skkn giải một số bài toán đại số tổ hợp trong chương trình lớp 11 thpt xuân mỹ

MỤC LỤC
TRANG
I. Lý do chọn đề tài: 2
II. Cơ sở lý luận và thực tiễn
1/ Lý luận 3
2/ Cơ sở thực thực tiễn 3
III. Tổ chức thực hiện các giải pháp
1/ Mô tả cách thức tổ chức 5
2/ Các dạng toán thường gặp và phương pháp giải 7
3/ Phân tích, so sánh kết quả 16
IV. Hiệu quả đề tài 17
V. Đề xuất, khuyến nghị khả năng áp dụng 18
VI. Tài liệu tham khảo 19

Trường THPT Xuân Mỹ 1 GV: Nguyễn Thị Thu Liền
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ TỔ HỢP TRONG
CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Toán học là môn học có vai trò và vị trí rất đặc biệt quan trọng trong khoa học
kỹ thuật và đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học
khác có hiệu quả .Thông qua việc học toán giúp học sinh có thể vận dụng vào các
môn học khác. Chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trường phổ thông,
nó đòi hỏi người thầy giáo phải sáng tạo để có những phương pháp giảng dạy giúp
học sinh giải quyết bài toán. Trong việc học toán cũng như trong việc học các môn
khác mà học thuộc bài một cách cứng nhắc. Không chịu suy nghĩ để các kiến thức
tiếp thu được trở thành một kiến thức sống, linh hoạt hơn, sẵn sàng vận dụng được
trong bất cứ trường hợp nào. Là một giáo viên THPT trong tình hình hiện nay tôi
thấy mình phải tìm tòi,nắm bắt mọi thông tin, nhằm tự rèn luyện cho bản thân cũng
như kỹ năng giảng dạy được tốt hơn. Để luôn đáp ứng tốt nhu cầu của xã hội và
phục vụ tốt cho chủ trương, đường lối chính sách của Đảng và nhà nước đã đề ra.
Tôi được phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 11 nhiều năm. Vì đa số học sinh

nhận thức còn chậm; tiếp thu kiến thức một cách máy móc. Do đó giáo viên cần đi
sâu vào phần trọng tâm; đưa ra phương pháp thật là cụ thể cho học sinh dễ hiểu và
dễ nhớ. Đại số tổ hợp là một trong những đơn vị kiến thức quan trọng. Trong
chương trình lớp 11 trong chương trình toán THPT, đặc biệt là trong các đề thi Đại
học - Cao đẳng –THCN. Đa số các em khi học định nghĩa về hoán vị, chỉnh hợp và
tổ hợp không hiểu và không phân biệt rõ ràng sự khác biệt giữa các định nghĩa này.
Do đó khi giải quyết bài toán thì dễ bị nhầm lẫn và không xác định được dạng nào.
Nếu như các em phân biệt được sự khác nhau giữa hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp;
hơn nữa các em hiểu được trong trường hợp nào thì dùng hoán vị hay chỉnh hợp
hay là tổ hợp thì việc giải quyết bài toán rất là đơn giãn. Do đó sau thời gian trăn
trở trước khó khăn của các em học sinh tôi đã mạnh dạn đưa ra sáng kiến “Giải
một số bài toán đại số tổ hợp trong chương trình lớp 11”nhằm cải tiến từ giải
pháp đã có, giúp các em tiếp thu kiến thức và giải các bài toán dễ dàng hơn.
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
2
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1/ Cơ sở lý luận:
Có lần tôi đọc quyển “tạp chí tuổi trẻ của Bộ Giáo Dục và Đào tạo”, một lời
khẳng định của thầy “Nguyễn Thái Hoè” ( Nguyên giáo viên khối chuyên toán
ĐHSP Vinh) như sau: “Phương pháp dạy giải toán theo yêu cầu của phương pháp
tìm lời giải có nhiều ưu điểm và phát huy tác dụng tốt cho nhiều loại đối tượng”.
Tôi cũng đồng tình với lời khẳng định và bài viết của thầy mà điều này tôi cũng đã
từng trăn trở. Vai trò của người thầy (cô) giáo trực tiếp giảng dạy môn toán chủ
yếu và quyết định ở khâu hướng dẫn tìm lời giải bài toán. “Tuyển tập 30 năm tạp
chí toán học và tuổi trẻ” thầy “Phan Đức Chính” (Trường Đại học Tổng hợp) đã
viết “Có thể nói rằng sự linh hoạt trong suy nghĩ là một điều kiện cần thiết để đạt
được kết quả tốt trong việc học toán”.Bên cạnh đó việc vận dụng linh hoạt các kiến
thức cơ bản thuộc chương trình môn học cùng việc tích luỹ dần dà các phương
pháp và kỹ năng hữu hiệu cũng là vấn đề quan tâm của GS. “Trần Tuấn Điệp”
(Trường ĐHBK Hà Nội).

