skkn giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ thpt bình sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Trường THPT Bình Sơn
Mã số:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Người thực hiện: Phan Văn Hóa
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục 
- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học 

- Lĩnh vực khác: 
Có đính kèm:
 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học: 2013 - 2014
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
––––––––––––––––––
I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1 Họ và tên: Phan Văn Hóa
2 Ngày tháng năm sinh: 06/05/1979
3 Nam, nữ: Nam
4 Địa chỉ: Ấp 1 – Bình Sơn - Long Thành - Đồng Nai
5 Điện thoại: Cơ quan : 0613.533.100 ; ĐTDĐ : 0985801064
6 E-mail:
7 Chức vụ: Giáo viên
8 Nhiệm vụ được giao giảng dạy môn Toán lớp 12A
3
, 12A
8

, 11A
6
9 Đơn vị công tác: Trường THPT Bình Sơn
II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị cao nhất: Cử nhân
- Năm nhận bằng: 2004
- Chuyên ngành đào tạo: Toán học
III KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : Toán học
- Số năm có kinh nghiệm : 8
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 8 năm gần đây :
+ Ứng dụng định lí Vi-ét vào việc giải toán.
+ Một số sai lầm khi tính tích phân.
+ Một số sai lầm khi giải phương trình lôgarit.
+ Ứng dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình, bất phương trình và hệ
phương trình.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong đề thi Đại học, Cao đẳng của các năm bài toán hình học không gian hầu
như không thể thiếu nhưng đối với học sinh THPT, bài toán hình học không gian là
một trong những bài toán khó, đòi hỏi người học phải có tư duy tốt. Giải toán hình
học không gian bằng phương pháp tọa độ là một chủ đề hay. Trong quá trình giảng
dạy của mình, đặc biệt trong quá trình dạy ôn thi đại học tôi nhận thấy giải các bài
toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ giúp học sinh dễ tiếp thu và chủ
động giải quyết các bài toán hình học không gian. Với những ưu điểm đó nên tôi chọn
đề tài : ‘‘Giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ’’ để
trao đổi với đồng nghiệp.
II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Réné Descartes là nhà Toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp tọa độ.
Phương pháp tọa độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn
ngữ hình học, giúp con người đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hóa và trừu tượng hóa
toán học trong nhiều lĩnh vực.
Hình học không gian là môn học tương đối khó, nhưng là môn học hết sức quan
trọng trong chương trình hình học THPT.
Trong trường THPT Bình Sơn việc học môn Toán hình học không gian của các
em học sinh tương đối khó khi gặp những bài toán có liên quan đến khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, khoảng
cách giữa hai mặt phẳng song song…,tuy nhiên đa số các em học sinh lại nắm vững
kiến thức hình học giải tích. Do vậy, có thể giải bài toán hình học không gian bằng
cách tọa độ hóa chuyển thành bài toán hình học giải tích thì bài toán sẽ đơn giản hơn
nhiều.
Chú ý: giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có.
III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
1. PHƯƠNG PHÁP:
Để giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ ta thực hiện
các bước sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp, chú ý vị trí của gốc tọa độ. Gốc tọa độ phải là
điểm có tam diện vuông. Tuy nhiên không ít trường hợp ta phải kẻ thêm đường phụ
để tạo nên góc tam diện vuông.
Bước 2: Tính tọa độ của các điểm trong đề bài theo hệ tọa độ vừa chọn (có thể xác
định tọa độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết). Khi xác định tọa độ các điểm
ta có thể dựa vào:
• Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ,
mặt phẳng tọa độ).
• Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song,

cùng phương, thẳng hàng, điểm chia đoạn thẳng để tìm tọa độ.
• Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
• Dựa vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng.
Bước 3: Thể hiện giả thiết của bài toán theo cách thức của Hình học giải tích.
Bước 4: Giải quyết kết luận của bài toán theo cách thức của Hình học giải tích.
2. MỘT SỐ CÁCH CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ:
• Hình chóp S.ABC có SA
⊥
(ABC) và ∆ABC vuông tại A.

• Hình chóp S.ABC có SA
⊥
(ABC) và ∆ABC vuông tại B.

• Hình chóp S.ABC có SA
⊥
(ABC) và ∆ABC cân tại A hay ∆ABC đều.

• Hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB)
⊥
(ABC). Ta vẽ SO
⊥
AB thì SO
⊥
(ABC).

• Hình chóp S.ABC là hình chóp đều.
Gọi O là trọng tâm của ∆ABC thì SO
⊥
(ABC).

• Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều.
Gọi O là giao điểm của AC và BD thì SO
⊥
(ABCD).

• Hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD) và có đáy ABCD là hình vuông hay
hình chữ nhật.

