skkn một số phương pháp giải phương trình có chứa căn

GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
MỤC LỤC
MỤC LỤC 1
I.DẠNG (1) 2
1.Ph ng pháp:ươ 2
1.Ph ng pháp:ươ 2
(1) có 2 nghi m ptrình g(x)=3m có 2 nghi m trên mi n [-2;+)1 ( cho kq)ệ ệ ề 3
2.Bài t p:ậ 3
1.Ph ng pháp:ươ 5
2.Bài t p:ậ 6
3.Bi n đ i b ng cách nhân ho c chia 2 v c a p trình cho 1 bi u th c ph r i đ t n ph :ế ổ ằ ặ ế ủ ế ứ ụ ồ ặ ẩ ụ 6


1
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

I.
DẠNG
( ) ( )f x g x=
(1)
1. Phương pháp:
Phương trình (1)
⇔

2
( ) 0
( ) [ ( )]

g x
f x g x
≥


=

Vd1: Giải phương trình:

2
2 5 4x x+ −
= 2x -1 (1)
Giải:
(1)
2 2
2 1 0
2 5 4 (2 1)
x
x x x
− ≥

⇔

+ − = −

( giải hệ trên cho kq)
Vd2:
Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:
2
3 2 4x x m− + −

= x+1 (1)
Giải:
(1)
⇔
2 2
1
3 2 4 ( 1)
x
x x m x
≥ −


− + − = +


2
1
2 4 5
x
x x m
≥ −

⇔

− = −

Dùng bảng bthiên của hsố g(x)= 2x
2
-4x trên [-1;+
∞

)
(1) vô nghiệm
⇔
ptrình g(x)=5-m vô nghiệm trên [-1;+
∞
)
2. Bài tập:
1.Giải phương trình:
1/
2
4x x− +
+2=2x 2/
2
6 6 2 1x x x− + = −
.
3/
4 3. 10 3x− −
=x-2 4/
2
4 3 3 1x x x− + = −

5/
2
4 5 2 1x x x− + = −
6/ (x+1)(x+4) - 5.
2
5 28x x+ +
=0
2.Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:
1.

2
4 3x x x m− + = −
2.
2
4 2 1x x m x− + = −

II.
DẠNG
( ) ( )f x g x=
(1)
1. Phương pháp:
Phương trình (1)
( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x
≥

⇔

=


Vd1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2
2 4 3 1 1x x m x− − + − = −
(1)
2
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh

Giải:
(1)
⇔
2
1
3 2 5
x
m x x
≥


= +

; xét hàm số f(x)=2x
2
+5x trên miền [1;+
∞
)
Lập bảng biến thiên của f trên miền [1;+
∞
)
(1) có nghiệm
⇔
ptrình f(x)=3m có nghiệm trên miền [1;+
∞
)
3m
⇔ ≥
7 ( cho kq)
Vd2: Tìm m để phương trình sau có đúng 2 nghiệm:

2
2 4 3 1 2x x m x− − + − = +
Giải:
(1)
⇔
2
2
3 2 5 3
x
m x x
≥ −


= + +

; xét hàm số g(x)=2x
2
+5x+3 trên miền [-2;+
∞
)
Lập bảng biến thiên của f trên miền [-2;+
∞
)
(1) có 2 nghiệm
⇔
ptrình g(x)=3m có 2 nghiệm trên miền [-2;+
∞
)
1

3
8
m
−
⇔ < ≤
1 ( cho kq)
2. Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình:
1/
2 2
4 3 2 8x x x x− + = + −
2/
2
1 4 5 2x x x− = − −
3/
2
2 1 5 2x x x− = − −

Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
1/
2 2
3 2x mx x x− + = +
2/
2 2
4 3 2 8x x x mx− + = + −
3/
2
1 4 2x x mx− = − −
III.
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG:

1. Phương pháp:
Khi giải một phương trình dạng f(x)=g(x) (1); ta thường biến đổi (1) tương đương đến 1 phương trình
Đã biết cách giải hoặc đơn giản hơn:
Vd1: Giải phương trình:

3 2
4 6x x x− + +
= 2x.
1x +
+2x-2x
2
+(x-1)
2
5 6x x− +
(1)
Giải:
Đk: x
∈
[-1;2]
∪
[3;+
∞
) ; NX: x
3
-4x
2
+x+6=(x+1)(x
2
-5x+6)
(1)

⇔

(
)
( )
2
5 6 2 . 1 1x x x x x− + − + − +
=0

(
)
( )
2
5 6 2 0 1 1 0x x x x x⇔ − + − = ∨ + + − =

•
2
5 6 2x x x− + =
(dạng 1/)
•
1 1x x+ = −
( cho kq)
Vd2: Giải phương trình:
5[
4 1 3 2x x+ − −
] = x+3 (1)
Giải: đk: x
≥
2/3
3

GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
(1)
⇔
5[
4 1 3 2x x+ − −
] = (4x+1) –(3x-2)

⇔
5[
4 1 3 2x x+ − −
] = (
4 1 3 2x x+ − −
).(
4 1 3 2x x+ + −
)

⇔
(
4 1 3 2x x+ − −
=0) hoặc (
4 1 3 2x x+ + −
= 5) (cho kq)
2. Bài tập:
Giải các phương trình:
1/
6 1 2 1x x+ − +
=2 6/
5 3 2 4x x x− + + = +

2/
1 4 1x x+ − − =
7/ 1+
1 6x x− = −
3/
3
2 1 2 1
2
x
x x x x
+
+ − + − − =
8/
5 1 3 2 1 0x x x− − − − − =
4/
2 2 3 3 5x x x+ − − = +
9/
3 4 2 1 3x x x+ − − = +

5/
2 3 5 2x x− + −
- x
2
+4x-6=0 10/
3 7 1x x+ − +
= 2
IV.
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH BẰNG 0:
1. Phương pháp:
Cho phương trình: g(x)=f(x) (1)

Dùng phép biến đổi tương đương để đưa :
(1)
1
( ) 0
n
k
k
f x
=
⇔ =
∏

( )
1
( ) 0f x
⇔ =
∨
….
∨

( )
( ) 0
n
f x
=
với x thuộc miền xác định của (1)
Vd1: Giải phương trình:

( )
3 2

3 3
3 2 1 2x x x x+ + + − +
=1 (1)
Giải:
(1)
⇔
[(x+1)-(x-2)] +
( )
3 2
3 3
3 2 1 2x x x x+ + + − +
= 0
Đặt u=
3
1x +
; v = -
3
2x +
ta có:
(1) thành u
3
+v
3
-u.v(u+v) =0
⇔
(u+v)(u-v)
2
= 0 ( cho kq)
Vd2: Giải phương trình:

2
6 8 8x x− −
+ (x+2).
2 4x −
= x
2
+x-2 +(x-1).
3 2x +
(1)
Đk: x
≥
2; Nx:
2
6 8 8x x− −
=
2 4x −
.
3 2x +
; x
2
+x-2 = (x-1)(x+2)
Đặt u=
2 4x −
; v=
3 2x +
; t= x+2; h=x-1
(1) thành: u.v+ t.u = t.h +h.v do đó: u(t+v)=h(t+v) nên
Hoặc u=h hay t+v= 0 ( cho kq)
2. Bài tập:
Giải phương trình:

1/
2 2
2 8 6 1 2 2x x x x+ + + − = +
2/
( 1) ( 2)x x x x− + +
=2
2
x

3/ 3(x-2).
2 2
1 6x x x− = + −
4/
3 2 1
1
3 2
x x
x x
x
−
− = −
−
5/ 2.
3x +
-1 = 2.
2 1x −
+
2
2 5 3x x+ −
-2x 6/ x+2.

7 x−
= 2.
1x −
+
2
8 7x x− + −
+1 .
4
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
7/ x.
5 3x +
= x
2
-x-2 -
5 3x +
8/ 2.
2
9x −
=(x+5).
3
3
x
x
+
−
9/
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +
10/

23
3 3
1 2 1 3 2x x x x+ + + = + + +
11/
3 32 2
3 3
1x x x x x+ + = + +
12/
4
3 4
3
x
x x
x
+ + =
+
13/
2
16 10 9x x+ −
+5=
8 9x +
+5.
2 1x −
14/ x.
2 x−
=x
2
-x-2 -
2 x−
.

