skkn một số bài toán cực trị thpt trần phú

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uuur uuur uuur r
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?/IT&"U; pMM;1 S*I
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x- 4 y+1 z
d = =
1 1 1
*IMc•;
( )
A 0;1;5
N
( )
B 0;3;3

?;c•;T+"3M2 2
E[
uuuur uuur
MA + MB
 i1TP"o"f
C[

uuuur uuur
MA - 4MB
 i1TP"o"f
,L`d4l2;e7€"Z‹[CV…C$kF‘kED•D*I9Mc•;
( )
A 1;0;1
N
( )
B -2;1;2
N
( )
C 1;-7;0
?;c•;T+";e7€"Z‹[M2 2
E[
+
uuuur uuur uuur
MA + MB MC
 i1TP"o"f
C[
F+
uuuur uuur uuur
MA -2MB MC
 i1TP"o"f
ZD^GC^E[
M i 
+
uuuur uuur uuur
MA + MB MC
•
+ + +

uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
MG + GA + MG GB MG GC
•
F
uuuur
MG
 i1TP"o
"f>/I?" j#*#<"i  pM/+";e7€"Z‹[
"'"
r
n = (2; -2; 3)
/I;*l 2 Q76"
56"T?"M;





x = 2t
y = -2-2t
z = 1+3t
&Mc:,"*n/I"!;76"T?"
H…CZGCGC[kFZEkF[kED•D
EL EL D  E
⇔ + = ⇔ = −
'$*nZGC^D^GC[?
+
uuuur uuur uuur
MA + MB MC
 i1TP"o"f

C[ &ZV^$^‘[/Ic•;oM
F D
+ =
uur uur uur r
IA -2IB IC
M i
ZEGV^G$^EG‘[GCZGCGV^EG$^CG‘[kFZEGV^GLG$^G‘[•ZD^D^D[
CF F
V•H^$•G ^‘•G
C C
⇒
N*'$
CF F
^ [
C C
− −
I(4;
M i
F+
uuuur uuur uuur
MA -2MB MC
•
[ FZ [+ + +
uuur uur uuur uur uuur uur
MI+IA -2(MI IB MI IC
•
C
uuur
MI
 i1TP"o"f

>/I?" j#*#<"i  pM/+";e7€"Z‹[
56"T?"M;
CF
C
F
C




−



−


x = 4+2t
y = -2t
z = +3t
&Mc:,"*n/I"!;76"T?"
CF F
CZH C[ CZ C[ FZ F[ ED D
C C
+ − − − + − + + =
LF LF
EL D 
C FH
⇔ + = ⇔ = −
'$*n

_ CH_ EF_
^ ^ [
EL FH EL
− − −
M(
?
F+
uuuur uuur uuur
MA -2MB MC
c81TP"o"f

BC>DE4l'8(
)
(
+1
(

5 ?
)
*
+
*1*

/
)
0
+
010



2@ 6$%"-''A2
C C C
E E C C

 
     + + +
B879/:'879,:
;$<8=
G ?;c•;oM
E
E C C " "
>  k>  kk>  D=
uur uuur uuur r
G Sj"cr•
C C C
E E C C


+ + +
n
k MA k MA k MA
•
•
C
E "
Z> kk> [
k
C C C
E E C C



+ + +
n
k IA k IA k IA
kC
E
E " "
Z>  kk>  [
uuur uur uuur
7
•
C
>
k
C C C
E E C C


+ + +
n
k IA k IA k IA
2
C C C
E E C C


+ + +
n
k IA k IA k IA
><"crNS•#, "o"f2e /n""f>

"o"fM$/I?" j#*#<"i  pM/+";e7€"M$c"€"
CD
EF
)
0
+
010

2G4*HIB879/:J/
:
EF
)
0
+
010

2K4*HIB879,:J/
:
>=
1) &c•;ZV^$^‘[oM
uur uur r
IA + IB = 0
?/IT#"c•;S*I
F F
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C C
−
I
M i
C

kS
C
•
C C
Zk[ kZkS[
uuur uur uuur uur
C C C
 kS kC kCZkS[
=
uuur uur uur
•
C C C
 kS kC 
2
C C
 kS
><"cr"+"
C
kS
C
"o"f>
C
 i1TP"o"fNM$
/I?" j#*#<"i  pM/+"Z‹[
"€"•#Mc•;*I i* 7
‹
" ZE^C^C[
=
r
56"T?"M;