• Hình chóp S.ABCD có mặt bên (SAD)
⊥
(ABCD) và ABCD là hình chữ nhật.
Ta vẽ SO
⊥
AD thì SO
⊥
(ABCD).

3. VÍ DỤ ÁP DỤNG:
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho hình hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có
đỉnh A trùng với gốc O, có
,AB
uuur
,AD
uuur
'AA
uuur
theo thứ tự cùng hướng với

,i
r
,j
r
k
r
và có
,AB a=
,AD b=
AA' c=
.Hãy tính tọa độ các vectơ
,AB
uuur
,AC
uuur
'AC
uuuur
và
AM
uuuur

với là trung điểm của
cạnh C’D’. (Trang 64 SGK Hình học 12 – Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên))
Giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( ) ( ) ( ) ( )
0;0;0 ; ;0;0 ; ; ;0 ; 0; ;0A O B a C a b D b≡

( ) ( ) ( ) ( )

' 0;0; ; ' ;0; ; ' ; ; ; ' 0; ; , ; ;
2
a
A c B a c C a b c D b c M b c
 
 ÷
 
Ta có:
( ) ( ) ( )
;0;0 ; ; ;0 ; ' ; ; , ; ;
2
a
AB a AC a b AC a b c AM b c
 
= = = =
 ÷
 
uuur uuur uuuur uuuur
Ví dụ 2: Cho hình chóp ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng
AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm.
a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD).
(Bài tập 5 trang 99 SKG Hình học 12 – Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên))
Giải:

Ta có:
2 2 2 2 2
3 4 25AB AC BC+ = + = = ⇒
∆ABC vuông tại A.
Thể tích khối chóp ABCD là:

2
1 1 1
. . . . . . 8 ( )
3 3 2
ABCD ABC
V AD S AD AB AC cm= = =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( ) ( ) ( ) ( )
0;0;0 ; 3;0;0 ; 0;4;0 ; 0;0;4A O B C D≡
Phương trình mặt phẳng (BCD) là:
1 4 3 3 12 0
3 4 4
x y z
x y z+ + = ⇔ + + − =
Vậy
2 2 2
12
12
( ,( ))
34
4 3 3
d A BCD
−
= =
+ +
.
Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.
a. Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song với nhau.
b. Tính khoảng cách giữa hai phẳng nói trên.
(Bài tập 10 trang 81 SKG Hình học 12 – Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên))

Giải:

a. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0;0;0 ; 1;0;0 ; 1;1;0 ; 0;1;0 ; ' 0;0;1 ;A O B C D A
≡

( ) ( ) ( )
' 1;0;1 ; ' 1;1;1 ; ' 0;1;1B C D
Ta có:
( )
' 1;0;1AB
=
uuuur
;
( )
' 0;1;1AD
=
uuuur
VTPT của mp(AB’D’) là:
( )
1
' ' 1;1; 1n AD AB
= ∧ = −
r uuuur uuuur

Phương trình mặt phẳng (AB’D’) là:
0x y z+ − =
Ta có:
( )

' 0;1;1BC
=
uuuur
;
( )
1;1;0BD
= −
uuur
VTPT của mp(BC’D) là:
( )
2
' 1;1; 1n BD BC
= ∧ = −
r uuur uuuur

Phương trình mặt phẳng (BC’D) là:
1 0x y z+ − − =
Ta thấy hai vectơ
1
n
r
và
2
n
r
cùng phương; điểm A không nằm trên mặt phẳng (BC’D);
do đó hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song với nhau.
b. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) bằng khoảng cách từ điểm A đến
mặt phẳng (BC’D) nên ta có:
1

3
(( ' '),( ' ))
3
1 1 1
d AB D BC D
−
= =
+ +
.
Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, BC = b, CC’ = c.
a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BD).
b. Tính khoảng cách từ A’ đến đường thẳng C’D.
c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.
(Bài tập 12 trang 124 SKG Hình học 12 – Đoàn Quỳnh(Tổng chủ biên))
Giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( ) ( ) ( ) ( )
0;0;0 ; ;0;0 ; ; ;0 ; 0; ;0A O B a C a b D b≡

( ) ( ) ( ) ( )
' 0;0; ; ' ;0; ; ' ; ; ; ' 0; ;A c B a c C a b c D b c
Phương trình mặt phẳng (A’BD) là:
1 0
x y z
bcx acy abz abc
a b c
+ + = ⇔ + + − =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ,( ' ))

abc
abc
d A A BD
b c a c a b b c a c a b
−
⇒ = =
+ + + +
.
Ta có:
( ) ( )
' 0; ; ; ' ;0; ; ' ' ( ; ; )A D b c C D a c A D C D bc ac ab
= − = − − ∧ = −
uuuur uuuur uuuur uuuur
2 2 2 2 2 2
2 2
' '
( , ' )
'
A D C D
b c a c a b
d A C D
C D
a c
∧
+ +
⇒ = =
+
uuuur uuuur
uuuur
Ta có:

( ) ( ) ( )
' 0; ; ; ' ;0; ; ' ' ( ; ; ); 0; ;0BC b c CD a c BC CD bc ac ab BC b
= = − ∧ = − =
uuuur uuuur uuuur uuuur uuur
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
' ' .
( , )
' '
BC CD BC
abc
abc
d AC SD
BC CD
b c a c a b b c a c a b
∧
−
⇒ = = =
∧
+ + + +
uuuur uuuur uuur
uuuur uuuur
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), AB = BC =
2a,
·
0
120ABC =
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
(Đề dự bị Đại học khối B năm 2004)
Giải:

Trong tam giác vuông ABH có AB = 2a,
·
0
60ABH =
nên
0
sin 60 3
AH
AH a
AB
= ⇒ =
và
0
os60
BH
c BH a
AB
= ⇒ =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( )
( ) ( )
( )
0;0;0 ; ; 3;0 ; 0;2 3;0 ; 0;0;3A O B a a C a S a
≡
Ta có:
( )
; 3; 3SB a a a
= −
uur

( )
0;2 3; 3SC a a
= −
uuur
VTPT của mp(SBC) là:
( )
2 2 2
3 3 ;3 ;2 3SB SC a a a
∧ =
uur uuur
cùng phương với vectơ
( )
3; 3;2n =
r
.
Phương trình mặt phẳng (SBC) là:
3( 0) 3( 0) 2( 3 ) 0 3 3 2 6 0x y z a x y z a− + − + − = ⇔ + + − =
Vậy
6
6 3
( ,( ))
4 2
9 3 4
a
a a
d A SBC
−
= = =
+ +
.

Ví dụ 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a, AA’ =
2 5a
,
·
0
120BAC =
. Gọi M là trung điểm CC’. Chứng minh MB vuông góc với MA’. Tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BM).
(Đề dự bị Đại học khối A năm 2007)
Giải:

Trong tam giác ABH vuông có AB = a,
·
0
30BAH =
nên
0
1
sin 30
2
HB
HB a
AB
= ⇒ =
và
0
3
os30
2
AH

c AH a
AB
= ⇒ =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( )
( )
3 1
0;0;0 ; ; ;0 ; ' 0;0;2 5 ;
2 2
A O B a a A a
 
≡ −
 ÷
 ÷
 
( )
( )
0;2 ;0 ; 0;2 ; 5C a M a a
Ta có:
( )
' 0; 2 ; 5MA a a
= −
uuuur
,
3 5
; ; 5
2 2
MB a a a
 
= − −

 ÷
 ÷
 
uuur
'. 0 5 5 0 'MA MB a a MA MB= + − = ⇒ ⊥
uuuur uuur
VTPT của mp(MA’B) là:
2 2 2
9 5 15
' ; ; 3
2 2
MA MB a a a
 
∧ =
 ÷
 ÷
 
uuuur uuur
cùng phương với vectơ
( )
9 5; 15;2 3n
=
r
.
Phương trình mặt phẳng (MA’B) là:
9 5( 0) 15( 0) 2 3( 2 5) 0x y z a− + − + − =
9 5 15 2 3 4 15 0x y z a⇔ + + − =
Vậy
4 15
4 15 5

( ,( ' ))
3
405 15 12 432
a
a a
d A MA B
−
= = =
+ +
.
Ví dụ 7: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a, AA’ =
3
2
a
,
·
0
60BAC =
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ vuông
góc với mặt phẳng(BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
(Đề dự bị Đại học khối A năm 2006)
Giải:

ABCD là hình thoi và tam giác ABC đều cạnh a.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( )
3 3 3 1
0;0;0 ; ;0;0 ; ' ;0; ; 0; ;0 ;
2 2 2 2
O A a A a a D a

   
 
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
   
1 3
' 0; ;
2 2
D a a
 
 ÷
 ÷
 
3 3 3 3
; 0; ;0 ; ' 0; ; ; ;0;0 ; ' ;0;
2 2 2 2 2 2
a a a a a a
B B C C
     
 
− − − −
 ÷  ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷  ÷
 
     
Do đó:
3 3 3 3

; ; ; ; ;
4 4 2 4 4 2
a a a a a a
M N
   
−
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Ta có:
( )
0; ;0BD a
=
uuur
,
3 3
; ;
4 4 2
a a a
DM
 
= −
 ÷
 ÷
 
uuuur
VTPT của mp(BDMN) là:
2 2
3 3
;0;

2 4
a a
BD DM
 
∧ = −
 ÷
 ÷
 
uuur uuuur
cùng phương với vectơ
( )
2;0; 1n
= −
r
.
Ta có:
3
' 3;0;
2
a
AC a
 
= −
 ÷
 ÷
 
uuuur
;

