skkn rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác thpt nguyễn trãi

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI
_______________
Mã
số :
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
GIẢI PHƯƠNG TRÌ NH LƯỢNG GIÁC
Người thực hiện : PHẠM THUÝ HẠNH
Lĩnh vực nghiên cứu :
Phương pháp dạy học bộ môn: Toán

Năm học : 2013 – 2014
2
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
I. THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên : PHẠM THUÝ HẠNH
2. Ngày tháng năm sinh: 28/11/1984
3. Nam, nữ : Nữ.
4. Địa chỉ: 39/4, khu phố 7, phường Tân Biên, Biên Hoà, Đồng Nai.
5. Điện thoại: 0933304908.
6. Email:
7. Chức vụ: giáo viên
8. Nhiệm vụ được giao : giảng dạy môn Toán lớp 12A6, 11A2, 11A5, 11A8.
9. Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi, Biên Hoà, Đồng Nai.
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Trình độ chuyên môn cao nhất: Cử nhân Đại học Sư phạm TP.HCM.
- Năm nhận bằng: 2006.
- Chuyên ngành đào tạo: Toán.
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy Toán bậc THPT.

- Số năm có kinh nghiệm: 6 năm.
- Sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
Phương trình mũ và logarit (năm 2013).
3
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình lượng giác là một phần quan trọng trong chương trình môn
Toán lớp 11 và có trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng hằng năm.
Quá trình giải một phương trình lượng giác thường gồm các bước: biến
đổi phương trình về dạng cơ bản, tìm nghiệm của phương trình cơ bản và
so sánh với điều kiện xác định (nếu có) rồi kết luận nghiệm của phương
trình.
Việc biến đổi phương trình lượng giác đòi hỏi học sinh không những
nắm vững công thức lượng giác mà còn biết cách vận dụng linh hoạt các
công thức đó. Tuy nhiên, vì các công thức lượng giác được học ở lớp 10
nên phần nhiều học sinh lớp 11 thấy khó khăn khi tự củng cố các kiến thức
về công thức lượng giác. Do đó, hoạt động củng cố về công thức lượng giác
cho học sinh là rất cần thiết.
Khi biến đổi phương trình lượng giác, một số học sinh dù đã học thuộc
các công thức lượng giác nhưng vẫn lúng túng trong việc lựa chọn công
thức lượng giác để áp dụng hoặc biết công thức lượng giác cần áp dụng
nhưng không biết cách áp dụng công thức sao cho hợp lý. Những khó khăn
này phần nhiều là do học sinh chưa biết cách vận dụng linh hoạt các công
thức lượng giác. Còn đối với các phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu
thức, sau khi biến đổi phương trình về dạng cơ bản, nhiều học sinh thấy khó
khăn trong việc so sánh nghiệm của phương trình cơ bản này với điều kiện
xác định của phương trình.
Học sinh thường gặp khó khăn ở ít nhất một trong các bước giải phương
trình lượng giác. Vì thế, tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải phương

trình lượng giác” để nêu ra một số kinh nghiệm đóng góp cho việc dạy và
học về phương trình lượng giác trong chương trình Toán lớp 11 hiệu quả
hơn.
II. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Để giải được một phương trình lượng giác, học sinh cần nắm vững công
thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản và biết cách biến đổi
phương trình về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải như: dạng
tích; dạng bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác; dạng bậc nhất
đối với
sin x
và
cos x
; dạng thuần nhất bậc hai đối với
sin x
và
cos x
.
Các phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác được
biến đổi về dạng cơ bản mà không cần áp dụng công thức lượng giác. Còn
hầu hết các phương trình lượng giác khác đòi hỏi học sinh phải áp dụng
một hoặc nhiều công thức lượng giác để biến đổi phương trình về dạng cơ
bản, hoặc dạng tích, dạng bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
4
Chẳng hạn, học sinh áp dụng công thức cộng để biến đổi phương trình bậc
nhất đối với
sin x
và
cos x
về dạng cơ bản; áp dụng công thức hạ bậc để
biến đổi phương trình thuần nhất bậc hai đối với

