Rèn luyện kỹ năng tìm lời giải bài toán phương trình đường thẳng trong mặt phẳng ở lớp 10

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG
TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
Ở LỚP 10
Mục lục trình bày: Trang
Phần 1: Đặt vấn đề 2
Phần 2: Nội dung 3
A. Ôn tập lý thuyết 3
B. Rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán để tìm cách giải 5
I. Bài toán về thiết lập phương trình đường thẳng 5
1. Viết phương trình đường thẳng khi xác định được một điểm
và chỉ phương hoặc pháp tuyến…………………………. 5
2. Viết phương trình đường thẳng theo hệ số góc …………… .9
II. Bài toán xác định điểm nhờ phương trình đường thẳng……. 10
1. Xác định điểm nhờ tương giao của hai đường thẳng……… 10
2. Xác định điểm nhờ công thức tính và véc tơ……… ……… 14
C. Một số bài toán để học sinh tự giải 17
D. Theo dõi đánh giá kết quả 18
Phần 3: Kết luận 19
Tài liệu tham khảo:
Các tài liệu sử dụng và tham khảo:
- Sách giáo khoa, sách bài tập lớp 10
- Ôn tập toán 10
- Bộ đề tuyển sinh vào các trường Đại học Cao đẳng
- Đề thi vào Các trường Đại học Cao đẳng của một số năm.
1
Phần 1: ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong quá trình giảng dạy môn toán ở lớp 10; ôn tập cho học sinh lớp 12
và ôn luyện thi vào Đại Học- Cao Đẳng, Ở phần Phương pháp toạ độ trong mặt
phẳng, tôi thấy nhiều em không làm được những bài tập hoặc chỉ làm được
những bài có tính chất áp dụng công thức đơn thuần. Những bài có tính chất
tổng hợp thì không phân tích được bài toán nên không tìm được hướng giải, mặc

dù đã được ôn lại lý thuyết. Trong khi đó bài toán về toạ độ trong mặt phẳng lại
là một vấn đề quan trọng trong chương trình và luôn có mặt trong các đề thi vào
các trường Đại học-Cao Đẳng của cả ba khối thi A,B,D nên cần ôn tập tốt vấn đề
này.
Khi thực hiện ôn tập thấy các em gặp nhiều khó khăn và kết quả thu được không
tốt mà nguyên nhân là:
- Thời gian còn lại cho ôn tập không đủ thời gian cần thiết cho khối lượng
kiến thức cần ôn tập.
- Trong chương trình toán phổ thông; phần “Phương pháp toạ độ trong mặt
phẳng” các em được học ở lớp 10; cả năm lớp 11, cả năm lớp 12 không được gặp
lại. Trong một thời gian dài không học nên khi ôn tập các em gần như đã quên
hết. Hơn nữa khi học phần này ở lớp 10, chương trình Sách Giáo Khoa do thời
lượng ít nên chưa đề cập được hết các vấn đề mà chỉ dừng lại ở vận dụng và áp
dụng công thức, chỉ giải được những bài toán đơn giản; chưa chú ý đến tự bồi
dưỡng kiến thức, khi gặp bài toán có tính chất tổng hợp, khó hơn thì không phân
tích được bài toán, không thấy được quan hệ giữa hình học phẳng thuần túy và
tọa độ trong mặt phẳng, không thể chuyển bài toán tọa độ sang bài toán hình học
thuần túy để tìm được cách giải.
Chính vì vậy rút kinh nghiệm từ vấn đề này tôi đã thực hiện bồi dưỡng,
hướng dẫn và rèn luyện cho các em làm quen với kỹ năng phân tích, tìm phương
2
pháp giải bài toán bằng phương pháp tọa độ ngay sau khi dạy xong lý thuyết
“Phương trình đường thẳng” ở lớp 10.
Việc rèn luyện kỹ năng phân tích tìm phương pháp giải bài toán phương
trình đường thẳng được thực hiện trên cơ sở củng cố phân loại các dạng và thông
qua các bài toán cụ thể với thời gian ba tiết học, cùng với việc các em tự giải các
bài tập khác.
Sau khi thực hiện vấn đề này qua nhiều khóa học, với nhiều lớp tôi thấy
kết quả học tập của các em tốt hơn nhiều khi học phần “Tọa độ trong không
gian”so với những lớp để khi học xong mới ôn tập. Các em tiếp thu dễ dàng hơn

