skkn một số sai lầm thường gặp và các phương pháp tìm giới hạn hàm số

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT KIỆM TÂN

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC
PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ
GIÁO VIÊN : ĐINH VĂN LÊ
TỔ: TOÁN - TIN
ĐỒNG NAI, THÁNG 4 NĂM 2014
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT KIỆM TÂN

1
ĐỀ TÀI
MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC
PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ
Người thực hiện: Đinh Văn Lê
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục: 
Phương pháp dạy học bộ môn: Toán 
Phương pháp giáo dục: 
Lĩnh vực khác: 
Có đính kèm: 
 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học: 2013 – 2014
SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Đơn vị: Trường THPT Kiệm Tân Độc lập- Tự do – Hạnh phúc
Thống Nhất, ngày 02 tháng 04 năm 2014
2
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2013-2014
Tên sáng kiến kinh nghiệm:

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN HÀM
SỐ
Họ và tên tác giả: Đinh Văn Lê Tổ: TOÁN - TIN
Lĩnh vực:
Quản lí giáo dục
Phương pháp giảng dạy bộ môn
Phương pháp giáo dục
Lĩnh vực khác.
1. Tính mới
- Có giải pháp hoàn toàn mới.
- Có giải pháp cải tiến, đổi mới phương pháp đã có.
2. Hiệu quả
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao.
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những phương pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn
vị có hiệu quả.
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao.
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có
hiệu quả.
3. Khả năng áp dụng
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Tốt Khá Đạt
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào
cuộc sống:
Tốt Khá Đạt
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm
vi rộng:
Tốt Khá Đạt
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
( Ký tên và ghi rõ họ tên) ( Ký tên và ghi rõ họ tên)
SƠ YẾU LÍ LỊCH KHOA HỌC

1. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN.
3
Họ và tên: Đinh Văn Lê .
Ngày, tháng, năm sinh:14/07/1985.
Giới tính: nam
Địa chỉ: Bạch Lâm – Thống Nhất – Đồng Nai.
Điện thoại: 0982573962.
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Kiệm Tân.
2. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO.
Trình độ chuyên môn: Cử nhân sư phạm.
Năm nhận bằng: 2008.
Chuyên ngành đào tạo: Toán.
3. KINH NGHIỆM KHOA HỌC.
Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Toán .
Số năm kinh nghiệm: 6 năm.
4
MỤC LỤC
Phần 1. MỞ ĐẦU………………………………………………………Trang 6
Phần 2. NỘI DUNG
Chương I. Cơ sở thực tiễn và lý luận của đề tài……………………… Trang 9
Chương II. Những sai lầm học sinh thường mắc phải…………… Trang 10
Chương III. Một số phương pháp khử dạng vô định……………… …Trang 18
Phần 3. Kết luận………………………………………………… ….Trang 28
Phần 4. Tài liệu tham khảo……………………………………… ……Trang 29
5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng, là môn học
công cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết các môn học khác trong trường phổ thông như: Lý, Hóa,

Sinh,…. Như vậy, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp
làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống
kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất
của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi
dưỡng óc thẩm mĩ.
Sau nhiều năm tháng giảng dạy tôi ngộ ra rằng một vài bài toán đơn lẻ có vai trò quá nhỏ
bé trong việc hình thành kiến thức cho học sinh mà phải là hệ thống các bài tập của từng vấn đề
đang học. Bài toán mới được đặt ra, một vài câu hỏi khác nảy sinh: Kiến thức toán học giúp gì
cho học sinh trong cuộc sống? Học sinh học toán để làm gì? Câu trả lời là: Trước mắt học sinh
cần kiến thức toán để thi cử, nhưng điều quan trọng và về lâu dài, người học cần tích lũy các
phương pháp tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, loại suy…để giải quyết các
vấn đề gặp phải trong cuộc sống. Vậy thông qua dạy học toán cần phải hình thành và nâng cao
tư duy toán học cho học sinh. Mặt khác vấn đề cốt lõi trong dạy học là: không phải anh đã dạy
những nội dung gì, điều quan trọng là học sinh học được gì trong giờ học đó. Chất lượng của
giờ học được quyết định bởi số lượng kiến thức và phương pháp tư duy học sinh thu nhận được
trong tiết dạy đó. Như vậy sẽ không có một bài giảng nào tốt đối với mọi lớp học. Giáo viên
cần biết rõ trình độ của học sinh trong lớp để thiết kế bài dạy phù hợp và duy trì tốc độ dạy hợp
lí.