sin x
và
cos x
về dạng bậc
nhất đối với
sin 2x
và
cos2x
. Vì vậy, việc rèn luyện kỹ năng giải phương
trình lượng giác chủ yếu là rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt công thức
lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các
dạng đã biết cách giải. Ngoài ra, nếu phương trình lượng giác chứa ẩn ở
mẫu thức thì sau khi biến đổi phương trình về dạng cơ bản, phải so sánh
nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản này với điều kiện xác định để
kết luận nghiệm của phương trình ban đầu.
Học sinh cần một hệ thống bài tập vừa củng cố kiến thức về công thức
lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức lượng
giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã
biết cách giải, so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình (nếu
có).
Nội dung đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác” nêu
một số kinh nghiệm tích lũy trong quá trình dạy học phương trình lượng
giác như sau:
1. Tổ chức hoạt động củng cố kiến thức về công thức lượng giác và nêu
các ví dụ về cách vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác vào biến
đổi phương trình lượng giác.
2. Các bài tập giúp học sinh vừa củng cố kiến thức về công thức lượng
giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào
biến đổi phương trình lượng giác về các dạng đã biết cách giải, so sánh
nghiệm với điều kiện xác định của phương trình (nếu có).

III. TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
1. Tổ chức hoạt động củng cố kiến thức về công thức lượng giác và nêu
các ví dụ về cách vận dụng linh hoạt công thức lượng giác khi biến đổi
phương trình lượng giác
Các công thức lượng giác :
1) Công thức cơ bản
2) Công thức cộng
3) Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc
4) Công thức biến đổi tổng thành tích
5) Công thức biến đổi tích thành tổng
Mỗi công thức lượng giác có dạng
A B=
. Khi vận dụng công thức dạng
này vào biến đổi phương trình lượng giác, nếu có A thì đa số học sinh
thường nhận biết ngay việc thay A bằng B, nhưng ngược lại, nếu có B thì
không ít học sinh thấy khó nhận ra việc thay B bằng A.
5
Hoạt động 1 và ví dụ 1 sau đây giúp cho học sinh củng cố và vận dụng
công thức lượng giác theo hai chiều
A B=
và
B A=
. Lưu ý rằng vì có khá
nhiều công thức lượng giác nên có thể hướng dẫn cho học sinh tự thực hiện
hoạt động 1 ở nhà rồi kiểm tra các công thức học sinh đã viết được trên lớp.
Hoạt động 1. Viết mỗi công thức lượng giác theo chiều ngược lại là từ
vế phải sang bằng vế trái, chẳng hạn, viết lại công thức cộng
( )
sin sin cos cos sina b a b a b+ = +
theo chiều ngược lại là :

( )
sin cos cos sin sina b a b a b+ = +
.
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau
a)
2sin 3sin 1
6
x x
π
 
+ − =
 ÷
 
(1a)
b)
sin .cos4 cos .sin 4 sin2x x x x x+ =
(1b)
Hướng dẫn :
Áp dụng công thức cộng :
( )
sin sin cos cos sina b a b a b+ = +
(*)
- Đối với phương trình (1a), áp dụng công thức (*) ta có:
sin sin .cos cos .sin
6 6 6
x x x
π π π
 
+ = +
 ÷

 
.
- Đối với phương trình (1b), áp dụng công thức (*) theo chiều ngược
lại là :
( )
sin cos cos sin sina b a b a b+ = +
, ta có:
( )
sin .cos4 cos .sin 4 sin 4x x x x x x+ = +
Lời giải ví dụ 1:
a)
2sin 3sin 1
6
x x
π
 
