skkn rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình

1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC I
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH
THÔNG QUA VIỆC TRÌNH BÀY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giải bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán, học sinh phải
thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định
nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp,
những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung
và những hoạt động ngôn ngữ.
Việc giải một bài toán là một quá trình mò mẫm, tìm tòi dựa trên hiểu biết
của người giải toán. Có người phải mò mẫm rất lâu, thử hết cách này đến cách
khác, trong khi có người lại có thể tìm được cách giải rất nhanh. Vậy đâu là bí
quyết cho kỹ năng giải toán nhanh gọn và chính xác? Cách rèn luyện chúng như
thế nào? Những con đường mà người giải toán có thể trải qua để đi đến các lời
giải thoả đáng là gì?
Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học chủ yếu
theo hướng hoạt động hoá người học với phương châm "Học tập trong hoạt
động và bằng hoạt động". Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một yêu
cầu của việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
Trong chương trình môn toán,hệ phương trình được đưa vào từ cấp 2 và
xuyên suốt trong chương trình môn toán trường phổ thông. Nó có vai trò quan
trọng và làm cơ sở để nghiên cứu về các kiến thức toán học có liên quan.
Trong chương trình toán THPT,hệ phương trình được thể hiện dưới các
hình thức chủ yếu: Các hệ phương trình thông thường, các hệ phương trình vô tỷ
chứa các hàm lượng giác, các hệ phương trình chứa hàm lôgarit. Việc giải thành

thạo các hệ phương trình thể hiện khả năng lựa chọn công cụ, sự linh hoạt và
sáng tạo trong suy luận và phân tích bài toán.
Mặt khác, thực trạng hiện nay là kỹ năng giải toán của học sinh đang còn
yếu, các em học một cách thụ động, lười suy nghĩ, bắt chước nhiều hơn là sáng
tạo, tư duy logic của các em chưa được rèn dũa, chưa biết tìm tòi, khai thác giả
thiết, xâu chuỗi kiến thức để đi đến tìm hướng giải bài toán,
2
Từ những lý do đã nói trên, với mong muốn góp phần nâng cao chất
lượng dạy và học môn toán, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: "Rèn luyện kỹ năng
giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một số phương pháp giải hệ
phương trình"
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Xác định nội dung và phương pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học
sinh trên cơ sở trình bày các phương pháp giải hệ phương trình, nhằm góp phần
nâng cao hiệu quả của việc dạy và học môn toán.
- Làm rõ các khâu tìm lời giải và giải bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh.
- Xây dựng các phương pháp giải hệ phương trình theo hướng rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh.
- Xây dựng các ví dụ và bài tập vận dụng nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh.
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về lý luận dạy học, phương
pháp dạy học để hiểu rõ tầm quan trọng của việc giải bài tập toán. Nghiên
cứu sách giáo khoa, sách tham khảo về hệ phương trình, để thấy được vị trí
và tầm quan trọng của hệ phương trình, cũng như những vấn đề về nội dung
và phương pháp giảng dạy hệ phương trình.
2. Điều tra quan sát:
+ Thực tiễn dạy học giải hệ phương trình ở trường THPT
+ Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải hệ phương trình.

3
B. NỘI DUNG
Theo tâm lý học thì kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (Khái niệm,
cách thức, phương pháp,…) để giải quyết một nhiệm vụ mới. Thực chất của sự
hình thành kỹ năng là hình thành cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp
các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài
tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể.
Muốn vậy, khi hình thành kỹ năng (chủ yếu là kỹ năng học tập) cho học
sinh cần:
- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm
và mối quan hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bài
tập, các đối tượng cùng loại.
- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến
thức tương ứng.
Chúng ta không thể có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán. Ngay
cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, có trường hợp
không có thuật giải. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suy
nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết.
Sau đây ta có thể nêu phương pháp chung để tìm lời giải các bài toán:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài. Đây là
một yêu cầu quan trọng và quyết định trong việc tìm lời giải bài toán.
Bước 2: Tìm cách giải. Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ
có tính chất tìm đoán: Dựa vào việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài
toán hay liên hệ các giả thiết
Bước 3: Trình bày cách giải. Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các
việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự nhất định
và thực hiện các bước đó.
4
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải. Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả

của lời giải, nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn
đề, từ đó sáng tạo ra bài toán mới
Sau đây tác giả xin giới thiệu một số phương pháp giải Hệ phương trình
I.PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
1.Kỹ thuật biến đổi tương đương
Nội dung: Biến đổi tương đương hệ đã cho, biến đổi rút ra một phương trình
trong hệ là phương trình tích
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
Giải: Biến đổi phương trình (2) ta có:
<=>
<=>
<=>
<=> xy = 1 hoặc x
2
+ y
2
2 = 0
• Với xy = 1 thay vào (1) ta được:
<=>
<=>
<=> x=y ( do xy = 1 nên y )
<=> x = y = 1 hoặc x = y = -1
• Với x
2
+ y
2
2 = 0 <=> x
2
+ y
2