Trong chương trình đại số và giải tích lớp 11 chương giới hạn đã được giảm tải rất nhiều
nhưng để hiểu đúng bản chất và làm được những bài toán về giới hạn không phải là điều đơn
giản. Hơn nữa phần giới hạn là một phần trừu tượng và tương đối khó. Qua quá trính giảng dạy
tôi xin chia sẻ với các em học sinh và quý thầy cô một vấn đề khi dạy cho học sinh về chương
giới hạn mà tôi thấy cần thiết, đó là đề tài về :
“ Một số sai lầm thường gặp và các phương pháp tìm giới hạn hàm số ” .
6

2. Mục đích nghiên cứu:
- Giúp học sinh tránh những sai lầm khi tìm giới hạn do không hiểu đề bài hoặc hiểu sai đề bài.

- Giúp giáo viên đưa ra phương pháp giảng dạy phù hợp để học sinh tránh mắc phải những sai
lầm đáng tiếc.
- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm
cho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài tập giới hạn hàm số. Từ đó nâng cao chất
lượng học tập của học sinh trong các tiết học.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh khối 11 trường THPT Kiệm Tân
4. Giới hạn của đề tài:
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 11. Vì vậy tôi chỉ tập trung vào vấn đề “Giúp đỡ
học sinh học tốt phần bài tập giới hạn trong chương trình lớp 11”.
5. Nhiệm vụ của đề tài:
Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt phần bài tập giới hạn trong chương trình. Nắm vững
và phân dạng được từng loại bài tập giới hạn, đảm bảo tốt kiến thức phần bài tập giới hạn trong
các kỳ thi học kì, thi đại học và cao đẳng
Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng học
sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT.
6. Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng
các nhóm phương pháp sau:
- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài.
- Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
- Phương pháp điều tra
- Phương pháp thực nghiệm, kinh nghiệm giảng dạy
7. Cấu trúc của đề tài:
+ Mở đầu
+ Nội dung:
-
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
7
-

Chương II
:
Những sai lầm mà học sinh thường mắc phải

-
Chương III : Phương pháp khử dạng vô định
+ Kết luận
+ Tài liệu tham khảo

8
NỘI DUNG
Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
1/ Cơ sở lý luận:
- Dựa vào mục tiêu của chương giới hạn nhằm đưa các khái niệm cơ sở của giải tích và qua
đó bước đầu hình thành kiểu tư duy toán học gắn liền với sự vô hạn và liên tục.
- Dựa vào các định lí cơ bản làm công cụ cho việc nghiên cứu giới hạn của dãy số và của hàm
số, giải một số bài toán liên quan dạng đơn giản.
- Chuẩn bị những khái niệm và công cụ cơ bản nhất làm cơ sở cho việc nghiên cứu các nội
dung sẽ đưa vào sau đó như đạo hàm, khảo sát hàm số và tích phân.
2/ Cơ sở thực tiễn của đề tài:
- Dựa trên thực tiễn qua quá trình giảng dạy, đánh giá, thu thập số liệu.
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lí đã học trong chương trình toán trung
học phổ thông.
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới quá trình giải bài tập.
- Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lí hiển nhiên hay đã được chứng
minh, thừa nhận.
9
Chương II: NHỮNG SAI LẦM HỌC SINH THƯỜNG GẶP PHẢI
A. Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan:

I. Giới hạn của dãy số
1. Các giới hạn đăc biệt
1
)lim 0a
n
=
;
1
lim 0
k
n
=
;
lim
k
n = +∞
, với k nguyên dương.
)lim 0
n
b q =
nếu
1q <
;
lim
n
q = +∞
nếu q>1.
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
a) Nếu
lim

n
u a=
và
lim
n
v b=
, thì :
lim( )
n n
u v a b+ = +

lim( )
n n
u v a b− = −
lim( . ) .
n n
u v a b=

lim ( 0)
n
n
u
a
b
v b
= ≠
b) Nếu
0
n
u ≥

với mọi n và
lim
n
u a=
, thì
0a ≥
và
lim
n
u a=
.
3) Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực
a) Nếu
lim
n
u a=
và
lim
n
v = ±∞
thì
lim 0
n
n
u
v
=
.
b) Nếu
lim 0

n
u a= >
,
lim 0
n
v =
và
0
n
v >
thì
lim
n
n
u
v
= +∞
.
c) Nếu
lim
n
u = +∞
và
lim 0
n
v a= >
thì
lim .
n n
u v = +∞