2/ Cơ sở thực tiễn:
a/ Thuận lợi:
Trong quá trình giảng dạy tôi nhìn thấy đa số học sinh muốn nắm vững kiến thức
toán học; muốn tìm cho mình một cách học toán sao cho phù hợp với khả năng.
Các em còn muốn kiến thức mà mình có được phải nhớ lâu và dễ vận dụng vào
giải toán.… Bên cạnh đó sự trao đổi và học hỏi lãnh nhau giữa các đồng nghiệp để
trau dồi, nâng cao chuyên môn. Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ
cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản để
giải toán. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic,
chính xác từng lời giải . Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng
nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như tìm lời giải một
lớp các bài toán về đại số tổ hợp.
b/ Khó khăn:
Trường tôi nằm ở địa hình không mấy thuận lợi như quý vị đã biết. Do đó học
sinh vào lớp 10 không phải thi tuyển mà chỉ xét tuyển nên có nhiều học sinh còn
yếu về học lực. Khả năng tiếp thu của các học sinh trong lớp chưa đồng đều nên
vấn đề giảng dạy còn khó khăn, là vấn đề làm cho người giáo viên nói chung và
bản thân tôi nói riêng luôn phải trăn trở.
Trong quá trình giảng dạy môn toán tại trường THPT tôi nhận ra rằng đa số
học sinh vẫn chưa ý thức được việc học. Phần lớn học sinh lười học, không làm bài
tập về nhà, có chăng là làm để đối phó với giáo viên mà thôi. Đa số học sinh không
có thời gian đọc sách, cũng như tìm kiếm tài liệu tham khảo.Vấn đề này cũng khó
khắc phục bởi học sinh của tôi đa phần là con của các gia đình công nhân, nông
dân có hoàn cảnh khó khăn,sau những buổi đi học về các em còn phải phụ giúp gia
đình. Sự quan tâm của ba mẹ đối với việc học của con cái còn hạn chế nhiều mặt.
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
3
Trước khi làm sáng kiến kinh nghiệm tôi thấy học sinh lớp 11 đa số các em gặp
khó khăn khi giải toán đại số tổ hợp. Cũng như không tìm ra cách giải 1 bài toán
cho chính xác. Do đó tôi đã đưa ra lời giải một số bài toán giúp các em làm quen.

Hiện nay phần lớn các em học sinh không chịu đào sâu suy nghĩ, sử dụng kiến thức
đã học một cách máy móc vào giải toán. Và các em chỉ biết giải theo những bài
toán cụ thể theo một phương pháp nhất định; Không chịu phân tích, tổng quát hoá,
bằng cách liên hệ đến các trường hợp tương tự. Hay nói một cách đơn giản là
không biết đề ra những câu hỏi, những thắc mắc xoay quanh bài toán đó, tự giải
quyết và rút ra những kết luận cần thiết.
Đại số tổ hợp trong chương trình 11 bài “ Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hơp ” đã
được trình bày rõ ràng cụ thể từng phần, thời gian phân phối là 4 tiết. Tuy nhiên
thời gian như vậy thì không thể làm cho học sinh yếu kém hiểu hết các định nghĩa
về Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp để vận dụng vào giải bài tập chính xác được.
Các dạng bài tập chưa phong phú, rõ ràng để giúp cho các em rèn luyện được kỹ
năng giải toán. Đa số các em học sinh ở trường THPT Xuân Mỹ đa số là học sinh
yếu, tiếp thu kiến thức còn chậm. Trước khi làm sáng kiến kinh nghiệm này tôi
thấy đa số các em hay nhầm lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp, hoán vị và chỉnh hợp,
…. Nói chung khi đọc một bài toán thì các em không biết mình nên áp dụng khái
niệm nào để giải; không biết đặt câu hỏi để phân tích chọn ra cách giải chính xác.
Ở bài kiểm tra 45 phút của chương này của vài năm trước thì tôi thây kết quả vẫn
còn thấp. Lý do ở đây là đa phần các em giải bài theo quán tính, chưa xác định rõ
phải dùng khái niệm hoán vị - chỉnh hợp hay tổ hợp.
Hơn nữa một số tác giả trình bày về đại số tổ hợp rất hay và rất đầy đủ nhưng
học sinh yếu kém thì không thể hiểu và nhớ hết được. Do đó tôi đã quyết định thay
thế một phần giải pháp đã có mong rằng giúp các em nắm bắt từ từ các kiến thức
một cách chắc chắn hơn trong việc học toán đại số tổ hợp. Từ đó nhằm rèn luyện
kỹ năng và phẩm chất tư duy về môn học, tiếp thu tri thức của loài người.


Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
4
III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
Giải pháp: Nêu lại kiến thức về hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp và phân biệt giữa