và có kết quả học tập tốt hơn. Vì thế tôi nêu vấn đề này lên đây để cùng các bạn
đồng nghiệp bàn luận và tham khảo, bổ sung cho hoàn thiện hơn!
Phần 2: NỘI DUNG THỰC HIỆN
Kinh nghiệm này tôi đã thực hiện ngay sau khi học xong phương trình
đường thẳng trong mặt phẳng ở chương trình toán lớp 10 Trung học phổ thông
cụ thể:
- Ôn tập về viết các dạng phương trình đường thẳng trong mặt phẳng.
- Hướng dẫn rèn luyện kỹ năng phân tích tìm cách giải thông qua các ví
dụ, các bài toán ở các dạng viết phương trình đường thẳng; xác định toạ độ
điểm…
- Một số bài toán chọn lọc để các em tự giải.
A. CỦNG CỐ LÝ THUYẾT
ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
Sau khi học xong bài phương trình của đường thẳng thì cho các em ôn tập,
rèn luyện kỹ năng giải các loại bài toán có liên quan đến đường thẳng.
Cần củng cố lại các vấn đề sau:
3
- Phương trình của đường thẳng đi qua điểm
0 0
( ; )M x y
có véc tơ pháp
tuyến
( ; )n A B=
r
là:
0 0
( ) ( ) 0 0A x x B y y Ax By C− + − = ⇔ + + =
với
0 0
C Ax By= − −

:
2 2
0A B+ >
- Phương trình của đường thẳng đi qua điểm
0 0
( ; )M x y
có véc tơ chỉ
phương
( ; )u a b=
r
là:
0
0
x x at
y y bt
= +


= +

với
t R∈
;
2 2
0a b+ >
hoặc
0 0
x x y y
a b
− −

=
với
0ab ≠
- Phương trình đường thẳng cắt trục Ox tại A(a; 0) cắt trục Oy tại B(0; b)
có phương trình là:
1
x y
a b
+ =
;
0ab ≠
- Phương trình của đường thẳng d đi qua điểm
0 0
( ; )M x y
có có hệ số góc k
có phương trình: y = k(x – x
0
) + y
0
. (
α
là góc tạo bởi đường thẳng và tia Ox thì
k = tan
α
).
Trường hợp không tồn tại k (khi
0
90
α
=

) thì d có phương trình: x – x
0
= 0.
Nên khi viết phương trình đường thẳng ở dạng này thì cần xét cả hai
trường hợp.
- Đường thẳng d: Ax + By + C = 0; d’: A’x + B’y + C = 0; d và d’ tạo với
nhau góc
α
ta có:
2 2 2 2
' '
tan ; ; ' ; ' 0
1 ' '
' '
cos 0; ' 0
' '
k k A A
k k BB
kk B B
AA BB
khi B B
A B A B
α
α
−

= = − = − ≠

+



+
= = =

+ +

Hay
·
' '
tan( ; ')
' '
AB A B
d d
AA BB
−
=
+
(góc định hướng
·
( ; ')d d
)
4
Cần lưu ý: véc tơ pháp tuyến
n
r
chỉ phương
u
r
của một đường thẳng thì
. 0u n =

r r

( ; ) ( ; )u a b n b a⇔ ⇒ −
r r
Từ vấn đề này ta thấy muốn viết phương trình của một đường thẳng phải:
- Tìm được một điểm của đường thẳng. Điểm này hoặc đã cho; hoặc là giao
điểm của hai đường thẳng khác…
- Tìm véc tơ chỉ phương hoặc véc tơ pháp tuyến; nó thường được xác đinh
bằng hai điểm phân biệt: nằm trên đường thẳng song song hoặc vuông góc
với đường thẳng khác cho trước.
Cần làm thành thạo một số bài toán cơ bản sau:
- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt
- Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường
thẳng khác
- Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường
thẳng khác.
B. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH BÀI TOÁN ĐỂ TÌM
CÁCH GIẢI
Việc rèn luyện kỹ năng này được thực hiện thông qua một số bài tập sau:
I. BÀI TOÁN VỀ THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:
1. Viết phương trình đường thẳng khi xác định được một điểm và chỉ
phương hoặc pháp tuyến
Bài 1: Viết phương trình cạnh AB của tam giác ABC biết đỉnh C(3; 5), đường
cao và trung tuyến cùng xuất phát từ đỉnh A lần lượt nằm trên hai đường thẳng
d
1
: 5x + 4y- 1 =0; d
2
: 8x + y - 7 = 0.
Để giải bài toán trước hết coi như tam giác ABC đã xác định (nên vẽ hình)