F
C
F
C







−


x = 2+t
y = + 2t
z = +2t
&Mc:,"*n/I"!;76"T?"
F F
C  CZ C[ CZ C[ L D K K D  E
C C
+ + + + − + + = ⇔ + = ⇔ = −
E L
ZE^ ^ [
C C
⇒ − −
M
'$*n
E L
ZE^ ^ [

C C
− −
M
?
C
kS
C
 i1TP"o"f
FLMN
8
,L`d/l2;e7€"Z‹[VkC$kC‘kL•D*I9Mc•;ZE^C^GE[N
SZF^E^GC[NZE^GC^E[
E[ ?;T+";e7€"Z‹[M2 2
C
kS
C
 i1TP"o"f
C[ ?;T+";e7€"Z‹[M2 2
C
GS
C
…
C
 i1TP/n"
"f
O,J57(H*@(H(
+
0H
+
2+J

+
0
C
C

*&'(H
+
A(
+
0H
+
/:J
+
879/:*6
5J !"
2) &•ZV^$^‘[/Ic•;oM
uur uur uur r
JA - JB -JB = 0
=M$
ZE V^C $^ E ‘[ ZF V^E $^ C ‘[ ZE V^ C $^E ‘[ ZD^D^D[
− − − − − − − − − − − − − − =
F V D
F $ D •ZF^ F^D[
‘ D
− + =


⇔ + = ⇔ −



=

M i
C
GS
C
…
C
•
C C C
Z•k•[ GZ•k•S[ Z•k•[
−
uuur uur uuur uur uuur uur
C C C C
•   •S •  • kC•Z• •S •[
= − − − − −
uuur uur uur uur
C C C C
•  •S •  • 
= − − −
2
C C C
•  •S •
− −
><"cr"+"
C
GS
C
…
C

/n""f>•"o"f
M$/I?" j# pM•T+";e7€"Z‹[
"€"••#Mc•;*I i* 7
‹
" ZE^C^C[
=
r
56"T?"M;•





x = 3+t
y = -3+ 2t
z = 2t
&Mc:,"*n/I"!;76"T?"
H
F  CZ F C[ CC L D K H D 
K
+ + − + + + = ⇔ + = ⇔ = −
CF F_ J
Z ^ ^ [
K K K
⇒ − −
M
'$*n
CF F_ J
Z ^ ^ [
K K K

− −
M
?
C
GS
C
…
C
 i1TP/n""f
>=
E[&c•;ZV^$^‘[/Ic•;oM
uur uur r
IA -2 IB = 0

=M$
Z V^E $^ C ‘[ CZC V^ E $^C ‘[ ZD^D^D[
− − − − − − − − − =
9
,L`d4l2c"€"3 i76"T?"
C E
x-1 y-2 z-3
= =
1
*I 1 c•;ZD^
E^GC[NSZC^GE^C[NZH^F^F[=$?;c•;T+"3M2 2
E[ 
C
GCS
C
 i1TP/n""f

C[ 
C
kS
C
k
C
 i1TP"o"f
H V D
F $ D ZH^ F^Y[
GYk‘ D
− + =


⇔ + = ⇔ −


=

M i
C
GCS
C
•
C C
Zk[  CZkS[
−
uuur uur uuur uur
C C C
  CS   kCZ CS[
= − − −

uuur uur uur
C C C
  CS  
= − −
2
C C
 GCS
><"cr"+"
C
GCS
C
/n""f>
C
 i1TP"o"fN
M$/I?" j#*#<"i  pM/+"3
"€"3 i* 7
ZE^C^E[
=
r
u
N76"T?"M;3





x = 1+t
y = 2+ 2t
z = 3+ t
 3 ZE ^C C^F [

∈ ⇒ + + +
N
uuur
IM = ( t-3; 2t + 5 ; t - 3)
 >    /I  ?"  j#
*#<"  i  pM    /+"  c"  €"  3  ? 
 D=
uuur r
IM u
C E C L
Y H D Z ^ ^ [
F F F F
⇔ + = ⇔ = − ⇒
t t M
'$*n
E C L
Z ^ ^ [
F F F
M
?
C
GCS
C
 i1TP/n""f
FLMN
 !"
n
 3 ZE ^C C^F [
∈ ⇒ + + +
I

