Hướng dẫn học viên cách tìm nhanh nghiệm của một bất phương trình dưới dạng tích thương các đa thức bậc n SKKN lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị TRUNG TÂM GIÁO DỤC THƯỜNG XUYÊN THÀNH PHỐ BIÊN
HÒA
Mã số:
(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC VIÊN CÁCH TÌM NHANH NGHIỆM CỦA
MỘT BẤT PHƯƠNG TRÌNH DƯỚI DẠNG TÍCH THƯƠNG CÁC
ĐA THỨC BẬC n
Người thực hiện: NGUYỄN VĂN TÀI
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục 
- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 
Có đính kèm: Các sản phẩm không thề hiện trong bản in SKKN
 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học: 2011 - 2012
BM 01-Bia SKKN
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: Nguyễn Văn Tài
2. Ngày tháng năm sinh: 13/ 12/ 1953
3. Nam, nữ: Nam
4. Địa chỉ: 59/70/1 Phan Đình Phùng, Phường Quang Vinh, Biên Hòa
5. Điện thoại: 0613 822538 (CQ)/ 0613 810649 (NR);
ĐTDĐ: 0973767054
6. Fax: E-mail:
7. Chức vụ: Giáo viên
8. Đơn vị công tác: Trung tâm Giáo dục thường xuyên thành phố Biên hòa
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Cử nhân
- Năm nhận bằng: 1984

- Chuyên ngành đào tạo: Toán học
III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán
Số năm có kinh nghiệm: 25
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
2
BM02-LLKHSKKN
Tên SKKN: HƯỚNG DẪN HỌC VIÊN TÌM NHANH NGHIỆM CỦA BẤT
PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TÍCH, THƯƠNG CÁC ĐA THỨC BẬC n
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình môn toán lớp 10 bậc THPT, học sinh được học về dấu
của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai. Qua đó đưa đến việc xác định
nghiệm của bất phương trình, đặc biệt đối với những bất phương trình phức tạp (có
dạng tích các nhị thức và tam thức bậc hai) thì công việc này quả là khó đối với
học sinh. Để giúp học sinh khắc phục vấn đề trên tôi đã suy nghĩ và đề ra hướng
giải quyết thông qua đề tài này
-Về dấu của nhị thức bậc nhất, ta có Định lí (tr.89 - sgk):
Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị
trong khoảng






∞+− ;
a
b
, trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng







−∞−
a
b
;
Chẳng hạn xét ví dụ 2 (tr.91 - sgk Đại số 10): Xét dấu biểu thức
f(x) =
53
)2)(14(
+−
+−
x
xx
Để giải bài này, học sinh làm các bước sau:
•
f(x) không xác định khi
3
5
=x
(tìm tập xác định của biểu thức)
•

3
5
053;202;
4

1
014
=⇔=+−−=⇔=+=⇔=−
xxxxxx

(tìm nghiệm của các nhân tử)
•
Bảng xét dấu
x
∞−
-2
4
1

3
5

∞+

4x - 1 - - 0 + +
x + 2 - 0 + + +
-3x + 5 + + + 0 -
f (x) + 0 - 0 + -
3
BM03-TMSKKN
•
Trả lời: f(x) > 0 khi







∈−−∞∈
3
5
;
4
1
)2;( xhayx
f(x) < 0 khi






∞+∈






−∈ ;
3
5
4
1
;2 xhayx

f(x) = 0 khi
4
1
2
=−=
xhayx
f(x) không xác định khi
3
5
=x
-Về dấu của tam thức bậc hai, ta có Định lí (tr.101 - sgk):
Cho f(x) = ax
2
+ bx + c (a
≠
o),
∆
= b
2
- 4ac
Nếu
∆
< 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x
R∈
Nếu
∆
= 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x =
a
b
2

−
Nếu
∆
> 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x < x
1
hoặc x > x
2
, trái dấu với
hệ số a khi x
1
< x < x
2
trong đó x
1
, x
2
(x
1
< x
2
) là hai nghiệm của f(x)
Chẳng hạn xét ví dụ 2 (tr.103 - sgk Đại số 10): Xét dấu biểu thức
4
12
)(
2
2
−
−−
=

x
xx
xf
Để giải bài này, học sinh làm các bước sau:
•
f(x) không xác định khi x =
2±
•