Vẽ tam giác ABC, có đường cao AH và trung tuyến AM.
5
Tìm một điểm của đường thẳng AB? là đỉnh A xác định qua giao điểm
của d
1
và d
2
.
AB không song song hay vuông góc với đường thẳng nào.
Vì thế tìm véc tơ chỉ phương bằng việc tìm
thêm một điểm khác điểm A.
Từ giả thuyết : cạnh BC đi qua C vuông góc d
1

cắt d
2
tại M; vì d
2
là trung tuyến nên M là trung
điểm BC. B đối xứng C qua M. Ta chọn đỉnh B.
Trên cơ sở phân tích này các em trình bày lời giải :
Toạ độ đỉnh A:
5 4 1 0 1
(1; 1)
8 7 0 1
x y x
A
x y y
+ − = =
 

⇔ ⇒ −
 
+ − = = −
 
Cạnh BC đi qua C(3; 5) vuông góc d
1
nên phương trình BC:
4(x-3)-5(y-5)=0
⇔
4x – 5y + 13 = 0
Toạ độ điểm M:
1
4 5 13 0
2
8 7 0
3
x y
x
x y
y

− + =
=


⇔
 
+ − =



=


1
( ;3)
2
M⇒
M là trung điểm BC ta có:
2
3 1
( 2;1)
2 5 6
B C M
B
B C M B
x x x
x
B
y y y y
+ =
+ =


⇔ ⇒ −
 
+ = + =


( 3;2)AB = −
uuur

là chỉ phương của AB
Phương trình AB: 2(x - 1) + 3(y +1) = 0
⇔
2x + 3y +1 = 0
Bài 2: Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết đỉnh A(1;4), đường
cao thuộc đỉnh B, trung tuyến thuộc đỉnh C lần lượt nằm trên hai đường thẳng
d
1
: 2x - 3y + 12= 0; d
2
: 5x + 6y - 13 = 0.
Để giải bài toán trước hết coi như tam giác ABC đã xác định (nên vẽ hình)
Vẽ tam giác ABC, có đường cao BB’ và trung tuyến CM.
Phân tích bài toán ta thấy:
d1
d2
0
B(-2;-1)
C(3;5)
A(1;-1)
2
H
M
6
- Khác bài toán trên là biết đường cao và trung tuyến không cùng thuộc
một đỉnh
- Tìm một điểm và chỉ phương dẫn tới tìm B hoặc tìm C; Ở đây C xác định
được vì C nằm trên d
2
và AC xác định được vì AC đi qua Avuông góc với d

1
.
Điểm B trên d
1
và đối xứng với A qua M
Từ sự phân tích này mà có các bước giải:
- Cạnh AC đi qua A vuông góc d
1
Phương trình AC: 3(x- 1) +2(y- 4)= 0
3 2 11 0x y⇔ + − =
toạ độ C:
3 2 11 0 5
(5; 2)
5 6 13 0 2
x y x
C
x y y
+ − = =
 
⇔ ⇔ −
 
+ − = = −
 
-
B thuộc d
1
2 12
( ; );
3
t

B t t R
+
⇒ ∈
. M thuộc d
2

13 5 '
( '; ); '
6
t
M t t R
−
⇒ ∈
Vì M là trung điểm AB
2 ' 1
13 5 ' 2 12
2. 4
6 3
t t
t t
− =


⇒
 − +
− =


3 ( 3;2)t B⇒ = − ⇒ −
(8; 4)BC⇒ = − ⇒

uuur
đường thẳng BC có pháp tuyến
(1;2)n =
r
Phương trình cạnh BC: (x + 3) + 2(y -2 ) = 0 hay x + 2y – 1 = 0.
Bài 3: Viết phương trình cạnh AC của tam giác ABC biết đỉnh C(4; 3), phân giác
và trung tuyến kẻ từ B lần lượt nằm trên hai đường thẳng d
1
: x + 2y – 5 = 0;
d
2
: 4x + 3y – 10 = 0
Để giải bài toán trước hết coi như tam giác ABC đã xác định (nên vẽ hình)
Vẽ tam giác ABC, có phân giác BD và trung tuyến BM.
Phân tích bài toán ta thấy:
Đỉnh B là giao điểm của d
1
và d
2
d
2
d
1
B
C
A(1;4)
M
B'
7
d

2
d
1
B
C(4;3)
A
D
C'
M
Cạnh AC đi qua C và cắt d
2
tại M
M là trung điểm của AC nên việc tìm chỉ phương
của AC là tìm M hoặc A
Theo tính chất đường phân giác. C’ đối xứng C qua d
1
thì C’ nằm trên AB
Gọi I là giao điểm của BD và CC’ thì IM song song BC’, từ đó xác định M.
Từ sự phân tích này mà có các bước giải:
- Toạ độ đỉnh B:
2 5 0 1
(1;2)
4 3 10 0 2
x y x
B
x y y
+ − = =
 
