skkn khắc phục sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài toán tính tích phân thpt ba vì

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
***
S¬ yÕu lý lÞch
Họ và tên: PHAN LẠC DƯƠNG
Ngày tháng năm sinh: 01 - 08 - 1981
Năm vào ngành: 09 – 2003
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Ba Vì
Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Toán
Hệ đào tạo: Chính quy
Bộ môn giảng dạy: Toán
Ngoại ngữ: Anh văn
Trình độ chính trị: Sơ cấp
Đại học: Đại học Sư Phạm Hà Nội.
Môc lôc
Trang
A – PHẦN MỞ ĐẦU
4
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
1
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
VI. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
4
5
6
6

7
B– NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. CƠ SỞ KHOA HỌC ĐỀ XUẤT SKKN
II. GIẢI PHÁP
1. Những kiến thức liên quan
1.1. Nguyên hàm
1.2. Tích phân
2. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách
khắc phục
2.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải
2.1.1. Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm
2.1.2. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân
2.1.3. Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân
2.1.4. Sai lầm khi đổi biến số
2.2. Những lỗi tinh vi mà học sinh vẫn thường mắc phải
2.2.1. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số
2.2.2. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số
2.2.3. Sai lầm vì dùng công thức không có trong SGK
2.2.4. Sai lầm do hiểu sai bản chất công thức
2.3. Các bài tập tự luyện
4. Thiết kế một giáo án chi tiết
8
8
10
10
11
15
15
15
17

18
20
22
22
24
27
29
31
III. HIỆU QUẢ CỦA SKKN:
40
C – KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN
II. KHUYẾN NGHỊ
42
42
43
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
2
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
45
Phụ lục
Danh mục các từ và cụm từ viết tắt
SKKN : sáng kiến kinh nghiệm
THPT : trung học phổ thông
SGK : sách giáo khoa
SGV : sách giáo viên
ĐH, CĐ và THCN : đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp
A – PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Để có thể đáp ứng được yêu cầu của thời đại mới, trong những
năm qua, ngành giáo dục không ngừng tổng kết kinh nghiệm, đổi mới về
mọi mặt, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học, thay thế phương
pháp truyền thụ áp đặt bằng phương pháp tích cực, sáng tạo. Người giáo
viên đóng vai trò tổ chức định hướng, phát huy tính chủ động tích cực
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
3
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
của học sinh để học sinh tự chiếm lĩnh tri thức, hình thành kĩ năng, xây
dựng thế giới quan và nhân cách.
Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu
chung của chương trình giáo dục phổ thông. Mục tiêu chung của môn
Toán là: Cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, phương pháp
Toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực. Góp phần quan trọng vào việc
phát triển năng lực trí tuệ, hình thành cho học sinh những phương pháp
luận đặc trưng của Toán học, rất cần thiết cho thực tiễn cuộc sống. Từ đó
hình thành và phát triển cho học sinh các phẩm chất đạo đức, tác phong
lao động khoa học, ý chí và khả năng tự học, tạo cơ sở để học sinh tiếp
tục học lên ĐH, CĐ và THCN và đi vào thực tiễn cuộc sống. Người giáo
viên dạy Toán muốn dạy tốt thì cần phải thường xuyên tổng kết, rút kinh
nghiệm giảng dạy, để có thể thiết kế ra những bài giảng có tính hệ thống
và tính sư phạm cao.
Trong chương trình Toán THPT , Tích phân và các ứng dụng của
tích phân chiếm một vị trí quan trọng. Luôn có mặt trong tất cả các đề thi
tốt nghiệp THPT, các đề thi tuyển sinh vào ĐH, CĐ và THCN. Hơn thế
nó là một công cụ để giải một trong những bài toán thực tiễn phổ biến
nhất trong cuộc sống hằng ngày: Bài toán tính diện tích và thể tích.
Trong quá trình giảng dạy và trao đổi với các đồng nghiệp khác
trong tổ chuyên môn khi dạy phần kiến thức này, tôi nhận thấy rất nhiều
các học sinh ở những lớp khác nhau nhưng mắc những sai lầm giống

