skkn kỹ thuật lấy nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
A. Đặt vấn đề:
I. Lý do chọn đề tài.
Trong chương trình môn Toán lớp 11 nói riêng và trong bộ môn Toán nói
chung thì Lượng giác chiếm một phần quan trọng. Đặc biệt phương trình lượng
giác là phần kiến thức trọng tâm trong phần đại số lớp 11 của học kì I. Hơn nữa,
phương trình lượng giác bao giờ cũng có mặt trong các đề thi đại học môn Toán,
là câu cũng không phải là khó kiếm điểm.
Trong quá trình dạy học môn Toán đại số lớp 11, khi dạy về phần phương
trình lượng giác, tôi thấy học sinh thường lúng túng trong việc lấy nghiệm của
phương trình lượng giác có điều kiện và rất hay mắc sai lầm trong việc này. Vậy,
làm thế nào để giúp các em có thể vượt qua trở ngại này? và từ đó giúp các em có
thể làm tốt hơn khi giải phương trình lượng giác, tự tin hơn trong học tập.
Chính vì những lý do trên mà tôi đã quyết định chọn đề tài “Kỹ thuật lấy
nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện ”, với hy vọng và mong muốn
sẽ đem đến cho các em những kỹ năng, những phương pháp nhằm giúp các em
khắc phục những trở ngại nói trên. Từ đó đem lại kết quả cao hơn trong học tập,
giúp các em yêu thích và có hứng thú hơn trong học Toán.
II. Mục đích nghiên cứu.
Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp
cho quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể làm tài liệu tham khảo cho
các bạn đồng nghiệp. Trong đề tài này tôi đề cập đến một số phương pháp lấy
nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện, qua đó cho học sinh thấy được
sự sáng tạo và linh hoạt trong giải toán.Từ đó học sinh sẽ thấy thích thú và say mê
hơn trong học tập, do vậy sẽ đem lại kết quả cao hơn.
III. Đối tượng nghiên cứu.
Nghiên cứu về phương trình lượng giác có điều kiện.
IV. Phạm vi nghiên cứu.
- Làm tài liệu cho giáo viên.
- Áp dụng cho học sinh khối 11, 12. Đặc biệt là học sinh lớp 12 tham gia thi
đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp.

V. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, thực nghiệm.
1
PHẦN 2 : NỘI DUNG
B. Giải quyết vấn đề
2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu.
2.1.1. Các hằng đẳng thức lượng giác
sin
2
x + cos
2
x

= 1;
2
2
sin 2x 2sin x.cos
os2x 2 os 1
1 2sin
x
c c x
x
=
= −
= −
2
2
1
1 tan ,( , )
cos 2

x x k k
x
π
π
+ = ≠ + ∈¢
;
2
2
1
1 cot ,( , )
sin
x x k k
x
π
+ = ≠ ∈¢
;
tan .cot 1x x
=
. (
,
2
k
x k
π
≠ ∈¢
).
2.1.2. Biểu diễn một cung lượng giác, một góc lượng giác trên đường
tròn lượng giác.
Khi biểu diễn một cung (góc) lượng giác bao giờ cũng chọn điểm đầu A,
điểm cuối M tuỳ thuộc vào độ lớn và dấu của cung (góc) để ta biểu diễn cho đúng.

2
+
2 ,x k k
α π
= + ∈¢
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi một
điểm.
+
,x k k
α π
= + ∈¢
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi hai điểm
đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
+
2
, , , 3
k
x k n n
n
π
α
= + ∈ ≥¢
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi
n điểm cách đều nhau tạo thành n đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn.
2.1.3. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản.
+
2
sin sin ,
2
x k

x k
x k
α π
α
π α π
= +

= ⇔ ∈

= − +

¢
;
+
cos cos 2 ,x x k k
α α π
= ⇔ = ± + ∈¢
;
+
tan tan ,x x k k
α α π
= ⇔ = + ∈¢
;
+
cot cot ,x x k k
α α π
= ⇔ = + ∈¢
.
2.2. Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu.
Trong quá trình dạy học môn Toán đại số lớp 11, khi dạy về phần phương

trình lượng giác, tôi thấy học sinh thường lúng túng trong việc lấy nghiệm của
phương trình lượng giác có điều kiện và rất hay mắc sai lầm trong việc này. Để
giúp các em có thể vượt qua trở ngại này và từ đó giúp các em có thể tự tin hơn,
làm tốt hơn khi giải phương trình lượng giác. Hơn nữa, cùng một phương trình
lượng giác, nếu dùng các phép biến đổi khác nhau có thể thu được các phương
trình cơ bản khác nhau và từ đó thu được số họ nghiệm cũng như hình thức các họ
nghiệm rất khác nhau. Từ đó đem lại kết quả cao hơn trong học tập.
2.3. Nội dung của các vấn đề nghiên cứu.
2.3.1. Phương pháp biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua cùng một
hàm số lượng giác.
Ví dụ 1 : Giải phương trình:
tan x 3cot x 4(sin x 3 osx)c− = +
(1)
Lời giải : Điều kiện:
os x 0
sin x 0
c ≠