⇔ ⇒
 

+ − = =
 
- C’ đối xứng C qua d
1

1
'CC d⇒ ⊥
tại I ;
- phương trình CC’: 2(x - 4) – (y - 3 ) = 0
2 5 0x y⇔ − − =
toạ độ I:
2 5 0 3
(3;1)
2 5 0 1
x y x
I
x y y
− − = =
 
⇔ ⇒
 
+ − = =
 
vì I là trung điểm CC’
'(2; 1)C⇒ −
;
' (1; 3)BC = −
uuuur
là chỉ phương của IM
:3( 3) ( 1) 0IM x y⇒ − + − = ⇔

3x + y – 10 = 0
Toạ độ M:
3 10 0 4
(4; 2)
4 3 10 0 2
x y x
M
x y y
+ − = =
 
⇔ ⇒ −
 
+ − = = −
 
(0; 5)CM = −
uuuur
là chỉ phương của AC
⇒
phương trình AC: x – 4 = 0
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác cân ABC, cạnh đáy BC nằm
trên đường thẳng d: 3x-y+5=0, cạnh AB nằm trên đường thẳng d’: x+2y-1=0.
Cạnh AC đi qua M(1;-3). Viết phương trình cạnh AC.
Nhận xét: vẽ tam giác cân ABC đỉnh A, xác định các yếu tố bài toán.
Cạnh AC đi qua M. Để viết phương trình AC
cần tìm chỉ phương của AC ta tìm A hoặc C
kẻ đường cao AH thì AH là trục đối xứng của tam giác
Gọi N là điểm đối xứng với M qua AH thì N trên AB và
MN song song BC; MN cắt AH tại I; IM = IN.
d
2

d
1
I
B
C
H
A
M
N
8
Vậy AH đi qua I và vuông góc BC
A là giao điểm của AH và d
2
.
Từ sự phân tích này mà hình thành cách giải.
Lời giải: Đường thẳng MN đi qua M song song BC
có phương trình: 3(x-1) – (y+3) = 0 hay 3x – y – 6 = 0
MN cắt AB tại N nên toạ độ N là nghiệm của hệ
13
3 6 0
13 3
7
( ; )
2 1 0 3
7 7
7
x
x y
N
x y

y

=

− − =


⇔ ⇒ −
 
+ − =


= −


. I là trung điểm MN
10 12
( ; )
7 7
I⇒ −
Vì tam giác ABC cân đỉnh A nên AI vuông góc BC; AI có phương trình:
10 12 26
( ) 3( ) 0 3 0 7 21 26 0
7 7 7
x y x y x y− + + = ⇔ + + = ⇔ + + =
AB cắt AI tại A => toạ độ A là nghiệm của hệ:
73
7 21 26 0
73 33
7

( ; )
2 1 0 33
7 7
7
x
x y
A
x y
y

=

+ + =


⇔ ⇒ −
 
+ − =


= −


66 12
( ; )
7 7
MA⇒ = −
uuur
cạnh AC có véc tơ chỉ phương là
7

(11; 2)
6
u MA= = −
r uuur
=> phương trình AC:
2(x-1) + 11(y+3) = 0
⇔
2x + 11y +31 = 0.
2. Viết phương trình đường thẳng theo hệ số góc
Bài 1 : (Xét lại bài toán 4 ở trên)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác cân ABC, cạnh đáy BC nằm trên
đường thẳng d: 3x-y+5=0, cạnh AB nằm trên đường thẳng d’: x+2y-1=0. Cạnh
AC đi qua M(1;-3). Viết phương trình cạnh AC.
9
Nhận xét: Tam giác ABC cân đỉnh A nên:
·
·
ABC ACB=
tan( ; ) tan( ; )BC BA CA CB⇒ =
Giả sử AC nằm trên đường thẳng ax + by + c = 0 ; (a
2
+ b
2
> 0)
Ta có
( 1) 3 3
tan( ; )
3 3
a b a b
CA CB

a b a b
− − − −
= =
− −
;
3.2 ( 1).1
tan( ; ) 7
3.1 2.1
BC BA
− −
= =
−
3 7(3 ) 22 4 11 2a b a b a b a b⇒ − − = − ⇔ = ⇔ =
Vì a
2
+ b
2
> 0 => ta chọn a = 2 => b = 11
Khi đó phương trình AC: 2x + 11y + c = 0 . AC đi qua M => 2 – 33 + c = 0
=> c = 31. Vậy phương trình AC : 2x + 11y + 31 = 0
Qua đây ta thấy cách giải này ngắn gọn hơn.
Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm M(1;-3), A(5;1), B(-3;-2)
Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cách đều A, B
Giải : Đường thẳng d đi qua M có dạng:
Trường hợp 1: d: x = 1 khi đó
( ; ) 5 1 4; ( ; ) 3 1 4d A d d B d= − = = − − =
thoả mãn
Trường hợp 2: d có hệ số góc k là y = k(x-1) + 3 = 0
3 0kx y k⇔ − − + =
Ta có:

2 2
5 1 3 4 2
( ; )
1 1
k k k
d A d
k k
− − + +
= =
+ +
;
2 2
3 2 3 4 5
( ; )
1 1
k k k
d b d
k k
− + − + − +
= =
+ +
d(A;d) = d(B;d)
3
4 2 4 5
8
k k k⇔ + = − + ⇔ = −

3 21
:
8 8

d y x⇒ = − +
Vậy phương trình của d: x – 1 = 0; hoặc 3x + 8y – 21 = 0
II. BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐIỂM NHỜ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG
THẲNG
Đây là loại bài toán gặp nhiều ở các đề thi Đại Học, Cao Đẳng. Phương pháp
giải loại này ngoài việc sử dụng kiến thức về đường thẳng còn sử dụng nhiều đến
10
các phép tính; các phép toán toạ độ của véc tơ. Vì thế đòi hỏi các em phải có kỹ
năng tốt về các phép tính, biết vận dụng linh hoạt tính chất hình học.
Việc rèn luyện kỹ năng được tiến hành thông qua giải các dạng bài tập sau:
1. Xác định điểm nhờ tương giao của hai đường thẳng
Để xác định điểm trong mặt phẳng ta đưa về tìm giao điểm của hai đường
thẳng xác định nào đó, các đường thẳng này hoặc đã cho trực tiếp trong đề bài
hoặc có thể lập được phương trình nhờ các điều kiện đã cho trước bằng các
phương pháp lập phương trình đường thẳng.
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác
ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d
1
: x - 4y- 2 = 0.
Cạnh BC song song với d
1
, phương trình đường cao BB’
d
2
: x + y + 3 = 0 ; M(1;1) là trung điểm cạnh AC.
Tìm toạ độ đỉnh A, B, C.
Trước khi giải bài toán ta phân tích trên cơ sở giả sử đã
có kết quả. Vẽ hình minh hoạ:
Vẽ tam giác ABC có A trên d
1

, BC// d
1
; đường cao BB’,M là trung điểm AC.
Ta thấy: Cạnh AC xác định vì đi qua M và vuông góc d
2
.
Đỉnh A xác định vì là giao điểm của d
1
và AC
Đỉnh C xác định vì đối xứng với A qua M.
Đỉnh B là giao điểm của d
2
và BC. BC đi qua C và song song d
1
.
Từ sự phân tích này mà rèn luyện kỹ năng tìm phương pháp giải.
Lời giải:
Cạnh AC đi qua M vuông góc d
2
nên có phương trình:
d
2
d
1
B
C
A
B'
M
11

(x-1)-(y-1) = 0 hay x-y = 0.A trên d
1
nên toạ độ A là nghiệm của hệ:
2
0
2 2
3
( ; )
4 2 0 2
3 3
3
x
x y
A
x y
y

= −

− =


⇔ ⇒ − −
 
− − =


= −



M là trung điểm AC
8 8
( ; )
3 3
C⇒
. Cạnh BC đi qua C và song song d
1
nên có
phương trình:
8 8
( ) 4( ) 0 4 8 0
3 3
x y x y− − − = ⇔ − + =
B nằm trên d
2
nên toạ độ B là nghiệm của hệ
4 8 0 4
( 4;1)
3 0 1
x y x
B
x y y
− + = = −
 
⇔ ⇒ −
 
+ + = =
 
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao kẻ
từ B, phân giác tronh góc A lần lượt có phương trình: d