+ − =
 ÷
 
2 sin .cos cos .sin 3sin 1
6 6
x x x
π π
 
⇔ + − =
 ÷
 
cos 1x⇔ =

2x k

π
⇔ =
,
k ∈Z
b)
sin .cos4 cos .sin 4 sin2x x x x x+ =
( )
sin 4 sin 2x x x⇔ + =

sin5 sin 2x x⇔ =
5 2 2
,
5 2 2
x x k
k
x x k
π
π π
= +

⇔ ∈

= − +

Z
6
2
3
,
2

7 7
x k
k
x k
π
π π

=

⇔ ∈


= +


Z
Một công thức lượng giác có thể áp dụng cho nhiều góc khác nhau. Đa số
học sinh trung bình, yếu không nhận ra được công thức lượng giác cần áp
dụng hoặc không biết áp dụng công thức sao cho hợp lý khi biến đổi
phương trình lượng giác là vì chưa từng viết lại công thức lượng giác bằng
cách thay góc trong công thức bởi một góc khác. Nếu cho học sinh viết lại
mỗi công thức lượng giác dưới nhiều hình thức khác nhau ứng với các góc
khác nhau thì các em sẽ không thấy khó khăn khi vận dụng các công thức
này vào biến đổi phương trình lượng giác.
Hoạt động 2 và ví dụ 2 sau đây giúp cho học sinh nhận biết công thức
lượng giác cần áp dụng và áp dụng một công thức lượng giác cho các góc
khác nhau.
Hoạt động 2. Viết lại các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc khi
thay góc x trong các công thức bởi một góc khác như 2x,
2

x
,
4
x
π
−
, …,
chẳng hạn, thay góc x trong công thức nhân đôi
sin2 2sin .cosx x x=

bởi góc
2
x
ta được
sin 2sin .cos
2 2
x x
x =
.
Ví dụ 2. Giải phương trình
2 2
2cos .sin cos sin
2 2 4 4
x x
x x
π π
   
= − − −
 ÷  ÷
   

Hướng dẫn:
Áp dụng các công thức nhân đôi biến đổi phương trình về dạng cơ bản.
- Thay góc x trong công thức
sin 2 2sin .cosx x x=
bởi góc
2
x
, ta được:

sin 2sin .cos
2 2
x x
x =
- Thay góc x trong công thức
2 2
cos2 cos sinx x x= −
bởi góc
4
x
π
 
−
 ÷
 
,
ta được :
2 2
cos 2 cos sin
2 4 4
x x x

π π π
     
− = − − −
 ÷  ÷  ÷
     
Lời giải ví dụ 2.
2 2
2cos .sin cos sin
2 2 4 4
x x
x x
π π
   
= − − −
 ÷  ÷
   
7
sin cos 2
2
x x
π
 
⇔ = −
 ÷
 
sin sin2x x⇔ =

2 2
2 2
x x k

x x k
π
π π
= +

⇔

= − +

,
k ∈Z

2
2
3 3
x k
x k
π
π π
=


⇔

= +

,
k ∈Z

2

,
3 3
x k k
π π
⇔ = + ∈Z
2. Các bài tập giúp học sinh vừa củng cố kiến thức về công thức lượng
giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác
vào biến đổi phương trình lượng giác, so sánh nghiệm với điều kiện xác
định của phương trình (nếu có).
Các bài tập sau đây giúp học sinh vừa củng cố kiến thức về mỗi công
thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức
lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các
dạng đã biết cách giải như: dạng tích; dạng bậc nhất, bậc hai đối với một
hàm số lượng giác; dạng bậc nhất đối với
sin x
và
cos x
; dạng thuần nhất
bậc hai đối với
sin x
và
cos x
.
Lưu ý các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức: biến đổi phương
trình về dạng cơ bản, tìm nghiệm của phương trình dạng cơ bản rồi so sánh
với điều kiện xác định của phương trình, từ đó kết luận nghiệm của phương
trình.
a) Các bài tập áp dụng công thức cơ bản
Bài 1. Giải các phương trình :
a)

3 2
cos sin .cos 1x x x+ =
(1a)
b)
2 2
2sin sin .cos 3cos 2x x x x+ + =
(1b)
Hướng dẫn:
Dùng công thức
2 2
cos sin 1x x+ =
, biến đổi phương trình (1a) về dạng cơ
bản, phương trình (1b) về dạng tích.
Lời giải:
a)
3 2
cos sin .cos 1x x x+ =