( )

' 0;0;0 0 / / 'n AC n AC
∧ = = ⇒
r uuuur r r uuuur
. Suy ra
' ( )AC BDMN⊥
.
Phương trình mặt phẳng (BDMN) là:
2 0x z− =
Vậy
3
15
( ,( ))
5
5
a
a
AH d A BDMN= = =
Ta có:
3 3
; ;
4 4 2
a a a
BN
 
=
 ÷
 ÷
 
uuur
và

0; ;0
2
a
MN
 
= −
 ÷
 
uuuur
. Suy ra:
2 2
3 3
;0;
4 8
a a
BN MN
 
∧ = −
 ÷
 ÷
 
uuur uuuur
2
1 1 3 15
2 2 16
BDMN BMN BMD
a
S S S BN MN BD DM= + = ∧ + ∧ =
uuur uuuur uuur uuuur
Thể tích khối chóp A.BDMN là:

2
.
1 3
.
3 16
A BDMN BDMN
a
V AH S= =
Ví dụ 8: Cho hình chóp
.S ABC D
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
, 2 2AB a AD a= =
.
Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng
( )ABCD
trùng với trọng tâm tam
giác
BCD
. Đường thẳng
SA

tạo với mặt phẳng
( )ABCD
một góc bằng
0
45
. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng

,AC
SD
theo
.a
Giải:

Gọi
G
là trọng tâm của tam giác
B CD
.
( )SG ABCD⊥
nên AG là hình chiếu của SA lên mp(ABCD)
·
·
0
( ,( )) 45SA ABCD SAGÞ = =
Ta có:
2 2
3AC AD AB a= + =
;
2
2
3
AG AC a= =
2SG AG a⇒ = =
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của G lên AD, AB.
Ta có:
. 2 1
3 3

AG CD
GH a AK KB a
AC
= = = ⇒ =
;
. 4 2 2 2
3 3
AG AD
AH a HD a
AC
= = ⇒ =
;
4 2
3
AH GK a= =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( ) ( )
4 2 2 2 2
0;0;0 ; 0;0;2 ; ; ;0 ; ; ;0 ;
3 3 3 3
a
G O S a A a a C a
   
≡ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
2 2 2
; ;0
3 3

D a a
 
−
 ÷
 ÷
 
Ta có:
2 2
; ; 2
3 3
a a
SC a
 
−
= − −
 ÷
 ÷
 
uuur
;
( )
2 2 ; ;0AC a a
= − −
uuur
;
2 2 2
; ; 2
3 3
a a
SD a

 
−
= −
 ÷
 ÷
 
uuur
Suy ra:
( )
2 2 2
2 ;4 2 ; 2 2AC SD a a a
∧ = −
uuur uuur
Vậy
( )
3 3 3
3
2
4 4 4
4 2 4 2
4 2
.
3 3
4 2 2 11
( , )
11
2 11
4 32 8
a a a
AC SD SC

a
d AC SD a
a
AC SD
a a a
− −
∧
= = = =
∧
+ +
uuur uuur uuur
uuur uuur
Ví dụ 9: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy là tam giác vuông tại
A
,
·
0
30ABC =
,
SBC
là
tam giác đều cạnh a và mặt bên
SBC
vuông góc với đáy. Tính theo
a

thể tích của khối
chóp

.S ABC

và khoảng cách từ điểm
C
đến mặt phẳng
( )SAB
.
(Đề thi Đại học khối A năm 2013)
Giải:

Gọi
H
là trung điểm của
B C
, suy ra
SH BC^
. Mà
( )SBC

vuông góc với
( )ABC
theo
giao tuyến
B C

nên
( )SH ABC^
.
Ta có:
os

0 0
3 3
; sin30 ; 30
2 2 2
a
BC a SH a AC BC AB BCc a= Þ = = = = =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( )
3 3 3
0;0;0 ; ;0;0 ; 0; ;0 ; ; ;
2 2 4 4 2
a a a a a
A O B C S
   
 
≡
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
   
Ta có:
AC 0; ;0 ;
2
a
 
=
 ÷
 
uuur

3 3
AS ; ; ;
4 4 2
a a a
 
=
 ÷
 ÷
 
uuur
3
;0;0 ;
2
a
AB
 
=
 ÷
 ÷
 
uuur

2 2
3 3
AS 0; ;
4 8
a a
AB
 
∧ = −

 ÷
 ÷
 
uuur uuur

Diện tích tam giác SAB là:
4 4 2
1 1 9 3 39
AS
2 2 16 64 16
SAB
a a a
S AB
∆
= ∧ = + =
uuur uuur
Thể tích của khối chóp S.ABC là:
( )
3 3
.
1 1 3
AS .
6 6 8 16
S ABC
a a
V AB AC= ∧ = =
uuur uuur uuur
Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) là:
3
. .