1
:3x + 4y + 10 = 0;
d
2
: x – y + 1 = 0. Điểm M(0;2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C một
đoạn bằng
2
. Tính toạ độ các đỉnh của tam giác.
Nhận xét:
Để phân tích và tìm cách giải, theo đầu bài
vẽ tam giác ABC , đường cao BB’ phân giác AD
ta thấy:
- A là giao điểm của d
2
và AC; AC
⊥
d
1
, cần
tìm một điểm trênAC?
lấy M’ đối xứng M qua d
2
=> M’ trên AC
- A, M là hai điểm trên AB => AB xác định; AB cắt BB’ tại B.
- C trên AC và cách M một đoạn bằng
2
12
2
d
2

d
1
I
B
C
A
D
B'
M
M'
Qua phân tích trên dẫn tới cách giải:
Lời giải:
Gọi M’ là điểm đối xứng M qua d
2
;=> phương trình MM’: x + y – 2 = 0
MM’ cắt d
2
tại I => toạ độ I là nghiệm của hệ:
1
1 0
1 3
2
( ; )
2 0 3
2 2
2
x
x y
I
x y

y

=

− + =


⇔ ⇒
 
+ − =


=


=> M’(1; 1)
- Cạnh AC đi qua M’ vuông góc d
1
=> có phương trình:
4(x-1) - 3(y-1) = 0
⇔
4x – 3y – 1 = 0 .
AC cắt d
2
tại A. Toạ độ A là nghiệm của hệ:
4 3 1 0 4
(4;5)
1 0 5
x y x
A

x y y
− − = =
 
⇔ ⇒
 
− + = =
 
- Cạnh AB đi qua M có chỉ phương
(4;3)MA =
uuur
. AB có phương trình:
3x – 4(y-2) = 0 hay 3x – 4y + 8 = 0
Cạnh AB cắt d
1
tại B .
Toạ độ B là nghiệm của hệ:
3
3 4 8 0
1
( 3; )
1
3 4 10 0
4
4
x
x y
B
x y
y
= −


− + =


⇔ ⇒ − −
 
+ + =
= −



- Điểm C trên AC
⇒
2
2
4 1 4 1
( ; ); 2 2 2
3 3
t t
C t MC t
− −
 
= ⇔ + − =
 ÷
 
2
31
25 56 31 0 1;
25
t t t t⇔ − + = ⇔ = =

⇒

(1;1);C
hoặc
31 33
( ; )
25 25
C
vậy A(4;5); B(
1
3;
4
− −
); C(1;1) hoặc
31 33
( ; )
25 25
C
.
Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam
giác ABC biết rằng hình chiếu của đỉnh C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1),
13
đường phân giác trong của góc A và đường cao kẻ từ B lần lựơt nằm trên hai
đường thẳng d
1
:x -y+ 2 = 0, d
2
:4x + 3y – 1 = 0.
Để tìm lời giải bài toán ta coi tam giác ABC đã xác

định, vẽ tam giác ABC có đường cao CH; đường cao
BK; phân giác AD của tam giác ABC. Việc tìm đỉnh
C là tìm giao của cạnh AC và CH
- Tìm AC: AC vuông góc d
2
ta cần tìm một điểm
nữa trên AC.
Ta có : H trên AB, H’ đối xứng H qua d
1
thì H’ thuộc AC.
Vậy AC đi qua H’ và vuông góc d
2
.
- Khi xác định được AC; AC cắt d
1
tại A, véc tơ
AH
xác định
- Tìm CH: CH đi qua H có pháp tuyến
AH
Qua phân tích này mà hình thành các bước giải:
Giải:
Gọi H’(a;b) đối xứng H qua d
1
⇒
H’
AC∈
;
1
' dHH ⊥

tại trung điểm I của HH’.Vậy
phương trình HH’: x + y + 2 = 0
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ:



=+−
=++
02
02
yx
yx
)1;3(')0;2(
0
2
−⇒−⇒



=
−=
⇒ HI
y
x
AC đi qua H’ và vuông góc d
2
nên AC có phươg trình: 3(x+3) - 4(y-1) = 0
hay 3x – 4y + 13 = 0.
Tọa độ A là nghiệm của hệ:




=+−
=+−
02
01343
yx
yx
)7;5(
7
5
A
y
x
⇒



=
=
⇔
CH đi qua H có pháp tuyến
)4;3(
2
1
=HA
nên có phương trình:
3(x+1)+4(y+1) = 0 hay 3x + 4y +7 = 0
14
D

d
2
d
1
B
C
A
H(-1;-1)
K
H'
Tọa độ C là nghiệm của hệ:







=
−=
⇔



=+−
=++
4
3
3
10

01343
0743
y
x
yx
yx
Vậy
)
4
3
;
3
10
(−C
2. Xác định điểm dựa vào công thức tính và véc tơ
Ngoài việc xác định điểm dựa vào tương giao của hai đường thẳng, còn xác
định điểm dựa vào các công thức tính diện tích tam giác, tính khoảng cách, các
biểu thức toạ độ của véc tơ.Vì thế các em phải phân tích, nhận định dạng bài toán
để tìm lời giải. Thông qua các bài toán sau đây để rèn luyện kỹ năng giải bài cho
học sinh.
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, đỉnh A(1;1) , B(4;-3). Tìm đỉnh
C trên đường thẳng d: x – 2y – 1= 0 sao cho tam giác ABC có diện tích là 15.
Nhận xét: Điểm C cần tìm thuộc d và toạ độ C thoả mãn đẳng thức diện tích.
Vì thế cần lập được biểu thức diện tích tam giác?.
Lời giải: Từ giả thuyết
2 2
(3; 4); 3 ( 4) 5AB AB⇒ = − = + − =
uuur
Diện tích
1 5