chúng để vận dụng vào giải toán đại số tổ hợp.
1/ Mô tả cách thức tổ chức:
Vấn đề khó khăn ở đây là học sinh phải hiểu và phân biệt được khi nào thì
dùng hoán vị, khi nào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp và khi nào cần kết hợp
hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ( bài toán kết hợp). Từ đó vận dụng vào giải bài tập linh
hoạt hơn và chính xác hơn.
Các lớp 11A4 và 11A5 năm học 2013 – 2014 mà tôi dạy đa số là học sinh yếu
kém. Hơn nữa phần lớn các em không chịu khó tự học và tìm tòi, học hỏi từ bạn
bè, thầy cô hay các tài liệu có liên quan. Do đó tôi đã vận dụng sáng kiến kinh
nghiệm của mình vào tiết dạy bài “ Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp “ giúp học sinh
hiểu và vận dụng kiến thức vào giải bài tập được dễ dàng hơn.
Trước tiên ta cần cho học sinh đọc các định nghĩa và cần nhớ các công thức về
hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
a. HOÁN VỊ:
• Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n
≥
1) mỗi kết quả
của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một
hoán vị của n phần tử đó.
• Công thức:
n
P
= n! (n
≥
1)
• Ví dụ: Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn vào 4 chiếc ghế theo hàng
ngang.
Từ ví dụ này ta thấy có 4 phần tử và lấy ra 4 phần tử rồi sắp xếp thứ tự 4
phần tử đó. Do đó ta dùng hoán vị để tìm số cách sắp xếp chỗ ngồi.

Lời giải: Ta sắp xếp thứ tự cho 4 bạn . Ta có số cách xếp 4 bạn
vào 4 chiếc ghế theo hang ngang là:
4
4!P =
= 24 (cách)
b. CHỈNH HỢP:
• Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n
≥
1) kết quả của
việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp
xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là chỉnh hợp chập k
của n phần tử đã cho.
• Công thức:
k
n
A
=
!
( )!
n
n k−
( 1
≤
k
≤
n )
• Ví dụ: Từ các chữ số : 2,3,5,7 có bao nhiêu số tự nhiên có ba
chữ số đôi một khác nhau.
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
5

Cho 4 chữ số nhưng chọn ra 3 chữ số đôi một khác nhau để tạo thành số
tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau. Mỗi cách thay đổi thứ tự của 3 chữ số lấy
ra chính là 1 số cần tìm. Do đó ta dùng chỉnh hợp chập 3 của 4 như cách giải sau.
Lời giải: Ta lấy từ 4 chữ số 2,3,5,7 ra 3 chữ số và sắp xếp theo
thứ tự. Vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau là:
4!
3
4!
4
(4 3)!
A = =
−
= 24 ( số)
c. TỔ HỢP:
• Định nghĩa: Giả sử tập hợp A có n phần tử (n
≥
1) mỗi tập con
gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần
tử đã cho.
• Công thức:
!
!( )!
n
k
C
n
k n k
=
−
(1

≤
k
≤
n )
• Ví dụ: 1 tổ có 10 bạn , lấy 4 bạn đi quét nhà .Hỏi có bao nhiêu
cách chọn.
Tập hợp gồm 10 bạn chỉ lấy đi 4 bạn đi quét nhà. Trong 4 bạn này không cần
có sự sắp xếp nào cả vì lấy ra 4 bạn chỉ cho ta 1 kết quả. Do đó ta phải dùng công
thức tổ hợp để tính số cách chọn.
Lời giải: Ta lấy từ 10 người ra 4 người và không sắp xếp thứ tự.
Số cách chọn 4 bạn đi quét nhà là:
10!
4
210
10
4!(10 4)!
C = =
−
( cách)
Từ các định nghĩa và các ví dụ cụ thể trên ta phải đặt câu hỏi cho việc giải
một bài toán bất kỳ để tìm lời giải một cách chính xác nhất. Đó là ta phải phân biệt
được khi nào thì dùng hoán vị, khi nào dùng chỉnh hợp, khi nào dùng tổ hợp và khi
nào cần kết hợp hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ( bài toán kết hợp) thì đặt câu hỏi để
chọn lựa như sau:
Câu hỏi phân loại Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp
1. Có sắp xếp thứ
tự hay không?
có có không
2. Nếu sắp xếp thì
sắp xếp bao nhiêu

phần tử khác
nhau?
Tất cả (n phần tử)
1n ≥
Chỉ k phần tử
trong n phần tử
( 1
≤
k
≤
n )
Chỉ k phần tử
trong n phần tử
( 1
≤
k
≤
n )

Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
6
Với câu hỏi 1 ta nhận biết được tổ hợp, còn câu hỏi 2 ta nhận biết được hoán
vị và chỉnh hợp. Lưu ý cho các em là khi k = n thì chỉnh hợp cũng là hoán vị và
ngược lại. Các em học sinh khi chưa đặt câu hỏi để phân biệt rõ ràng thì hay nhầm
lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp và giải một bài toán rất khó khăn, mơ hồ giữa các
phép toán này. Sau khi vận dụng sáng kiến này thì đa số các em hiểu rõ hoán vị,
chỉnh hợp, tổ hợp hơn; giải quyết bài toán dễ dàng hơn nhiều.

2. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Sắp xếp các số (không có chữ số 0)

Ví dụ1 : Từ các chữ số của tập A =
{ }
1,2,3,4,5
. Hỏi:
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau.
b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau.
c/ Có bao nhiêu tập hợp con gồm 3 phần tử thuộc tập hợp A.
Giải :
Để giải bài toán này các em học sinh phải đặt từng câu hỏi như trên để phân
biệt dùng hoán vị, chỉnh hợp, hay tổ hợp.
Lấy 5 chữ số từ tập hợp gồm 5 phần tử thì dùng hoán vị.
a/ Mỗi số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau hình thành từ tập A ứng với chỉ một
hoán vị của 5 phần tử của tập A.
Vậy số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau là:

5! 120
5
P = =
(số)
Có sắp xếp 3 chữ số lấy ra từ tập hợp gồm 5 chữ số là dùng chỉnh hợp chập 3
của 5.
b/ Mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau hình thành từ tập A ứng với chỉ
một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử của tập A.
Vậy số các số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau là:

( )
5!
3
60
5

5 3 !
A = =
−
(số)
Tập hợp gồm 3 phần tử lấy từ tập A thì không sắp xếp thứ tự 3 phần tử này.
Khi đó ta dùng tổ hợp để tính số tập hợp.
c/ Mỗi tập hợp gồm 3 phần tử hình thành từ tập A ứng với chỉ một tổ hợp chập
3 của 5 phần tử của tập A.
Vậy số tập hợp gồm 3 phần tử lấy từ tập A là:

( )
5!
3
10
5
3! 5 3 !
C = =
−
(tập hợp)
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
7
Ví dụ 2: Từ các phần tử của tập hợp B =
{ }
3,5,7,9
. Hỏi
a/ Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?
b/ Có bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau?
c/ Có bao nhiêu tập hợp con gồm 2 phần tử?
Giải:
Bài toán này giải tương tự như ví dụ 1 cho các em tự làm nhằm rèn luyện kỹ

năng giải toán.
a/ Mỗi số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau hình thành từ tập B ứng với chỉ
một hoán vị của 4 phần tử của tập B.
Vậy số các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau là:

4! 24
4
P = =
(số)
b/ Mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau hình thành từ tập B ứng với
chỉ một chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử của tập B.
Vậy số các số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau là:

( )
4!
3
4! 24
4
4 3 !
A = = =
−
(số)
c/ Mỗi tập hợp gồm 2 phần tử hình thành từ tập B ứng với chỉ một tổ hợp
chập 2 của 4 phần tử của tập B.
Vậy số tập hợp con gồm 2 phần tử là:

( )
4!
2
6

4
2! 4 2 !
C = =
−
(tập hợp)
Tuy nhiên các em học sinh có thể giải bằng phương pháp dùng qui tắc nhân
hoặc cách giải khác vẫn được. Ở đây tôi muốn các em phải phân biệt rõ ràng giữa
hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và biết vận dụng vào giải toán.

Dạng 2: Sắp xếp các số (có chữ số 0)

Ví dụ3 : Từ các phần tử của tập hợp A =
{ }
0,1,2,3,4,5,6
. Hỏi Lập được bao nhiêu
số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau.

Phương pháp:
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
8
+ Ta tính số các số có chữ số đầu tiên là 0 ( những số này thực chất coi như
không tồn tại). (1)
+ Ta tính số các số ( kể cả chữ số 0 đứng đầu) (2)
+ Số các số tự nhiên cần tìm là lấy (2) trừ (1)

Giải:
+ Các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà chữ số đầu là 0 có dạng:
0abcde

+ Có 1 cách chọn chữ số 0 đứng đầu.

+ 5 chữ số còn lại
abcde
được chọn trong 6 chữ số 1,2,3,4,5,6. Có
5
6
A
cách chọn
Vậy có: 1.
5
6
A
=
5
6
A
số (chữ số đầu là 0 ).
Mặt khác: từ 7 chữ số 0,1,2,3,4,5,6 thì số tự nhiên có 6 chữ số có thể lập
được( kể cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu) là:
6
7
A
Vậy ta có số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau (Số 0 không đứng đầu) là:
6
7
A
-
5
6
A
= 4320 (số)

Dạng 3: Sắp xếp các số (có điều kiện kèm theo)

Ví dụ4: Từ các chữ số 1,2,3,4,5. Hỏi
a/ Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số đôi một khác nhau.
b/ Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau có chữ số
hàng đơn vị là 5.
Để giải bài tập này chúng ta phải ưu tiên cách chọn chữ số có điều kiện trước.
Sau đó mới tìm cách chọn cho các chữ số còn lại.
Giải: Gọi số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau có dạng:
abc
a/ Vì số tự nhiên chẵn nên chữ số tận cùng phải chia hết cho 2
+ Số chẵn thì chữ số tận cùng phải là 2 hoặc 4. Vậy c có 2 cách chọn
+ Sau khi chọn 1 số làm c thì
ab
còn 4 chữ số để mà chọn (trừ số đã chọn
làm c). Vậy số cách chọn
ab
trong 4 số đó sẽ là chỉnh hợp chập 2 của 4:
2
4
A
Vậy số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau là: 2.
2
4
A
= 24 (số)
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
9
b/ Vì chữ số hàng đơn vị là 5, khi đó hai chữ số còn lại thì chọn trong các số
còn lại ta có:

+ Chữ số hàng đơn vị là 5 nên c có 1 cách chọn
+ Vậy còn 4 chữ số 1,2,3,4 (trừ số 5) để chọn làm
ab
. Vậy số cách chọn
ab

trong 4 chữ số đó sẽ là chỉnh hợp chập 2 của 4:
2
4
A
Vậy số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau mà chữ số hàng đơn vị
là 5 là: 1.
2
4
A
= 12 (số)
Ví dụ 5: Từ các phần tử của tập hợp B =
{ }
0,1,2,3, ,9
. Hỏi:
a/ Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau.
b/ Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số chẵn đôi một khác nhau.
c/ Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia
hết cho 5.
Giải:
a/ Số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau có dạng:
abcde
Số chẵn thì chữ số tận cùng là một trong các chũ số 0,2,4,6,8
+ Nếu e = 0 thì số
abcd

còn 9 chữ số để mà chọn. Vậy số cách chọn số

abcd
trong 9 chữ số đó là chỉnh hợp chập 4 của 9 là:
4
9
A
Vậy có: 1.
4
9
A
=
4
9
A
số có 5 chữ số ( có chữ số tận cùng là 0)
+ Nếu c
{ }
2,4,6,8∈
thì c có 4 cách chọn. Còn
abcd
được chọn trong 9 số
còn lại (trừ số đã chọn làm c) kể cả trường hợp số 0 đứng đầu. Vậy có 4 .
4
9
A
+ Nếu c
{ }
2,4,6,8∈
và a = 0 thì c có 4 cách chọn và a có 1 cách chọn;

Còn
bcd
được chọn trong 8 chữ số còn lại (trừ 2 số đã chọn làm a,c ) là chỉnh hợp
chập 3 của 8 là
3
8
A
. Vậy có 4.1.
3
8
A
= 4.
3
8
A
Vậy: Số các số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau (số 0 không
đứng đầu) = số các số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau (có tận cùng là
chữ số 0) + số tự nhiên chẵn dạng
abcde
có các chữ số đôi một khác nhau (kể cả
trường hợp số 0 đứng đầu và chữ số tận cùng khác 0) - số các số tự nhiên chẵn có
dạng
0bcde
có các chữ số đôi một khác nhau (trường hợp số 0 đứng đầu và chữ số
tận cùng khác 0)
Ta có: số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau là:

4
9
A

+ 4.
4
9
A
– 4.
3
8
A
= 13776 (số)
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
10
b/ Số tự nhiên có 4 chữ số chẵn đôi một khác nhau có dạng là:
abcd
được chọn
trong 5 chữ số chẵn là 0,2,4,6,8 và a khác 0. Khi chọn 4 chữ số trong 5 chữ số
0,2,4,6,8 thì số
abcd
xảy ra các trường hợp a = 0 hoặc a
≠
0 . Vì số có 4 chữ số
nên ta loại trừ trường hợp a = 0 ta làm như sau:
+ Số các số tự nhiên dạng
abcd
( kể cả trường hợp xảy ra a = 0 ) là chỉnh
hợp chập 4 của 5 là:
4
5
A

+ Số các số tự nhiên dạng

abcd
( chỉ xảy ra a = 0 ) khi đó
bcd
được chọn
trong 4 chữ số còn lại là 2,4,6,8 là chỉnh hợp chập 3 của 4 là:
3
4
A
Vậy số các số tự nhiên có 4 chữ số chẵn đôi một khác nhau là:
4
5
A
–
3
4
A
= 96 (số)
c/ Từ những phân tích và đi đến lời giải trên thì các em học sinh hiểu bài hơn
trước đây và tự vận dụng để giải các bài toán có liên quan. Từ đó có hướng giải
ngay câu c/. Số tự nhiên chia hết cho 5 là số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
+ Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 có chữ số tận cùng
là 0 là:
4
9
A
+ Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 có chữ số
tận cùng là 5 = số các số tự nhiên dạng
5abcd
( kể cả trường hợp a = 0) – số các
số tự nhiên dạng

0 5bcd
=
4
9
A
-
3
8
A

Vậy Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 là:

4
9
A
+
4
9
A
-
3
8
A
= 5712 (sô)
Dạng 4: Bốc đồ vật
Phương pháp: Khi giải dạng bài toán này phải đặt câu hỏi
- Có bao nhiêu quả ( viên bi) để chọn?
- Chọn bao nhiêu quả ( viên bi)?
Ví dụ 6: Một cái hộp đựng 7 viên bi trắng và 3 viên bi đỏ. Ta lấy ra 4 viên bi
trong hộp đó. Hỏi:

a/ Có bao nhiêu cách chọn?
b/ Có bao nhiêu cách lấy 2 viên bi đỏ ?
c/ Có bao nhiêu cách lấy nhiều nhất 2 viên bi đỏ?
Giải:
Đối với bài toán này phải đặt câu hỏi có bao nhiêu viên bi để chọn? Và chọn bao
nhiêu viên bi? Khi chọn viên bi và không có sắp xếp thứ tự nên ta dùng tổ hơp.
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
11
a/ Chọn 4 viên bi bất kì trong 10 viên bi là tổ hợp chập 4 của 10.
Vậy Số cách chọn 4 viên bi là:
4
10
C
= 210 (cách)
Khi chọn 4 viên bi mà phải có 2 viên bi đỏ thì 2 viên bi còn lại chọn màu trắng.
b/ Chọn 2 viên bi đỏ trong 3 viên bi đỏ có số cách là:
2
3
C
Chọn 2 viên bi trắng trong 7 viên bi trắng có số cách là:
2
7
C