nhau khi giải các bài toán đó thậm chí có cả học sinh khá, giỏi.
Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như :
- Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức;
- Đổi biến số nhưng không đổi cận;
- Khi đổi biến không tính vi phân;
- Giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục;
Những lỗi tinh vi mà học sinh thường mắc phải như :
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
4
Sáng kiến kinh nghiệm Phan Lạc Dơng
- Hm s khụng liờn tc trờn vn s dng c cụng thc Newtn-
Leibnitz.
- i biến số t = u(x) nhng u(x) khụng phải là một hàm số liên tục và có
đạo hàm liên tục trờn [a; b].
- S dng cụng thc v khỏi nim khụng cú trong sỏch giỏo khoa hin
thi.
- Chn cỏch i bin s nhng gp khú khn khi i cn ( khụng tỡm
c giỏ tr chớnh xỏc)
Trc õy cng ó cú mt s tỏc gi nghiờn cu v cp n vn
ny tuy nhiờn nhng kt qu thu c cũn hn ch, hu nh ch dng
li vic ch ra mt vi sai sút ca hc sinh.
Vi mong mun giỳp cỏc em hc sinh hiu c nhng nhng
kin thc cn bn, khc phc c nhng sai lm khi gii toỏn t ú t
mỡnh lm c nhng bi tp c bn, tin ti gii quyt c nhng bi
toỏn nõng cao v thy yờu thớch mụn Toỏn hn, trờn c s tip thu mt s
kt qu ca ng nghip i trc, tụi ó chn ti nghiờn cu cho mỡnh
l: KHC PHC SAI LM THNG GP CA HC SINH KHI GII BI
TON TNH TCH PHN .
II. MC CH NGHIấN CU
ti ny c nghiờn cu nhm mc ớch ci tin ni dung v

phng phỏp ging dy cỏc tit hc lớ thuyt v bi tp Nguyờn hm v
tớch phõn t ú:
* Hỡnh thnh cho hc sinh kin thc cn bn v Nguyờn hm v tớch
phõn.
* Giỳp hc sinh nhn thy nhng sai lm thng mc phi khi gii cỏc
bi toỏn v cỏch khc phc.
* Giỳp cho hc sinh cú kh nng t duy nht quỏn nhng linh hot v
sỏng to. Giỳp cỏc em t kt qu cao hn trong hc tp mụn Toỏn t ú
Trờng THPT Ba Vì - Hà Nội.
5
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
mà thấy say mê môn Toán hơn. Đồng thời rèn luyện những đức tính tốt
cho học sinh trong học tập và nghiên cứu.
* Tích lũy kinh nghiệm giảng dạy cho giáo viên, tạo cảm hứng cho giáo
viên sáng tạo hơn nữa trong giảng dạy, thêm yêu ngành yêu nghề.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Kiến thức căn bản về Nguyên hàm và tích phân; các dạng bài tập cơ
bản về Nguyên hàm và tích phân;
- Chỉ ra một số sai lầm của học sinh trong quá trình giải các bài toán tính
Tích phân và biện pháp khắc phục bằng một số ví dụ đơn giản;
- Mở rộng thêm một số bài toán cho học sinh khá, giỏi.
- Đưa ra được đường lối tư duy chung để giải quyết một bài toán tính
Tích phân bất kì.
- Đưa ra được hệ thống các bài tập áp dụng và củng cố.
- Đánh giá được kết quả của việc áp dụng SKKN vào giảng dạy.
IV. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1. Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh khối 12 của trường THPT Ba Vì trong hai năm liên tiếp
NĂM HỌC LỚP SĨ SỐ
2010 - 2011

12A1
12A2
48
43
2011 - 2012
12A1
12A2
47
49
1. Phạm vi nghiên cứu:
- Nghiên cứu về Nguyên hàm và tích phân trong chương III thuộc
chương trình Giải Tích 12 - Ban cơ bản.
- Đề tài được nghiên cứu, áp dụng và đánh giá kết quả trong hai năm học
2010- 2011 và 2011- 2012 cho hai lớp 12 của trường THPT Ba Vì; cùng
với kinh nghiệm của bản thân trong quá trình giảng dạy môn Toán THPT
từ năm học 2003- 2004.
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
6
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
Tôi đã nghiên cứu nhiệm vụ giáo dục THPT, chương trình toán
học phổ thông ( SGK, SGV Giải tích 12), các cuốn sách “ Hướng dẫn
thực hiện chương trình, SGK môn Toán THPT ” và một số tài liệu tham
khảo về Tích phân của một số tác giả.
2. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
- Đưa ra bàn luận trước tổ, nhóm chuyên môn để tham khảo ý kiến và
cùng thực hiện;
- Tham khảo ý kiến các trường bạn, ý kiến đóng góp của các thầy cô dạy
lâu năm đã có nhiều kinh nghiệm;