15/
( )
2 3 5 4 3
2 9 3
x x x
x
− + −
+ +
+15=5
2 9x +
16/
2
2x x−
+
2
3x x+
=2x
V.
PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1. Phương pháp:
Khi giải 1 phương trình lượng giác ẩn x đôi khi ta dùng phép biến đổi tương đương để nhân
được phương trình chứa 1 ẩn là biểu thức của hàm số theo biến x, lúc này dùng ẩn số mới ta được 1
phương trình đơn giản hơn.
Vd1: Giải phương trình:
16+
4 3 2 1x x+ + +
=
2
8 10 3x x+ +
+6x (1)

Giải:
Đặt t=
4 3 2 1x x+ + +
thì t
≥
0 và 6x+
2
8 10 3x x+ +
= t
2
-4
(1) tương ứng t
2
-t-20 = 0 ( cho kq)
Vd2: Giải phương trình:
(13-4x)
2 3x −
+(4x-3)
5 2x−
=2+8
2
16 4 15x x− −
(1)
Giải:
Đk: x
3 5
[ ; ]
2 2
∈
.Đặt u=

2 3x −
và v=
5 2x−
thì:
2 2
2
2
. 16 4 15
u v
u v x x

+ =


= − −



Thay vào (1) cho: (2v
2
+3).u+(2u
2
+3)v = 2+8u.v =u
2
+v
2
+8u.v
⇔
2u.v(u+v)+3(u+v)=(u+v)
2

+6uv
⇔
(u+v-3)(2uv-u-v) = 0 Cho ta kq.
Vd3: Giải phương trình:
(x+2)[
2 3 2 1x x+ − +
] +
2
2 5 3x x+ +
=1 (1)
Giải: Đk: x
≥
-1 . Đặt u=
2 3x +
;v=
1x +
thì:
2
2 2
2 2
; 0
. 2 5 3
2 1
2
u v
u v x x
u v
u v x
≥



= + +


− =


− = +


Pt cho: (u
2
-v
2
)(u-2v) + u.v =1 = u
2
–2v
2

⇔
(u+v)[(u-v)(u-2v)-(u-2v)] = 0 cho kq.
5
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
Vd4: Giải phương trình:
x+
x
+
2
1x x x− + −

= 2 (1)
Giải: đk:x
≥
1
Đặt t=
x
+
1x −
thì t
≥
1 và t
2
= 2x-1 +2
( 1)x x −

Thế vào (2) cho: t+
2
1
2
t +
=2 (cho kq)
2. Bài tập:
Giải các phương trình:
1/ x+
2
26 x−
+x.
2
26 x−
=11 2/

3 3
2 1 1
1 2 2
x
x x
+ +
+
=2
3/x+
1 1
2
2 4
x x+ + + =
4/
3 3 3
1 2 2 3x x x− + − = −

5/
2
1 4 3 4 5x x x x+ + − + − + + =
6/ 1+
2
2
1
3
x x x x− = + −

7/
2 2
4 2 3 4x x x x+ − = + −

8/
2 2
3 3 3 6 3x x x x− + + − + =

9/
2 2
3 2x x x x− + − + −
=1 10/
2
2 2 2. 4 2 2x x x x− − + = − − +

11/
2 1 2 1 2x x x x+ − − − − =
12/
2 2 2 2
2 1 2 1 2. 2x x x x x+ − − − − = +

13/
2 2
2 5 2 2. 2 5 6 1x x x x+ + − + − =
14/
2 2
1 1 2x x x x− − + + − =

15/ 2x
2
-9+
2
2 3x x− −
= 4x 16/

2
2 1 2. 2x x x x+ + − + + −
=11-2x .
17/ (x+1)(x-3).
2
2 3x x− + +
=2-(x-1)
2
18/ (x-1)
2
+2(x+1).
3
1
x
x
−
+
= 12
19/
3 2x −
+
1x −
=4x-9+2.
2
3 5 2x x− +
20/ 13x+2(3x+2)
3x +
+42=0
3. Biến đổi bằng cách nhân hoặc chia 2 vế của p trình cho 1 biếu thức phụ rồi đặt ẩn phụ:
Giải các phương trình:

1/ x
2
+2.x
1
x
x
−
=3x+1 2/ x
2
+
3 4 2
x x−
=2x+1
VI.
ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH ĐỀ RA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2:
1. Phương pháp :
Khi gặp phương trình chứa căn f(x)=g(x) (1); ta có thể dùng ẩn phụ hợp lý để đưa (1) về phương trình
bậc hai với ẩn phụ; và phương trình này cho ta biểu diển ẩn mới theo ẩn củ từ đó ta nhận được các phương
trình đơn giản hơn.
Vd1: Giải phương trình:
6x
2
-10x+5 – (4x-1).
2
6 6 5x x− +
=0 (1)
Giải:
6
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh

Đặt t=
2
6 6 5x x− +
thì t
≥
0 và t
2
+6x-5 = 6x
2
; thay vào ptrình ta có:
t
2
-4x –(4x-1).t= 0 (2); coi (2) là ptrình bậc 2 ẩn t có
∆
= (4x-1)
2
+16= (4x+1)
2
Do đó: t= 4x hoặc t = -1 ( cho kq)
Vd2: Giải phương trình:
(3x+2)
2 3x −
= 2x
2
+3x-6 (1)
Giải:
Đặt t=
2 3x −
thì t
≥

0 và 2x=t
2
+3 . Thay vào ptrình:
t
2
– (3x+2)t +2x
2
+x-6 = 0 (2)
Coi (2) là ptrình bậc 2 ẩn t có
∆
=(x+4)
2
nên cho t=2x+3 hay t= x-1
Vd3: Giải phương trình:
x
2
+2(x-1).
2
1x x+ +
-x+2 = 0 (1)
Giải:
(1)
⇔
(x
2
+x+1)+2(x-1).
2
1x x+ +
-2(x-1)-1 = 0
Đặt t=

2
1x x+ +
thì t>0 (1) thành t
2
+2(x-1)t-2x+1 = 0 (1)
Coi (2) là ptrình bậc 2 ẩn t thi cho: t=1 hoặc t=1-2x
Từ đó cho ta kq.
2. Bài tập:
1/ 2(1-x)
2
2 1x x+ −
=x
2
-2x-1 2/(4x-1)
2
1x +
=2x
2
+2x+1 .
3/ (x+1).
2
2 3x x− +
=x
2
+1 4/ (x+3)
2
10 x−
=x
2
–x-12 (d99)

5/
2 2
3 1 ( 3). 1x x x x+ + = + +
6/ x
2
+(3-
2
2x +
).x=1+2.
2
2x +
7/ x(x-2)+
4 4x + =
8/ (2x+5).
2 2
5 6x x x x+ = + +

9/ 2x
2
+3x-5 = (x+1).
2
2x x+ −
10/ x
2
+5x+1=(x+4).
2
1x x+ +

11/ 6x
2

+3x+1=(4x-1).
2
3 4 1x x+ +
12/ x
2
+3x+1 =
2
2 3x +

13/ 4x
2
+22+
3 2x −
=21x 14/ 51.
2x −
=3x
2
-58x+110
15/ x
2
+x.
3 1x −
+2 = 6x 16/ 3.
3x +
=3x
2
+4x-1
VII.
PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP:
1. Phương pháp:

Một trong những cách giải 1 phương trình chứa căn đôi khi ta đoán 1 nghiệm đặc biệt của phương
trình để liên kết lương liên hợp và đưa đến nhân tử chung liên quan đến nghiệm của phương trình:
Vd1: Giải phương trình:
2x
2
-11x+21 =
3
4 4x −
(1)
Giải:
(1)
⇔
(x-3)(2x-5) =3[
3
4 4x −
-2]
7
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh

⇔
(x-3)(2x-5) =
2
3
3
12( 3)
(4 4) 2 4 4 4
x
x x
−

− + − +

a/ x=3 là 1 n
0
b/ 2x-5 =
2
3
3
12
(4 4) 2 4 4 4x x− + − +
(2)
Xét x>3 thì 2x-5>1 còn t=
3
4 4x −
>2 nên t
2
+2t+4>12 hay VP(2) <1 nên (2) không có n
0
>3
Xét x<3 thì 2x-5 <1 còn 0<t
2
+2t+4<1 nên VP(2) >1 ( tt trên )
Vậy: (1) chỉ có 1 n
0
x=3

Vd2: Giải phương trình:

2 33
1 2x x x− + = −

Giải: Đk
3
2x ≥
Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình, nên ta biến đổi phương trình
( )
( )
( )
( )
2
2 3
3
2 3
2 2
3
3
3 3 9
3
1 2 3 2 5 3 1
2 5
1 2 1 4
x x x
x
x x x x
x
x x
 
− + +
+
 
− − + − = − − ⇔ − + =

 
− +
− + − +
 
 
Ta chứng minh:
( )
(
)
2
2
2 2 23 3
3
3 3
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
+ +
+ = + <
− + − + − + +
2
3
3 9
2 5
x x
x
+ +
<
− +