( )
2 2
cos cos sin 1x x x
⇔ + =
cos 1x⇔ =

2x k
π
⇔ =
,
k ∈Z
b)

2 2
2sin sin .cos 3cos 2x x x x+ + =

( )
2 2 2 2
2sin sin .cos 3cos 2 sin cosx x x x x x⇔ + + = +
2
sin .cos cos 0x x x⇔ + =
( )
cos sin cos 0x x x⇔ + =
8
cos 0
sin cos 0
x
x x
=

⇔

+ =

cos 0
tan 1,cos 0
x
x x
=

⇔

= − ≠


2
,
4
x k
k
x k
π
π
π
π

= +

⇔ ∈


= − +


¢
Bài 2. Giải các phương trình :
2
1
tan 3
cos
x
x
+ =
Hướng dẫn:

Dùng công thức
2
2
1
tan 1
cos
x
x
= +
, với
cos 0x ≠
, biến đổi phương trình
về dạng bậc hai đối với
tan x
.
Lời giải:
2
1
tan 3
cos
x
x
+ =

( )
2
tan 1 tan 3x x⇔ + + =

2
tan tan 2 0x x⇔ + − =

tan 1
tan 2
x
x
=

⇔

= −


( )
4
arctan 2
x k
x k
π
π
π

= +

⇔

= − +


,
k ∈Z
Nhận xét:

Nếu thay
2
1
cos x
bằng
2
tan 1x +
thì được phương trình tương đương vì
không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình.
Bài 3. Giải phương trình :
2
1
sin 0
cot 1
x
x
+ =
+
Hướng dẫn:
Tìm điều kiện xác định, dùng công thức
2
2
1
cot 1
sin
x
x
+ =
, với
sin 0x ≠

,
biến đổi phương trình về dạng bậc hai đối với
sin x
, so sánh nghiệm với
điều kiện xác định của phương trình.
Lời giải:
Điều kiện xác định:
sin 0x ≠
.
Với điều kiện trên, ta có :
(1)
2
sin sin 0x x⇔ + =

⇔

sin 0x =
(loại) hoặc
sin 1x = −
9
2 ,
2
x k k
π
π
⇔ = − + ∈Z
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
2 ,
2
x k k

π
π
= − + ∈Z
10
ii) Các bài tập áp dụng công thức cộng
Bài 4. Giải phương trình :
3sin cos
6 6
x x
π π
   
+ = −
 ÷  ÷
   
. (4)
Hướng dẫn:
Dùng các công thức
( )
sin sin cos cos sina b a b a b+ = +
và
( )
cos cos cos sin sina b a b a b− = +
biến đổi phương trình về dạng cơ
bản.
Lời giải:
(4)
3 1 3 1
3 sin cos cos sin
2 2 2 2
x x x x

 
⇔ + = +
 ÷
 
sin 0x⇔ =

x k
π
⇔ =
,
k ∈Z
.
Bài 5. Giải phương trình:
sin3 .cos cos3 .sin 3cos2 1x x x x x− = +
(5)
Hướng dẫn:
Dùng công thức
( )
sin cos cos sin sina b a b a b− = −
, biến đổi về dạng bậc
nhất đối với
sin 2x
và
cos2x
.
Lời giải:
(5)
⇔
sin 2 3cos2 1x x− =

1
sin 2
3 2
x
π
 
⇔ − =
 ÷
 
⇔
2 2
3 6
,
5
2 2
3 6
x k
k
x k
π π
π
π π
π

− = +

∈


− = +



Z
4
,
7
12
x k
k
x k
π
π
π
π

= +

⇔ ∈


= +


Z
Bài 6. Giải phương trình:
cos3 .cos2 sin3 .sin 2 sin5 2 cosx x x x x x− = +
Hướng dẫn:
Dùng công thức:
( )
cos cos sin sin cosa b a b a b− = +

, biến đổi phương
trình về dạng cơ bản.
Lời giải:
cos3 .cos2 sin3 .sin 2 sin5 2 cosx x x x x x− = +
cos5 sin5 2 cosx x x⇔ − =
1 1
cos5 sin5 cos
2 2
x x x⇔ − =
cos 5 cos
4
x x
π
 