2
3
3 3
39
16
( ,( ))
13
39
16
C SAB S ABC
SAB SAB
a
V V
a
d C SAB
S S
a
∆ ∆
= = = =
.
Ví dụ 10: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
2AB BC a= =
; hai mặt phẳng
( )

SAB
và
( )
SAC
cùng vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
.Gọi
M

là trung điểm của
AB
; mặt phẳng qua
SM

và song song với
BC
, cắt
AC

tại
N
. Biết góc giữa hai mặt phẳng
( )
SBC

và
( )
ABC

bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp
.S BCNM

và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SN

theo
a
.
(Đề thi Đại học khối A năm 2011)
Giải:

( )
SAB
và
( )
SAC
cùng vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
( )
SA ABCÞ ^
AB BC SB BC⊥ ⇒ ⊥
( ) ( )
( )

·
· ·
0
, 60 tan 2 3SBC ABC SBA SA AB SBA aÞ = = Þ = =
Mặt phẳng qua
SM

và song song với
BC
, cắt
AC

tại
N
/ /MN BC⇒
và
N

là trung
điểm
AC
.
,
2 2
BC AB
MN a BM a= = = =
.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( )
( )

( )
0;0;0 ; 2 ;0;2 3 ; 2 ;0;0 ;B O S a a A a
≡

( ) ( ) ( )
; ;0 ; ;0;0 ; 0;2 ;0N a a M a C a
Ta có:
( )
AM ; ;0a a
= −
uuuur
( )
2 ;0;0BA a
=
uuur
( )
AN ;0;0a
= −
uuur

( )
0;2 ;0BC a
=
uuur
( )
0;0; 2 3AS a
= −
uuur
( )
2 ; ; 2 3BS a a a

=
uuur
2 2
3 3
AS 0; ;
4 8
a a
AB
 
∧ = −
 ÷
 ÷
 
uuur uuur

( )
2
0;0;4BA BC a∧ =
uuur uuur
Thể tích của khối chóp S.AMN là:
( )
3
.
1 3
AM .
6 3
S AMN
a
V AN AS= ∧ =
uuuur uuur uuur

Thể tích của khối chóp S.ABC là:
( )
3
.
1 4 3
.
6 3
S ABC
a
V BA BC BS= ∧ =
uuur uuur uuur
Thể tích của khối chóp S.BCNM là:
3
. . .
3
S BCNM S ABC S AMN
V V V a
= − =
Ta có:
( )
AB 2 ;0;0a
=
uuur
( )
SN ; ; 2 3a a a
= − −
uuur

( )
; ;0BN a a

=
uuur
( )
2 2
AB 0;4 3 ;2SN a a
∧ =
uuur uuur

Vậy
( )
3 3
2
4 4
.
4 3 4 3 2 39
( , )
13
2 13
48 4
AB SN BN
a a
d AB SN a
a
AB SN
a a
∧
= = = =
∧
+
uuur uuur uuur

uuur uuur
Ví dụ 11: Cho hình chóp
.S ABC D
có đáy
ABCD
là hình thoi tâm
I
,
2 ,AB a=
3B D AC=
; mặt bên
( )
SAB
là tam giác cân đỉnh
A
, hình chiếu vuông góc của đỉnh
S

trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm
H

của
AI
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD

và khoảng cách giữa hai đường thẳng
SB
và
CD

theo
a
.
(Đề thi thử đại học lần 2 trường THPT Tống Duy Tân năm 2014)
Giải:

Do
ABCD
là hình thoi nên
AC BD^
. Từ
3B D AC=

suy ra
3IB IA=
.
Ta có:
2 2 2
3 .AB IA IB IA a IB a= + Þ = Þ =
2 2 2
15
2
SH SA HA SH a= - Þ =
.
Thể tích khối chóp
.S ABCD

là
2 3

.
1 1 15
. . .2 3 . 5
3 3 2
S ABC ABCD
a
V S SH a a= = =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( ) ( ) ( )
15
0;0;0 ; 0; ; ; 0; ;0 ; 0; ;0 ;
2 2
a a
I O S A a C a
 
≡ −
 ÷
 ÷
 
( ) ( )
3;0;0 ; 3;0;0B a D a
−
Ta có:
15
3; ;
2 2
a a
SB a
 
= − −

 ÷
 ÷
 
uur
;
( )
3; ;0CD a a
= −
uuur
;
( )
2 3 ;0;0BD a
= −
uuur
Suy ra:
2 2 2
15 3 5 3
; ;
2 2 2
a a a
SB CD
 
∧ =
 ÷
 ÷
 
uur uuur
Vậy
( )
3

4 4 4
.
3 5
2 35
( , )
7
15 45 3
4 4 4
SB CD BD
a
a
d SB CD
SB CD
a a a
∧
−
= = =
∧
+ +
uur uuur uuur
uur uuur
Ví dụ 12: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác cân tại
A
,
AB AC a= =
,