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3
Vd3: Giải phương trình:

2 2
2 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = +
(1)
Giải: Xét phương trình:
2 2
2 9 2 1x x x x+ + = − +
cho ta: x = -4
Ta thấy x=-4 ko là nghiệm của (1) : xét x
≠
-4 thì:
(1)
⇔
2(x+4)=(x+4)[
2 2
2 9 2 1x x x x+ + − − +
]
Do x khác -4 nên có
2 2
2 9 2 1x x x x+ + − − +
=2 (2)
(1) và (2) cho kq .
Vd4: Giải phương trình:

2 2
12 5 3 5x x x+ + = + +
(1)
Giải:

gt cho: x
≥
5/3 (i)
Dùng máy tính nhận x=2 là nghiệm nên biến đổi như sau
(1)
⇔
2
12x +
- 4=3(x-2)+
2
5x +
-3
⇔
(x=2) hoặc (
2 2
2 2
12 4 5 3
x x
x x
+ +
−
+ + + +
-3 = 0)
(2) ko có nghiệm x thỏa (i)
Vd5:Giải phương trình:
8
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh

2 1x −

+x
2
-3x+1 = 0 (1)
Giải: đk:x
≥
1/2; điểm rơi x= 1
(1)
⇔

2 1x −
-x +x
2
-2x+1 = 0
⇔
(x=1) hoặc (
1
2 1x x− +
=1) ( cho kq )
Vd6: Giải phương trình :

2
3 13 3( 2 8 )x x x
+ + + −
=18x-103
Giải: Đk: x
≥
-4
⇔
3 13x +
+3

2 8x
+
= 3x
2
+18x-103
⇔
(
3 13x +
-5) +
18 72x
+
-12) = 3(x-4)(x+10)
⇔
3( 4)
3 13 5
x
x
−
+ +
+
18( 4)
18 72 12
x
x
−
+ +
=3(x-4)(x+10)
⇔
(x=4)
∨

[
1
3 13 5x + +
+
2
2 8 4x + +
-(x+10)=0]
Xét pt
1
3 13 5x + +
+
2
2 8 4x
+ +
-(x+10)=0 (2)
Ta thấy:
x
∀ ≥
-4 thì:
1
3 13 5x + +
+
2
2 8 4x + +
<
1 1 7
5 2 10
+ =
; x+10
≥

6
Do đó: VP ( của (2)) <0 nên (3) không có nghiệm u
≥
-4. Vậy: (1) có nghiệm duy nhất x= 4 .
2. Bài tập
1/
3
4 1 3 2
5
x
x x
+
+ − − =
2/
3(2 2) 2 6x x x+ − = + +
.
3/
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − +
4/
1 4 9x x x x− + = + − +
5/
2 2
3
2 6 3 2( )x x x x x
x
+ + + + + = +
6/
( )
2

2
4.
1 1 2
x
x− +
=2x+9.
7/ x
2
+(3-
2
2x +
).x = 1+2.
2
2x +
8/
1 2
1 2
1 3 1
x
x
=
−
+ +

9/ 2x
2
-11x+21-3.
3
4 4x −
=0 10/

( )
(
)
2 2
3 1 4 3x x x x x+ − + + + +
= 2x
11/
2 4x +
-2.
2 x−
=
2
6 4
4
x
x
−
+
12/x
2
+9x+20=2.
3 10x +
.
13/
2
12x +
+5=3x+
2
5x +
14/

2 3x x− −
=2x-6
15/
3 4 5x x+ − −
+3x
2
-8x-19 = 0 16/
1 3
4 2
x
x x
+
+ +
1 = 0
17/
3 2 9
3 1 3
x x
x
x x
− −
=
+ + +
18/
10 1 3 5 9 4 2 2x x x x+ + − = + + −
19/
2 2 2 2
3 5 1 2 3( 1) 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − +
20/ x
2

+9x+20 = 2.
3 10x +
21/
2 2 2 2
3 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − +
22/
3 2 2 2
3 8 2 15x x x+ + − = −

9
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
23/
2
3
5 1 9 2 3 1x x x x− + − = + −
24/
2
3
6 7 1x x x+ + = − −
VIII.
DÙNG TÍNH ĐẲNG CẤP CỦA MỘT ĐA THỨC 2 ẨN:
1. Phương pháp:
Một biểu thức có dạng: F(u;v)= a
1
.u
n
+a
2
.u

n-1
.v+a
3
.u
n-2
.v
2
+….+a
n
.u.v
n-1
+a
n+1
.v
n
trong đó các
a
k
là hằng số (mọi k) còn u; v là các biến số thì F(u; v) được gọi là biểu thức đẳng cấp bậc n theo u; v
Một phương trình có dạng: a
1
.u
n
+a
2
.u
n-1
.v+a
3
.u

n-2
.v
2
+….+a
n
.u.v
n-1
+a
n+1
.v
n
= 0(u;v là biểu thức
chứa ẩn được gọi là phương trình đẳng cấp bậc n theo ẩn u;v
Vd1: Giải phương trình:

2 2
5 14 9 20 5. 1x x x x x+ + − − − = +
(1)
Giải: đk: x
≥
5.
(1)
⇔

2 2
5 14 9 20 5. 1x x x x x+ + = − − + +

⇔
2x
2

-5x+2=5.

⇔
2(x
2
-4x-5)+3(x+4)=5.
2
( 4 5)( 4)x x x− − +
; do x
≥
5 nên x+4>0 và x
2
-4x+5
≥
0 nên có thể
coi t=
4x +
và u=
2
4 5x x− −
; ta nhận được p trình : 2u
2
+3t
2
= 5.u.t (2)
(2)
⇔
(u=t) hay (2u=3t)
TH1: u=t ta có: x
2

-4x-5= x+4 cho ta kết quả
TH2: 2u=3t ta có 4(x
2
-4x-5)=3(x+4) cho ta kết quả

Vd2: Giải phương trình:

3 2
6 7 2x x x+ + −
= - 2x
2
+2x+22
Giải:
(1)
⇔
2
( 2)( 4 1)x x x+ + −
= -2x
2
+2x+22 Đk: x
[ 5
∈ −
-2;-2]
∪
[
5
-2;+
∞
)
Ta thấy: -2x

2
+2x+22 = 10(x+2) -2(x
2
+4x-1)
(1)
⇔
2
( 2)( 4 1)x x x
+ + −
=10(x+2) -2(x
2
+4x-1) . Ta thấy: x=-2 không là nghiệm phương trình
Với x
≥
5
-2 thì (1) tương ứng 2t
2
+t-10 =0 cho ta t= 2 ;t=-5/2 với t =
2
4 1
2
x x
x
+ −
+

≥
0
Do đó:
2

4 1
2
x x
x
+ −
+
=2
⇔
(x=
5
)
5x
∨ = −
; so đk ta được x=
5

Với x
∈
[ 5 2; 2)
− − −
thì (1) tương ứng 2t
2
–t-10 = 0 cho ta t=-2; t=5/2 với t =
2
4 1
2
x x
x
+ −
+

≥
0
Do đó:
2
4 1
2
x x
x
+ −
+
= 5/2
⇔
4x
2
-9x-54 =0
9 945
8
x
±
⇔ =
; so đk ta được x=
9 945
8
−
Tập nghiệm ptrình S =
9 945
5;
8
 

−
 
 
 
 

Vd3: Giải phương trình:

1x +
.(3x
2
+x+1) =x
3
+3x
2
10
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
Giải: Đặt t=
1x +
thì t
≥
0 và x+1=t
2

(1) Cho: t(3x
2
+t
2
)=x

3
+3xt
2
(2) ( đây là phương trình đẳng cấp bậc 3 theo 2 ẩn x;t )
t= 0 không thỏa pt ban đầu
(2)
⇔
3y
2
+1 = y
3
+3y với y=x/t ( từ đó cho kq).
Vd4: Giải phương trình:

2
2
2 2 1
1
4 1
x x
x
x
+ +
+ =
−
(1)
Giải: Đk: x
1
4
≠

. Đặt t=
2
1x +
thì t
≥
1 và x
2
=t
2
-1
(1) Cho (4x-1).t = 2(t
2
-1)+2x+1
⇔
2t
2
-(4x-1).t +2x-1 = 0

( )
1
2 1
2
t x t
 
⇔ = − ∨ =
 ÷
 

Do t
≥

1 nên phải có
2
1x +
=2x-1 ( cho ta kq)
Vd5: Giải phương trình:
3x
2
-2x-2 =
3 2
6
3 4 2
30
x x x+ + +