= 2, thay vào (1) ta được:
<=>
<=>
5
<=> x = 2y hoặc x = y thay vào hệ phương trình ta được các
nghiệm (x;y) của hệ là: (1;1), (-1;-1), , .
2.Kỹ thuật cộng đại số
Nội dung: + Đôi khi việc giải hệ phương trình, đơn giản nhất chỉ là cộng hoặc
trừ theo vế hai phương trình.
+ Hoặc nhân vào hai vế của một phương trình với một biểu thức rồi
cộng vào phương trình còn lại.
+ Các cách trên sẽ đưa về một phương trình tích hoặc hằng đẳng
thức, từ đó tìm được mối liên hệ giữa x và y.
+ Các hệ mà 2 phương trình của hệ có dạng tương đương thì trừ 2 vế
của hệ, hoặc cộng 2 vế của hệ sẽ được nhân tử chung( áp dụng cho hệ đối xứng
loại 2)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
Giải: Từ 2 phương trình của hệ suy ra hệ có nghiệm nếu x, y
Trừ vế cho vế của (1) và (2) ta được:
<=>
<=> hoặc
• Nếu , khi đó ta được hệ: <=>
6
• Nếu , khi đó ta có hệ:
Từ x suy ra để hệ có nghiệm thì phương trình thứ nhất phải có
nghiệm . Do đó là nghiệm duy nhất của hệ này.
Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là: (0;0), (1;1).
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình:

Giải: Trừ vế cho vế của (1) và (2) ta được:

<=>
<=>
<=>
<=> hoặc
- Với thay vào (2) ta được: phương trình này vô
nghiệm.
- Với thay vào (2) ta được: <=>
y = .
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm (x;y) là: ,
.
7
Nhận xét: Ở ví dụ 3, nếu giải thông thường bằng cách rút y từ phương trình
(2) thế vào phương trình (1) thì ta sẽ thu được một phương trình bậc 4 không
đặc biệt, giải khó khăn hơn. Vì vậy việc đưa về phương tích là hợp lý và nó
khẳng định tính hiệu quả của phương pháp này đối với các hệ có dạng tương tự.
3.Kỹ thuật nhân, chia 2 vế với cùng một biểu thức hoặc nhân, chia 2 vế của 2
phương trình với nhau
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
Giải: Nhận xét: x = y = 0 là một nghiệm của hệ phương trình
Với x 0 và y hoặc x và y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình
Ta xét x > 0 và y : Chia 2 vế của (1) cho và chia 2 vế của (2)
cho ta được:
<=>
Nhân theo vế các phương trình (3), (4) ta được:
<=>
<=>
<=> <=>
thay vào (4) ta được =>
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: (0;0), ( ; ).
4.Kỹ thuật thế

8
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:
Giải: Nhận thấy , không là nghiệm của hệ, xét khi đó rút
từ (1) thế vào (2), ta được:
<=> <=>
<=>
Vậy hệ có 3 nghiệm (x;y) là: (0; ), ( ; 0).
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:
Giải: Thay từ phương trình (1) vào phương trình (2), ta được:
<=>
<=>
• Với <=> khi đó hệ trở thành
Hệ này vô nghiệm
• Với khi đó hệ trở thành <=>
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = ( -2;-1).
9
II.PHƯƠNG PH ÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Áp dụng cho hệ có số hạng chung xuất hiện ở các phương trình trong hệ
1.Kỹ thuật giải hệ đối xứng loại 1
Hệ có chứa các biểu thức: xy, x+y
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình:
Giải: Đặt S = , P = . Khi đó hệ trở thành:
<=> <=> <=> <=>
Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y) là: (2;0), (0;2).
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình:
Giải: Đặt , . Khi đó hệ trở thành:
Đặt S = , P = , khi đó hệ trên trở thành:
<=> <=> <=>
<=>
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: (64;8), (8; 64).