3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Dạy thực nghiệm trên 2 lớp 12 của trường là: 12A2 ( 2010-2011),
12A1( 2011-2012) và lấy kết quả đối chứng trên hai lớp 12A1 ( 2010-
2011), 12A2( 2011-2012).
4. Phương pháp đánh giá
- Dự giờ, kiểm tra, đánh giá chất lượng của học sinh;
- Kiểm tra đánh giá trên 3 đối tượng: Giỏi - Khá - Trung bình, yếu, kém
trong đó nội dung dạy học, phương pháp thực hiện và kết quả thu được
đánh giá chủ yếu đối với đối tượng học sinh khá, trung bình, yếu, kém.
B – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. CƠ SỞ KHOA HỌC ĐỀ XUẤT SKKN
Chương trình toán Trung học phổ thông đã cung cấp cho học sinh
tương đối đầy đủ những kiến thức căn bản về tích phân và các ứng dụng
của tích phân. Tuy nhiên phần thời gian luyện tập tích phân theo phân
phối chương trình năm quá ngắn ( với số tiết bài tập là 3 tiết ứng với 3
bài của cả chương ) do đó học sinh không có điều kiện luyện tập nhiều,
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
7
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
mặt khác theo chủ chương giảm tải SGK và SBT chỉ cung cấp một số
lượng ít các ví dụ, bài tập về nguyên hàm và tích phân trong khi các đề
thi vào Đại học, CĐ lại rất phong phú, đa dạng và hóc búa. Do vậy học
sinh trung bình, yếu, kém thì hoang mang khi gặp bài toán tính Tích phân
dù là cơ bản, học sinh khá, giỏi thì lo lắng khi gặp bài Tích phân nâng
cao, tâm lí đó dẫn tới các em bế tắc hoặc mắc sai lầm khi giải toán.
Năm học 2009 - 2010, khi giảng dạy môn Toán khối 12 ở lớp
12A1, 12A10 của trường THPT Ba Vì, tôi nhận thấy học sinh thường bế
tắc hoặc mắc rất nhiều các sai lầm khi giải bài toán tính Tích phân. Các
lỗi giống nhau này không chỉ xảy ra ở những lớp tôi giảng dạy mà còn ở
các lớp khác của đồng nghiệp.

G.Polya đã viết "Con người phải biết học từ những sai lầm và
những thiếu sót của mình". Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách
nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ
lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai
lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy.
Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và tích phân là kiến thức
hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh nhưng sự hình thành ít nhiều liên
quan đến kiến thức về đạo hàm, các em có thể dựa vào các công thức đạo
hàm để hình thành công thức nguyên hàm, tuy vậy đa phần các em hay
nhầm lẫn giữa hai loại công thức này. Các kiến thức căn bản về biến đổi
đại số, học sinh cũng đã được học từ bậc THCS những em có lực học
trung bình, yếu kém đều bị mất gốc phần kiến thức này do đó dù các em
có nắm được kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng sẽ bế
tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi
tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp
giải, tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số,
thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm, chắc mẩm đã đúng mà quên mất các
thao tác quen thuộc: phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các
phép tính…Vì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
8
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việc
phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó. Trong quá trình dạy về
phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logic
của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát
hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của
vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm. Tuy nhiên, nếu
cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy
nhàm chán, mất đi hứng thú học tập. Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt

trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm
lời giải.
Một khó khăn nữa mà tôi cũng gặp trong quá trình giảng dạy trên
đó là việc dạy học phân hóa theo từng đối tượng học sinh. Những lớp tôi
nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh khá, giỏi là đa số, còn lại là một bộ
phận học sinh trung bình, yếu, kém nên các giáo án, các ví dụ và bài tập
của tôi cũng phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên
là ưu tiên các em diện trung bình và yếu, kém sau đó nâng cao lên những
bài toán mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu.
Thêm nữa, với vai trò là môn học nòng cốt, môn Toán được nhà
trường xếp thêm mỗi tuần 01 tiết học tự chọn, với nội dung học tự chọn
bám sát chương trình vì vậy tôi có cơ hội để thực hiện đề tài với việc
soạn giảng 03 tiết Luyện tập tính nguyên hàm, tích phân.
Tiến hành điều tra ban đầu về học lực môn Toán đối với lớp thực
nghiệm và lớp đối chứng tôi thu được kết quả:
NĂM
HỌC
LỚP
SĨ
SỐ
GIỎI KHÁ TB YẾU KÉM
SL % SL % SL % SL % SL %
2010
- 2011
12A1 48 10 21 16 33 15 31 7 15 0 0
12A2
43
6 14 15 35 13 30 9 21 0 0
2011
- 2012

12A1 47 13 27 18 39 12 26 4 8 0 0
12A2
49
9 18 19 39 14 29 7 14 0 0
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
9
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
Đây là các lớp của khối 12 mà đối tượng học sinh khá, giỏi
chiếm số đông bên cạnh đó có cả học sinh yếu kém. Vì thế yêu cầu kiến
thức đưa ra cũng phải phù hợp với nhận thức và khả năng của các em,
không gây sự chán nản, học chống đối để các em có thể nắm chắc kiến
thức cơ bản trong sách giáo khoa, giải thành thạo một số dạng tích phân
căn bản ở phần bài tập và sách bài tập và ngày càng say mê, hứng thú với
bộ môn Toán hơn.
Đối với lớp 12A1 (năm học 2009 – 2010) là một lớp có chất lượng
học sinh cao nhất trong khối, tôi chưa áp dụng đề tài khi dạy mà chỉ
giảng dạy bình thường như phân phối chương trình SGK. Sau khi kết
thúc chương tôi đã tiến hành kiểm tra 45 phút theo phân phối chương
trình. Kết quả thu được như sau:


Qua kết quả khảo sát nêu trên tôi nhận thấy:
- Kết quả bài làm đạt không cao so với mặt bằng kiến thức của lớp.
- Đa phần học sinh mắc những sai lầm thường gặp khi mỗi dạng bài.
- Nhiều em bế tắc không biết cách giải những bài từ mức trung bình trở
lên.
II. GIẢI PHÁP
1. Những kiến thức liên quan:
1.1. Nguyên hàm
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.

Điểm Số HS đạt Tỉ lệ %
[8 - 10] 3 5,88
[6,5 - 8) 6 11,32
[5 - 6,5) 12 23,53
[3,5 - 5) 23 45,54
[0 – 3,5) 7 13,73
N = 51
10
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
1.1.1. Định nghĩa: cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn
hay nửa khoảng). hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)
trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi x thuộc K.
1.1.2. Định lí:
* Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng
số C, hàm số G(x) = F(x) +C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
* Ngược lại, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi
nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x)+C với C là một hằng số.
Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là
( )f x dx
∫
khi đó:
( ) ( )f x dx F x C
= +
∫
( C là hằng số)
1.1.3. Tính chất nguyên hàm :
1.
( ( ) )' ( )f x dx f x
=
∫

và
'( ) ( )f x dx f x C
= +
∫
2.
( ) ( )kf x dx k f x dx
=
∫ ∫
(k là hằng số khác 0)
3.
( ( ) ( )) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫
4.
( ) ( ) [ ( )] '( ) [ ( )]f t dt F t c f u x u x dx F u x C
= + ⇒ = +
∫ ∫
1.1.4. Sự tồn tại nguyên hàm:
Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
1.1.5. Bảng công thức các nguyên hàm cơ bản
Bảng công thức tính đạo hàm và nguyên hàm của một số hàm thường gặp
STT
Hàm số Đạo hàm Nguyên hàm
1 y = x y
'
= 1
∫
+= Cxdx
2
y =

α
x
y' = 2
1
x.
−
α
α
∫
+
+
=
+
C
1
x
dxx
1
α
α
α
(
)1−≠
α
3 y = sin x y' = cosx
Cinxsxdxcos +=
∫
4 y = cosx y' = sinx
Cxcosxdxsin
+−=

∫
5 y = tgx
y'=
π
π
k
2
x,
xcos
1
2
+≠∀
∫
+= Ctgx
xcos
dx
2
6 y = cotgx
y'=
π
kx,
xsin
1
2
≠∀−
∫
+−= Cgxcot
xsin
dx
2

7 y = lnx
y' =
*
Rx,
x
1
+
∈∀
∫
+= Cxln
x
dx
(
)0x ≠
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
11
Sáng kiến kinh nghiệm Phan Lạc Dơng
8 y = log
a
x
y' =
alnx
1
,
1a0,Rx
*
<
+

+= Cxlogdx

alnx
1
a
9 y = e
x
y' = e
x
Cedxe
xx
+=

10 y = a
x
y' = a
x
lna
(
1a0 <
)
C
aln
a
dxa
x
x
+=

(
1a0 <
)

Bng cụng thc tớnh nguyờn hm ca mt s hm hp thng gp:
CONG THệC Cễ BAN CONG THệC HM HP

+=
Cxdx
C
x
dxx +
+
=

+
1
1




+=
Cx
x
dx
ln

+=
Cedxe
xx

+= C
a

a
dxa
x
x
ln

+=
Cxdxx sin.cos


+=
Cxdxx cos.sin
2
2
1
(1 tan ) tan
cos
dx x dx x C
x
= + = +

2
2
1
(1 cot ) cot
sin
dx x dx x C
x
= + = +

'u dx u C
= +

1
'.
1
u
u u dx C



+
= +
+


+==
Cu
u
du
dx
u
u
ln
'
'.
u u
u e dx e C
= +

'.
ln
u
u
a
u a dx C
u
= +

'.cos sinu udx u C
= +

'sin cosu udx u C
= +

2
2
'
'.(1 tan ) tan
cos
u
dx u u dx u C
u
= + = +

2
2
'
'.(1 cot ) cot

sin
u
dx u u dx u C
u
= + = +

1.1.6. Mt s phng phỏp tớnh nguyờn hm
a. Phng phỏp i bin s :
Phng phỏp ny da vo nh lớ sau:
Nu
( ) ( )f t dt F t c
= +

v t=u(x) l hm s cú o hm liờn tc , thỡ

[ ( )] '( ) [ ( )]f u x u x dx F u x C
= +

b. Phng phỏp nguyờn hm tng phn:
Trờng THPT Ba Vì - Hà Nội.
12
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
Phương pháp này có được dựa và định lí sau:
Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