C
GCS
C
•ZkE[
C
kZCkE[
C
kZk_[
C
…C’ZGE[
C
kZCkF[
C
kZkE[
C
•GY
C
…Jk_
“‚I;
C
Z [ Y … J  _N#     $
= − + ∈
ic82I;
C
”Z [ EC … J N ”Z [ D
F
#   #  
= − = ⇔ = −
S."9j"+"


−∞

C
F
−

+∞
#%&' kD
#&'

CF
F


−∞

−∞
t9."9j"+"Mf$#&'c81TP/n""f>
C
F

= −
=M$
C
GCS
C
 i1TP/n""f>
E C L
Z ^ ^ [
F F F

M
10
C[&c•;ZV^$^‘[/Ic•;oM
uuur uuur uuur r
GA + GB +GC = 0
?/IT&"U;M;1
S*IZC^E^E[
M i
C
kS
C
k
C
•
C C C
Zk[ kZkS[ kZk[
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
•
C C C C
  S  kF kCZ S [
+ + + +
uuuur uuur uuur uuur
•
C C C C
  S  kF
+ +
2
C C C
  S 
+ +

><"cr"+"
C
kS
C
k
C
"o"f>"o
"fNM$/I?" j#*#<"i  pM/+"c"€"3
 3 ZE ^C C^F [
∈ ⇒ + + +
N
uuuur
GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2)

W    /I  ?"  j#  *#<"  i  pM    /+"  c"  €"  3  ? 
 D=
uuuur r
GM u
E E _
Y F D Z ^E^ [
C C C
⇔ + = ⇔ = − ⇒
t t M
'$*n
E _
Z ^E^ [
C C
M
?
C

kS
C
k
C
 i1TP"o"f
BC>DE5l' !"$<7M0#60P0&245
(*H@ !"7 !"-''(0H879
/:
;$<8=
E j#ZMV

k9$

k ‘

k3[ZMV
S
k9$
S
k ‘
S
k3[ŽD?NS"h;*AM7mM*n
Z‹[•kS"o"f>#: SM$/IM2c•; pMZ‹[*I
S
C j#ZMV

k9$

k ‘


k3[ZMV
S
k9$
S
k ‘
S
k3[•D?NS"h;*A;:7mM*n
Z‹[WciM?;c•;ŒcV,"*n•#MZ‹[2kS•Œk
S;Ic81TP"o"f>#: ŒSM$/IM2c•; pMZ‹[*I
ŒS
>=
M$&Mc: pM*IS*I276"T?"Z‹[Mf$Mc•;"h;*AM7mM pM
Z‹[
M ikS i1TP"o"f>/IM2c•; pMS*IZ‹[
"€"S•#Mc•;SN"'"
ZE^ E^D[= −
uuur
AB
/I;*l 2 Q76"
11
,L`d/lT2"><"M"*n!&Mc:V$‘N 2;e7€"Z‹[ i76"
T?"V…C$…C‘kH•D*IMc•;ZE^E^C[NSZC^D^C[?;c•;T+"
;e7€"Z‹[M2 2kS i1TP"o"f
56"T?"M; pMS
C
C
( 
) 
*
= +



= −


=

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C
F C D
F
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⇔ + = ⇔ = −
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H C
Z ^ ^C[
F F
M
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"€"Œc•#M*I*#<"i *nZ‹[NŒ"'"
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n

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E
C
E C
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) 
* 
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

= −


= − +

&Mc:?" j#*#<"i = pMT+"Z‹[,"*n pM76"T?"
Ek…ZC…[kCZGEkC[•D
⇔
Y…F•DM$•
E F F
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C C C
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”
”
”
C

E ”ZC^ E^ E[
E
 + 
 + 
 + 
− =


− = ⇒


− =

x = 2x x
y =2y y A
z = 2z z
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ZE^D^ F[= −
uuur
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56"T?"M;ŒS
C
E
E F
= +


