đề tài cách tìm nghiệm cho một loại phương trình

1
1
sở giáo dục và đào tạo
trờng THPT dân tộc nội trú tỉnh bắc giang







Đề tài
sáng kiến kinh nghiệm



cách tìm nghiệm
cho một loại phơng trình



giáo viên : dơng mai loan



Năm học :2007 -2008

2
2
lời nói đầu

1. Lý do chọn đề tài.
- Loại bài toán giải phơng trình lợng giác là một mảng kiến thức rất
rộng và khó nhng lại gặp nhiều trong các kì thi học sinh giỏi và đặc biệt
là các kì thi đại học và trung học chuyên nghiệp.
- Trong hệ thống các loại bài toán về phơng trình lợng giác đó tôi đề
cập đến một loại phơng trình lợng giác có dạng:
asinx + bcosx = c, điều kiện:





0,0
,,
ba
Rcba


đ có phơng pháp giải trong SGK lớp 11.
- Mặc dù vậy theo tôi, loại bài toán này có thể có nhiều cách giải khác và
tìm ra đợc cách giải tơng tự cho những bài toán tổng quát hơn.
Vì vậy tôi chọn phần kiến thức nhỏ trong phần kiến thức lợng giác vô
cùng rộng lớn này.
2. Mục đích nghiên cứu:
- Tự học tập, nghiên cứu để nâng cao trình độ của bản thân, qua đó góp
phần giúp các em học sinh ôn tập để phục vụ cho việc ôn thi đạt hiệu quả
tốt hơn.
3. Đối tợng nghiên cứu:
- Một số bài toán về phơng trình lợng giác
4. Phơng pháp nghiên cứu:

- Tự đọc sách
- Tham khảo đồng nghiệp.
Với kinh nghiệm nhỏ này tôi mong rằng bạn đọc tham khảo và bổ
xung thêm cho một số dạng phơng trình lợng giác đặc biệt khác để khi
áp dụng vào giải phơng trình đợc phong phú hơn.
Ngời viết:


DƯƠNG MAI LOAN

3
3
Nội dung

I. Loại phơng trình có dạng
Sinx + Cosx = c
Trong sách giáo khoa Lớp 11 đ có phơng pháp giải. Ngoài ra nó
còn có nhiều cách giải khác, trong đó cách khoa học nhất là đa về
phơng trình đại số b
2
đối với ẩn phụ bằng cách đặt:
Song việc tìm nghiệm cha kết thúc , để rèn luyện năng lực giải
toán cần:
ii. Xác định đợc chơng trình giải toán cho
phơng trình dạng tổng quát
Giải phơng trình
asinx + bcosx = c (1). Trong đó
+/ (a,b,c R ; ab 0).
+/ Điều kiện để phơng trình có nghiệm
c

2
a
2
+ b
2
.
a/ cách 1:
Đa về phơng trình bậc 2 ẩn phụ t
Khi đó phơng trình (1) trở thành phơng trình đại số ẩn t có dạng:
(b
2
+ c)t
2
- 2at + (c - b) = 0.
Tìm nghiệm từ phơng trình ẩn t và trả lại biến.
)2(,
2

kx
x
tgt +=
4
4
Sau đó dùng phơng pháp thử x = (2k + 1)

có là nghiệm không
và kết luận nghiệm của phơng trình đ cho.
b/ cách 2:
Chọn góc phụ
)

2
2
(

<<



sao cho =
a
b
rồi biến đổi phơng trình
(1) sin (x + ) =
cos
a
c

c/ cách 3:
Điều kiện: a
2
+ b
2


0 phơng trình

222222
cossin
ba
c

x
ba
b
x
ba
a
+
=
+
+
+


đặt







+
=
+
=
22
22
cos
sin
ba

a
ba
b



phơng trình (1) sin (x + ) =
22
ba
c
+

d/ cách 4:
AD: sin
2
x + cos
2
x = 1 phơng trình
(1) cos
2
x +
1)
cos
(
2
=

a
xbc

Zkkx
x
tgt += ),)12((
2
5
5
e/ cách 5:
ADCT góc chia đôi đa về phơng trình đẳng cấp bậc 2 đối với
sin
2
x
và cos
2
x

f/ cách 6:
Có thể bình phơng 2 vế rồi đa về giải phơng trình.
a
2
sin
2
x + b
2
cos
2
x + 2ab sinxcosx = c
2
.
- Chú ý: Đối với phơng trình này cần phải thử nghiệm để loại
nghiệm ngoại lai.

g/ cách 7:
Xuất phát từ hằng đẳng thức:
(asinx + bcosx)
2
+ (bsinx acosx)
2
= a
2
+ b
2

(acosx - bsinx)
2
= a
2
+ b
2
- c
2
.
Với điều kiện:
222
bac +
khi đó (1)





=+

++=
cxbxa
cbaxbxa
sincos
sincos
222
và





=+
++=
cxbxa
cbaxbxa
sincos
sincos
222

Kết hợp nghiệm nghiệm phơng trình (1).
h/ cách 8:
Dùng phơng pháp đồ thị , đa về tìm giao của hai đồ thị hàm số
y
1
= asinx và y
2
= c - bcosx Nghiệm của phơng trình.