⇔ + =
 ÷
 
11
5 2 ,
4
x x k k
π
π
⇔ + = ± + ∈Z

16 2
24 3
x k
x k
π π

π π

= − +

⇔


= − +


,
k ∈Z
Chú ý:
Công thức Điều kiện xác định của
vế trái
Điều kiện xác định của
vế phải
( )
tan tan
tan
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
( )
cos 0a b+ ≠
( )

cos .cos 0
cos 0
a b
a b
≠


+ ≠

( )
tan tan
tan
1 tan .tan
a b
a b
a b
−
− =
+
( )
cos 0a b− ≠
( )
cos .cos 0
cos 0
a b
a b
≠


− ≠


Khi áp dụng công thức cộng, chỉ được thay
( )
tan a b+
bởi
tan tan
1 tan .tan
a b
a b
+
−

hoặc thay
( )
tan a b−
bởi
tan tan
1 tan .tan
a b
a b
−
+
với điều kiện
tan a
và
tanb

cùng tồn tại, tức là:
cos .cos 0a b ≠

2
2
a k
b l
π
π
π
π

≠ +


⇔


≠ +


,
,k l∈ ∈Z Z0
.
Bài 7. Giải phương trình:
2
5tan 1
tan
4 1 tan
x
x
x
π

−
 
+ =
 ÷
−
 
(7)
Hướng dẫn:
Tìm điều kiện xác định của phương trình dùng công thức
( )
tan tan
tan
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
biến đổi phương trình về dạng bậc hai đối
với
tan x
.
Lời giải:
Điều kiện xác định :
cos cos 0
4
tan 1
x x
x

π

 
+ ≠

 ÷
 


≠ ±

12
Với điều kiện trên, ta có : (7)
2
tan 1 5tan 1
1 tan 1 tan
x x
x x
+ −
⇔ =
− −
( )
2
tan 1 5tan 1x x⇔ + = −

2
tan 3tan 2 0x x⇔ − + =
tan 1x⇔ =
(loại) hoặc
tan 2x =

arctan 2 ,x k k
π
⇔ = + ∈Z
Vậy nghiệm của (7) là
arctan2 ,x k k
π
= + ∈Z
.
Bài 8. Giải phương trình:
tan tan
tan 3
6
1 3 tan
1 tan .tan
6
x x
x
x
x x
π
π
 
− +
 ÷
−
 
=
 
+
− −

 ÷
 
(8)
Hướng dẫn:
Tìm điều kiện xác định của phương trình, dùng các công thức
( )
tan tan
tan
1 tan .tan
a b
a b
a b
−
= −
+
và
( )
tan tan
tan
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
= +
−
biến đổi
phương trình về dạng cơ bản.
Lời giải:
Điều kiện xác định :

( )
cos 0
1 3 tan 1 tan .tan 0
6
x
x x x
π
≠


 

 
+ − − ≠
 ÷
 ÷

 
 

Với điều kiện trên, ta có :
(8)
tan tan
3 6
x x x
π π
   
⇔ − = − +
 ÷  ÷
   

tan tan
3 6
x
π π
 
⇔ − =
 ÷
 
,
2
x k k
π
π
⇔ = + ∈Z
(không thỏa điều kiện
cos 0x ≠
)
Vậy phương trình (8) vô nghiệm.
iii) Các bài tập áp dụng công thức nhân đôi, hạ bậc
Bài 9. Giải phương trình:
2
2sin .cos .cos 2cos 1
4 4 2 4 2
x x x x
π
 
= − −
 ÷
 
(9)

Hướng dẫn:
Áp dụng các công thức nhân đôi
2sin .cos sin 2a a a=

và
2
2cos 1 cos2a a− =
, biến đổi phương trình về dạng cơ bản.
Lời giải:
(9)
sin .cos cos
2 2 2
x x
x
π
 
⇔ = −
 ÷
 
13
1
sin sin
2
x x⇔ =
sin 0x⇔ =

,x k k
π
⇔ = ∈Z
Bài 10. Giải phương trình:

2
2 4
2tan tan 3
tan 2
1 tan 1 tan
x x
x
x x
+
+ =
+ −
(10)
Hướng dẫn:
Tìm điều kiện xác định, áp dụng công thức nhân đôi:
2
2tan
tan 2
1 tan
x
x
x
=
−

biến đổi phương trình về dạng bậc hai đối với
tan x
.
Lời giải:
Điều kiện xác định :
cos 0

tan 1
x
x
≠


≠ ±

Với điều kiện trên, ta có :
(10)
2
2 2 4
2tan 2tan tan 3
1 tan 1 tan 1 tan
x x x
x x x
+
⇔ + =
− + −
( ) ( )
2 2 2
2tan 1 tan 2tan 1 tan tan 3x x x x x
⇔ + + − = +
2
tan 4tan 3 0x x⇔ − + =
tan 1x⇔ =
(loại) hoặc
tan 3x =
(thỏa điều kiện)
arctan3 ,x k k

π
⇔ = + ∈Z
Vậy nghiệm của phương trình (10) là
arctan3 ,x k k
π
= + ∈Z
.
Bài 11. Giải phương trình:
2 2
cos 6sin 1 0
2
x
x + − =
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức hạ bậc
2
1 cos2
sin
2
a
a
−
=
biến đổi phương trình về
dạng bậc hai đối với
cos x
.
Lời giải:
2 2
cos 6sin 1 0

2
x
x + − =
2
1 cos
cos 6 1 0
2
x
x
−
⇔ + − =

2
cos 3cos 2 0x x⇔ − + =
14
cos 1
cos 2
x
x
=

⇔

=


2 ,x k k
π
⇔ = ∈Z
15

iv) Các bài tập áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích
Bài 12. Giải phương trình:
sin sin 3sin 2
3
x x x
π
 
+ − =
 ÷
 
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức
sin sin 2sin cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
đưa phương trình về
dạng cơ bản.
Lời giải:
sin sin 3sin 2
3
x x x
π
 
+ − =
 ÷
 
2sin .cos 3sin 2

6 6
x x
π π
 
⇔ − =
 ÷
 
sin sin 2
6
x x
π
 
⇔ − =
 ÷
 

2 2
6
,
2 2
6
x x k
k
x x k
π
π
π
π π

− = +


⇔ ∈


− = − +


Z

2
6
,
7 2
18 3
x k
k
x k
π
π
π π

= − −

⇔ ∈


= +


Z

Bài 13. Giải phương trình:
cos3 cos sin 2 sin 2
8 8
x x x x
π π
   
+ = + − −
 ÷  ÷
   
Hướng dẫn:
Áp dụng các công thức:
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =

và
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
đưa phương trình về dạng tích.
Lời giải:
cos3 cos sin 2 sin 2
8 8
x x x x

π π
   
+ = + − −
 ÷  ÷
   
2cos2 .cos 2cos2 .sin
8
x x x
π
⇔ =

cos2 cos sin 0
8
x x
π
 
⇔ − =
 ÷
 
cos2 0
3
cos cos
8
x
x
π
=


⇔


=


4 2
,
3
2
8
x k
k
x k
π π
π
π

= +

⇔ ∈


= ± +


Z
16
Bài 14. Giải phương trình:
3
cos cos sin 2
3 2

x x x
π
 
− − = −
 ÷
 
Hướng dẫn:
Thế
3
sin
2 3
π
=
, áp dụng các công thức :
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −

sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =

biến đổi phương trình về dạng tích.
Lời giải:

3
cos cos sin 2
3 2
x x x
π
 
− − = −
 ÷
 
2sin .sin sin 2 sin
6 6 3
x x
π π π
 
⇔ − − = −
 ÷
 
sin 2cos sin
6 6 6
x x x
π π π
     
⇔ − − = + −
 ÷  ÷  ÷
     
sin 2cos 1 0
6 6
x x
π π
 

   
⇔ − + + =
 ÷  ÷
 ÷
   
 
sin 0
6
2cos 1 0
6
x
x
π
π

 
− =
 ÷

 