−=
=
⇔=−−
2
1
1
012
2
x
x
xx
•
Bảng xét dấu
x
-
∞
-2
2

1
−
1 2 +
∞
2x
2
- x - 1 + + 0 - 0 + +
x
2
- 4 + 0 - - - 0 +
)(xf
+ - 0 + 0 - +
•
Trả lời: f(x) > 0 khi
);2(1;
2
1
)2;( ∞+∈






−∈−−∞∈ xhayxhayx
f(x) < 0 khi
( )
2;1
2
1

;2 ∈






−−∈ xhayx
4
f(x) = 0 khi
1
2
1
=−= xhayx
f(x) không xác định khi x =
2±
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận
Xét đa thức bậc n: f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ . . . + a
2
x
2

+ a
1
x + a
o
. Giả sử đa thức
f(x) có đúng n nghiệm phân biệt x
1
, x
2
, . . ., x
n
sao cho:
x
1
< x
2
< . . . < x
n-1
< x
n
. Khi đó ta có thể viết đa thức f(x) dưới dạng
f(x) = a
n
(x - x
n
)(x - x
n-1
). . .(x - x
2
)(x - x

1
)
Ta có bảng xét dấu đa thức f(x) như sau:
x
∞−
x
1
x
2
. . . x
n-1
x
n

∞+
x - x
1
- 0 + + + +
x - x
2
- - 0 + + +
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
x - x
n-1
- - - 0 + +
x - x
n
- - - - 0 +
f(x) trái dấu với a
n

0 cùng dấu với a
n
Có thể xét dấu f(x) bằng trục số:
x
1
x
2
. . . x
n-1
x
n

trái dấu với a
n
cùng dấu với a
n

Kết luận: f(x) luôn cùng dấu với a
n
trên khoảng (x
n
;
∞+
) và lần lượt đan dấu
trên các khoảng kế tiếp còn lại
- Trường hợp đa thức f(x) có k nghiệm trùng nhau x
k
với k là số chẵn. Khi
đó (x - x
k

)
k

0≥
. Do đó dấu của f(x) phụ thuộc vào dấu của đa thức
g(x) = a
n
(x - x
1
)(x - x
2
). . .(x - x
n-k
) nên có thể không cần ghi x
k
trong bảng xét dấu
của f(x)
- Trường hợp đa thức f(x) có k nghiệm trùng nhau x
k
với k là số lẻ, ta vẫn
duy trì x
k
trong bảng xét dấu của f(x) vì (x - x
k
)
k
> 0 khi x > x
k
và (x - x
k

)
k
< 0
khi x < x
k

2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
1/. Vấn đề 1: Xét dấu đa thức
Căn cứ vào cơ sở lý luận trên, tôi đưa ra cách xét dấu một đa thức như sau:
5
•
•
•
•
Bước 1: Tìm nghiệm của đa thức
Bước 2: Vẽ trục số, ghi tất cả các nghiệm đơn và nghiệm bội lẻ ((2k + 1)
nghiệm trùng nhau) theo thứ tự trên trục số. Sau đó xét dấu khoảng (x
i
;
∞+
),với x
i
là nghiệm có giá trị lớn nhất trong tất cả các nghiệm của f(x), khoảng này luôn có
dấu cùng với dấu của a
n
(a
n
là hệ số của x với số mũ n cao nhất trong f(x)), còn các
khoảng kết tiếp còn lại cứ đan dấu nhau
•

Ví dụ 1: Xét dấu f(x) = 3x
3
- 9x
2
- 18x + 24
- Bước 1: Tìm nghiệm của f(x) = 0
3x
3
- 9x
2
- 18x + 24 = 0 khi x = -2, x = 1, x = 4. Do đó có thể viết
f(x) = 3(x + 2)(x - 1)(x - 4)
- Bước 2: Vẽ trục số, ghi các nghiệm -2, 1, 4 trên trục số và xét dấu f(x) ở
hàng dưới trục số (thay cho bảng xét dấu thực hiện như trong ví dụ 2, tr.91 - sgk -
Đs 10)
-2 1 4
- 0 + 0 - 0 +
(cùng dấu với hệ số 3
của x
3
)
Kết luận: f(x) > 0 khi x
);4()1;2( ∞+∪−∈
f(x) < 0 khi x
)4;1()2;( ∪−−∞∈
f(x) = 0 khi x = -2 hay x = 1 hay x = 4
•
Ví dụ 2: Xét dấu f(x) = -5x
4
+ 50x