·
0
120BAC =
, hình chiếu vuông góc của đỉnh
S

trên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm
G

của tam giác
ABC
. Cạnh bên
SC

tạo với mặt phẳng đáy một góc
α

biết
3
tan
7
α
=
.Tính thể tích khối chóp
.S ABC

và khoảng cách từ
C
đến mặt phẳng
( )SAB

. (Đề thi
thử đại học lần 1 trường THPT Thanh Chương 1 năm 2014)
Giải:

Ta có:
2 2 2 0 2
2 . .cos120 3 3BC AB AC AB AC a BC a= + - = Þ =
Trong tam giác
ABI
vuông có
3
,
2
a
AB a BI= =
,
·
0
60BAI =
nên
0 0
cos60 .cos60
2
AI a
AI AB
AB
= ⇒ = =
.
G
là trọng tâm tam giác

ABC
nên
2
3 3
a
AG AI= =
và
1
3 6
a
GI AI= =
.
( )
SG ABC^

nên
GC

là hình chiếu của
SC

lên
( )ABC
( )
( )
·
·
7 3
, tan .
3

7
a
SC ABC SCG SG GC aa aÞ = = Þ = = =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( )
3
0;0;0 ; ;0; ; ;0;0 ; 0; ;0 ;
6 2 2
a a a
I O S a A B
 
   
≡
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
   
 
3
0; ;0
2
a
C
 
−
 ÷
 ÷
 
Ta có:
;0; ;

3
a
SA a
 
= −
 ÷
 
uur

3
; ; ;
6 2
a a
SB a
 
= − −
 ÷
 ÷
 
uur
3
; ;
6 2
a a
SC a
 
= − − −
 ÷
 ÷
 

uuur
2 2 2
3 3
; ;
2 2 6
a a a
SA SB
 
∧ =
 ÷
 ÷
 
uur uur

Diện tích tam giác SAB là:
2
1 39
2 12
SAB
a
S SA SB
∆
= ∧ =
uur uur
Thể tích của khối chóp S.ABC là:
( )
3 3
.
1 1 3 3
.

6 6 2 12
S ABC
a a
V SA SB SC= ∧ = =
uur uur uuur
Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) là:
3
. .
2
3 3
3 3
3 13
12
( ,( ))
13
39
12
C SAB S ABC
SAB SAB
a
V V
a
d C SAB
S S
a
∆ ∆
= = = =
Ví dụ 13: Cho hình chóp
.S ABC D
có đáy

ABCD
là hình vuông cạnh bằng a,
SA

vuông góc với đáy. Góc tạo bởi
SC
và mặt phẳng
( )SAB
bằng
0
30
. Gọi
E
là trung
điểm của
B C
. Tính thể tích khối chóp
.S ABC D

và khoảng cách giữa hai đường thẳng
DE
,
SC
theo
a
. (Đề thi thử đại học lần 1 trường THPT Gia Lộc năm 2014)
Giải:

Ta có:
( )

BC AB
BC SAB
BC SA
ì
ï
^
ï
Þ ^
í
ï
^
ï
î
nên SB là hình chiếu của SC lên mp(SAB)
·
·
0
( ,( )) 30SC SAB CSBÞ = =
Ta có:
0
3
tan 30
BC
SB a= =
;
2 2
2SA SB AB a
= − =
Thể tích của khối chóp S.ABCD là:
3

2
.
1 1 2
. . . . 2
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a= = =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( )
( )
( ) ( )
0;0;0 ; 0;0; 2 ; 0; ;0 ; ; ;0 ;A O S a B a C a a
≡
( )
;0;0 ; ; ;0
2
a
D a E a
 
 ÷
 
Ta có:

; ;0
2
a
DE a
 
= −

 ÷
 
uuur
;
( )
; ; 2SC a a a
= −
uuur
;
; ; 2
2
a
SE a a
 
= −
 ÷
 
uur
Suy ra:
2 2
2
2 3
2; ;
2 2
a a
DE SC a
 
−
∧ = − −
 ÷

 ÷
 
uuur uuur
Vậy
( )
3 3 3
3
2
4 4 4
2 2 3 2
2
.
2 2 2
38
2
( , )
19
1 9 19
2
2 4 2
a a a
a
DE SC SE
d DE SC a
a
DE SC
a a a
− − +
∧
= = = =

∧
+ +
uuur uuur uur
uuur uuur
Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD

có độ dài cạnh đáy bằng a, các mặt bên
tạo với đáy một góc bằng
0
60
, mặt phẳng (P) chứa
AB
và đi qua trọng tâm
G
của tam
giác
SAC
cắt
SC
,
SD
lần lượt tại
M
,
N
. Tính thể tích khối chóp
.S ABMN

và khoảng

cách giữa hai đường thẳng
SD
,
B C
theo
a
.
(Đề thi thử đại học lần 1 trường THPT Chuyên Lê Qúy Đôn năm 2014)
Giải:

Gọi
O
là giao điểm của
AC

và
B D
.
.S ABCD

là hình chóp tứ giác đều nên
( )SO ABCD⊥
và
ABCD

là hình vuông.
Gọi
I
là trung điểm của
CD

.
Ta có:
OI CD
SI CD
ì
ï
^
ï
í
ï
^
ï
î

·
·
0
(( ),( )) 60SCD ABCD SOIÞ = =
0
3
.tan 60
2
a
SO OI= =
;
2 2
2; ; 2;
2 2
a a
AC a OA OC BD a OB OD= = = = = =

.
. .
.
1 1
.
4 4
S AMN
S AMN S ACD
S ACD
V
SM SN
V V
V SC SD
= = ⇒ =
.
. . .
.
1 1 1
2 4 4
S ABM
S ABM S ABC S ACD
S ABC
V
SM
V V V
V SC
= = ⇒ = =
. . . .
3
4

S ABMN S AMN S ABM S ACD
V V V V= + =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( )
3 2 2
0;0;0 ; 0;0; ; 0; ;0 ; 0; ;0 ;
2 2 2
a a a
G O S A C
     
≡ −
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
     
2 2
;0;0 ; ;0;0
2 2
a a
B D
   
−
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Ta có:
2 3
0; ;
2 2
a a
SA

 
− −
=
 ÷
 ÷
 
uur
;
2 3
0; ;
2 2
a a
SC
 
−
=
 ÷
 ÷
 
uuur
;
2 3
;0;
2 2
a a
SD
 
− −
=
 ÷

 ÷
 
uuur
Suy ra:
2
6
;0;0
2
a
SA SC
 
∧ =
 ÷
 ÷
 
uur uuur
Thể tích của khối chóp
.S ABMN
là:
( )
3 3
. .
3 3 1 1 3 3
. .
4 4 6 8 2 16
S ABMN S ACD
a a
V V SA SC SD= = ∧ = − =
uur uuur uuur
Vậy

( )
3 3
4 4 4
3 3
0
.
4 4
3
( , )
2
3 3 1
8 8 4
a a
SD BC SC
d SD BC a
SD BC
a a a
+ +
∧
= = =
∧
+ +
uuur uuur uuur
uuur uuur
Ví dụ 15
: Cho hình chóp
.S ABC D
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,

3,AB a BC a= =
.
Góc giữa
SC
và mặt phẳng
( )ABCD
bằng
0
45
. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Hình
chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng
( )ABCD
là trung điểm H của AO. Tính thể
tích khối chóp
.S HCD
và khoảng cách từ
H
đến mặt phẳng
( )SC D

theo
.a
(Đề thi thử đại học lần 4 trường THPT Chuyên KHTN năm 2014)
Giải:

( )SH ABCD⊥
nên HC là hình chiếu của SC lên mp(ABCD)
·
·
0

( ,( )) 45SC ABCD SCHÞ = =
Ta có:
2 2
2AC AB AC a= + =
;
3 3
;
4 2
a
CH AC= =
0
3
.tan 45
2
a
SH CH= =
Gọi I, J lần lượt là hình chiếu của H lên CD, BC.
Ta có:
3 3 3 3 3 3
;
4 4 4 4 4
IC IH a a
IC CD HJ IH AD CJ
CD AD
= = ⇒ = = = = = =
;
3
;
4 4
a a

ID CD IC BJ BC CJ= − = = − =
Thể tích của khối chóp S.HCD là:
3
.
1 1 1 3 3
. . . . . .
3 3 2 16
S HCD HCD
a
V S SH HI CD SH= = =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( )
3 3 3 3 3 3
0;0;0 ; 0;0; ; ; ;0 ; ; ;0
2 4 4 4 4
a a a a a
H O S C D
   
 
≡ −
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷
 
   
Ta có:
3 3 3 3
; ;
4 4 2
a a a

SC
 
= −
 ÷
 ÷
 
uuur
;
3 3 3
; ;
4 4 2
a a a
SD
 
= − −
 ÷
 ÷
 
uuur
;
3
0;0;
2
a
SH
 
=
 ÷
 
uuur

Suy ra:
2 2
3 3 3 3
0; ;
2 4
a a
SC SD
 
∧ =
 ÷
 ÷
 
uuur uuur
Vậy
3
. .
2
3 3
3 3
3 5
16
( ,( ))
1
10
3 15
2
8
S HCD S HCD
SCD
a

V V
a
d H SCD
S
a
SC SD
∆
= = = =
∧
uuur uuur
4. BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hình chóp
.S ABC D
có đáy
ABCD