10
2. Kỹ thuật giải hệ đẳng cấp bậc hai
Nội dung: Xét xem hệ phương trình có nghiệm hay không.
Xét khi đó đặt
Ví dụ 9: Giải hệ phương trình:
Giải: Nhận thấy là một nghiệm của hệ. Xét , đặt khi đó
hệ trở thành <=>
Từ đó suy ra <=>
<=>
• Với => <=>
• Với => <=>
Vậy hệ có 5 nghiệm (x;y) là: (0;0), ,
3. Kỹ thuật biến đổi và đặt ẩn phụ
Thường thì đề thi đại học cho hệ giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ nhưng ta
không thể thấy ngay được nên đặt cái gì. Vì vậy phải biến đổi như nhân hoặc
chia với một biểu thức của biến nào đó( chẳng hạn như x, y, x
2
, x
3
, xy, ) sau đó
mới đặt ẩn phụ được.
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình:
11
Giải: Nhận xét: là nghiệm của phương trình
Với không thỏa mãn hệ phương trình.
Xét : Chia 2 vế của (1) cho x và chia 2 vế của (2) cho ta được:
<=>
Đặt ; . Ta có hệ phương trình:
<=>
• Với <=> <=> <=>

• Với <=> <=> <=>
<=>
• Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: (0;0), (1;1).
Ví dụ 11: Giải hệ phương trình:
Giải:
Điều kiện:
Với điều kiện trên, hệ phương trình tương đương với:
12

Đặt . Khi đó ta có hệ phương trình:
<=>
• Với <=> <=>
• Với <=> <=>
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm (x;y) là: (2;1), ( ; )
III.PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
1.Kỹ thuật dùng tính đơn điệu của hàm số
Nội dung: Biến đổi một phương trình của hệ thành .
Nếu chứng minh được hàm số đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm trên miền
xác định của hệ thì phương trình tương đương với lúc này
ta thế ngược lại hệ đã cho.
Ví dụ 12: Giải hệ phương trình:
Giải: Điều kiện:
13
Đặt , khi đó phương trình (1) trở thành:
Xét hàm số trên miền xác định, ta có nên
đơn điệu trên miền xác định. Do đó <=>
<=> .
Thay vào phương trình (2) ta suy ra , .
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 13: Giải hệ phương trình:

Giải: Điều kiện:
Phương trình (2) tương đương với: (3)
Xét hàm số trên miền xác định có
Do đó hàm số luôn đồng biến. Từ (3) suy ra hay thay
vào phương trình (1) ta được phương trình:
( với )
*Xét ta có:
<=>
<=>
<=>
Do với mọi
*Xét ta có:
<=>
14
<=>
<=>
Do với mọi
• Với
• Với
Vậy hệ có 2 nghiệm
2. Kỹ thuật sử dụng điều kiện có nghiệm của hệ phương trình.
Ví dụ 14: Giải hệ phương trình:
Giải:
Coi (2) là phương trình bậc 2 với ẩn là x thì điều kiện để phương trình này có
nghiệm là <=> .
Cũng coi (2) là phương trình bậc hai với ẩn là y thì điều kiện để phương trình
này có nghiệm là <=> .
Nhận thấy , không là nghiệm của hệ. Ta chia 2 vế của (1) cho xy
=> <=> ( Với )
Ta có: => đồng biến

=>
Vậy Thay vào (2) thấy thỏa mãn.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = ( 2; 1).
15
Ví dụ 15: Giải hệ phương trình:
Giải: Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có:
<=> => .
Khi đó từ phương trình thứ nhất ta suy ra . Vậy .
Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được:
(*)
Xét phương trình (*):
i).Với thì =>
=> , từ đó suy ra , hệ vô nghiệm.
ii).Với => =>
=> , từ đó suy ra , hệ vô nghiệm.
iii).Với => .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = ( 1; 1).
3. Kỹ thuật sử dụng BĐT cổ điển.
Nội dung: Thông thường ta hay sử dụng các BĐT thông dụng như BĐT
Cauchy, Bunhiacopski để đánh giá hai vế của một PT. Từ đó sử dụng điều
kiện xảy ra dấu bằng của các BĐT thức để tìm nghiệm của PT.
Ví dụ 16: Giải hệ phương trình:
Giải:
Điều kiện:
16
Với điều kiện trên hệ tương đương với:
<=> <=>
Từ đây suy ra
Ta có:
.

Từ đó suy ra: 16
<=>
<=>
Thử lại thấy thỏa mãn phương trình trên.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = .
IV.KIỂM CHỨNG SƯ PHẠM
1. Mục đích kiểm chứng sư phạm
-Vận dụng phương pháp tìm lời giải bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh thông qua hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình.
-Kiểm nghiệm tính hiệu quả của việc sử dụng các ví dụ trong các phương
pháp giải hệ phương trình nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
2. Nội dung kiểm chứng sư phạm
Kiểm chứng sư phạm tiến hành trong khoảng thời gian giảng dạy môn toán
lớp 12 trường THPT Hậu Lộc 1 năm học 2012-2013.
17
3. Tổ chức kiểm chứng sư phạm
* Tác giả chọn đối tượng kiểm chứng là lớp 12A1 với 44 học sinh và lớp
đối chứng là 12A4 với 39 học sinh. Qua điều tra thì thấy trình độ 2 lớp này là
tương đương.
* Tác giả dựa vào các khâu "Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
thông qua hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình", soạn giáo án kiểm
chứng và trực tiếp dạy kiểm chứng sư phạm.
* Cho học sinh lớp dạy kiểm chứng sư phạm và lớp đối chứng làm bài
kiểm tra cùng đề. Chấm bài kiểm tra, thống kê điểm làm cơ sở để đánh giá.
4. Đánh giá kết quả kiểm chứng sư phạm
4.1. Kết quả định tính
Qua các giờ kiểm chứng cho thấy học sinh tiếp thu khá tốt các phương
pháp giải hệ phương trình mà giáo viên đã trình bày. Trong tiết học không khí
học tập sôi nổi và hào hứng.
4.2. Kết quả định lượng