≠

. Khi đó
3

2 2
(1) sin 3 os 4sin .cos (sin 3 cos )
(sin 3 cos )(sin 3 cos ) 2sin 2x(sin 3 cos )
(sin 3 cos )(sin 3 cos 2sin 2x) 0
sin 3 cos 0 ( )
2sin 2x sin 3 cos ( )

x c x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x a
x x b
⇔ − = +
⇔ − + = +
⇔ + − − =

+ =
⇔

= −



*( ) sin 3 cos
tan 3 ,( )
3
a x x
x x k k
π
π
⇔ = −
⇔ = − ⇔ = − + ∈¢
1 3
*( ) sin 2 sin cos
2 2
sin 2x sin( )
3

2
3
, ( )
4 2
9 3
b x x x
x
x k
k
k
x
π
π
π
π π
⇔ = −
⇔ = −

= − +

⇔ ∈


= +


¢
Đối chiếu với điều kiện
os x 0
sin x 0

c ≠


≠

, ta thấy các giá trị đều thoả mãn.
Vậy phương trình (1) có nghiệm là:
4 2
, ,( )
3 9 3
k
x k x k
π π π
π
= − + = + ∈¢
* Nhận xét: Trong pt(1), ta đã biến đổi điều kiện và nghiệm tìm được thông qua
hàm số y = cos x. Từ đó chuyển việc đối chiếu điều kiện của x về đối chiếu điều
kiện của y đơn giản hơn.
Ví dụ 2 : Giải phương trình:

(1 2sin ).cos
3
(1 2sin )(1 sin )
x x
x x
−
=
+ −
(2)
Lời giải : Điều kiện:

sin 1
1
sin
2
x
x
≠



≠ −


. Khi đó :
4

(2) (1 2sin ).cos 3(1 2sin )(1 sin )
sin 2x 3 os2x cos 3 sin
os(2x ) os( )
6 3
2
2
,( )
2
18 3
x x x x
c x x
c c x
x k
k

k
x
π π
π
π
π π
⇔ − = + −
⇔ + = −
⇔ − = +

= +

⇔ ∈


= − +


¢
Kết hợp với điều kiện trên, ta chọn được nghiệm:
( )
2
,
18 3
k
x k
π π
= − + ∈¢

2.3.2. Phương pháp sử dụng phép biến đổi lượng giác

Ví dụ 3 : Giải phương trình:
2 2 2
sin ( )tan os 0
2 4 2
x x
x c
π
− − =
(3)
Lời giải : Điều kiện:
cos 0 sin 1x x
≠ ⇔ ≠ ±
. Khi đó:

2
2
2 2
1 sin 1
(3) 1 os( ) (1 cos ) 0
2 2 os 2
(1 sin )(1 os ) (1 cos )(1 sin ) 0
(1 sin )(1 cos )(sin cos ) 0
sin x= 1
cos 1
tan 1
x
c x x
c x
x c x x x
x x x x

x
x
π
 
⇔ − − − + =
 
 
⇔ − − − + − =
⇔ − + + =


⇔ = −


= −

Đối chiếu với điều kiện trên ta chọn được:
2
cos 1
,( )
tan 1
4
x k
x
k
x
x k
π π
π
π

= +

= −


⇔ ∈


= −
= − +


¢

Vậy các nghiệm của pt (3) là:
2 , ,( )
4
x k x k k
π
π π π
= + = − + ∈¢
.
Nhận xét: Trong pt (3), điều kiện
cos 0x
≠
biến đổi thành
sin 1x
≠ ±
. Như vậy
không phải tìm điều kiện cụ thể, ta vẫn có thể đối chiếu nghiệm với điều kiện và

suy ra nghiệm của phương trình.
5
2.3.3. Phương pháp thử trực tiếp.
Đối với phương trình mà điều kiện và nghiệm khó đưa về cùng một hàm số
lượng giác, ta có thể tìm nghiệm cụ thể, rồi thay vào điều kiện để kiểm tra lại.
Ví dụ 4 : Giải phương trình:

6 6
2( os sin ) sin .cos
0
2 2sin
c x x x x
x
+ −
=
−
(4)
Lời giải : Điều kiện:
2
sin
2
x ≠
. Khi đó