.
II. Giới hạn của hàm số
1. Các giới hạn đặc biệt
0
0
) lim
x x
a x x
→
=

0
lim
x x
c c
→
=
( c là hằng số)
) lim
x
b c c
→±∞
=

lim 0
x
c
x
→±∞
=

) lim
k
x
c x
→+∞
= +∞
, k nguyên dương
) lim
k
x
c x
→−∞
= +∞
nếu k là số chẵn;
lim
k
x
x
→−∞
= −∞
nếu k là số lẻ
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
a) Nếu
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
và

0
lim ( )
x x
g x M
→
=
, thì
10
•
[ ]
0
lim ( ) ( )
x x
f x g x L M
→
± = ±
•
[ ]
0
lim ( ). ( ) .
x x
f x g x L M
→
=
•
0
( )
lim ( 0)
( )
x x

f x L
M
g x M
→
= ≠
b) Nếu
( ) 0,f x ≥
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
, thì
0L
≥
, và
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
( Định lí trên vẫn đúng khi
x → ±∞
)
3. Quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích
( ). ( )f x g x
0

lim ( )
x x
f x
→
0
lim ( )
x x
g x
→
0
lim ( ). ( )
x x
f x g x
→
0L >
+∞
+∞
−∞
−∞
0L <
+∞
−∞
−∞
+∞
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương
( )
( )
f x
g x
0

lim ( )
x x
f x
→
0
lim ( )
x x
g x
→
Dấu của g(x)
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→
L
+∞
Tùy ý 0
0L >
0
+
+∞
−
−∞
0L <
0
+

−∞
−
+∞
B. Những sai lầm học sinh thường gặp phải:
I. Giới hạn của dãy số
Ví dụ 1: Tính giới hạn:
2
lim( )n n−
11
- Sai lầm:
Có học sinh làm như sau:
Ta có:
2 2
lim( ) lim lim ( ) 0n n n n− = − = +∞ − +∞ =
Vậy
2
lim( ) 0n n− =
- Phân tích sai lầm:
Học sinh đã áp dụng định lí về các phép toán giới hạn của dãy số mà không để ý là định lí chi
áp dụng khi các giới hạn là hữu hạn. Sai lầm thứ hai là học sinh đồng nhất các kí hiệu
+∞
như
là một số. (Nếu
lim
n
u a=
và
lim
n
v b=

, thì :
lim( )
n n
u v a b+ = +

lim( )
n n
u v a b− = −
)
- Lời giải đúng:
Ta có:
2 2
1
lim( ) lim (1 )n n n
n
− = − = +∞
vì
2
limn = +∞
và
1
lim(1 ) 1
n
− =
Vậy
2
lim( )n n− = +∞
Ví dụ 2: Tính giới hạn:
2
2 1

lim
2
n
n n
+
−
- Sai lầm:
Có học sinh làm như sau:
Ta có:
2
2
1
2
2 2
lim lim
1 2
1 2 0
n n
n
n
n n
+
+
= = = +∞
−
−
Vậy
2
2
lim

1 2
n n
n
+
= +∞
−
- Phân tích sai lầm:
Học sinh đã áp dụng định lí về các phép toán giới hạn vô cực của dãy số mà không để ý
về dấu của mẫu (Nếu
lim 0
n
u a= >
,
lim 0
n
v =
và
0
n
v >
thì
lim
n
n
u
v
= +∞
.)
- Lời giải đúng:
Ta có:

2
2
1 1
( 2) ( 2)
2
lim lim lim
1 1
1 2
( 2) ( 2)
n n
n n
n n
n
n
n n
+ +
+
= = = −∞
−
− −
vì
limn = +∞
12
v à
1
2
lim 1 0
1
2
n

n
+
= − <
−
Vậy
2
2
lim
1 2
n n
n
+
= −∞
−
Ví dụ 3: Tính giới hạn:
2
lim( 1 )n n+ −
- Sai lầm:
Có học sinh làm như sau:
Ta có:
2 2
lim( 1 ) lim 1 lim ( ) 0n n n n+ − = + − = +∞ − +∞ =
Có học sinh khác làm như sau:
Ta có:
2
1
lim( 1 ) lim ( 1 1) .0 0n n n
n
+ − = + − = +∞ =
- Phân tích sai lầm:

Học sinh bị lẫn lộn giữa hai khái niệm giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực trong việc
biến đổi các phép toán về giới hạn (Nếu
lim
n
u = +∞
và
lim 0
n
v a= >
thì
lim .
n n
u v = +∞
.)
- Lời giải đúng:
Ta có:
2 2
2
2
( 1 )( 1 )
lim( 1 ) lim
1
n n n n
n n
n n
+ − + +
+ − =
+ +