: . ( ; ) ( ; ) 15 ( ; ) 6
2 2
ABC
ABC S AB d C AB d C AB d C AB
∆
∆ = = = ⇔ =
- AB đi qua A chỉ phương
AB
uuur
nên có phương trình:
4(x-1) + 3(y - 1) = 0
⇔
4x + 3y – 7 = 0
- C trên d
(2 1; );C t t t R⇒ + ∈
-
3
4(2 1) 3 7
( ; ) 6 11 3 30
27
5
11
t
t t
d C AB t
t
=

+ + −


= = ⇔ − = ⇒

= −

Khi t = 3 => C(7; 3). Khi
27 43 27
( ; )
11 11 11
t C= − ⇒ − −
Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, trọng tâm G(-2;0), cạnh
AB và AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng d: 4x + y + 14 = 0;
d’: 2x + 5y – 2 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác.
15
d'
d
B
C
A
M
G
Vẽ hình xác định bài toán:
- G là trọng tâm, AG là trung tuyến => M là
trung điểm BC.
2AG GM=
uuur uuuur
0GA GB GC⇔ + + =
uuur uuur uuur r
- Có toạ độ A => toạ độ M => toạ độ B,C
hoặc
3

3
A B C G
A B C G
x x x x
y y y y
+ + =


+ + =

Lời giải: Tọa độ A là nghiệm của hệ:
4 14 0
2 5 2 0
x y
x y
+ + =


+ − =

4
( 4;2)
2
x
A
y
= −

⇔ ⇒ −


=

Đỉnh B trên AB => B(t; -14 – 4t); Đỉnh C trên AC => C(1-5t’; t’)
⇒
5 '
3
4 1 6
2
' 0
2 14 4 ' 0
t
t
t
t
t t

= −
− + + − = −


⇔
 
=


− − + =

vậy B(-3; -2) ; C(1; 0)
Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC, độ dài cạnh AB =
5

;
đỉnh C(-1;-1), cạnh AB có phương trình d: x + 2y – 3 = 0. Trọng tâm G của tam
giác nằm trên đường thẳng d’: x + y - 2 = 0. Tìm toạ độ đỉnh A, B.
- Để nhận xét bài toán ta vẽ tam giác ABC,
trọng tâm G, thỏa mãn các yếu tố đã cho
Vì G là trọng tâm, CG cắt AB tại M,
MA = MB =
5
2
;
2GC GM= −
uuur uuuur
. G chia đoạn CM
Theo tỉ số k = -2
Tìm toạ độ M=?, A và B là hai điểm trên d cách M
một đoạn là
5
2
Lời giải:
Gọi M(x;y) là trung điểm AB; M thuộc đường thẳng d nên:
x + 2y – 3 = 0 (1)
16
d
d'
5
G
B
C(-1;-1)
A
M

G là trọng tâm của tam giác
2GC GM= −
uuur uuuur
1 2 1 2
;
1 2 1 2
G G
x y
x y
− + − +
⇒ = =
+ +
vậy
2 1 2 1
( ; )
3 3
x y
G
− −
vì G trên d’
2 1 2 1
2 0 8 0
3 3
x y
x y
− −
⇒ + − = ⇔ + − =
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
2 3 0 5

(5; 1)
4 0 1
x y x
M
x y y
+ − = =
 
⇔ ⇔ −
 
+ − = = −
 
điểm A và B là hai điểm trên d cách M một đoạn là
5
2
( 2 3; ); .A t t t R⇒ − + ∈

ta có
2 2 2
5
(2 2 ) ( 1 )
4
AM t t= + + − − =
2
4 8 3 0t t⇔ + + =
1 3
;
2 2
t t⇒ = − = −
Vậy
1 3 1 3