⇔

 
+ + =
 ÷

 

sin 0

6
1
cos
6 2
x
x
π
π

 
− =
 ÷

 

⇔

 
+ = −
 ÷

 

6
,
2
2
6 3
x k
k

x k
π
π
π π
π

− =

⇔ ∈


+ = ± +


Z
6
,
2
2
5
2
6
x k
k
x k
x k
π
π
π
π

π
π

= +




⇔ ∈
= +






= − +




Z
17
vi) Các bài tập áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Bài 15. Giải phương trình:
sin3 .cos cos7 .sin5 0x x x x+ =
.
Hướng dẫn:
Áp dụng các công thức :
( ) ( )

1
sin cos sin sin
2
a b a b a b= + + − 
 

( ) ( )
1
cos sin sin sin
2
a b a b a b= + − − 
 
biến đổi phương trình về dạng cơ bản.
Lời giải:

sin3 .cos cos7 .sin5 0x x x x+ =
( ) ( )
1 1
sin 4 sin 2 sin12 sin2 0
2 2
x x x x⇔ + + − =

( )
sin12 sin 4x x⇔ = −
12 4 2
12 4 2
x x k
x x k
π
π π

= − +

⇔

= + +

,
k ∈Z

8
8 4
x k
x k
π
π π

=

⇔


= +


,
k ∈Z
8
x k
π
⇔ =

,
k ∈Z
.
Bài 16. Giải phương trình:
cos4 .cos sin3 .sin 2 cos3x x x x x+ =
.
Hướng dẫn:
Áp dụng các công thức :
( ) ( )
1
cos cos cos cos
2
a b a b a b= + + − 
 

( ) ( )
1
sin sin cos cos
2
a b a b a b= − − + 
 
biến đổi phương trình về dạng cơ bản.
Lời giải:
cos4 .cos sin3 .sin 2 cos3x x x x x+ =
( ) ( )
1 1
cos5 cos3 cos cos5 cos3
2 2
x x x x x⇔ + + − =
cos3 cosx x⇔ =

3 2x x k
π
⇔ = ± +
,
k ∈Z
2
x k
x k
π
π
=


⇔

=

,
k ∈Z

2
x k
π
⇔ =
,
k ∈Z
18
vii) Các bài tập áp dụng nhiều công thức lượng giác
Bài 17. Giải phương trình:
2cos3 sin 2 cos

6
x x x
π
 
= +
 ÷
 
.
Hướng dẫn:
Áp dụng các công thức biến đổi tích thành tổng và công thức cộng đưa
phương trình về dạng cơ bản.
Lời giải:
2cos3 sin 2 cos
6
x x x
π
 
= +
 ÷
 

3 1
sin5 sin cos sin
2 2
x x x x⇔ − = −
3 1
sin5 cos sin
2 2
x x x⇔ = +
sin5 sin

3
x x
π
 
⇔ = +
 ÷
 
5 2
3
5 2
3
x x k
x x k
π
π
π
π π

= + +


⇔
 

= − + +
 ÷

 

,

k ∈Z

12 2
9 3
x k
x k
π π
π π

= +

⇔


= +


,
k ∈Z
Bài 18. Giải phương trình:
( )
2 2 2
cos2 2sin 3 cos sin
2
x
x x x+ = +
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức cơ bản, công thức nhân đôi và công thức hạ bậc đưa
phương trình về dạng bậc hai đối với
cos x

.
Lời giải:

( )
2 2 2
cos2 2sin 3 cos sin
2
x
x x x+ = +

( )
2
2cos 1 1 cos 3.1x x⇔ − + − =

2
2cos cos 3 0x x⇔ − − =
cos 1
3
cos
2
x
x
= −


⇔

=


2 ,x k k
π π
⇔ = + ∈Z

19
Bài 19. Giải phương trình:
2cos5 .cos2 2cos3 sin 4 0x x x x− + =
.
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích, công thức
nhân đôi, đưa phương trình về dạng tích.
Lời giải:
2cos5 .cos2 2cos3 sin 4 0x x x x− + =
cos7 cos3 2cos3 sin4 0x x x x⇔ + − + =