2. Bài tập:
Giải các phương trình:
1/ 2(x
2
-3x+2) = 3.
3
8x +
2/ 6x
2
+7x+17 = 5.
3
2 3x x+ −

3/
2 2
6 3 1 3 6 19x x x x x+ − + − = − +

4/ 2x
2
+5x-1=7.
3
1x −

5/ 9.
3
8x + =
2(x
2
+8) 6/
2 2
2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + +

7/ 2x
2
+5x-1 = 7.
3
1x −
8/ x
3
-3x
2
+2.
3
( 2)x +
=6x .
9/(x
2

+2)
2
2x +
-6x(x
2
+2) =x
2
[6x-11
2
2x +
] 10/
2
(x
2
+8)=5.
3
8x +

11/ 2x
2
-5x+2=4.
3
2( 21 20)x x− −
12/ 2x
2
-3x+2 = x.
3 2x −
.
13/ x
2

-6x=4(`1+
3
1x +
) 14/ -7x
2
+3x-1=4.
3 2
2 2x x x+ + +

15/ 2x
2
=26x-34+
3
2 3x x+ −
16/ 3x
2
+14x+36+5.
3 2
2 9 2 30x x x+ + −
IX.
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH:
1. Phương pháp:
Khi gặp phương trình chứa căn dạng f(x)=g(x) (1); đôi khi ta dùng phương pháp đặt ẩn phụ để từ từ
trình ban đầu và ẩn phụ từ đó ta nhận được 1 hệ phương trình và việc giải hệ có thể đon giản hơn
phương trình ban đầu.
Vd1: Giải phương trình:

15
2
(30x

2
-4x)=2004.
( 30060 1x +
+1) (1)
11
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
Giải: Đặt y=
( )
1
30060 1 1
15
x + +
thì (15y-1)
2
=30060x+1 hay 15y
2
-2y=2004x
Ta có: hệ
2
2
15 2 2004
15 2 2004
x x y
y y x

− =


− =



(đây là hệ đối xứng lọai 2)
Vd2: Giải phương trình:
4x
2
-11x+10 =(x-1).
2
2 6 2x x− +
(1)
Giải: đk: x
3 5 3 5
[ ; ]
2 2
− +
∈

(1)
⇔
(2x-3)
2
+x+1 =(x-1).
( 1)(2 3) 1x x x− − − −

Đặt u=2x-3 ; v=
( 1)(2 3) 1x x x− − − −
;
ta có:

2

2
1 ( 1).
1 (( `1).
u x x v
v x x u

+ + = −


+ + = −


cho (u-v)(u+v+x-1) = 0 cho kq .
Vd3: Giải phương trình:
2.
3
3 2 3. 6 5x x− + −
= 8
Giải:
Đk: x
≤
6/5; đặt u=
3
3 2x −
; v=
6 5x −
; ta có:

3 2
2 3 8

5 3 8
u v
u v
+ =


+ =

( giải hệ ta được kq)
Vd4: Giải phương trình:

( )
( )
3
2 3 2
1 1 (1 ) 1 2 1x x x x+ − + − − = + −
(1)
Giải:
Đk: x
∈
[-1;1]. Đặt u=
1 x+
;v=
1 x−
thì u;v
∈
[0;2] và u
2
+v
2

=2 ;ta có hệ:

( )
2 2
3 3
2
. 1. . 2
u v
u v u v u v

+ =


+ − = +



⇔

( )
2 2
2
. 1. (2 . ) . 2
u v
u v u v u v u v

+ =


+ − + = +





⇔
( )
2 2
2
. 1. 1
u v
u v u v

+ =


+ − =


do u.v+2 > 0 ; từ đó cho u-v>0

⇔

( )
2
( ) 2 . 2
. 1. 1
u v u v
u v u v

− + =



+ − =


coi t= u-v và P=
. 1u v +
ta có:

2 2
. 1
2 4
P t
t P
=


+ =

từ đó cho ta kết quả
2. Bài tập
12
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
1/ x
3
-3
3
2 3x+
=2 2/ x

3
+1 =2.
3
2 1x −

3/
3
2 1 1x x− = − −
4/
3
3 1x x+ − =

5/
4 4
89 8x x+ + −
=5 6/ x
2
+
2
12x +
=30
7/
3 3
34 3x x+ − −
=1 8/
2
2 5 2x x+ +
-2
2
2 5 6x x+ −

=1
9/
4 4
18 1x x− + −
=3 10/ x
2
+
1x +
=1
11/ x.
3 3
3 3
35 ( 35 ) 30x x x− + − =
12/
(
)
2 3 3 2
1 1 . (1 ) (1 ) 2 1x x x x+ − + − − = + −

13/
3
3
9 ( 3) 6x x
− = − +
14/
8 1 3 5 7 4 2 2x x x x+ + − = + + −

15/
4 9
28

x +
=
7x
2
+7x ;x>0 16/ 2.
2 2 2
(1 ) 3. 1 (1 ) 0
n
n n
x x x+ + − + − =

17/ x
3
+3x
2
- 3.
3
3 5x +
=1-3x 18/ 2.
3
3 2x −
+3.
6 5x−
-8 = 0
19/
3 2
81x x+ −
=3 20/ 2x
2
+4x -

3
2
x +
= 0
21/ (x+1)
3
=3.
3
3 5x +
+2 22/ x
2
–x -2.
1 16x+
=2
23/
11212112
++=+−++++
xxxxx
24/
4 4
5 1 2x x− + − =

25/
2 2
3 3 3 6 3x x x x
− + + − + =
26/
3
24 12 6x x+ + − =

27/
1 8 (1 )(8 ) 3x x x x
+ + − + + − =
28/ 2
(
)
2 2
2 1 1x x+ − −
-
4
1 x−
= 3x
2
+1
29/
2 2
3 10 5x x
+ + − =
30/
2
12 12x x+ + =

31/
2 2
5 (5 )x x= − −
32/ 3 +
3 x x
+ =

33/

3
2x −
= 8x
3
-60x
2
+151x-128 . 34/
3
7 1x x+ − =
X.
DẠNG (a.x+b)
n
= p.
1 1
.
n
a x b+
+q.x+h (1)
1. Phương pháp:
Khi a.p>0; đặt
1 1
.
n
a x b+
= a.y+b
Khi a.p<0; đặt
1 1
.
n
a x b+

= -(a.y+b) ( ta dẩn đến hệ pt ; thông thườngta nhận được hệ đối xứng hoặc tựa
đối xứng)
Vd1: Giải phương trình:
x
2
-2x=2
2 1x −
Giải
(1)
⇔
(x-1)
2
= 2.
2 1x −
+1; đặt
2 1x −
= y-1
ta có:
2
2
2 1 ( 1)
2 1 ( 1)
x y
y x

+ = −


+ = −



( đây là hệ đối xứng lọai II)
Vd2: Giải phương trình:
13
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
8x
3
-60x
2
+151x-128 =
3
2x −
(1)
Giải:
(1)
⇔

3
2x −
+x-3 = (2x-5)
3
; đặt
3
2x −
=2y-5 thì:

3
3
(2 5) 2

(2 5) 2 2
y x
x x y

− = −


− = − + −


Trừ 2 ptr trên cho nhau ta nhận được
2(x-y)[ (2x-5)
2
+(2x-5)(2y-5)+(2y-5)
2
] = 2(y-x)
⇔
( y=x)
hoặc [ (2x-5)
2
+(2x-5)(2y-5)+(2y-5)
2
= -1 ]
Phương trình sau vô nghiệm. TH: y=x ( hs tự giải )
2. Bài tập:
1/ 4x
2
+
3 1x +
+5 = 13.x 2/ 32x

2
+32x =
2 15x +
+20
3/ 8x
3
+53x=36x
2
+
3
3 5x −
+25 4/ x
2
+4x=
6x +

5/ x
2
-2x=2
2 1x −
6/ x
2
-4x+2.
2 5x +
= 5
7/
3
2 3x +
+1= x
3

+3x
2
+2x 8/ x
2
-4x-3=
5x +

9/
3
2
x +
=2x
2
+4x 10/
3
9x −
=x
3
-9x
2
+27x-21
11/
4
3
x +
=3x
2
-6x-2 . 12/
3
2x −

= 8x
3
-60x
2
+151x-128 .
XI.
PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH:
2
1
( ) 0
n
j
j
F x
=
=
∑

1. Phương pháp:
Dùng mệnh đề :

0)( )()(0)(
21
1
2
====⇔=
∑
=
xFxFxFxF
n

n
j
j
Vd: Giải phương trình:

3 2
3
9 12 4 2 3 2x x x− + − −
+5x
2
-x+1-8x.
4
4 3x −
+4
4 3x −
-2(x-1)
2
x x−
+6x
2
-3x+2 =0
Giải:
Dựa vào việc xuất hiện các số hạng chứa bình phương của tổng ta có thể dể dàng biến đổi
(1)
⇔

(
)
2
2

1x x x− − +
+
( )
2
3
3 2 1x − −
+4.
( )
2
4
4 3x x− −
= 0
⇔

2
4
3
1
4 3
3 2 1
x x x
x x
x

− = −


− =



− =


; Ph trình có nghiệm duy nhất x=1
2. Bài tập:
Giải các phương trình:
1/
4
10 61 6 10 61 2( 1) 4 1x x x x+ − + − + +
+x
2
+6x+11=0
2/ 2(2x-7).
2
6 17 8 2 1x x x− − + +
= -5x
2
+20x-49.
14
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
XII.
PHƯƠNG PHÁP DÙNG BÂT ĐẲNG THỨC:
1. Phương pháp:
Khi giải 1 phương trình dạng f(x)=0 đôi khi ta sử dụng biến đổi tương dương đưa phương trình đã
chovề phương trình có dạng h(x)=g(x) (1)
- Dùng các bất đẳng thức quen thuộc để cm:
h(x)
≥
g(x) hoặc h(x)

≤
g(x) ; với mọi x thuộc miền xác định D của pt đó
- Nghiếm của (1) chính là các giá trị x trên miền D để dấu “=” của 1 trong 2 bđt trên xảy ra.
Vd1:Giải phương trình:

4 2 2 2 2 2 2
2
1
4 16 9 2 2( ); 0x y x y y x y x x
x
− + + − − = + >
.
Giải: đk:
2
1 9
2 2
2
x y
x
−

≤ ≤



≥

.
Pt
⇔

4 2 2 2 2 2 2
2
1
4 16 9 2 2( )x y x y y x y x
x
− + + = − + +
(2)
Từ:
4 2 2
4 16 9 5x y x y− + + ≤
;
2x∀ ≥
thì x
2
+
2
1
x
≥
5/2.Từ đó: VP(2)
≥
5
Do đó: VT(2)=5 và VP(2) =5 cho ta kq
Vd2: Giải phương trình:

2
2 2 2
3 2 2 2
3 4 4 4
x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x
+ + + + + + +
+ + +
+ + + + + + + + +
+
2
3
3
x
x x x x
+
+ + +
=
10
3
Giải: Đặt: a=2;b=
x
+1; c=x+1;d=x
x
+1; e=x
2
+1.
Phương trình thành:
10
3
a b b c c d d e e a
c d e d e a e a b a b c b c d
+ + + + +
+ + + + =
+ + + + + + + + + +

cộng 2 vế của pt trên cho 4 rồi dùng bđt Buynhiacobski cho ta kết quả
Vd3: Giải phương trình:
x
2
-4x+6 =
2
2 5 3x x− +
+
2
3 9 5x x− + −
Giải: đk:
9 61 3 9 61
1
6 2 6
x x
− +
≤ ≤ ∨ ≤ ≤
Bđt B_C_S cho: (
2
2 5 3x x− +
+
2
3 9 5x x− + −
)
2

≤
[4-2(x-2)
2

]
≤
4; VT
≥
2 cho kq .
Vd4: Giải phương trình:

1 1
1x
x x
− + −
= x (1)
Giải: Đk: x
≥
1 .
Dùng bđt AM-GM:
1 1
1x
x x
− + −
=
1 1 1
( 1)
2
x x
x x
− + − ≤
(x-
1
x

+1+x-1+
1
x
) = x
15
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
Dâu “=” xảy ra
1
1
1
1
x
x
x
x

− =


⇔


− =


( cho kq)
Vd5: Giải phươngtrình:

4 4

4
( 2)(4 ) 2 4 6. 3x x x x x x− − + − + − +
= x
3
+30
Giải: Đk: x
∈
[2;4]
Bđt B-C-S cho
4 4
2 4x x− + −

( )
2 2 4x x≤ − + −

≤
2
Bđt AM-GM cho
4
( 2)(4 ) 1x x− − ≤
; 6x
3x
= 2.
3
27x
≤
27+x
3
.
Do đó:

4 4
4
( 2)(4 ) 2 4 6. 3x x x x x x− − + − + − +

≤
x
3
+30
Dấu “=” xảy ra
⇔
x=3
2. Bài tập:
Giải các phương trình:
1/
2
2
1 1
2 2 4x x
x x
 
− + − = − +
 ÷
 
2/
2
3 5 8 18x x x x− + − = − +
3/
2
2 4 6 11x x x x− + − = − +
4/

3 2 2 3
9 18 36 9x x x x− + − =
9+x
2
.
5/
2 2
3 6 7 5 10 14x x x x+ + + + +
=4-2x-x
2
6/
4 4 4
1 1 2 8x x x x+ − + + − = +
7/
2
8 816x x− +
+
2
10 267x x+ +
=
2003
8/
5212102
2
+−=−+− xxxx
9/
2
4
4 4
1 1 1x x x− + + + −

=3 10/ x
2
+4x+5 = 2.
2 3x +
.
11/
5 1x x− + +
+x
2
=2x+1 12/ 2.
2 2
7 10 12 20x x x x x− + = + − +
XIII.
DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:
1. Dùng mệnh đề:
a. Phương pháp:
Cho hsố y=f(x) đơn điệu và liên tục trên khỏang (a;b).Ta có:
Hệ pt
( )
( ; )
f u c
u a b
=


∈

có tối đa 1 nghiệm
Vd1: Giải phương trình:
(2x+1)

( )
4
2 3 6 2x x
+ + −
-
34
(2 1)
7
x
+
= 1 (1)
Giải: đk: x
1
2
≥

(1)
⇔

4
1
2 3 6 2
2 1
x x
x
+ + − −
+
=
34
7

(2)
Xét h số f(x)=
4
1
2 3 6 2
2 1
x x
x
+ + − −
+
liên tục và đồng biến trên (1/2;+
∞
)
Do đó: (2) có tối đa 1 nghiệm; mà f(3) = 34/7
16
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
Vậy: (1) có đúng 1 nghiệm là x=3
Vd2: Giải phương trình:

2
43 1 1
4 17
11 2 3
1
x
x
x x
− − = + −
+

+ −
(1)
Giải: Đk: x
≥
4 .
(1)
⇔

2
1
4 1
2 3
x x x
x
− + + + −
+
=
43
17
11
+

Xét h số f(x)=
2
1
4 1
2 3
x x x
x
− + + + −

+
; f(x) liên tục và đồng biến trên [4;+
∞
)
Do đó (2) có tối đa 1 nghiệm; mà f(4)=
43
17
11
+
; nên pt (1) có nghiệm duy nhất x=4
Vd3: Giải phương trình:

2 2
3
15 3 2 8x x x+ = − + +
(1)
Giải:
(1)
⇔

2 2
3
15 8 3 2x x x+ − + = −
(2) NX: VT(2) >0 ; nên x>0
(2)
⇔

3
2 2
7

3
15 8
x
x x
−
+ + +
= -2 (3); trên (0;+
∞
) ;
Xét hsố f(x) =
3
2 2
7
3
15 8
x
x x
−
+ + +
nghịch biến trên (0;+
∞
)
(3)
⇔
f(x) = -2 =f( 1) với x>0 nên (3) có duy nhất 1 nghiệm x=1 .
Vd4: Giải phương trình:
3x
(
)
2

2 9 3x+ +
+(4x+2)
(
)
2
1 1x x+ + +
= 0 (1)
Giải: (1)
⇔
(2x+1).
(
)
2
2 (2 1) 3x+ + +
= (-3x).
(
)
2
2 ( 3 ) 3x+ − +

Xét hsố f(t) = t(2+
2
3t +
); mọi t thực; f(t) đồng biến trên R (i)
(1)
⇔
f(2x+1) = f(-3x)
⇔
2x+1 = -3x .Nghiệm pt là x = -1/5
Vd5: Giải phương trinh:

3(x+1)[
4 5 10 6x x+ + +
] =7x+35 (1)
Giải: Đk: x
≥
-3/5 khi đó x+1
≠
0
(1)
⇔

4 5 10 6x x+ + +
-
7 35
3( 1)
x
x
+
+
= 0
Các hsố u(x) =
4 5x +
;v(x)=
10 6x +
; g(x)= -
7 35
3( 1)
x
x
+