=



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
x t
y
z t
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F
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_
 ⇔ − + = ⇔ =
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12
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E[NSZF^E^GC[NZE^GC^GC[=$?;c•;T+"3M2 2
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_ _
−M
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+"
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E F
E F
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

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

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
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z t
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H F D
H
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_ _ _
Z ^ ^ [
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_ _ _
Z ^ ^ [
H H H
− −M
?
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7$%&-''(0H879/:
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M/I;"M#
G j76"T?";e7€"Z‹[•#MS*I*#<"i *n3
G ?;M2c•; pMS*IZ‹[
G Wj/#'"/Ic•; @"?;
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M/I;"M#
G M76"T?" pM3*A38"M;N*j&Mc: pMl2M;
G m"9•#, kSl2NV‚I;•Z[•kS
G m"1TP"o"f pMI;•Z[Ntci#$TM

G m"&Mc: pM*I>j/#'"
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13
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"€"3 i76"T?"M;
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C C
F
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) 
* 
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

= − −


= +

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r
u
*I
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uuur
CD
M i
r
u

uuur
CD
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⇒ ⊥
d CD
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ZC^ C^E[= −
r
u
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56"T?"Z5[CZVkH[…CZ$GE[kEZ‘GE[•DM$CV…C$k‘kK•D
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&Mc:,"*n/I"!; pM76"T?"
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C C EL+
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AB
*I
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AB
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M i
’ N –"
r uuur uuur
AB OA
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56"T?"M; pMV
D
D
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

=


=


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
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C C
D H E D+ + + + +(t -3) (t -2)
•
C C
H E+ + +(t -3) (t -2)
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T2";e7€" &Mc:*n!V$V‚ 1 c•;

Z^D[ 
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

ZF^C[NS

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


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
S


Mf$


NS

"h; Š"7mM*nV"+"M/f$

ŒZF^GC[cV,"*n

•#MV
56"T?"c"€"

”S

FVk$…L•D
•


 
k

S

"o"f>/IM2c•; pMV*I

”S


⇒
FGL•DM$
L
F
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L
Z ^D^D[
F
M
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C C
H E+ + +(t -3) (t -2)
14
,L`d4l
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kSc81TP"o"f
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C C
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= + + +
(t -3) (t -2)
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
∈
¡
[
ic82I;
( )
( ) ( )
C C
F C

F H C E
 
 
− −
′
= +
− + − +
f t

( )
( ) ( )
C C
F C
D D
F H C E
 
 
− −
′
= ⇔ + =
− + − +
f t
( ) ( )
C C
Z F[ Z C[
F H C E
 
 
− − −
⇔ =

− + − +
Z—[
*ncA#>!"C˜˜FM i
Z—[
( ) ( ) ( ) ( )
C C C C
F ’ C E– C ’ F H–   ⇔ − − + = − − +
( ) ( )
C C
F CZ C[
F H C
F CZ C[
 
 
 
− = −

⇔ − = − ⇔

− = − −


E ’C^F–
L
F


= ∉



⇔

=

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
−∞

L
F

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+∞

+∞

FJ ED
F
+
t9."9j"+"#$TM
( )
L
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F
#  #
 
=
 ÷

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F
+
'$kSc81TP"o"f9h"
FJ ED
F
+
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L
F
 =
N, /IZ
L
F
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>=
15
,L`d5l2c"€"
( )

C C
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d = =
1
*IMc•;ZGE^E^E[N
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"f
"€"3 i76"T?"M;

E C
C C
E
( 
) 
* 
= +


= +


= +

•#Mc•;ZE^C^E[N i* 7
ZC^C^E[=
r
u
*I
ZC^F^ E[= −
uuur
AB
M i
r
u

uuur
CD
•HkY…E•K™D
⇒

3><"*#<"i *nS*I

’ N –
r uuur uuur
u AB NA
•ZG_^H^C[ZGC^GE^D[•ED…H•Y
⇒
3*IS ‚2"M#
G#*M;1 S/IC7•CZkSkS[N32S><"cr"+"C7c8
1TP"o"f>kSc81TP"o"f
“‚c•;
ZE C ^ ^E [  ∈ ⇒ + +M d M 2+2
NM7.?;c•kSc81TP"o
"f
“‚
( )
C C C C C C
kS• ZC C[ ZC E[ ZC [ ZC C[ Z E[#       
= + + + + + + − + +