( ). '( ) ( ). ( ) ( ). '( )u x v x dx u x v x v x u x dx
= −
∫ ∫
Hay viết gọn là:
.udv u v vdu

= −
∫ ∫
1.2. Tích phân
1.2.1. Định nghĩa tích phân:
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử F(x) là một nguyên
hàm của f(x) trên đoạn [a ; b]. Hiệu số F(b) − F(a) được gọi là tích phân
từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b]) của hàm số f(x), kí
hiệu là
b
a
f x x( )d
∫

( ) ( )
( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
(công thức Newtơn- Leibnitz).
* Ý nghĩa hình học của tích phân :
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a ; b], thì tích
phân
( )d
b
a
f x x

∫
là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị
của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b . Vậy:
=
∫
( )d .
b
a
S f x x
1.2.2. Tính chất của tích phân:
a ) Tính chất 1 :
( )d ( )d
b b
a a
kf x x k f x x
=
∫ ∫
(k là hằng số).
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
13
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
b ) Tính chất 2 :
± = ±
∫ ∫ ∫
[ ( ) ( )]d ( )d ( )d .
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x
c ) Tính chất 3 :
( )d ( )d ( )d

b c b
a a c
f x x f x x f x x
= +
∫ ∫ ∫
(a < c < b).
1.2.3. Phương pháp tính tích phân :
a) Phương pháp đổi biến số:
Đ ịnh lí : Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b].
Giả sử hàm số
( )x t
ϕ
=
có đạo hàm liên tục trên đoạn [
α
;
β
] sao cho
= =
( ) , ( )a b
ϕ α ϕ β
và
( )a t b
ϕ
≤ ≤
với mọi
[ ; ].t
α β
∈

Khi đó
( )d ( ( )) '( )d .
b
a
f x x f t t t
β
α
ϕ ϕ
=
∫ ∫
b) Phương pháp tính tích phân từng phần:
Từ phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lí sau đây.
Đ ịnh l í : Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên
đoạn [a ; b] thì :
( ) '( ) ( ) ( ) | '( ) ( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x u x v x dx
= −
∫ ∫
hay
d d
b b
b
a
a a
u v uv v u
= −

∫ ∫
.
2. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục:
2.1. Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải:
2.1.1. Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm:
* Ví dụ 1 : Tính tích phân : I =
3
0
1x dx+
∫

Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
14
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
Cách giải sai của học sinh
I =
3
0
1x dx+
∫
=
3
0
1 ( 1)x d x+ +
∫
=
3
0
1
2 1x +

=
1 1 1
4 2 2
− = −
Cách giải đúng
I =
3
0
1x dx+
∫
=
3
1
2
0
( 1) ( 1)x d x+ +
∫
=
3
3
2
0
2
( 1)
3
x +
=
3
3
0

2
( 1)
3
x +
=
2 14
(8 1)
3 3
− =
- Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát
hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại.
- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :
* Nguyªn nh©n sai lÇm : sự hình thành nguyên hàm ít nhiều liên quan
đến kiến thức về đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức
này.
* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm
số cơ bản. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức: lấy đạo hàm
của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho?
* Ví dụ 2 : Tính tích phân : I =
1
5
0
(2x 1) dx
−
∫

Cách giải sai của học sinh
I =
1
5

0
(2 1)x dx−
∫

=
1
6
0
1
(2 1)
6
x −
=
1
(1 1) 0
6
− =
Cách giải đúng
I =
1
5
0
(2 1)x dx−
∫
=
1
5
0
1
(2 1) (2 1)

2
x d x− −
∫
=
1
6
0
1
(2 1)
12
x −
=
1
(1 1) 0
12
− =
( Có thể hướng dẫn các em cách giải khác: đổi biến số t=2x-1)
- Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát
hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại.
- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
15
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
* Nguyªn nh©n sai lÇm : Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm
hàm hợp, đã dùng
n 1
n
x
x dx c
n 1

+
= +
+
∫
(với n ≠ –1) thay vì
n 1
n
(ax b)
(ax b) dx c
(n 1)a
+
+
+ = +
+
∫
.* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm
số cơ bản và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lập ra bảng nguyên hàm
của hàm hợp ứng với u = ax+b. Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tra
công thức: lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số
đã cho?
Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau
2
A x 4dx,
2
1
3
B= (2x 1) dx,
0
2
dx