là hình vuông cạnh
a
. Hình chiếu
vuông góc của S lên mặt phẳng
( )
ABCD
trùng với trọng tâm tam giác
ABD
. Cạnh
SD
tạo với mặt phẳng
( )
ABCD

một góc bằng
0
60
.Tính khoảng cách từ
A
tới mặt phẳng
( )
SBC

theo
.a
Bài 2
: Cho hình chóp
.S ABC D
có đáy
ABCD
là hình thang vuông cạnh tại
A

và
D
.
Biết
2 ,AB a=

,AD CD a= =

3SA a=
và
SA

vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
. Tính
thể tích khối chóp
.S BCD
và tính khoảng cách từ
B
tới mặt phẳng
( )
SCD

theo
.a
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có
, 2AC a BC a= =
,
·
0
120ACB =
và
đường thẳng
'A C

tạo với mặt phẳng
( )
' 'ABB A
một góc bằng

0
30
. Gọi
M
là trung
điểm
'BB
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
,AM

'CC
theo
.a
Bài 4: Cho hình chóp
.S ABC
có mặt bên
( )SBC
là tam giác đều cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông góc với mặt phẳng
( )ABC
, lấy điểm
M
trên cạnh
B C

sao cho
2MC MB=

.
Biết góc
·
0
120BAC =
. Tính thể tích khối chóp
.S ABC

và khoảng cách giữa hai đường
thẳng
SM
và
AC

theo
.a

Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy là tam giác vuông tại
A
,
AA2 , 'AB a a= =
. Góc giữa mặt phẳng
( ' )A BC

và mặt phẳng
( )
ABC
bằng

0
30
. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng
' ',B C

'A C
theo
.a
Bài 6: Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có cạnh bằng
1
. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của A’B’, BC, DD’. Chứng minh rằng đường chéo A’C vuông góc với
mp(MNP).
Bài 7: Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có cạnh bằng
a
.
a. Chứng minh rằng đường chéo A’C vuông góc với mp(AB’D’).
b. Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A’C và mp(AB’D’) là trọng
tâm của tam giác AB’D’.
c. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD).
d. Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (DA’C) và (ABB’A’).
Bài 8: Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có cạnh bằng
a

. Các điểm M thuộc
AD’ và N thuộc DB sao cho AM = DN = k
(0 2)k a< <
.
a. Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất.
b. Chứng minh MN luôn song song với mặt phẳng (A’D’BC) khi k biến thiên.
c. Khi đoạn thẳng MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc
chung của AD’ và DB và MN song song với A’C.
Bài 9: Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có cạnh bằng
1
. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của A’B’, BC, DD’. Chứng minh rằng đường chéo A’C vuông góc với
mp(MNP).
Bài 10: Cho tứ diện
OABC
có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác
vuông đỉnh O. Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng
(OBC), (OCA), (OAB). Chứng minh:
a. Tam ABC có ba góc nhọn.
b.
2 2 2
cos cos cos 1
α β γ
+ + =
.
IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Vận dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian đã giúp
các em chủ động hơn, tự tin hơn. Qua khảo sát, nhìn chung các em biết vận dụng kiến

thức khá linh hoạt, biết nhận biết vấn đề và xác định tọa độ các điểm có liên quan trên
hệ trục tọa độ. Khảo sát qua bài tập như sau:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C có AC = a
3
, BC
= a, mặt bên (SAB) nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác
SAB đều. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng SA. Tính thể tích khối chóp S.ABC và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CK theo a.
ĐÁP ÁN ĐIỂM

1,0
∆ABC vuông tại C
2 2
2AB AC BC a⇒ = + =
ABC⇒ ∆
đều cạnh 2a; H là trung điểm của AB
1,0
Mà
( ) ( )SAB ABC⊥
theo giao tuyến AB nên
( )SH ABC⊥
và
3SH a=
1,0
Diện tích tam giác ABC là
2
1 3
.
2 2
ABC

a
S AC BC= =
1,0
Thể tích khối chóp S.ABC là
2 3
.
1 1 3
. . . . 3
3 3 2 2
S ABC ABC
a a
V S SH a= = =
1,0
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( )
( )
( )
3
0;0;0 ; ; ; 3 ; 3;0;0 ; 0; ;0 ;
2 2
a a
C O S a A a B a
 
≡
 ÷
 ÷
 
3 3 3
; ;
4 4 2

a a a
K
 
 ÷
 ÷
 
1,0
Ta có:
3 3 3
; ;
4 4 2
a a a
CK
 
=
 ÷
 ÷
 
uuur
;
3
; ; 3
2 2
a a
SB a
 
= − −
 ÷
 ÷
 

uur
;
( )
0; ;0BC a= −
uuur
1,5