( )
C C
• K EC _ K Y _#     
+ + + − +
•
C C
ZF C[ E ZF E[ H 
+ + + − +
ic82I;
C C

F C F E
”Z [
ZF C[ E ZF E[ H
 
# 
 
+ −
= +
+ + − +
C C
F C F E
”Z [ D D
ZF C[ E ZF E[ H
 
# 
 
+ −
= ⇔ + =
+ + − +
C C
F C ZF E[
ZF C[ E ZF E[ H
 
 
+ − −
⇔ =
+ + − +
*n
C E
F F


− ≤ ≤

C C C C
ZF C[ ’ZF E[ H– ZF E[ ’ZF C[ E–   
⇔ + − + = − + +
C C
_
CZF C[ F E
E
F
HZF C[ ZF E[
CZF C[ F E E
F
F

 
  
 

−

=

+ = −

⇔ + = − ⇔ ⇔ ⇔ = −


+ = − +



= −


S."9j"+" pMI;#&'

−∞

E
F
−

+∞
#%&' GDk
#&'
+∞

+∞

F C
Mf$#&'c81TP"o"f9h"
F C
>•
E
F
−
=M$*n
C H E
^ ^ [

F F F
M(
?kSc81"o"f9h"
F C
16
FLMN7'&B'856&T$<8='-85 
R-U<=<*

BC>DE7l'$%&
)
*&
+
N'*8
∈
&
)
*
F
∈
&
+
5Q'B$%7
;$<8=
G j76"T?"Mc"€"38"M;

G (f$
E
∈
d
*I

C
∈
d
Z&Mc:l2M;[
G .  !  76"  T?" 
E
 D
=
uuuur r
MN u
*I
C
 D
=
uuuur r
MN u
Z
E
N
r
u
C
r
u
/I 1 *‚ 6 Q76"
pM3
E
*I3
C
[

G ?;&Mc:N*I>j/#'"
>=
E[3
E
•#M
E
Z_^GE^EE[N i* 7
E
ZE^C^ E[= −
uur
u
3
C
•#M
C
ZGH^F^H[N i* 7
C
Z L^C^F[= −
uur
u
M i’
E
N
uur
u
C
uur
u
–
E C

uuuuuur
M M
•ZJ^H^EY[ZGK^H^GL[•GLCkEY…EEC•GEYJ
D
≠
=M$3
E
*I3
C
 ‚2"M#
C[
E

∈
*I
C

∈
M2 2c:3I"v""f>*I Q>/Ic:3I
c28"*#<"i  #" pM3
E
*I3
C

56"T?"M; pMMc"€"
3
E

_
E C

EE


= +


= − +


= −

x t
y
z
N3
C

H L
F C ”
H F ”


= − −


= +


= +


x t'
y
z

E

∈
"+"Z_k^GEkC^EEG[N
C

∈
"+"ZGH…LŒ^FkCŒ^HkFŒ[
Z
=
uuuur
MN
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E
C
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YC ” Y _D D ” E
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  
  

= − − + = =
 

⇔ ⇔

  
+ + = = −
=
 


uuuur r
uuuur r
MN u
MN u
17
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E
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E
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C
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
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E
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u
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u
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u
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56"T?"M;S
E
C ”
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
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

= +


= +

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
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uuuur
MH
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E
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C ” F F
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  
  

=
− = = −
 

⇔ ⇔
  
− = − = −

=
 


uuuur r
uuuur uur
MH u
MH u
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C F
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C C
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18
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C
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


= +


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
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T+"3M2 2M;1 S i3!"m "o"f
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D
C
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
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

=


= −

x
y
z
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c"€"3*IT4 VN$*j76"T?";e @#Z[ i91">m""o
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G .g;e @#Z[ iU;N91">m"]j7Vd *n38Nj7Vd *nV8

G Mf$C]•kšN32ci;e @#Z[ ic">m""o"f/IC]
•>*I Q>"o"fM$/Ic28"*#<"i  #" pM3*I
V
"€"3•#MZD^D^C[N i* 7
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u
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ZE^D^D[" =
r
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N
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u
"
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MN