+
cùng đồng biến trên [-3/5;+
∞
)
Nên hsố f(x) =
4 5 10 6x x+ + +
-
7 35
3( 1)
x
x
+
+
đồng biến trên [-3/5;+
∞
)
Mà f(1)=0 nên pt (1) có nghiệm duy nhất là x=1
17
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
Vd6: Giải phương trình:

24
1x x− +
+(x
2
-3x+2)[1+
2
1
(2 1)( 1)x x x

− − +
=
4
2 1x
−
(1)
Giải:
(1)
⇔

24
1x x− +
+(x
2
-3x+2) +
2
2
3 2
(2 1)( 1)
x x
x x x
− +
− − +
=
4
2 1x
−


⇔

24
1x x− +
+ (x
2
-x+1) –(2x-1) +
2
2
1 (2 1)
(2 1)( 1)
x x x
x x x
− + − −
− − +
=
4
2 1x
−

⇔
24
2
1
1
1
x x
x x
− + −
− +
+ (x

2
-x+1) =
4
2 1x
−
-
1
2 1x
−
+(2x-1) .
Dùng hsố f(t) =
4
1
t
t
−
+ t ;
t
∀
>0 cho ta kết quả
Vd7: Giải phương trình :

2
2 4 7 3 2 3 7. 4 7x x x− + − − − −
= (x
2
-3)
2
-4.x.
4 7x

−
Giải: Đk: x
≥
7/4;với đk
(1)
⇔
2 4 7 3x
− +
+
( )
3
4 7x −
=
2
2( 3) 3x
− +
+ (x
2
-3)
2
. (2)
Xét hsố f(t) =
2 3t
+
+ t
3
;
t
∀ ≥
0; f đồng biến và liên tục trên (0;+

∞
) ; (2)
⇔
2
2
( 4 7) ( 3)
4 7; 3 (0; )
f x f x
x x

− = −


− − ∈ +∞


cho kq
Vd8: Giải phương trình:

4 1x x
− − −
= (4x-10).
2
5 4x x− + −
(1)
Giải: đk: 1
x≤ ≤
4 . với đk
(1)
⇔

4 1x x− − −
= (4x-10).
4 . 1x x
− −
. x=1;x=4 ko là nghiệm của pt (1)
Xét x
∈
(1;4) ;
(1)
1 1
1 4x x
⇔ −
− −
= 2(x-1)-2(4-x)
⇔
1
1x
−
-2
( )
2
1x −
=
1
4 x
−
-2
( )
2

4 x−
(kq)
Vd 9: Giải phương trình:

4
4 2
2 2
2
2 4 5
2 3 1
x
x x x
x x
−
= + + −
+ + +

Giải:
(1)
2
2 3x
⇔ +
-x
2
-1=
2 2
2( 1) 3x + +
-x
⇔

2
2 3x
+
+x=
2 2
2( 1) 3x + +
+x
2
+1
Dùng hàm số f(t)=
32
2
+t
+t ;
∈∀t
R
Vd10: Giải phương trình:
18
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
x
3
+x-7 =
2
5x +
(1)
Giải :
Đặt f(x) = x
3
+x-7 -

2
5x
+
;

∈∀
x

R ;
f
‘
(x) =3x
2
+1 -
2
5
x
x
+
>0 ; vì
2
5
x
x
+
< 1 ;mọi x (cho kq)
Vd11: Giải phương trình ;
a/ 3x
2
-15x+18 =

2
1 1
4 3
x
x x
− −
− +

HD: (1)
⇔
2
1 1
3( 3)
3
4 3
x
x
x x
− − =
−
− +
-3(x
2
-4x+3)
b/ x(x-1)
2
+3(2x-1) =
3 2
2
( 2)( 2 4 )

1 2 3
x x x x
x x
+ − − +
− + −


HD: (1)
⇔
(x-1)
2
+2(x-1)=
(
)
3
2 2
2 3 2 2 3x x x x+ − + + −
b. Bài tập:
Bài 1: Giải phương trình:
1/ x[
2
3x
+
-6] +(x-2)
4 5x
+
-2
x
= 2
2

3x
+
-x.
x
-12 . 2/ x+7.
2 3x
+
=7.
1x +
+10
3/ 9x-12 = 2[
3 2 1x x
− − −
] 4/x
(
)
2
5 6 2 5x x x− + − − −
=
2
3
x
−
-1
5/
2
3
6 7 1x x x+ + = − −
6/ (5x-6)
2

-
2
1 1
5 7 1
x
x x
= −
− −
7/ x
(
)
2
3 6 5 4 3x x x− + + −
= 3-x 8/
3
2
2 1
6 2 2
3
x
x x
x
+
 
+ − = +
 ÷
 

Bài 2: Giải phương trình:
1/ x

3
+2x =
3
1x
−
+9 2/ x
2
+6x -53 =
8
2 6x
+

3/
3
6 4x
−
=
5 2x
−
+1 4/
2
4
4 1
1
x x
x
+ − −
−
-8 = -x -
3

2 6x
+

5/
2 2 1x
−
+6x-8 = x[x+
2 1x
−
+
3
7 1x
+
] -2.
3
7 1x
+
6/
2 3 4x x
+ + −
= x
2
-4x+7 7/
4 1 6x x
+ + −
= 3x
2
-4x+1 8/
24 1 5x x
+ + −

= 3x
2
- 5x +9 .
2. Dùng bảng biến thiên của hàm số:
a. Phương pháp:
Một trong các cách giải 1 ptrình đôi khi ta biến đổi 1 phương trình để cho về dạng: f(x) = c (2)
với C là 1 hằng số nào đó , ta thực hiện các bước:
1/Bước 1: Lập bảng biến thiên của hàm số trên miền xác định của phương trình
2/Bước 2: Từ bảng biến thiên ta nhận đỉnh được (2) có tối đa bao nhiêu nghiệm và dùng máy
tính để tìm được các nghiệm phương trình (2) và kết luận
Chú ý: Phương pháp trên chì thuận lợi khi các nghiệm của (2) là các trị số đặc biệt.
19
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
Vd: Giải phương trình:
3
x
+5
x
= 6x+2 (1)
Giải:
(1)
⇔
3
x
+ 5
x
- 6x-2 = 0
Xét hàm số f(x) = 3
x

+ 5
x
- 6x-2 liên tục trên R
f
‘
(x) = 3
x
.ln3+5
x
.ln5 -6 =g(x)
g
‘
(x) = 3
x
ln
2
3+5
x
.ln
2
5 > 0
x
∀ ∈
R

⇒
g(x) đồng biến trên R ; ta lại có f
‘
(0) <0 và g
‘

(1)>0
nên
β
∃ ∈
(0;1) sao cho:f
‘
(
β
)=0
Từ bảng biến thiên của hàm số f thì pt f(x)=0 có tối đa 2 nghiệm.
mà f(0)=f(1)=0 nên (1) có đúng 2 nghiệm là x=0,x=1
b. Bài tập: Giải phương trình:
1/
3
4
3 10 8 8 2x x x
+ − = − −
2/
3
3
x
+2cosx+2x
3
= 4 -
2 4x
+
- 6x 3/
9 2x
−
+2x = 10 -

3x
−
4/
3
2 4x
+
=
11 x
−
+9 -5x
5/ 5(x-1)
2x
−
= 2x+4 6/
1
4
2
x
−
+1 =
1x +
+
3 1
1
x
x
+
+

7/ 2

x
+ 3
x
-3x-2 = 0 8/ (1+cosx)(2+4
cosx
) = 3.4
cosx
.
3. Dùng đồng nhất thức để đưa ptrình về dạng f(u)=f(v) :
a. Phương pháp:
1/ Cho 2 đa thức P(x) và Q(x) với hệ số thực dạng : P(x) =
1
.
n
k
k
k
a x
=
∑
và Q(x) =
1
.
m
k
k
k
b x
=
∑

Ta có: P(x)=Q(x) ;
x
∀ ∈
R
; 1, 2, ,
k k
a b k n
n m
= ∀ =

⇔

=


2/ Dùng mệnh đề: Cho hsố y=f(x) đơn điệu và liên tục trên khỏang (a;b).Ta có:

( ) ( )
( ; )
; ( ; )
f u f v
u v a b
u v a b
=

⇔ = ∈

∈


Vd1: Giải phương trình:
81x
3
+33x-29.
8 9x
+
=24x.
8 9x
+
+81x
2
+5
Giải: Ptrình
⇔
81x
3
-81x
2
+33x-5 = (24x+29).
8 9x
+
= [ 3(8x+9)+2).
8 9x
+