Sau thời gian thực hiện các giờ dạy kiểm chứng, cho hai lớp làm bài
kiểm tra sau đây với thời gian 1 tiết:
Câu 1: Giải hệ phương trình:
Câu 2: Giải hệ phương trình:
Câu 3: Giải hệ phương trình:
Nhận xét cách làm bài của học sinh:
+ Lớp đối chứng có 25 học sinh mắc sai lầm khi sử dụng phép biến đổi
tương đương để biến đổi phương trình thứ nhất của hệ thành phương trình tích
ở câu 1. Lớp kiểm chứng có 8 học sinh mắc sai lầm này
18
+ Câu 2, phần lớn học sinh hai lớp làm đúng
+Lớp đối chứng có 2 học sinh làm đúng câu 3, lớp kiểm chứng có 10 học
sinh làm đúng câu này.
Bảng thống kê và tỷ lệ % (yếu- kém, trung bình, khá- giỏi) thu được sau khi
chấm bài kiểm tra
Bảng 1: Thống kê điểm bài kiểm tra.
Điểm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 số bài
Lớp kiểm chứng 12A
1
2 2 6 8 11 10 3 2 44
Lớp đối chứng 12A
4
1 4 5 7 11 6 4 1 39
* Điểm trung bình bài kiểm tra của lớp kiểm chứng:
X
= 6,73
* Điểm trung bình bài kiểm tra của lớp đối chứng:
Y
= 5,59
Bảng 2: Thống kê tỷ lệ % (yếu - kém, trung bình, khá - giỏi)

Xếp loại(điểm ) Yếu - kém Trung bình Khá -giỏi
Lớp kiểm chứng 12A
1
9,1% (4 bài ) 31,8 %(14 bài) 59,1%(26 bài )
Lớp đối chứng 12A
4
25,6 %(10 bài ) 46,2%(18 bài ) 28,2 %(11 bài )
Qua đó cho thấy chất lượng làm bài kiểm tra của lớp kiểm chứng cao
hơn so với lớp đối chứng. Điều đó chứng tỏ rèn luyện kỹ năng giải bài tập
toán cho học sinh là bước quan trọng và cần thiết.
19
C. KẾT LUẬN
Nội dung Đề tài "Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua
việc trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình ". Qua quá trình
nghiên cứu, từ những kết quả thu được tôi có thể kết luận.
1. Đề tài đã góp phần làm sáng tỏ nội dung: "Rèn luyện kỹ năng giải toán
cho học sinh trong dạy học giải bài tập toán"
2. Đề tài đã xây dựng được một hệ thống các phương pháp giải hệ
phương trình và lớp các ví dụ minh hoạ cho từng phương pháp theo hướng rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
3. Những nghiên cứu lý luận và thực tiễn đã chứng tỏ rằng giả thuyết
khoa học của Đề tài là chấp nhận được.
Thanh Hoá, tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị của mình viết không sao chép
nội dung của người khác
Người viết
Trần Thị Hiếu
20
Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Thái Hoè, Dùng ẩn phụ để giải toán, NXBGD, 2004.
[2] Nguyễn Thái Hoè, Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, NXBGD,
1995.
[3] Phạm Văn Điều (Chủ biên), Phan Đức Chính, Đỗ Văn Hà, Phan Văn Hạp,
Phạm Văn Hùng, Phạm Đăng Long, Nguyễn Văn Mậu, Đỗ Thanh Sơn, Lê
Đình Thịnh, Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp, Tập III,
NXBĐHQGHN, 2000.
[3] Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh Đại số 10, NXĐHQGHN,
1997.
[4] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, NXBĐHSP, 2003
[5] G.Polia, Giải bài toán như thế nào, NXBGD, 1997.
[6] Lê Văn Hồng (Chủ biên), Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thàng, Tâm lý học lứa
tuổi và tâm lý học sư phạm, Hà Nội, 1995.


21