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  
 
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 

⇔ ⇔
  
= =
=
 


uuuur r
uuuurr
MN u
MN
'$ZD^E^E[NZD^D^D[›
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^ ^ [
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C

C C
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MN
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C C C
E E E
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C C C
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V(58H@'=,:
;$<8=
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7€" Z‹[N>  ci  M; 1  S=*#<"  8 =  *I
>2." 1 3ZS^Z‹[[•S=˜S'$3ZS^Z‹[[/n"
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•#M*I*#<"i *nS
>=l
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*#<"i *n
Z‹["'"
ZC^
=
uur
DI 1; -5)
/I;*l 2717#$j"
56"T?";e7€"Z‹[CZVGE[kEZ$kC[…_Z‘GF[•D
19
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ZF^GE^GC[;:>2."/n""f

⇔
CVk$…_‘kE_•D
>=
e @#Z[ i91">m"]•3Z^Z‹[[/n""f>Z‹[•#MS*I*#<"i *nS
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=
uuur
BA 2; 2)
/I*‚ 6717#$j" pMZ‹[
56"T?"Z‹[EZVGE[kCZ$kE[kCZ‘…E[•D
⇔
VkC$kC‘…E•D
]•3Z^Z‹[[
C C C
E E Y E
F
E C C
+ + −
=
+ +
56"T?";e @#Z[ZVGC[
C
kZ$GE[
C
kZ‘…F[
C
•K
BC>DE4l'(5$%WV(O$<7

 !"IW-'''=8X( !",:
;$<8=
&=/I?" j#*#<"i  pM/+";e
7€"Z‹[NW/I?" j#*#<"i  pM/+"s
M i3Z^Z‹[[•=˜W/n""f?=›
WN>ciZ‹[/I;e7€"c•#Ms*I*#<"i *n
W=M$Z‹[•#Ms*I*#<"i *n;7ZœN[
>=
e7€"Z‹[c•#MMc•;NS*I 1 ;:>2."/n""f>Z‹[c•#M
Mc•;NS*I*#<"i *n;7ZS[
ZE^ E^ E[= − −
uuur
AB
N
Z C^ F^ C[= − − −
uuur
AC
ZS[ i*‚ 6717#$j"
’ N – Z E^H^ _[= = − −
r uuur uuur
n AB AC
Z‹[ i*‚ 6717#$j"
’ N – Z K Y^ F[ FZF^C^E[
α
= = − − − = −
uur r uuur
n n AB
56"T?"Z‹[FZV…C[kCZ$…E[kEZ‘…F[•D

⇔

FVkC$k‘…EE•D
20
,L`d/29Mc•;ZC^E^F[NSZF^D^C[^ZD^GC^E[j76"T?";e
7€"Z‹[c•#MMc•;NS*I 1 ;:>2."/n""f
,L`d4l2M3"€"
E
C E E

E C C
( ) *

− − +
= =
−
N
C
F E

C H H
( ) *

− −
= =
− −
E[ ,";"Mc"€"T+"2"2"*n"M#
C[ T2" 1 ;e7€" ,M3
E
N$*j76"T?";e7€"Z‹[M2
2>2." 1 OM3
C

*IZ‹[/I/n""f
,L`d4l2Mc•;ZC^E^F[NSZE^GE^E[N&Z‹[/I;e7€"•#MST2"
1 ;e @#U;*Ij7Vd *nZ‹[N$*j76"T?";e @#Z[ i
91">m"/n""f
>=
E[3
E
•#M
E
ZC^E^GE[N i* 7
E
ZE^C^ C[= −
uur
u
3
C
•#M
C
ZD^F^E[N i* 7
C
Z C^ H^H[= − −
uur
u
Mf$
C E
C= −
uur uur
u u
*I
E C

 3
∉
"+"Mc"€"2"2"*n"M#
C[“‚Z‹
E
[/I;e7€" ,M3
E
*I3
C
?Z‹
E
[ i*‚ 6717#$j"
E
C
’ N – ZJ^C^Y[ CZH^E^F[ C
= = = =
r uur uuuuuur uur
1 1 2
n u M M n
W2." 1 OM3
C
*IZ‹[/I/n""f>Z‹[7.*#<"i *nZ‹
E
[
2ciZ‹["'"
’ N – ZJ^ EE^ L[
= − −
uur uur
1 2
u n