C= ,
2
(2x 1)
1
1
dx
D=
2x 1
e
0
4
dx
E = ,
1 3x
1
/12
F = cos( 4x)dx,
6
/6
7
1
G dx
x 3
3
= +
−
+
−
−
−

π
π
−
π
=
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2.1.2. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân:
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
16
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
* Ví dụ 1 : Tính tích phân : : I =
∫
−
+
2
2
2
)1(x
dx
Cách giải sai của học sinh
I =
∫
−

+
2
2
2
)1(x
dx
=
∫
−
+
+
2
2
2
)1(
)1(
x
xd

= -
1
1
+
x

2
2−
= -
3
1

-1 = -
3
4
Cách giải đúng
Hàm số y =
2
)1(
1
+
x
không xác định
tại x = -1
[ ]
2;2
−∈
suy ra hàm số không
liên tục trên
[ ]
2;2
−
do đó tích phân
trên không tồn tại.
- Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát
hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại.
- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :
* Nguyªn nh©n sai lÇm : Hàm số y =
2
)1(
1
+x

không xác định tại x= -1
[ ]
2;2−∈
suy ra hàm số không liên tục trên
[ ]
2;2−
nên không sử dụng được
công thức Newtơn – leibnitz như cách giải trên.
* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc định nghĩa tích phân. Giúp
các em tạo thói quen: Khi tính
dxxf
b
a
)(
∫
cần chú ý xem hàm số y=f(x)
có liên tục trên
[ ]
ba;
không? Nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để
tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này
không tồn tại.
Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau
A=
∫
−
5
0
4
)4(x

dx
. B=
dxxx
2
1
3
2
2
)1( −
∫
−
.
C=
dx
x
∫
2
0
4
cos
1
π
D=
dx
x
xex
x
∫
−
+−

1
1
3
23
.
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
17
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
2.1.3. Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân:
* Ví dụ 1 : Tính tích phân : I =
1
x
xe dx
0
−
∫

Cách giải sai của học sinh
I =
1
x
xe dx
0
−
∫

=
1
xdx
0

 
 ÷
 ÷
 
∫
.
1
x
e dx
0
 
−
 ÷
 ÷
 
∫
=
1 1
2
0 0
.
2
x
x
e
−
   
 ÷  ÷
−
 ÷  ÷

   
=
1 1 1
( 1)
2 2
e
e e
−
− + =
Cách giải đúng
Đặt:
u x du dx
x x
dv e dx v e
= =
 
 
⇒
 
− −
= = −
 
 
. Ta có:
I
1
1
x x
xe e dx
0

0
− −
= − +
∫
1
1
x
e
e
0
2 e 2
1 .
e 2
−
= − −
−
= − + =
- Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát
hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại.
- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :
* Nguyªn nh©n sai lÇm : Học sinh tự “sáng tạo” ra qui tắc nguyên hàm
của một tích, nên đã dùng
b
u(x).v(x).dx
a
∫
=
b
u(x)dx
0

 
 ÷
 ÷
 
∫
.
b
v(x)dx
a
 
 ÷
 ÷
 
∫
thay vì dùng công thức tích phân từng phần:
( ) '( ) ( ) ( ) | '( ) ( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x u x v x dx
= −
∫ ∫
.* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên
hàm và tích phân. Giúp các em tổng quát hóa các dạng toán sử dụng
phương pháp tích phân từng phần:
-Cách làm : biểu diễn f(x)dx về dạng tích u.dv = u.v’dx.
+ chọn u sao cho du dễ tính .
+ chọn dv sao cho dễ tính v =
∫

dv
.
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
18
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
+ áp dụng công thức .
- Dấu hiệu: hàm dưới dấu tích phân là tích của hai loại hàm số khác nhau
không thỏa mãn công thức nguyên hàm hàm hợp.
DẠNG I :

sin
cos
( ).
b
a
kx
kx
kx
kx
p x tgkx dx
e
m
 
 
 
 
 
 
 
 

∫
đặt u = p(x) : đa thức ; dv =














ax
e
tgax
ax
ax
cos
sin
dx .
DẠNG II :
∫
b
a
dxxxp .ln).(
đặt u = lnx ; dv = p(x).dx .