2
2
1
1
lim lim 0
1
1
1 1
n
n n
n
= = =
+ +
+ +
Ví dụ 4: Tính giới hạn:
2
1 2
lim
2
n
n
+ + +
+
- Sai lầm:
Có học sinh làm như sau:
13
2 2 2 2
1 2 1 1
lim lim lim lim
2 2 2 2

n n
n n n n
+ + +
= + + +
+ + + +
0 0 0 0
= + + + =
- Phân tích sai lầm:
Các định lí về phép toán giới hạn chỉ phát biểu cho hữu hạn số hạng. Trong lời giải trên
đã áp dụng cho giới hạn của tổng vô hạn các số hạng nên đã dẫn đến sai lầm.
- Lời giải đúng:
Ta có:
.( 1)
1 2
2
n n
n
+
+ + + =
do đó:
2
2 2 2
2
1
1
1 2 .( 1) 1
lim lim lim lim
4
2 2.( 2) 2 4 2
2

n n n n n
n
n n n
n
+
+ + + + +
= = = =
+ + +
+
Nhận xét : Tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn bằng 0 chưa chắc đã có giới hạn
bằng 0
II. Giới hạn của hàm số
Ví dụ 1: Tính giới hạn:
0
1
2
lim
3
5
x
x
x
→
+
+

- Sai lầm:
Có học sinh làm như sau:
Ta có:
0

1
2
2 0 2
lim
3
0 5 5
5
x
x
x
→
+
+
= =
+
+
- Phân tích sai lầm:
Học sinh đã áp dụng
lim 0
x
c
x
→±∞
=
mà không chú ý
0x →

- Lời giải đúng:
14
Ta có:

0 0
1
2
2 1 1
lim lim
3
3 5 3
5
x x
x
x
x
x
→ →
+
+
= =
+
+

Ví dụ 2: Tính giới hạn:
1
2 7
lim
1
x
x
x
−
→

−
−

- Sai lầm:
Có học sinh làm như sau:
Ta có:
1
2 7 2.( 1) 7 9
lim
1 1 1 2
x
x
x
−
→
− − −
= =
− − −
- Phân tích sai lầm:
Học sinh không hiểu rõ bản chất của giới hạn bên trái, giới hạn bên phải. Măc dù đây là
sai lầm ít học sinh mắc phải nhưng trên thực tế vẫn có.
- Lời giải đúng:
Ta có:
1
2 7
lim
1
x
x
x

−
→
−
= +∞
−
vì
1 1
lim(2 7) 5 0,lim( 1) 0
x x
x x
− −
→ →
− = − < − =
và
1 0x
− <
khi
1x
<

Ví dụ 3: Tính giới hạn:
2
1
lim
1
x
x
x
→−∞
+

+

- Sai lầm:
Có học sinh làm như sau:
Ta có:
2
2
2 2 2
1 1 1
.(1 ) . 1 1
1
lim lim lim lim 1
1 1
1 1
(1 ) 1
x x x x
x x
x
x x x
x x
x
x x
→−∞ →−∞ →−∞ →−∞
+ + +
+
= = = =
+ +
+ +
- Phân tích sai lầm:
Học sinh không để ý khi đưa x ra khỏi căn trong khi

x → −∞

- Lời giải đúng:
15
Ta có:
2
2
2 2 2 2
1 1 1 1
.(1 ) . 1 1 1
1
lim lim lim lim lim 1
1 1 1
1 1
(1 ) .(1 ) 1
x x x x x
x x x
x
x x x x
x x
x x
x x x
→−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞
+ + − + − +
+
= = = = = −
+ +
+ + +
Ví dụ 4: Tính giới hạn:
2

lim( 4 2 )
x
x x x
→−∞
− +

- Sai lầm:
Có học sinh làm như sau:
Ta có:
2 2
1 1
lim( 4 2 ) lim ( (4 ) 2 ) limx( (4 ) 2) .0 0
x x x
x x x x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
− − = − − = − − = +∞ =
- Phân tích sai lầm:
Học sinh nắm không vững điều kiện để áp dụng định lí và đồng nhất kí hiệu
+∞
như là một số
- Lời giải đúng:
Ta có:
2 2
2
2 2
( 4 2 ).( 4 2 )
lim( 4 2 ) lim lim
4 2 4 2
1

lim 0
1
4 2
x x x
x
x x x x x x x
x x x
x x x x x x
x
x
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞
− − − + −
− − = =
− + − +
−
= =
− +
Ví dụ 5: Tính giới hạn:
2
lim( 1 )
x
x x
→−∞
+ −