/I*‚ 6717#$j"N•#M
E
ZC^E^GE[
56"T?"Z‹[JZVGC[GEEZ$GE[GLZ‘kE[•D
M$JV…EE$…L‘…EC•D
BC>DE5l' !"5(@ !"*:6H@ !"
$%WS7' !"V(58H@'=,:*/
:
;$<8=
&=/I?" j# pMS/+"sM
f$3ZS^stuS=˜S
'$>2." 1 tScj"s/n""f>
›=M$œ/Ic"€""h;T2"
Z‹[*I*#<"i *nS
&W/I?" j#*#<"i  pM
S/+"Z‹[>ci3ZS^Z‹[[•S=šSW
'$>2." 1 tScj"s"o"f>
W›=M$œ/Ic"€"c•#MMc•;NW
>=
Mf$Z‹[ i*‚ 6717#$j"
ZC^ C^E[
α
= −
uur
n
E[&=/I?" j#*#<"i  pMS/+"Z‹[
56"T?"S=
C C
F C
_


= +


= −


= +

x t
y
z t
&Mc:c•;=,"*n/I"!; pM76"T?"
CZCkC[GCZF…C[k_kkE_•D
 C⇔ = −
M$=ZGC^L^F[
21
,L`d/2;e7€"Z‹[CV…C$k‘kE_•D*Ic•;ZGF^F^GF[
j76"T?"c"€"œ"h;T+"Z‹[N•#Mc•;*I 1 c•;
SZC^F^_[;:>2."
E[o"f C[(n""f
Mf$3ZS^œ["o"f>œc•#MMc•;N=32*'$
ZE^H^Y[=
uuur
AH
/I*‚ 6
Q76" pMœ
56"T?" pMœ
E H Y
= =

x+3 y-3 z +3
C[Mf$3ZS^œ[/n""f>œ/Ic"€""h;T2"Z‹[N•#M*I*#<"
i *nS
œ i*‚ 6 Q76"
’ N – ZEY^EE^ ED[
α
∆
= = −
uur uuur uur
u AB n
56"T?" pMœ
EY EE ED
= =
−
x+3 y-3 z +3
>=
“‚;e7€"Z‹[•#M*I*#<"i *n3NZ‹["'"
ZE^C^ [

=
r
u 3
/I;*‚ 6717
#$j"N?œ"h;T2"Z‹[
2*'$3Z^œ[/n""f>œ"h;T2"Z‹[N•#M*I*#<"i *n
œ i*‚ 6 Q76"
’ N – ZE^ J^_[
α
∆
= = −

uur uuur uur
u CD n
56"T?"œ
E J _
= =
−
x-2 y+1 z -3
>=
E["€"3•#Mc•;ZC^D^D[ i* 7
ZE^D^ [

=
r
u -1
N
Z C^C^D[= −
uuur
MB

’ N – ZC^C^C[ CZE^E^E[ C

α
= = =
uur uuur uur
u MB n
Z‹[c•#MS"'"
ZE^E^E[
α
=
uur

n
/I;*‚ 6717#$j"
56"T?"Z‹[Vk$k‘…E•D
C[&=/I?" j# pM/+"Z‹[Nc•3ZNœ
E
["o"f>œ
E
c•#MMc•;
SN=
22
,L`d4lj76"T?"c"€"œc•#Mc•;ZC^GE^F[N*#<"i *n
c"€"3
E C F
= =
x-3 y+2 z +5
*I 1 c•;ZH^GC^E[;:>2."/n""f
,L`d5l2Mc•;ZC^E^GE[NSZGE^C^D[*Ic"€"3
E
D
= +


=


= −

x t
y
z t

E[ j76"T?";e7€"Z‹[c•#M3*IS
C[ j76"T?"c"€"œ
E
c•#MS v3M2 2>2." 1 t
cj"œ
E
/n""f
F[ j76"T?"c"€"œ
C
c•#MS v3M2 2>2." 1 t
cj"œ
C
"o"f
56"T?"M;=
C
E
E


= +


= +


= − +

x t
y
z

&Mc:=,"*n/I"!;76"T?"
CkkEkGEk…E•D
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F E D
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