DẠNG III :
sin
. .
cos
kx
b
kx
a
e lx
dx
lx
m
 
 
 
 
 
 
∫
đặt u =
kx
kx
e
m
 
 
 
; dv =
sin
.

cos
lx
dx
lx
 
 
 
hai lần.
( Hoặc ngược lại ).
Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
19
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
1
x 1
A x.2 dx,
0
0
B= x ln(x 2)dx ,
1
2
C= x log xdx
2
1
cos x
D (x e )sin xdx,
0
/2
2
E = (x x)cos xdx ,

0
x
F = sin x.e dx
0
+
=
+
−
π
= +
π
−
π
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫
2.1.4. Sai lầm khi đổi biến số:
* Ví dụ 1 : Tính tích phân : I =
1
2
2
0
1 x dx
−
∫

Cách giải sai của học sinh
Đặt x= sint suy ra dx=costdt
1
2
2
0
1 1
2 2
2
0 0
1
2
0
1 sin .cos .
1 cos 2
cos .
2
2 sin 2 1 sin1
.
4 4
I t t dt
t
t dt dt
t t
= −
+
= =
+ +
= =
∫

∫ ∫
Cách giải đúng
Đặt x = sint suy ra dx=costdt

0 0
1
2 6
x t
x t
π
= ⇒ =



= ⇒ =


6 6
2 2
0 0
6
0
1 sin .cos . cos .
1 cos 2 3
.
2 12 8
I t t dt t dt
t
dt
π π

π
π
= − =
+
= = +
∫ ∫
∫
- Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát
hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại.
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
20
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :
* Nguyªn nh©n sai lÇm : khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên
không đổi cận.
* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương
pháp đổi biến số. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm tra
kết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi.
* Ví dụ 2 : Tính tích phân :
1
5
0
(2 1)
dx
I
x
=
+
∫

Cách giải sai của học sinh
Đặt t = 2x + 1
1 3
0 1
x t
x t
= ⇒ =

⇒

= ⇒ =

3
4
5
1
3
20
.
1
4 81
dt t
I
t
−
= = − =
∫
Cách giải đúng
Đặt t= 2x+1 suy ra dt= 2dx

1 3
0 1
x t
x t
= ⇒ =

⇒

= ⇒ =

3
4
5 4
1
3
1 1 10
1
1
2 8 8 3 81
dt t
I
t
−
 
= = − = − − =
 ÷
 
∫
.

- Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát
hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại.
- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :
* Nguyªn nh©n sai lÇm : khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên
không tính vi phân dt.
* Cách khắc phục: yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương
pháp đổi biến số. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm tra
kết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi.
Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
21
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
2
2 1
dx
2
A 4 x dx, B = ,
2
1 x
0 0
/2 e
dx
5
C = sin xdx , D = ,
x ln x
0 e
/2 3
1
cos x 3
E = sin x.e dx, F (ln x) dx ,

x
0 1
/2 2
2
cos xdx 2x x 1
G = , I = dx
1 sin x x 1
0 0
= −
+
π
π
=
π
− −
+ +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
* Trên đây là một số sai lầm điển hình của học sinh mắc phải khi
tính tích phân, những sai lầm đơn giản này phần lớn rơi vào trường
hợp những em có học lực trung bình trở xuống hoặc những em học
khá nhưng mắc phải tính nóng vội, cẩu thả. Đôi khi cũng gặp phải ở
tình huống các em bị áp lực tâm lí khi làm bài dẫn tới trạng thái
không kiểm soát nổi hành vi của bản thân. Trong nhóm những sai
lầm dạng này còn một số kiểu lỗi khác về tính toán và trình bày như
tính toán sai, viết thiếu kí hiệu vi phân trong biểu thức tích phân, viết
cả 2 biến trong cùng một biểu thức tích phân…Để khắc phục những
sai lầm đó, ngoài những biện pháp đã nêu, người giáo viên cần giúp

các em học sinh rèn luyện các đức tính cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì và đặc
biệt là khắc phục những điểm yếu tâm lí khi làm bài.
2.2. Những lỗi tinh vi mà học sinh vẫn thường mắc phải:
2.2.1. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số:
* Ví dụ 1 : Tính tích phân :
2
2
0
I 4x 4x 1dx
= − +
∫

Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
22
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
Cách giải sai của học sinh
2
2
0
2
2
0
2
0
2
2
0
I 4x 4x 1dx
(2x 1) dx
1

(2x 1)d(2x 1)
2
(2x 1) 9 1
2
4 4
= − +
= −
= − −
− −
= = =
∫
∫
∫
Cách giải đúng
2
2
0
2 2
2
0 0
1
2
2
1
0
2
2
1
2 2
2

0
1
2
I 4x 4x 1dx
1
(2x 1) dx 2x 1d(2x 1)
2
1 1
(1 2x)d(2x 1) (2x 1)d(2x 1)
2 2
(1 2x) (2x 1) 1 9 5
.
4 4 4 4 2
= − +
= − = − −
= − − + − −
− −
= − + = + =
∫
∫ ∫
∫ ∫
- Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát
hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại.
- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :
* Nguyªn nh©n sai lÇm : Học sinh đã sử dụng phép biến đổi sai:
2
(x 3) x 3;
− = −
với
x [0,4]