- Sai lầm:
Có học sinh làm như sau:
Ta có:
2 2 2 2

2
2 2
( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 )
lim( 1 ) lim lim
1 1
x x x
x x x x x x x x
x x
x x x x
→−∞ →−∞ →−∞
+ − + + + − + +
+ − = =
+ + + +
2
2
1
1
lim lim
1
1
1 1
x x
x
x x
x
→−∞ →−∞
=
+ +
− + +
( dạng

0
0
)
16
- Phân tích sai lầm:
Học sinh vội vàng nhân biểu thức liên hợp mà không phân tích nhận dạng dẫn tới dạng vô định
khác .
- Lời giải đúng:
Ta có:
2 2
2 2
1 1
lim( 1 ) lim( (1 ) ) lim x( 1 1)
x x x
x x x x
x x
→−∞ →−∞ →−∞
+ − = + − = − + + = +∞

Để tránh mắc phải những sai lầm thì học sinh phải nắm được các định lí về giới hạn và
điều kiện để áp dụng các định lí đó.
Phân biệt giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực để tránh sai lầm trong việc biến đổi các
phép toán về giới hạn. Khi dạy các định lí phép toán về giới hạn giáo viên cần lưu ý cho
học sinh phạm vi và điều kiện áp dụng định lí, nhấn mạnh cho học sinh các sai lầm mà các em
hay mắc phải khi áp dụng định lí.
17
Chương III: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH
Giới hạn vô định là các giới hạn mà ta không thể tìm chúng bằng cách áp dụng trực tiếp
các định lí về giới hạn. Do đó muốn tính các giới hạn có dạng này ta phải tìm cách khử dạng
vô định để áp dụng các định lí.

Trong giới hạn chương trình môn toán lớp 11 các dạng vô định thường gặp là:
0
; ; ;0. .
0
∞
∞ −∞ ∞
∞

I. Dạng vô định
0
0

Giới hạn dạng vô định
0
0
là một trong những giới hạn thường gặp nhất đối với bài toán
tính giới hạn hàm số. để tính các giới hạn có dạng này phương pháp chung là sử dụng các
phép biến đổi( phân tích đa thức thành nhân tử, nhân với biểu thức liên hợp, thêm, bớt các
hạng tử…) để khử dạng vô định.
Loại 1.
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→
mà f(x) và g(x) là các đa thức và
0 0

( ) 0, ( ) 0f x g x= =

Phương pháp: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử với nhân tử chung là
0
x x−


0 0 0
0 1 1
0 1 1
( ) ( )( ) ( )
lim lim lim
( ) ( ) ( ) ( )
x x x x x x
x x f xf x f x
g x x x g x g x
→ → →
−
= =
−

• Nếu
= + +
2
( )f x ax bx c
= 0 có 2 nghiệm
1 2
,x x
thì ta phân tích
= + + = − −

2
1 2
( ) ( )( )f x ax bx c a x x x x
• Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
− = − +
− = − + +
+ = + − +
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
A B A B A B
A B A B A AB B
A B A B A AB B
Ví dụ áp dụng: Tính các giới hạn:

)
2
x -3
2x +4x -6
a lim
x+3
→

2
2

)
4
2
x -2
x + x
b lim
x
→
−
−

18
Giải:
)
2
x -3 x -3 x -3
2x +4x -6 2(x -1).(x+3)
a lim lim lim 2(x -1)= 2.(3 -1)= 4
x+3 x+3
→ → →
= =
2
2 ( 1).( 2) 1 2 1 3
)
4 ( 2).( 2) 2 2 2 4
2
x -2 x -2 x -2
x + x x x x
b lim lim lim
x x x x

→ → →
− − + − − −
= = = =
− − + − − −
Bài tập tương tự: Tính các giới hạn sau
( )
2
2 2
3
2
2
2 2
2
3 1
1 0
3 1
3 2 3
1/ 2 /
2 3 2 1
1 1
2
3 / 4 /
1
2 15 2 3 1
5 / 6 /
3 1
x x
x x
x x
x x x

lim lim
x x x x
x
x x
lim lim
x x
x x x x
lim lim
x x
→− →
→ →
→ →−
+ + −
+ − − −
+ −
+ −
−
+ − + +
− −
2
2
1
1
7 / lim
2 1
x
x
x x
→
−