6

6
i/ cách 9:
Điều kiện: c
2
a
2
+ b
2
đặt



=
=
xY
xX
sin
cos

Tìm nghiệm của (1) tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số
ay + bx = c với đờng tròn có đồ thị là X
2
+ Y
2
= 1.
k/ cách 10:
Dùng số phức biểu diễn
2
sin
ixix

ee
x


;
2
cos
ixix
ee
x

+

Lúc đó e
ix
= cosx + isinx
Thay cosx, sinx vào phơng trình (1) đa về giải phơng trình bậc
2 đối với e
ix

và so sách phần thực, ảo với (x) nghiệm.
iii/ Tìm kiếm cách giải cho phơng trình cùng dạng
a/ Giải phơng trình sin
2
x + cos
2
x = 1 nghiệm x.
b/ sin
3
x + cos

3
x = 1
vì sin
3
x + cos
3
x = (cosx + sinx)(1- sinxcosx) = 1
Đặt sinx + cosx = t
)2( t

Phơng trình t
2
- 3t + 2 = 0
t = 1 x =


k2
2
+
và x = 2k

với k nguyên
c/ sin
4
x + cos
4
x = 1
với 6 cách giải
2

kx =
;
2

kx =

7
7
d/ sin
6
x + cos
6
x = 1 Sử dụng công thức biiến đổi lợng giác khi
đó phơng trình cos4x = 1
2

kx =
.
e/ sin
1998
x + cos
1998
x = 1 sin
2
x(sin
1996
x - 1) = cos
2
x (1- cos
1996

x)
vì sin
1996
x - 1 0
cos
1996
x - 1 0
Phơng trình có nghiệm
sin
2
x (1996x - 1) = cos
2
x (1 - cos
1996
x) = 0
+ Nếu sinx = 0 cosx 0 cos
1996
x = 1 cosx = 1
x = k


+ Nếu cosx = 0 sinx 0 sin
1996
x = 1 sinx = 1



kx +=
2

iv/ Xác định sơ đồ định hớng khái quát để giải các
phơng trình dạng mới.
a/ Giải sin
n
x + cos
n
x = 1 (n > 2)
Tơng tự nh phơng trình (2e) biến đổi phơng trình trên về
dạng:
sin
2
x (sin
n-2
x - 1) = cos
2
x (1 - cos
n-2
x) vì n > 2 nên





+



01cos
01sin
2

2
x
x
n
n

phơng trình có nghiệm sin
2
x(sin
n-2
x - 1) = cos
2
x (1 - cos
n-2
x) = 0 (2*)
8
8
+/ n ch½n
2
0cos
0sin
π
k
x
x
x
=⇒




=
=

+/ n lÎ
π
2
1cos
0sin
kx
x
x
=⇒



=
=
hoÆc
π
π
2
2
0cos
1sin
kx
x
x
+=⇒




=
=

b/ gi¶i sin
2m
x + cos
2n
x = 1 (m, n ∈Z)
- T−¬ng tù ⇒ x=
2
Π
k

v/ NhËn xÐt lêi gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh trªn
- C¸c ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c d¹ng sin
n
x + cos
n
x = 1 bao giê
còng cã nghiÖm
π
π
kx 2
2
+=
(do vÕ ph¶i = 1)
- Ta thÊy
2cossin ≤+ xx
nn

khi gÆp ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c
d¹ng:
A = sin
n
x + cos
n
x víi
⇒> 2A
kÕt luËn ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm.









9
9
Kết luận

Từ một phơng trình đơn giản ta có thể rèn luyện năng lực giải toán và
t duy sáng tạo của học sinh . giúp học sinh có hớng tìm tòi, suy luận
một cách logic và có thể vận dụng tốt cho những bài toán tơng tự hoặc
mở rộng.
Tài liệu tham khảo:
- SGK tuyển sinh đại học chuyên đề lợng giác
- SGK phơng trình lợng giác của tác giả Trần Phơng
- Các bài giảng luyện thi môn toán