
lim
x
→
= 1 và các định lí cơ bản về giới hạn.
I.3.1. Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm
2
x 0
1 cosx
lim
x
→
−

Lời giải
Ta có
2
x 0
1 cosx
lim
x
→
−
=

2
2
x 0
x
2sin
2
lim
x
→
=
1
2
2
x 0
x
sin
2
lim
x
2
→
 
 ÷
 ÷
 ÷
 
=
1
2
Do

x 0
x
sin
2
lim
x
2
→
= 1
Ví dụ 2: Tìm
x
3
sin3x
lim
1 2cosx
π
→
−
= I
Đặt x =
3
π
−
t Khi
x
3
π
→
ta có t
→

0
Khi đó
sin3x sin3x sin3x sin3t
1 t t
1 2cosx
2 cosx 2 cos cosx 4sin sin
2 3 3 2 2
= = =
π π
−      
− − − −
 ÷  ÷  ÷
     
16
x 0
( 1) sin3t 1 6
I lim . .
t
4 3t
sin
sin t
2
3
t
2
→
−
⇒ =
π
 

−
 ÷
 
=
3−
.
I.3.2. Bài tập
Tính các giới hạn sau :
1)
x 0
1 3 1
lim
sin sin3x x
→
 
−
 ÷
 
6)
x
2
cosx
lim
x
2
π
→
π
−
2)

3
x 0
tanx sinx
lim
x
→
−
7)
( )
x 0
lim 1 cos2x t anx
→
+
3)
2
x 0
1 cos x
lim
tan x
→
−
8)
x
4
1 tanx
lim
1 cot x
π
→
−

−
4)
2
x 0
1 cos6x
lim
x
→
−
9)
x
4
sinx cosx
lim
1 tan x
π
→
−
−

5)
x 0
1 cos3x
lim
1 cos5x
→
−
−
10)
x 0

1 sin 2x 1 sin 2x
lim
x
→
+ + −
.
17