⇔
81x
3
-81x

2
+33x-5 = 3[
8 9x
+
]
3
+2
8 9x
+

Xét hsố f(t)=3t
3
+2t ; t
∈
R ; f
‘
(t)>0 ; mọi t
⇒
f đồng biến trên (-
;
∞ +∞
) (i)
Xét đồng nhất thức : 3(ax+b)
3
+2(ax+b) = 81x
3
-81x
2
+33x-6 ;
x∀

Đồng nhất thức 2 vế ta có:
3
2
2
3
3 81
9 . 81
9 2 33
3 2 5
a
a b
ab a
b b

=

= −


+ =


+ = −

3
1
a
b
=


⇔

= −

20
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
(1)
⇔
3(3x-1)
3
+2(3x-1) = 3[
8 9x
+
]
3
+2
8 9x
+

⇔
f(3x-1)= f(
8 9x
+
)

⇔
3x-1 =
8 9x
+

(do (i))
2
1/ 3
(3 1) 8 9
x
x x
≥

⇔

− = +


⇔
x=2 .
Vd2 : Giải phương trình sau trên (0;+
∞
) :
(x
3
+2x)
2
+
3
2 3
3
2
( 3 1) 2 1
1 2 1
x x

x x x x x
x x
+
= + + + +
+ + +
(1)
Giải:
(1)
⇔

(x
3
+2x)
2
+
3
3 2 3
3
2 1 1
( 3 ) 2 1
1 2 1
x x
x x x x x
x x
+ + −
= + + + +
+ + +


⇔

(x
3
+2x)
2
+
3
3 2 3
3
2 1 1
( 3 ) 2 1
1 2 1
x x
x x x x x
x x
+ + −
= + + + +
+ + +


⇔
(x
3
+2x)
2
+
3 3 2 3
2 1 1 ( 3 ) 2 1x x x x x x x
+ + − = + + + +

⇔
(x
3
+2x+1)(x
3
+2x-1) =
3
2 1x x
+ +
(x
3
+3x
2
+x-1)

⇔

3
2 1x x+ +
(x
3
+2x-1) = x
3
+3x
2
+x-1; đặt u=
3
2 1x x
+ +
thì có:

u
3
-2u = (x+1)
3
-2(x+1) ; dùng đồng nhất thức ta được: x
3
+3x
2
+x-1 =(x+1)
3
-2(x+1)
đặt f(t) = t
3
-2t đồng biến trên (1;+
∞
)
Ta có: f(u)=f(x+1) ; vì x>0 nên u và x+1

>1 nên u=x+1

( cho kq)
b. Bài tập:
Bài 1: Giải các phương trình:
1/ 8x
3
-36x
2
+53x-25 =
3
3 5x

−
2/ 3x
3
-6x
2
-3x-17 = 3.
2
3
9( 3 21 5)x x
− + +
3/ -2x
3
+10x
2
-17x+8 = 2x
2
.
3 3
5x x
−
HD: Chia 2 vế của pt cho x
3
. Coi t= 1/x
4/ 2x
3
+6x
2
+9x+5 = (6x+5).
3 1x
+

5/ 9x
2
-28x+21 =
1x −
.
6/ 2x
3
+3=(6x+7)
3 3x
+
-6x
2
-7x 7/ x
3
-(2x+9)
2 5x
+
-5=3x
2
-7x
8/ 2x
3
-4x
2 4x
+
=9
2 4x
+
+12x
2

-25x+18 9/ 3[x
2
3 1 1x x
+ − +
]=x
2
2
1 3 3 1x x+ − +

10/
3
3
6 2 8 4 2x x x
+ = − −
11/ 4x
2
(2x+3)=(x
2
+x+2)
2
1x x+ +
-2(4x+1)
12/ x+2[
2x +
-7] =-x
3
13/ (2x+5)
2 1x
+
=4+

1
2 1x
+

14/
3
2x
−
=8x
3
-60x
2
+151x-128 15/x
3
+3x
2
+4x+2 =(3x+2).
3 1x
+

16/ 2x
3
+7x
2
+5x+4=2(3x-1)
3 1x
−
17/(2x+3)
2
4 12 11x x+ +

+3x
2
9 2x
+
=-5x-3
Bài 2: Giải phương trình :
1/ (x+2).
(
)
2
4 7 1x x+ + +
+x.
(
)
2
3 1x
+ +
=0 .
2/ 2(x-2)
( )
3
4 4 2 2x x
− + −
= 3x-1 .
Bài 3: Giải phương trình:
1/ (4x-1).
3x
+
=4x+8 –(4x-1).
3

3 5x
+
2/ x
2
-x-3 =(x-1)
( )
2 6 3 2x x
− − − −

21
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
3/
2
3 1 2 3 3(1 2 ) 3 9 2x x x x x
− − − = − − + −
4/
2
4 1 4 1 1x x− + − =

5/
2
2 5 1 2x x x− + + − =
5/
2 2
15 3 2 8x x x+ = − + +

4/ 2x
3
-x

2
+
3 3
2 3 1x x− +
=3x+1+
3 2
2x +
6/
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +
7/ (2x+3)
2 2
4 12 11 3 9 2x x x x+ + + +
=-5x-3 8/
2x −
= - x
3
-x
2
-3x+46
9/
3
2
3
2
33
21212 xxxx
++=+++
10/ 2(x-2).
( )

3
4 4 2 2x x− + −
=3x-1
11/ (x+2).
(
)
(
)
2 2
4 7 1 1 3x x x+ + + + + +
.x =0 12/ x
3
+x-7 =
2
5x +

13/ 3
(
)
2 2 3
( ) 1 (2 1)x x x x x+ + + − −
=4x-2-5
2
1x x+ +
14/
2
91x +
= x
2
+

2x −

15/
2
2 1x x+ − +
=2
( )
2
1x x− −
16/(x
2
-x+2)
2
2x x− −
=x
3
+3x
2
+7x+5
17/
2
2
2 2
3 1
4 2 1
4 1 2
x
x
x x
−

= + +
+ + +
-x
2
18/
1 3x x− + −
=3x
2
-4x-2
19/ x
3
+3x
2
+4x+2= (3x+2).
3 1x +
20/ x
3
-15x
2
+78x-141=5.
3
2 9x −

21/
1x −
=9x
2
-28x+21 22/ x
3
-2x+7 =

3 2
3 6 5x x+ −

23/ (4x-12)
2
6 5x x− + −
+
1x −
=
5 x
−
24/
3 3
1 2 3x x
+ − +
=
2 4
3
x
+

25/ x
3
-
2 2
3 1
1 2 2 (6 3 4 ) 1 2
2 2
x x x x x x− = − − + + − +
-x(1+

2
1x
+
) .
Bài 4: Tìm nghiệm của ptrình sau trên [4;+
∞
): -6
2
3x +
=4x
2
-16x+7 -
(
)
2
2
3x +
Bài 5: Giải phương trình
1/
2
4 1 4 1 1x x− + − =
2/
2
2 5 1 2x x x− + + − =
3/
2 2
15 3 2 8x x x+ = − + +
4/ 2x
3
-x

2
+
3 3
2 3 1x x− +
=3x+1+
3 2
2x +
.
5/
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +
6/
2x −
= - x
3
-x
2
-3x+46
7/
( 2)(2 1) 3 6x x x+ − − +
= 4 -
( 1)(2 1)x x+ −
+3
2x +
8/ x
3
+x-7 =
2
5x +
9/

3
2
3
2
33
21212 xxxx
++=+++
10/ 2(x-2).
( )
3
4 4 2 2x x− + −
=3x-1
11/ (x+2).
(
)
(
)
2 2
4 7 1 1 3x x x+ + + + + +
.x =0 12/
2
91x +
= x
2
+
2x −
13/ 3
(
)
2 2 3

( ) 1 (2 1)x x x x x+ + + − −
=4x-2-5
2
1x x+ +
14/
2
2 1x x+ − +
=2
( )
2
1x x− −
15/ (x
2
-x+2)
2
2x x− −
=x
3
+3x
2
+7x+5 16/
2
2
2 2
3 1
4 2 1
4 1 2
x
x
x x

−
= + +
+ + +
-x
2
17/
1 3x x− + −
=3x
2
-4x-2 18/ x
3
+3x
2
+4x+2= (3x+2).
3 1x +

19/ x
3
-15x
2
+78x-141=5.
3
2 9x −
20/
1x −
=9x
2
-28x+21 .
21/ x
3

-2x+7 =
3 2
3 6 5x x+ −
22/ (2x+3)
2 2
4 12 11 3 9 2x x x x+ + + +
=-5x-3
22
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
XIV.
DÙNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH:
1. Phương pháp:
Một trong các phương pháp giải hệ phương trình là ta biến đổi tương đương 1 phương trình nào đó
của hệ để được 1 phương trình dạng: f(u)=f(v) ;trong đó: f là hàm số đơn điệu và liên tục trên 1
khoảng (a;b) còn u;v chạy trên khoảng (a;b) rồi dùng mệnh đề:
Cho hsố y=f(x) đơn điệu và liên tục trên khỏang (a;b).
Ta có:

( ) ( )
( ; )
; ( ; )
f u f v
u v a b
u v a b
=

⇔ = ∈

∈



Vd1: Giải hệ:

3
2 2 3 2 2
1( 2) 2
3 4 3 4
x x x y
x y x yx x y y

+ + − = +


− + = − −


(I)
Giải:
(2)
⇔
(3y
2
+4y)(x
2
+1) =x(x
2
+1) từ đó: x=3y
2
+4y (i)

thay vào (1) cho:
1x +
(x+2) = y
3
+3y
2
+4y+2 ; coi u=
1x +

thì: u
3
+u = (y+1)
3
+y+1 ; h số f(t)=t
3
+t đồng biến trên R
Ta có: f(u)=f(y+1) nên u=y+1 hay
1x +
=y+1 (ii); nên y
≥
-1
Từ (i) và (ii) cho kq

Vd2: Giải hệ:

3 3
2
3. ( ) 7 2
. 3 3 1 0
x xy x y y y x y x y

x y x y

+ + − − + = − +


− + − =


(I)
Giải:
(1)
⇔
x
3
+3x.y(x+y)+y
3
+
x y+
+x+y = 8y
3
+2y+
2y


⇔
(x+y)
3
+(x+y)+
x y
+

= 8y
3
+2y+
2y
;
Xét h số f(t)=t
3
+t+
t
đồng biến và liên tục trên (0;+
∞
)
Ta nhận được: f(x+y)=f(2y) ; x+y;2y
≥
0
Do đó: x+y=2y ; thay vào (2) cho kq
Vd3: Giải hệ:

3 3 3 2
3 2
1 3
2
2 2 2
3( )( . 2) 33 9 45
1 1
2 3
1 1 3( 5 1)
4
2 11 1 7 5 8
y x z

x y z x z x z y y
x y z
x y z y
y
x xz z y x z y y
− + +


− + + + + = − −



+ + = −



− + − −
− =

+
+ + + − + + + + +



HD:
23
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
(1)
⇔

x
3
+z
3
+3xz(x+z)+6(x+z) = y
3
-9y
2
+33y-45
⇔
(x+z)
3
+6(x+z) = (y-3)
3
+6(y-3) nên x+z=y-3
(3)
⇔

2
2 2
1 1 3[ 7 ( 5 8)]
4
( ) 11 1 7 5 8
x z y y
y
x z y x z y y
+ + − + +
− =
+
+ + − + + + + +

=3[
2
7 5 8x z y y
+ + − + +
]
(1) cho:
2
2
1 1
3[ 4 5 4
4
5 8
y y y
y
y y
− = + − + +
+
+ +
] ; dùng đ hàm cho y=-2
Do đó: y=-2;x+z= -5 kết hợp với (2) cho kq .
Vd4: Giải hệ phương trình:

( ) ( ) ( )
3
2 3
2 2 . 2 4
3 1 1 2 3 2 2 1 ( 7) 1 1 4
x x y x y
x y y y x x


− = + +


− + − + = + − − − + −



Giải:
(2)
⇔
(
1x −
+1)
3
+(
1x −
+1)
2
-5(
1x −
+1) =(
2y
+1)
3
+(
2y
+1)
2
-5(
2y

+1) (3)
Xét hàm số g(t) = t
3
+t
2
-5t ;
∀
t
≥
1
g
‘
(t) = 3t
2
+2t-5 >0 ,
∀
t > 1 nên g liên tục và đồng biến trên (1;+
∞
) (i)
(1)
⇔
g(
1 1x − +
) = g(
2 1y +
) do (i) nên
1 2x y− =
hay x=2y+1
Vd5: Giải hệ phương trình:

2
2 2 2 2
6 1 0
2 (4 3 1) (7 12 ) 0
y x y
x x y y y x y

− + + =


+ + − − − =



HD: (2)
⇔
(2x+y)
3
+(2x+y) = (2y)
3
+2y
Xét hàm số g(t) = t
3
+t ; g đồng biến trên R nên có 2x+y=2y do đó: y=2x thay vào pt (1) cho kq
2. Bài tập:
Bài 1: Giải hệ:
1/
( 3)( 4) ( 7)
1 1 2 1
2 2

2 4
2
x x y y
y x
x y
− + = −



+ + = + +


2/
(2012 3 ) 4 (6 2009) 3 2 0
3 1 5 4 7 2
x x y y
x x y x

− − + − − =


+ + + + = −



Bài 2: Giải hệ:
1/
3 3
2012 2012
3 3 0

1
x y y x
x y

− + − =


+ =


2/
3
3
3 1 2 1
3 1 2 1
x x x y
y y y x

+ − + + =


+ − + + =



Bài 3: Giải hệ:
1/
2013 2013 5 5
3 2
2( )

7 5
x y y x
y x y

− = −


+ − = +


2/
2 2
2 2
91 2
91 2
x y y
y x x

+ = − +


+ = − +


Bài 4: Giải hệ:
1/
3 3
2 2
1 1
6 5 7 3 2 0

x y y x
x y xy x y

− = − − −


+ − − + + =


2/
2 2
2 2
2 5 3 4
3 3 1 0
x x x y y
x y x y

+ − + = + +


− − + + =



Bài 5: Giải hệ:
24
GV:Nguyễn Anh Tuấn
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh
1/
(

)
(
)
2 2
4 . 4 4
. 4( ) 10 ( 2). 2 1
x x y y
x y x y x y

+ + + − =



− + + = + −

2/
2
3 (9 1) ( 2 1) 2
2 3 2
y y x y x y
x x y x y

+ = − + −


+ − = + −



Bài 6: Giải hệ:

1/
2 2
2 2 2 2 2 1
1 1
x y y y x
x y x

− − = + + − +


+ + = +


2/
2
2
1( 1) 4 (2 1) 0
2 3 . 8 0
x x y y
y x y x

− + − + =


− + + =



Bài 7: Giải hệ:
1/

3 3 2
2 2
1 3 3 1
2 3 11
x y y y y x
x y x

+ − + − = − +


+ − =


2/
3 3 2
2 2 2
12 6 16 0
4 2 4 5 4 6 0
x x y y
x x y y

− − + − =


+ − − − + =



Bài 8: Giải hệ:
1/

2
2
3
9 1 2 1
2 3 2
x y
y
y x y
x x y x y

−
=


+ − +


+ − = + −


2/
3 2 3
3
2 4 3 1 2 (2 ) 3 2
2 14 . 3 2 1
x x x x y y
x x y

− + − = − −



+ = − − +


Bài 9: Giải hệ:
1/
3 2
3 2 3 2
2 6 4 14 0
1 ( 1) 2 6 . 5
x y x y
x y y y y x x

− + − − =


− − = + + + − +


2/
3
2 3 2
(8 3). 2 1 4 0
4 8 2 2 3 0
x x y y
x x y y y

− − − − =



− + + − + =


Bài 10: Giải hệ:
1/
3
(3 ) 2 2 . 2 1 0
2. 2 (2 1) 1
x x y y
x y

− − − − =


− − − =


2/
3 3
2
3 4 2
1 2 1
y y x x x
x y y

+ = + + +


− − = − −




3/
3
2(2 1) 2 1 (2 3) 2
4 2 2 4 6
x x y y
x y

+ + + = − −


+ + + =


4/
2 2
2 2
2 22 2 1
2 22 2 1
x x y y y
y y x x x

+ + − = + +


+ + − = + +



5/
2
(17 3 ). 5 (3 14) 4 0
2. 2 5 3 3 2 11 6 13
x x y y
x y x y x x

− − + − − =


+ + + + + = + +


6/
3
2
(6 25). 7 2 24 8
3
4 7 2 10
4
y y x x
x y x

+ − + = −


−
+ − − =



7/
2 2
2 2
4 12 3 6 6
4 12 3 6 6
x x y y y
y y x x x

− + − + = + −


− + − + = + −


8/
2
2 2
(4 1) ( 3) 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

+ + − − =


+ + − =


9/
3 2 2

2
3 4 22 21 (2 1) 2 1
2 11 9 2
y y y x x x x
x x y

+ + + − + = + −


− + =


10/
( )
5 2
2
486 3 2 16 33 . 4
4
3 6 2. 4
3
x x y y y
x x y y

+ = − + −


+ + − − =


25