∈
thay vì phải dùng
2
(x 3) x 3 ;
− = −
với
x [0,4]
∈
.
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em lưu ý khi gặp tích phân hàm vô tỉ
chứa hàm số dạng:
( )
2n
2n
f x
 
 
thì dùng phép biến đổi
( ) ( )
2n
2n
f x f x
  =
 
( n ≥ 1, n nguyên).
( ) ( )
b b
2n
2n
a a

f x dx f x dx
⇒   =
 
∫ ∫
,
khi đó ta phải xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a, b] rồi dùng tính chất tách
cận, phân tích thành tổng các tích phân để khử bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau
A =
∫
−
π
0
2sin1 x
dx ; B =
∫
+−
3
0
23
2 xxx
dx
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
23
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng
C =
∫







−+
2
2
1
2
2
2
1
x
x
dx; D =
∫
−+
3
6
22
2cot
π
π
xgxtg
dx
* Ví dụ 2 : Tính tích phân : I=
∫
−
+
−
1

1
4
2
1
1
dx
x
x

Cách giải sai của học sinh
1 1
2
2
2
2
1 1
2
1
1
1
1
1
1
2
x
x
I dx dx
x
x
x

x
− −
 
−
−
 ÷
 
= =
 
+
+ −
 ÷
 
∫ ∫
Đặt t = x+
dx
x
dt
x






−=⇒
2
1
1
1

với x = -1 thì t = -2 ;
với x=1 thì t =2;
I=
∫
−
−
2
2
2
2t
dt
=
2
2
1 1 1
( )
2 2 2 2
dt
t t
−
−
− +
∫
=
2
2
1 t- 2
ln
2 2 t+ 2
−

2
2
1 2
ln
2 2 2
t
t
−
−
=
+
1 2 2
ln
2 2 2
−
=
+
Cách giải đúng
1
2
4 2 2
1
1
2
2 2
1
1
2 2
1
1

2
2
1
1
1 2 2
1
( 2 1)( 2 1)
1 2 2 2 2
2 2 2 1 2 1
1 2 1
ln
2 2 2 1
1 2 2
ln .
2 2 2
x
I dx
x x x
x
dx
x x x x
x x
dx
x x x x
x x
x x
−
−
−
−

−
=
+ + −
−
=
− + + +
 
− −
= −
 ÷
 ÷
− + + +
 
− +
=
+ +
−
=
+
∫
∫
∫
( có thể hướng dẫn học sinh cách làm khác: tìm nguyên hàm trước rồi
áp dụng định nghĩa tích phân để tính)
- Gọi một học sinh làm, sau đó cho học sinh dưới lớp nhận xét để phát
hiện lỗi sai (nếu có) của học sinh trước và sửa lại.
- Phân tích lỗi sai để học sinh khắc phục :
Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
24
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm  Phan L¹c D¬ng

* Nguyªn nh©n sai lÇm : Học sinh đã sử dụng phép biến đổi
2
2
2
4
2
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
+
−
=
+
−
là sai vì trong
[ ]
1;1−
chứa x = 0 nên không thể chia cả
tử cả mẫu cho x = 0 được .
* Cách khắc phục: Yêu cầu các em lưu ý khi tính tích phân mà dùng
phép biến đổi chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong
đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0. Nếu đoạn lấy tích phân
có chứa điểm x = 0 thì ta phải dùng phương pháp khác.

Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau
A=
6 2
2
2
4
1
( 1)
1
x dx
x
+
−
+
+
∫
B=
3
2
4 2
3
( 1)
1
x dx
x x
−
+
+ +
∫

C=
∫
++
−
1
0
24
2
43
)2(
xx
dxx
D=
2
2
4
2
(2 1)
4 1
x dx
x
−
−
+
∫

2.2.2. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số:
* Ví dụ 1 : Tính tích phân :
1
3

4
2
0
x
I dx
1 x
=
−
∫

Cách giải sai của học sinh
Đặt x = sint suy ra dx = costdt .
Đổi cận:
x 0 t 0;
1 1
x t arcsin
4 4
= ⇒ =



= ⇒ =


1
arcsin
3
4
2
0

1 1
arcsin arcsin
3
4 4
3
0 0
sin t
I cos t.dt
1 cos t
sin t
cos t.dt sin t.dt
cos t
⇒ =
−
= =
∫
∫ ∫
Đến đây học sinh thường rất
Cách giải đúng
Đặt
2 2 2
t 1 x t 1 x
2tdt 2xdx xdx tdt
= − ⇒ = −
⇒ = − ⇒ = −
Đổi cận:
x 0 t 1;
1 15
x t
4 4

= ⇒ =



= ⇒ =


Trêng THPT Ba V× - Hµ Néi.
25