Vậy số cách lấy 2 bi đỏ là:
2
3
C
.
2

7
C
= 63 (cách)
c/ Lấy nhiều nhất 2 viên bi đỏ có nghĩa là khi lấy 4 viên bi trong đó chỉ có 2 viên
bi đỏ hoặc 1 viên bi đỏ hoặc không có viên bi đỏ nào. Do đó xảy ra 3 trường hợp.
TH1: Lấy 4 viên bi trong đó có 2 viên bi đỏ và 2 viên bi trắng.
Vậy số cách chọn là:
2
3
C
.
2
7
C
= 63 ( cách )
TH2: Lấy 4 viên bi trong đó có 1 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng.
Vậy Số cách chọn là:
1
3
C
.
3
7
C
= 105 ( cách )
TH3: Lấy 4 viên bi trong đó có 0 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng.
Vậy Số cách chọn là:
4
7
C

= 35 ( cách )
Từ các trường hợp trên ta có số cách lấy nhiều nhất 2 viên bi đỏ là:
63 + 105 + 35 = 203 (cách)
Dạng 5: Sắp xếp vị trí theo hàng
Ví dụ 7: Tổ 1 của lớp 11A4 có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp vị trí
theo hàng dọc của 10 học sinh đó?
Giải:
Sắp xếp 10 học sinh vào một hàng dọc khi thay đổi thứ tự của mỗi học sinh này
cho ta 1 kết quả và sắp xếp tất cả 10 học sinh ( n phần tử ). Do đó ta dùng hoán vị
để tính được số cách xếp hàng.
Vậy Số cách sắp xếp vị trí theo hàng dọc của 10 học sinh là:

10
P
= 10! = 3628800 (Cách)
Khi sắp xếp vị trí theo hàng thoã mãn điều kiện đặt ra thì ta làm thế nào?
Ta làm tiếp ví dụ sau.
Ví dụ 8:
Lớp 11A5 có 36 học sinh gồm 16 nữ và 20 nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp
xếp 4 học sinh vào một bàn học ( bàn ngang ) của lớp đó và thoã điều kiện sau:
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
12
a/ Bốn học sinh bất kỳ.
b/ Hai nam và 2 nữ.
c/ Ba nam ngồi gần nhau.
d/ Có ít nhất 1 nữ.
Giải:
Khi sắp xếp 4 học sinh vào một bàn học thì phải có thứ tự giữa các học sinh này.
Mặt khác chọn ra 4 học sinh trong tổng số 36 học sinh. Do đó ta chọn phép toán
nào cho phù hợp?

a/ Sắp xếp 4 học sinh vào một bàn học là chỉnh hợp chập 4 của 36.
Vậy có:
4
36
A
= 1413720 ( cách )
b/ Chọn ra 2 nam và 2 nữ để sắp xếp vào một bàn học thì trước tiên phải chọn 2
nam trong 20 nam (không sắp xếp thứ tự 2 học sinh này) và 2 nữ trong 16 nữ
(không sắp xếp thứ tự 2 học sinh này); sau đó mới sắp xếp thứ tự trong 4 học sinh
cả nam và nữ vừa chọn. Nên ta có cách giải sau:
+ Chọn 2 nam trong 20 nam ta có:
2
20
C
= 190 ( cách )
+ Chọn 2 nữ trong 16 nữ ta có:
2
16
C
= 120 ( cách )
+ Sắp xếp 4 học sinh vừa chọn ra ở trên ta có: 4! = 24 ( cách )
Vậy số cách chọn 2 nam và 2 nữ sắp xếp vào một bàn ngang là:

2
20
C
.
2
16
C

.4! = 547200 ( cách )
c/ Ba nam ngồi gần nhau?
Vì 3 nam ngồi gần nhau nên chúng ta phải chọn ra 3 nam trong 20 nam và sắp
xếp thứ tự cho 3 học sinh nam đó luôn, rồi sau đó mới chọn tiếp 1 nữ trong 16 nữ.
Theo sơ đồ minh hoạ sau:
nam nam nam nữ
nữ nam nam nam
Theo trên có 2 trường hợp có kết quả như nhau.
Mỗi trường hợp: chọn 3 nam là chỉnh hợp chập 3 của 20 và chọn 1 nữ là chỉnh hợp
chập 1 của 16.
Vậy ta có số cách chọn 3 nam ngồi gần nhau là:
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
13
2.
3
20
A
.
1
16
A
=218880 (cách)
d/ Có ít nhất 1 nữ.
Có ít nhất 1 nữ có nghĩa là trong bàn:
+ Có 1 nữ và 3 nam hoặc
+ có 2 nữ và 2 nam hoặc
+ có 3 nữ và 1 nam hoặc
+ có 4 nữ và 0 nam.
Hay số cách chọn ít nhất 1 nữ = số cách chọn 4 học sinh tuỳ ý - số cách chọn 4
học sinh nam ( không có nữ nào ). Vậy ta có cách giải sau:

+ Số cách chọn 4 học sinh nam trong 20 học sinh nam là chỉnh hợp chập 4 của
20 là:
4
20
A
Vậy ta có số cách chọn ít nhất 1 nữ vào bàn học gồm 4 học sinh là:

4
36
A
-
4
20
A
= 1297440 ( cách )
Dạng 6: Sắp xếp vị trí theo vòng tròn
Phương pháp: Theo tính chất của vòng tròn nên ta lấy cố định 1 người đầu tiên
và sắp xếp những người còn lại vào vị trí giống như với sắp xếp cho hàng.
Ví dụ 9:
Có 6 học sinh; hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp vị trí theo một vòng tròn?
Giải:
Theo tính chất của vòng tròn không có vị trí đầu tiên nên
Chọn 1 học sinh sắp xếp vào 1 vị trí cố định đầu tiên. Như vậy còn 5 học sinh để
sắp xếp vào 5 vị trí còn lại theo một vòng tròn.
Vậy số cách sắp xếp vào một vòng tròn cho 6 học sinh là: P
5
= 5! = 120 ( cách )
Ví dụ 10:
Có bao nhiêu cách sắp xếp vị trí cho 10 người ngồi vào 1 bàn tiệc có 10 ghế
( bàn tròn)?

Giải:
Theo tính chất của vòng tròn không có vị trí đầu tiên nên
Chọn 1 người trong 10 người trên vào 1 ghế cố định đầu tiên. Như vậy còn 9
người sắp xếp ngồi vào 9 ghế còn lại .
Vậy số cách sắp xếp chỗ ngồi vào một bàn tiệc cho 10 người là:
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
14
P
9
= 9! = 362880 ( cách )
Trên đây tôi đã hướng dẫn và giải một số bài tâp về hoán vị - chỉnh hợp – tổ
hợp rất là cụ thể và dễ hiểu cho các em lớp 11 trong năm học vừa qua. Tôi thấy
chất lượng rất khả thi; học sinh rất say mê giải bài tập; cho nên tôi cho thêm một số
bài tâp để các em tham khảo tự giải vì bài tập sách giáo khoa cho còn hạn chế.

BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lập nên từ các chữ số
1,2,3,4,5. Hỏi trong các số đó bao nhiêu:
a) Là số lẻ.
b) Là số chẵn.
Bài 2: Có bao nhiêu cách xếp n đại biểu ngồi quanh một bàn tròn?
Bài 3: Phải bầu một lớp trưởng, một lớp phó và một thủ quỹ trong một lớp có 30
học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách bầu?
Bài 4: Giả sử có tập hợp X gồm 6 điểm phân biệt của mặt phẳng; trong đó không
có 3 điểm nào thẳng hang.
a) Hỏi có bao nhiêu đường thẳng đi qua 2 điểm thuộc X.
b) Có bao nhiêu tam giác với các đỉnh thuộc X.
Bài 5: Một bộ đề thi gồm 15 câu hỏi . Mỗi thí sinh phải rút ra 4 câu trong bộ đề
thi đó.
a) Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra.

b) Tham dự kỳ thi đó có 2800 thí sinh. Chứng tỏ rằng chắc chắn có ít nhất 3 thí
sinh gặp cùng một đề thi (gồm 4 câu).
Bài 6: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên
khác 0) sao cho:
a) Số tự nhiên đó là số chẵn.
b) Số tự nhiên đó chia hết cho 5.
c) Trong đó phải có 0 và 1.
d) Có 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn.
Bài 7: Cô chủ nhiệm một lớp học 24 nữ và 16 nam muốn chia lớp thành 4 tổ A, B,
C, D mỗi tổ 10 em. Có bao nhiêu cách chia sao cho:
a) Mỗi tổ đều có 4 nam và 6 nữ.
b) Ba ban An, Bình, Chi phải chung tổ.
Bài 8: Có bao nhiêu cách phân phối 5 quả cầu vào 3 hộp A, B, C nếu 5 quả cầu:
a) Giống hệt nhau.
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
15
b) Khác màu nhau.
3/ Phân tích, so sánh, đánh giá kết quả:
Trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này đa số các em học sinh không
hiểu rõ về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và khả năng áp dụng vào giải bài tập dạng
này còn yếu. Qua các tiết bài tập giải trên lớp, giải bài tập về nhà đa số học sinh
khả năng áp dụng rất yếu; bài kiểm tra 15 phút, 45 phút thì đa số các em đạt điểm
rất thấp. So với trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này vào bài dạy thì tôi
thấy đa số học sinh tiếp thu bài tốt hơn và áp dụng vào giải được rất nhiều bài tập
về đại số tổ hợp. Điểm các bài kiểm tra đa số học sinh đạt kết quả cao hơn. Đặc
biệt là các em rất tự tin trong quá trình giải bài tập chương II: Tổ hợp – xác suất.

Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
16
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Giải toán đại số tổ hợp cụ thể là các bài toán liên quan đến hoán vị - chỉnh hợp
– tổ hợp trong chương trình lớp 11 là rất cần thiết; nó là nền tảng cho việc giải các
bài toán tìm xác suất đồng thời nó còn hỗ trợ cho các em học sinh có cơ sở để ôn
luyện các dạng toán có liên quan khác để thi vào các trường Đại học – Cao đẳng….
Qua một thời gian áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy tôi thấy được tâm
trạng của các học sinh trở nên tự tin hơn trong kiểm tra cũng như trong thi cử. Đa
số học sinh khi được trải nghiệm qua sáng kiến này thì cảm hứng học toán dâng
tràn. Bởi vì trong chuyên đề tôi đã đưa ra tương đối đầy đủ các dạng toán để cho
các em có cơ sở học tập, giúp học sinh luôn luôn củng cố lại các kiến thức cũ và
tiếp cận kiến thức mới. Việc giải toán đại số tổ hợp không còn là vấn đề nan giải
nữa rồi làm cho các em trở nên phấn chấn và thoải mái hơn rất nhiều khi có tiết
học toán; cô trò không còn thấy áp lực nữa. Sau một thời gian áp dụng sáng kiến
này kết quả học tập của các em khả quan hơn; bên cạnh đó còn thúc đẩy được động
lực học tập môn toán cũng như các môn học khác. Giúp các em tự tin học lên các
lớp trên và chuẩn bị hành trang thi tốt nghiệp và đại học.
Đây là kết quả chưa được trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm như sau:
Năm học Lớp
Sỉ số
học
Xếp loại trung bình trở lên (
≥
5.0đ )
Số lượng
Tỉ lệ
2011- 2012
11A3 40 18 45%
11A4 41 17 41,46%
2012- 2013
11A5 39 16 41,02%
11A7 38 15 39.47%

Kết quả đạt được trong năm học vừa qua có trải nghiệm qua sáng kiến kinh
nghiệm này.
Năm học Lớp
Sỉ số
học
Xếp loại trung bình trở lên (
≥
5.0đ )
Số lượng
Tỉ lệ
2013- 2014
11A4 37 25 67,56%
11A5 40 28 70,00%
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
17
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
Học toán đã khó,xong truyền đạt kiến thức cho học sinh lại càng khó hơn. Là
một giáo viên dạy vùng sâu vùng xa như tôi thì những sáng kiến như thế này rất
quan trọng. Làm cho học sinh yếu kém cũng có khả năng tiếp thu được kiến thức
và tái hiện lại được kiến thức cũ.
Hiểu và vận dụng các khái niệm hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp vào giải toán là
rất cần thiết. Nếu sáng kiến kinh nghiệm này được áp dụng rộng rải thì tôi hy
vọng rằng những học sinh nào có ý chí vươn lên, ham tìm tòi học hỏi sẽ đạt được
kết quả khả quan .
Trên đây tôi đã trao đổi với các bạn vài kinh nghiệm trong học toán để đạt kết
quả cao. Kinh nghiệm suy nghĩ khi học toán và làm toán cũng như việc thường
xuyên ôn luyện và củng cố lại kiến thức.Vấn đề này hết sức phong phú, bao gồm
nhiều mặt và có lẻ nói không bao giờ hết. Mong các bạn suy nghĩ về cách học của
mình, đúc rút kinh nghiệm , tìm ra phương pháp học tập tốt nhất để đạt nhiều kết
quả cao. Tuy nhiên sáng kiến của tôi còn hạn chế và không thể không có sai xót

kính mong quý vị, các đồng nghiệp tham khảo và góp ý kiến xây dựng để sáng
kiến của tôi ngày một có hiệu quả cao hơn. Tôi xin chân thành cám ơn rất nhiều.
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
18
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. `Phan Đức Chính – Năm (1957 – 1997 ) - Tuyển tập 30 năm, Tạp chí toán
học và tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo Dục.
2. GS Trần Tuấn Điệp –Tháng 11 – 1998 - Tạp chí THPT khoa học tự nhiên –
Bộ văn hoá thông tin.
3. Nguyễn Thái Hoè - Xuất bản năm 1999 - Toán học tuổi trẻ - Bộ Giáo Dục
Và Đào Tạo.
4. Vũ Thế Hựu – Xuất bản năm 2000 – Phương pháp giải toán đại số và giải tích
11 – Nhà xuất bản Đồng Nai.
5. Lê Hồng Đức – Xuất bản năm 2007 – Phương pháp giải toán giải tích tổ hợp
- Nhà xuất bản Hà Nội.
6. Vũ Tuấn (chủ biên), Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết
Yên – Xuất bản năm 2007 – Đại Sô Và Giải Tích 11 – Nhà xuất bản Giáo
Dục.
7. Vũ Tuấn (chủ biên), Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết
Yên – Xuất bản năm 2007 – Bài Tập Đại Số Và Giải Tích 11 – Nhà xuất bản
Giáo Dục.
8. Vũ Tuấn (chủ biên), Trần Văn Hạo, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết
Yên – Xuất bản năm 2007 – sách giáo viên Đại Sô Và Giải Tích 11 – Nhà xuất
bản Giáo Dục.
9. Ths. Lê Hồng Đức, Vương Ngọc, Lê Viết Hoà, Lê Hữu Trí, Lê Bích Ngọc -
Xuất bản năm 2009 – Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn toán 11 – Nhà xuất
bản Đại học quốc gia Hà Nội.
Xuân Mỹ, ngày 20 tháng 05 năm 2014
Người thực hiện
Nguyễn Thị Thu Liền

Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
19
Trường THPT Xuân Mỹ GV: Nguyễn Thị Thu Liền
20