(4; ); (6; ) (4; ); (6; )
2 2 2 2
A B hay B A− − − −
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình cạnh AB của tam giác ABC biết
đỉnh C(-1;-3), đường trung trực của cạnh BC là : 3x + 2y - 4 = 0 và G(4; -2) là
trọng tâm của tam giác. Đáp số: AB: 5x + 3y – 28 = 0
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có AB = BC, đỉnh A(-2;4); điểm
I(1;3) nằm trên cạnh AC; G(
2 4
;
3 3
−
) là trọng tâm của tam giác. Viết phương trình
cạnh AB, AC. Đáp số: AB: 3x - y + 10 = 0;AC:x + 3y - 10= 0
Bài 3: (Thi ĐHKA-2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các đường
thẳng:
1 2 3
: 3 0; : 4 0; : 2 0d x y d x y d x y+ + = − − = − =
. Tìm toạ độ điểm M nằm
trên đường thẳng
3
d
sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d
1
bằng hai lần
khoảng cách từ M đến đường thẳng d
2
. Đáp số: M(-22; -11) hoặc M(2; 1)
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm

cạnh AB. Trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là
17
7x -2y-3=0 và 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng AC.
Bài 5: (Thi ĐHKB-20010)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC
vuông tại A, đỉnh C(-4;1), phân giác trong góc A có phương trình x + y – 5= 0.
Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh
A có hoành độ dương. Đáp số: BC:3x+4y- 16 = 0
Bài 6: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A(2;2) và hai đường thẳng
d: x + y – 2 = 0; d’: x + y – 8 = 0. Tìm điểm B trên d, điểm C trên d’ sao cho
tam giác ABC vuông cân tại A. Đáp số: B(3;-1); C(5;3) hoặc B(-1;3) ; C(3; 5)
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam
giác ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm
H(-1;-1), đường phân giác trong của góc A có phương trình:
x – y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình: 4x + y – 1 = 0.
Bài 8: (Thi ĐH KA-2009) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ
nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Điểm
M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng
: 5 0x y∆ + − =
. Viết phương trình đường thẳng AB
Bài 9: (Thi ĐHKB-2009) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân
tại A có đỉnh A(-1; 4) và các đỉnh B,C thuộc đường thẳng
: 4 0x y∆ − − =
. Xác
định tọa độ các đỉnh B,C biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Bài 10:(Thi ĐHKB-2011) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng
: 4 0x y∆ − − =
và
: 2 2 0d x y− − =
. Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng d
sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng

∆
tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
D. THEO DÕI ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ SAU THỰC HIỆN
Qua nhiều năm thực hiện bồi dưỡng chuyên đề này cho học sinh tôi thấy kết
quả thu được ở những lớp được học cao hơn nhiều so với những lớp để đến cuối
năm lớp 12 mới học. Kết quả cụ thể cho thấy ở các bài thi học kì tập trung; trong
18
bài có câu về phương trình của đường thẳng, bài toán liên quan đến mặt phẳng
tọa độ thì chỉ có các em ở lớp thực hiện chuyên đề mới làm được, còn các học
sinh khác thì hoặc bỏ không làm hoặc làm sai, và điểm chung toàn bài luôn thấp
hơn, điểm bình quân về môn toán cũng thấp hơn.
Bảng theo dõi kết quả môn toán ở các lớp qua một số năm mà bản thân tôi
thực hiện, cũng như cùng các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn cùng thực hiện:
Năm học
Những lớp thực hiện Những lớp không thực hiện
Lớp Loại khá,giỏi % Lớp Loại khá,giỏi %
2006-2009
12A1 34/47 72% 12A7 11/44 25%
12A2 38/54 70% 12A5 9/41 22%
2007-2010
12B1 43/51 84% 12B5 13/44 30%
12B2 32/47 68% 12B7 14/45 31%
2008-2011
12C3 30/49 61% 12C7 10/42 24%
12C8 28/45 62% 12C9 10/40 25%
2009-2011 10A1 30/46 65% 10A7 12/44 27%
Phần 3: KẾT LUẬN
Vấn đề ứng dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải bài tập toán
là một vấn đề rất cần thiết cho các em trong ôn tập hình ở lớp 10, cũng như ôn
tập để thi vào các trường Đại học, Cao đẳng. Để các em làm tốt bài tập loại này,

trên đây chỉ là một phần rất nhỏ rèn luyện kỹ năng giải bài toán về phương trình
đường thẳng, còn phần về đường tròn, đường Conic chưa xét được. Theo kinh
nghiệm của bản thân, tôi nêu lên một số ý kiến của mình mong được cùng trao
đổi, bổ sung thêm của các đồng nghiệp để hoàn thiện hơn về nội dung; về
phương pháp nhằm thu được kết quả tốt hơn!
Triệu sơn, ngày 25

tháng 4 năm 2012
Người thực hiện

Nguyễn Thị Hương
19