− −

3
2
1
2 5 4
8 / lim
( 1)
x
x x
x
→−
− −
+

2
2
4
9 / lim
2
x
x
x
→−
−
+

2
2
3

5 6
10 / lim
3
x
x x
x x
→−
+ +
+
Loại 2.
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→
mà f(x) và g(x) chứa căn thức và
0 0
( ) 0, ( ) 0f x g x= =
Phương pháp: Nhân tử và mẫu với cùng một biểu thức liên hợp
2 2
3 3
3 3 3 3
2 2
3 3
3 3 3 3
( )( ) A B
( )( ) A B

( )( . ) A B
( )( . ) A B
A B A B
A B A B
A B A A B B
A B A A B B
+ − = −
+ − = −
+ − + = +
− + + = −

Ví dụ áp dụng: Tính các giới hạn:

0
4
/ lim
9 3
x
x
a
x
→
+ −

2
2 2
/ lim
2
x
x

b
x
→
−
−


1
2 2
/ lim
7 3
x
x
c
x
→
+ −
+ −

2
*
1
3
d )lim
1
x
x x x
x
→
+ − +

−

19
Giải:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
0 0 0
0 0
4 9 3 4 9 3
4
/ lim lim lim
9 9
9 3
9 3 9 3
4 9 3
lim lim 4 9 3 24
x x x
x x
x x x x
x
a
x
x
x x
x x
x
x

→ → →
→ →
+ + + +
= =
+ −
+ −
+ − + +
+ +
= = + + =
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 4
/ lim lim lim
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 1
lim lim
2
2 2
2 2 2

x x x
x x
x x
x x
b
x
x x x x
x
x
x x
→ → →
→ →
− +
− −
= =
−
− + − +
−
= = =
+
− +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1
2 2 2 2 7 3

2 2
/ lim lim
7 3
7 3 7 3 2 2
2 7 3
7 3 6 3
lim lim
4 2
2 2
2 2 2
x x
x x
x x x
x
c
x
x x x
x x
x
x
x x
→ →
→ →
+ − + + + +
+ −
=
+ −
+ − + + + +
− + +
+ +

= = = =
+ +
− + +
2
*
1
3
d )lim
1
x
x x x
x
→
+ − +
−
Nếu ta yêu cầu học sinh giải bài toán trên thì thật không đơn giản, giới hạn này có dạng
0
0
, học sinh sẽ nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp, lúc đó biểu thức ở tử là một đa
thức bậc bốn điều này dẫn đến khó khăn khi phân tích thành nhân tử chung. Thay vào
đó ta đưa ra các bài toán sau, tính:
2
1
2
1.lim ( 3)
1
x
x x
x
→

+ −
=
−

1
2 3 1
2.lim ( )
1 4
x
x
x
→
− +
= −
−
Sau khi học sinh giải hai bài toán trên giáo viên lưu ý cho học sinh thấy:
20
2
2
1
x x
x
+ −
−
+
2 3
1
x
x
− +

−
=
2
3
1
x x x
x
+ − +
−
Như vậy
2 2
1 1 1
3 2 2 3 1 11
lim lim lim 3
1 1 1 4 4
x x x
x x x x x x
x x x
→ → →
+ − + + − − +
= + = − =
− − −
Để giúp học sinh biết vận dụng kỹ thuật trên một cách linh hoạt, ta có thể đặt vấn đề
cho học sinh: nếu không có hai bài toán 1 và 2, thì các em giải bài toán 3 như thế nào?
Câu trả lời sẽ là: Bớt 2 và thêm 2 ở tử rồi tách ra hai bài toán.
Lúc này sẽ có nhiều học sinh thắc mắc nếu thêm bớt một số khác 2 thì có được không?
Ta cần làm rõ ý tưởng then chốt cho học sinh: Số cần thêm bớt là số sao cho khi tách ra
các bài toán nhỏ, các giới hạn cũng có dạng
0
0

. Để giúp học sinh rèn luyện kỹ năng này
yêu cầu học sinh giải thêm các bài tập sau:
3 3
2 2
4 1 25 4 1 3 3 25
)lim : lim
2 2

x x
x x x x
a HD
x x
→ →
 
+ − + + − + − +
 ÷
− −
 

3 3
4 4
2 2 2 2
)lim :lim
4 4

x x
x x x x
b HD
x x
→ →

 
− − + −
 ÷
− −
 
Lúc này cần chốt cho học sinh ý tưởng, để giải một bài toán khó, có thể tìm cách tách
bài toán đó thành nhiều bài toán nhỏ sao cho mỗi bài toán nhỏ đều có thể giải được.
Bài tập tương tự: Tính các giới hạn sau:
4 2
0
x
1 / lim
x
x
+ −
→