6 6
2 2 4 4 2 2
2
2
(4) 2( os sin ) sin .cos 0
2( os sin )( os sin sin . os ) sin .cos 0

3 1
2(1 sin 2x) sin 2x 0
4 2
3sin 2x sin 2x 4 0
sin 2 1
4
sin 2 ( )
3
, ( )
4
c x x x x
c x x c x x x c x x x
x
x VN
x k k
π
π
⇔ + − =
⇔ + + − − =
⇔ − − =
⇔ + − =
=


⇔

= −

⇔ = + ∈¢
+ Với k chẵn thì :

2
sin( )
4 2
k
π
π
+ =
(loại)
+ Với k lẻ thì :
2
sin( )
4 2
k
π
π
+ = −
(nhận)
Vậy phương trình (4) có nghiệm là:
, ( )
4
x k k
π
π
= + ∈¢
, với k lẻ.
Ví dụ 5 : Giải phương trình:

( )
+ +
=

−
cos ( os x+2sin ) 3sin (sin 2)
1. 5
sin2 1
x c x x x
x
Lời giải : Điều kiện:
≠sin2x 1
. Khi đó ta có:
6

π
π
⇔ + + + = −
+ −
⇔ + + + − + =
⇔ + + + − + − + =
⇔ − + + =
⇔ + + =

= −

⇔

= −


= − +
⇔
=

2 2
2
(5) os 2sin .cos 3sin 3 2sin sin2x 1
1 os2x 1 os2x
sin2x 3 3 2sin sin2x 1 0
2 2
1 os2x 2sin2x 3 3 os2x 6 2sin 2sin2x 2 0
os2x 3 2 sin 3 0
2sin 3 2 sin 2 0
sin 2 ( )
2
sin
2
2
4
5
c x x x x x
c c
x
c c x
c x
x x
x VN
x
x k
x
π
π



∈


+


¢, ( )
2
4
k
k
Kết hợp với điều kiện ta chỉ có nghiệm
2
4
x k
π
π
= − +
thỏa mãn điều kiện trên. Vậy
pt(5) có 1 nghiệm là :
2 ,( )
4
x k k
π
π
= − + ∈¢
2.3.4. Phương pháp biểu diễn trên đường tròn lượn giác.
- Trên đường trròn lượng giác, những điểm không thoả mãn điều kiện đánh dấu
“x”, những điểm nghiệm tìm được đánh dấu “o”
- Những điểm đánh dấu “ o ” mà không trùng với điểm đánh dấu “x” đó là nghiệm

của phương trình.
+
2 ,x k k
α π
= + ∈¢
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi một
điểm.
+
,x k k
α π
= + ∈¢
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi hai điểm
đối xứng nhua qua gốc toạ độ.
+
2
, , , 3
k
x k n n
n
π
α
= + ∈ ≥¢
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác bởi
n điểm cách đều nhau tạo thành n đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn.
7
Ví dụ 6 : Giải phương trình:

cos sin 3x 0x + =
(6)
Lời giải: + ) Khi

cos 0x
≥
thì

4
(6) cos sin 3x 0 ,( ) (*)
3
8 2
x k
x k
k
x
π
π
π π

= − +

⇔ + = ⇔ ∈


= +


¢
Biểu diễn (*) trên đường tròn lượng giác ta được 6 điểm đánh dấu “o”, trong đó
chỉ có 3 điểm nằm bên phải trục Oy (
cos 0x ≥
) hình dưới ứng với nghiệm :
1 2 3

3
2 ; 2 ; 2 , ( )
4 8 8
x k x k x k k
π π π
π π π
= − + = − + = + ∈¢


+) Khi
cos 0x <
thì
4
(6) cos sin 3x 0 ,( ) (**)
8 2
x k
x k
k
x
π
π
π π

= +

⇔ − + = ⇔ ∈


= +



¢
Biểu diễn (**) trên đường tròn lượng giác ta được 6 điểm trong đó có 3 điểm nằm
bên trái trục Oy (
cos 0x <
) hình dưới ứng với nghiệm :
4 5 6
5 9 5
2 ; 2 ; 2 , ( )
8 8 4
x k x k x k k
π π π
π π π
= + = + = + ∈¢
8
y
x
Vậy pt(6) có nghiệm là : x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
như trên.