3
- 140x
2
+ 30x + 225
- Bước 1: f(x) = 0 khi x = -1, x = 5, x = 3 (nghiệm kép). Do đó có thể viết
f(x) = -5(x - 3)
2
(x + 1)(x - 5)
- Bước 2: Vẽ trục số, chỉ ghi các nghiệm -1, 5 trên trục số và xét dấu
-1 5
- 0 + 0 -
(cùng dấu với hệ số -5 của x
4
)
Kết luận: f(x) > 0 khi x
)5;1(−∈
f(x) < 0 khi x
);5()1;( ∞+∪−−∞∈
•
Ví dụ 3: Xét dấu f(x) = -x
5
- 5x
4
+ 6x
3
+ 76x
2
+ 152x + 96
- Bước 1: f(x) = 0 khi x = -3, x = -2 (ba nghiệm trùng nhau), x = 4. Do đó
có thể viết f(x) = -(x + 2)

3
(x + 3)(x - 4)
- Bước 2: Vẽ trục số, ghi các nghiệm -3, -2, 4 trên trục số và xét dấu f(x)
-3 -2 4
+ 0 - 0 + 0 -
6
(cùng dấu với hệ số -1 của x
5
)
Kết luận: f(x) > 0 khi x
)4;2()3;( −∪−−∞∈
f(x) < 0 khi x
);4()2;3( ∞+∪−−∈
2/. Vấn đề 2: Tìm nhanh nghiệm của bất phương trình một ẩn
Việc giải bất phương trình một ẩn hoàn toàn dựa vào việc xét dấu đa thức đã
nói ở trên, sau đó cần chọn tập nghiệm của bất phương trình phù hợp với dấu của
nó ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho
•
Ví dụ 4: Giải bất phương trình
0
)34)(35(
)4)(12(
2
>
−+−−
−+
xxx
xx
Ta thấy dấu của biểu thức ở vế trái của bất phương trình cũng là dấu của đa thức
f(x) = -(2x + 1)(x - 4)(3x - 5)(x

2
- 4x + 3) hay
f(x) = -(2x + 1)(x - 4)(3x - 5)(x - 1)(x - 3)
Do đó để tìm nhanh nghiệm của bất phương trình đã cho ta có thể làm như sau:
Bước 1: Tìm nghiệm của các nhân tử trong biểu thức ở vế trái của bất
phương trình ta được: -
3,1,
3
5
,4,
2
1
Bước 2: Biểu diễn các số : -
4,3,
3
5
,1,
2
1
trên trục số và xét dấu trên khoảng
(4 ; +
∞
) có dấu âm (là kết quả của tích các hệ số âm của x với số mũ cao nhất
trong các nhân tử hay chỉ cần đếm số các dấu âm này, nếu là số lẻ ta có dấu âm,
nếu là số chẵn ta có dấu dương)
2
1
−
1
3

5
3 4
+ 0 - + - + 0 -
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là:
)4;3(
3
5
;1
2
1
; ∪






∪






−∞−
-Với những ví dụ minh họa cho cơ sở lí luận trên, trong thực hành học sinh
có thể giải nhanh một bất phương trình qua các ví dụ sau đây:
•
Ví dụ 5: Giải bất phương trình
0

)123)(32(
)4)(31(
2
2
≤
−+−+
−−
xxx
xx
Giải: Cho
3
1
031
=⇔=−
xx

204
2
±=⇔=−
xx
7
2
3
032
−=⇔=+
xx
0123
2
=−+−
xx

, phương trình vô nghiệm
-2
2
3
−
3
1
2
+ 0 - + 0 - 0 +
(chú thích: trên khoảng
);2( ∞+
, vế trái của bất phương trình có dấu dương vì
có hai dấu âm trước hệ số của x và x
2
trong các nhân tử của bất phương trình)
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:






∪






−− 2;

3
1
2
3
;2
•
Ví dụ 6: Giải bất phương trình
0
)76)(2(
)2)(52(
2
24
<
−++−
−+−
xxx
xxx
Giải: Cho
052
24
=+−
xx
, phương trình vô nghiệm
202
=⇔=−
xx
2,102
2
=−=⇔=++− xxxx
6

7
076
=⇔=−
xx
-1
6
7
2(kép)
- + - -
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là:
);2(2;
6
7
)1;( ∞+∪