2 1
1
1
x x
2 / lim
x
x
− −
−
→

1 1
3 2 9

0
x
3 / lim
x
x
+ −
− +
→
2 2 3 1
1
1
x x
4 / lim
x
x
+ − +
−
→

1
5 /
0
1+2x
lim
2x
x
−
→

3 2

1
1
x
6 / lim
x
x
+ −
−
→
3 2
1
1
x
7 / lim
x
x
+ −
−
→

2 1
1
12 11
x x
8 / lim
2
x
x x
− −
→

− +

3
1 1
3
0
x
9 / lim
x
x
− −
→

2
2
10 / lim
4 1 3
x
x x
x
→
− +
+ −

2
6 2
11/ lim
11 3
x
x

x
→−
+ −
+ −

3
2
2
8 11 7
12 / lim
3 2
x
x x
x x
→−
+ − +
− +
21
II. Dạng vô định
∞
∞
( tính
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→

khi
0
0
lim ( ) ,lim ( )
x x
x x
f x g x
→
→
= ±∞ = ±∞

Phương pháp:
• Chia tử và mẫu cho
k
x
với k là số mũ bậc cao nhất của biến số x( hay phân tích tử và
mẫu thành tích chứa nhân tử
k
x
rồi giản ước).
• Nếu tử hay mẫu có chứa biến x trong dấu căn thức, thì đưa
k
x
ra ngoài dấu căn ( với k
là số mũ bậc cao nhất trong dấu căn ), trước khi chia tử và mẫu cho lũy thưà của x.
Ví dụ áp dụng: Tính các giới hạn:

2 1
/ lim
2

x
x
a
x
→−∞
+
−

2
1
/ lim
1
x
x
b
x
→+∞
−
−


2
1
/ lim
1
x
x
c
x
→+∞

−
+

2
1
/ lim
1
x
x
d
x
→−∞
−
+

Giải:
1
1
2
2
2 1 2
/ lim lim lim 2
2
2
2 1
1
1
x x x
x
x

x
x
a
x
x
x
x
→−∞ →−∞ →−∞
 
+
+
 ÷
+
 
= = = =
−
 
−
−
 ÷
 
2
2
2
2
2
2
2
1 1
1 1

1 0
/ lim lim = lim = =0
1
1
1 1
1
1
x x x
x
x
x x
x x
b
x
x
x
x
→+∞ →+∞ →+∞
 
−
−
 ÷
−
 
=
−  
−
−
 ÷
 

2
2 22
2 2
1 1
1 1
1
/ lim lim lim
1
1 1
1
1 1
1 1
1
lim lim 1
1
1
1
1
1
x x x
x x
x x
x xx
c
x x
x
x
x
x x
x

x
x
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞ →+∞
   
− −
 ÷  ÷
−
   
= =
+ +
 
+
 ÷
 
   
− −
 ÷  ÷
   
= = = =
 
+
+
 ÷
 
22
2
2 22
2 2
1 1

1 1
1
/ lim lim lim
1
1 1
1
1 1
1 1
1
lim lim 1
1
1
1
1
1
x x x
x x
x x
x xx
d
x x
x
x
x
x x
x
x
x
→−∞ →−∞ →−∞
→−∞ →−∞

   
− −
 ÷  ÷
−
   
= =
+ +
 
+
 ÷
 
   
− − − −
 ÷  ÷
−
   
= = = = −
 
+
+
 ÷
 
Bài tập tương tự: Tính các giới hạn sau:
2 3
1/
1 3
x
x
lim
x

→+∞
−
−

3 2
6 4
2 1
2 /
3 2 1
x
x x
lim
x x
→−∞
− +
+ +

2
2
2 3 1
3 /
3 5
x
x x
lim
x x
→−∞
+ +
− +

( ) ( ) ( )
( )
3
2 2 1 1 4
4 /
3 4
x
x x x
lim
x
→+∞
− + −
+

5
2
3
2 1
5 /
1
x
x x
lim
x
→+∞
+ +
+

2
4

3 8
6 /
6 1
x
x x
lim
x x
→−∞
+ −
− +
2
33
2 3
7 /
1
x
x x
lim
x x
→−∞
+ +
− +

2
4 1
8 /
3 1
x
x
lim

x
→−∞
+
−

2
14
9 /
1
x
x
lim
x x
→−∞
−
− −
2
3 1
10 /
1 2
x
x
lim
x x
→−∞
−
− +

2
2 3

11/
2 3
x
x
lim
x
→−∞
+
+

( )
( )
4 2
3
1
12 /
1 1
x
x x
lim
x x
→+∞
+ +
+ −
III. Dạng vô định
∞ −∞
( Tính
0
lim[ ( ) ( )]
x x