2.4. Bài tập vận dụng
Giải các phương trình sau:
1.
2 2
tan .sin 2sin 3(cos2x sin .cos )x x x x x− = +
;
2.
3 4 os2x 2 osxc c+ =
;
3.
−
+ =
2
4
4
(2 sin 2x).sin3x
tan 1
os
x
c x
;
4.
−
= +
+
2
os (cos 1)
2(1 sin )
sin cos
c x x

x
x x
;
5.
π
+ + +
=
+
(1 sin os2x)sin( )
os
4
1 tan
2
x c x
c x
x
;
6.
+
=
−
1 os2x sin2
cos 1 os2
c x
x c x
;
7.
+ +
=
+

2
1 sin2x os2x
2 sin .sin2x
1 cot
c
x
x
;
9
x
y
9
8
π
5
4
π
13
8
π
8
π
4
π
5
8
π
x
x
8.

+ − −
=
+
sin2x 2 osx sin 1
0
tan 3
c x
x
;
9.
−
=
2
3 cos3 4sin . os
3
cos
x x c x
x
;
10.
( )
− + −
=
−
1 cos 2cos 1 2sin
1
1 cos
x x x
x
;

11.
π
− +
= +
2 sin( )(1 sin2x)
4
1 tan
os
x
x
c x
;
12.
2
1 2sin 3 2 sin sin2
1;
2sin .cos 1
x x x
x x
+ − +
=
−
13.
+ = +
2sin cot 2sin2x 1;x x
14.
− + +
=
1 cos 1 cos
4sin ;

cos
x x
x
x
15.
+ − −
=
−
2
2 3 sin2x(1 os2x) 4 os2x.sin 3
0.
2sin2x 1
c c x
10
PHẦN 3: KẾT LUẬN
I. Ý nghĩa của đề tài.
- Mục đích quan trọng nhất của đề tài này là tôi muốn lấy đây làm một
cuốn tài liệu phục vụ trong quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời cũng là
cuốn tài liệu để các đồng nghiệp tham khảo trong giảng dạy.
- Giúp học sinh biết cách lấy nghiệm của bài toán giải phương trình lượng
giác có điều kiện, đồng thời qua các phương pháp này nhằm phát triển tư duy linh
hoạt cho học sinh. Từ đó mang lại sự say mê và hứng thú trong học Toán, …
II. Kết quả nghiên cứu.
- Đề tài này tôi bắt đầu thực hiện từ năm học 2013 – 2014 trực tiếp trên lớp
11B
9
. Kết quả đa số các em đã biết lấy nghiệm của phương trình lượng giác có
điều kiện. Góp phần nâng cao kết quả học tập bộ môn Toán nói riêng, kết quả học
tập của các em trong nhà trường nói chung.
- Kết quả thi học kì I, thi thử đại học lần 1 và thi thử đại học lần 2 của lớp

11B
9
với 36 em, đa số các em đều làm được phần phương trình lượng giác. Cụ thể
như sau:
số H/S
Đợt thi
Số học sinh không đạt Số học sinh đạt
Thi HKI 5,6% 94,4%
Thi ĐH L1 28,1% 71,9%
Thi ĐH L2 20,7% 79,3%
- Những kết quả khả quan từ thực nghiệm sư phạm, cho phép tôi kết luận
rằng mục đích nghiên cứu của đề tài đã được hoàn thành và đề tài có tính khả thi
cao.
- Tôi hy vọng rằng, đây là cuốn tài liệu mà các thầy cô giáo dạy Toán yêu
thích, đồng thời giúp các em học sinh học tốt hơn phần giải phương trình lượng
giác, qua đó góp phần nâng cao kết quả học tập của các em.
11
II. Những kiến nghị làm tăng tính khả thi.
Đề tài này có ý nghĩa thiết thực cho học sinh, đặc biệt là dùng cho học sinh
ôn thi đại học. Vì vậy trong thời gian tới, tôi tiếp tục nghiên cứu và mở rộng hơn
nữa để đề tài được hoàn chỉnh hơn và thực sự là cuốn tài liệu bổ ích. Để đề tài
được hiệu quả hơn thì:
- Cần điều chỉnh phạm vi bài tập nhằm áp dụng trên nhiều đối tượng học
sinh.
- Đầu tư thời gian, vật chất nghiên cứu thêm các chuyên đề khác có liên
quan.
Tân Phú, ngày 10 tháng 05 năm 2014
Người thực hiện
Nguyễn Văn Đồng
12

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn(chủ biên)- Đào Ngọc Nam- Lê
Văn Tiến-Vũ Viết Yên, Đại số và giải tích 11 ban cơ bản, NXBGD, 2010.
2. Trần Văn Hạo( Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn(chủ biên)- Doãn Minh Cường-
Đỗ Mạnh Hùng-Nguyễn Tiến Tài, Đại số010 ban cơ bản, NXBGD, 2006.
3. Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn Bài giảng chuyên sâu toán THPT Giải Toán
Lượng Giác 11.
4. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ

13