∪−−∞
•
Ví dụ 7: Giải bất phương trình
0
)5)(4(
)2)(652(
2
23
≥
−+−

++−−
xx
xxxx
Giải: Cho
3,2,10652
23
=−==⇔=+−−
xxxxxx
505
2,204
202
2
=⇔=−
=−=⇔=+−
−=⇔=+
xx
xxx
xx
-2(bội ba) 1 2 3 5
- + 0 - + 0 - +
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là:
);5(]3;2(]1;2(
∞+∪∪−
8
Tóm lại: Khi giải một bất phương trình, ta làm như sau
-Bước 1: Biến đổi tương đương bất phương trình đã cho về dạng tích hoặc
thương các đa thức (vế phải của bất phương trình là 0)
-Bước 2: Tìm nghiệm của các đa thức nhân tử (lưu ý các nghiệm bội chẵn và
bội lẻ, nếu có)
-Bước 3: Thể hiện các nghiệm trên trục số kể cả nghiệm bội lẻ (không ghi

nghiệm bội chẵn), các nghiệm này chia trục số thành các khoảng và xét dấu biểu
thức ở vế trái của bất phương trình, khởi đầu từ khoảng tận cùng bên phải của trục
số (khoảng này có dấu là tích các dấu âm của hệ số của x có bậc cao nhất trong
mỗi nhân tử)
-Bước 4: Suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho
III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Rõ ràng qua đề tài trên, đã giúp học sinh tìm được nghiệm của bất phương
trình một cách nhanh chóng và gọn hơn so với cách làm theo sách giáo khoa,
chẳng hạn trong ví dụ 7 nói trên, nếu giải theo sách giáo khoa, học viên sẽ làm như
sau:
Đặt f(x) =
)5)(4(
)2)(652(
2
23
xx
xxxx
−+−
++−−
Cho
3,2,10652
23
=−==⇔=+−−
xxxxxx
505
2,204
202
2
=⇔=−
=−=⇔=+−

−=⇔=+
xx
xxx
xx
Bảng xét dấu
x
∞−
-2 1 2 3 5 +
∞
x
3
- 2x
2
-5x + 6 - 0 + 0 - - 0 + +
x + 2 - 0 + + + + +
-x
2
+ 4 - 0 + + 0 - - -
5 - x + + + + + 0 -
f(x) - + 0 - + 0 - +
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là:
);5(]3;2(]1;2(
∞+∪∪−
Ta thấy học sinh sẽ mất thời gian nhiều hơn khi lập bảng xét dấu
Chẳng hạn với đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2008 có câu:
9
Giải bất phương trình
0
4
loglog

2
67,0
<








+
+
x
xx
, học sinh giải như sau là đạt
điểm tối đa của câu
);8()3;4(0
4
)8)(3(
0
4
245
6
4
1
4
log0
4
loglog

222
6
2
67,0
∞+∪−−∈⇔>
+
−+
⇔
>
+
−−
⇔>
+
+
⇔>
+
+
⇔<








+
+
x
x

xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
(Để có kết quả cuối cùng, các em phải vẽ trục số trên giấy nháp và thực hiện
xét dấu:
-4 -3 8
- + 0 - 0 +

IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Với đề tài trên, có thể áp dụng rộng rãi trong các đơn vị giáo dục với môn
toán đại số lớp 10 như sau: sau khi giáo viên trình bày nội dung như trong sách
giáo khoa đã nêu để khắc sâu kiến thức cơ bản cho học sinh về xét dấu một biểu
thức, đến phần luyện tập giáo viên có thể giới thiệu và rèn luyện cho học sinh thực
hiện theo đề tài trên nhằm giúp các em đỡ mất thời gian hơn khi phải giải một bất
phương trình phức tạp, nhất là trong các kì thi tuyển sinh đại học sau này
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa Đại số 10 - của nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doản
Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài - Nhà xuất bản Giáo dục - năm
2006
NGƯỜI THỰC HIỆN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
Nguyễn Văn Tài
10
SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI

Đơn vị

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
, ngày tháng năm
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học:
–––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm:

Họ và tên tác giả: Chức vụ:
Đơn vị:
Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực khác)
- Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: 
- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác: 
Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong Ngành 
1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)
- Có giải pháp hoàn toàn mới 
- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 
2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng
trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại
đơn vị có hiệu quả 
3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Tốt  Khá  Đạt 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và

dễ đi vào cuộc sống: Tốt  Khá  Đạt 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả
trong phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt 
11
BM04-NXĐGSKKN
Sau khi duyệt xét SKKN, Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có
ký tên xác nhận và chịu trách nhiệm của người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và
đóng kèm vào cuối mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm.
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)
12