f x g x
→
−
khi
0
0
lim ( ) ,lim ( )
x x
x x
f x g x
→
→
= ±∞ = ±∞
)
Phương pháp:
• Nhân và chia với biểu thức liên hợp để đưa về dạng
∞
∞
( nếu có biểu thức chứa biến số
dưới dấu căn thức), Đặt
k
x
làm thừa số chung để áp dụng định lí về giới hạn vô cực.
• Quy đồng để đưa về cùng một phân thức( nếu chứa nhiều phân thức).
Ví dụ áp dụng: Tính các giới hạn:
(
)
(
)
(

)
(
)
1 2 2
3/ x 1 4 / x 1
2 2 2 2
x + x
2 2
x + x
) lim x x x 2) lim x x x
lim x+ x lim x+ x
→ ∞ → −∞
→ ∞ → −∞
+ − − + − −
+ + + +
23
Giải:
(
)
(
)
(
)
2 2
1 2
2
2
1
2 2
1 2

2 2
1 1
2 2
1 1
1 2
1 2
1 1
1 1
2 2 2 2
2 2
2 2
x + x +
2 2
2 2 2 2
x + x + x +
2
x + x +
2
2
x x x x x x
) lim x x x lim
x x x
x
x x x x
x
lim lim lim
x x x x x x
x x
x x
x x

x x
lim lim li
x x
x
x x
x x
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞ → ∞
→ ∞ → ∞
+ − − + + −
+ − − =
+ + −
 
+
 ÷
+ − + +
 
= = =
+ + − + + −
+ + −
   
+ +
 ÷  ÷
   
= = =
 
+ + −
+ + −
 ÷
 

2
1
1
2
1 2
1 1
x +
2
x
m
x x
→ ∞
+
=
+ + −
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 2 1 2
1 1 1 1

2
1
1 2
1 1
2 2 2 2
2 2
2 2
x x
2 2
2 2 2 2
x x
x x
2 2
x +
2
x x x x x x
) lim x x x lim
x x x
x x - x x
lim lim
x x x x x x
x x
x x
lim lim
x x x x
x x x x
x
x
lim
x

x x
→ −∞ → −∞
→ −∞ → −∞
→ −∞ → −∞
→ ∞
+ − − + + −
+ − − =
+ + −
+ + +
= =
+ + − + + −
   
+ +
 ÷  ÷
   
= =
+ + − − + − −
 
+
 ÷
 
= =
 
− + + −
 ÷
 
2
1
1
2

1 2
1 1
x +
2
x
lim
x x
→ ∞
 
− +
 ÷
 
= −
+ + −
24

(
)
(
)
(
)
( )
x 1 x 1
3 / x 1
x 1
1
1
1
1

1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
2 2
2
2
x + x +
2 2
2 2
x + x + x +
2
x + x + x +
2
2
x+ x x x
lim x+ x lim
x x
x
x x x
x
x
lim lim lim
x x x x x x
x x

x x
x x
x x
lim lim lim
x x
x 1
x x
x x
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞ → ∞
→ ∞ → ∞ →
+ + − + +
+ + =
− + +
 
− −
 ÷
− + +
− −
 
= = =
− + + − + +
− + +
   
− − − −
 ÷  ÷
   
= = =
 
− + +

− + +
 ÷
 
1
1
1 1
1
2
x
1
x x
∞
− −
= +∞
− + +

1 1 1 1 1
( 1 1 0, 1 0 ; 1 0)
2 2
x + x +
lim lim 1 1
x x x x x
→ ∞ → ∞
 
 
− − = − < − + + = − + + <
 ÷
 ÷
 ÷
 

 
Trong trường hợp này giáo viên lưu ý học sinh có thể linh động làm theo cách khác , ngắn gọn
hơn như sau:
(
)
3 / 1 1
1
2
2
x + x +
2
x +
1 1
lim x+ x x lim x+ x
x x
1 1
lim x 1+
x x
→ ∞ → ∞
→ ∞
 
+ + = + +
 ÷
 ÷
 
 
= + + = +∞
 ÷
 ÷
 

Vì
1 1
( , 1 2 0)
2
x + x +
lim x = + lim 1+
x x
→ ∞ → ∞
 
∞ + + = >
 ÷
 ÷
 
25