⇔
cos7 cos3 sin 4 0x x x− + =

2sin5 .sin 2 2sin 2 .cos2 0x x x x⇔ − + =
( )
sin 2 cos2 sin5 0x x x⇔ − =

sin 2 0
cos2 sin5
x
x x
=

⇔


=


sin 2 0
cos2 cos 5
2
x
x x
π
=


⇔
 

= −
 ÷

 


2
2 5 2
2
x k
x x k
π
π
π
=



⇔
 

= ± − +
 ÷

 

,
k ∈Z

2
2
14 7
2
6 3
x k
x k
x k
π
π π
π π

=





⇔
= +






= −




,
k ∈Z
.
Bài 20. Giải phương trình:
2
cos 2 6cos 3cos 1 0
3 2 3
x
x x
π π
   
− + − − + =
 ÷  ÷
   
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức
nhân đôi, đưa phương trình về dạng bậc hai đối với

sin
6
x
π
 
−
 ÷
 
.
Lời giải:
2
cos 2 6cos 3cos 1 0
3 2 3
x
x x
π π
   
− + − − + =
 ÷  ÷
   
1 cos
cos 2 6 3cos 1 0
3 2 3
x
x x
π π
+
   
⇔ − + − − + =
 ÷  ÷

   
cos 2 3 cos cos 4 0
3 3
x x x
π π
 
   
⇔ − + − − + =
 ÷  ÷
 
   
 
cos 2 6sin .sin 4 0
3 6 6
x x
π π π
   
⇔ − − − + =
 ÷  ÷
   
2
2sin 3sin 5 0
6 6
x x
π π
   
⇔ − − − − + =
 ÷  ÷
   
20

sin 1
6
5
sin
6 2
x
x
π
π

 
− =
 ÷

 

⇔

 
− = −
 ÷

 


2
2
3
x k
π

π
⇔ = +
,
k ∈Z
.
Bài 21. Giải phương trình:
( )
2 2
tan 2 2tan 2 1 tan 2 cos 2
4
x x x x
π
 
− + = +
 ÷
 
Hướng dẫn:
Tìm điều kiện xác định, áp dụng công thức cơ bản, công thức nhân đôi,
công thức cộng.
Lưu ý:
Điều kiện xác định của phương trình:
cos2 0
cos 0
4
x
x
π
≠




 
+ ≠
 ÷

 

Điều kiện trên không đảm bảo tồn tại
tan x
nên phải xét hai trường hợp
2
x k
π
π
= +
và
( )
,
2
x k k
π
π
≠ + ∈Z
.
Với điều kiện
( )
,
2
x k k
π

π
≠ + ∈Z
thì
tan x
tồn tại, khi đó mới được thế
tan 2x
bằng
2
2tan
1 tan
x
x−
.
Lời giải:
Điều kiện xác định:
cos2 0
cos 0
4
x
x
π
≠



 
+ ≠
 ÷

 


Ta có:
( )
2 2
tan 2 2tan 2 1 tan 2 cos 2
4
x x x x
π
 
− + = +
 ÷
 

⇔
tan 2 2tan 2
4
x x
π
 
− + =
 ÷
 
(21)
* Thế
2
x k
π
π
= +
, với

k ∈Z
, vào phương trình (21) ta được:
( ) ( )
3
tan 2 2tan 2 0 2. 1 2
4
k k
π
π π π
 
+ − + = ⇔ − − =
 ÷
 
đúng
Do đó
2
x k
π
π
= +
, với
k ∈Z
, là nghiệm của phương trình (21).
21
* Với điều kiện
( )
,
2
x k k
π

π
≠ + ∈Z
, ta có:
(21)
2
2tan tan 1
2. 2
1 tan 1 tan
x x
x x
+
⇔ − =
− −

( )
2
2
tan tan 1 1 tan
tan 1
x x x
x

− + = −

⇔

≠ ±


( )

tan 2 arctan 2x x l
π
⇔ = − ⇔ = − +
, với
l ∈Z
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
2
x k
π
π
= +
, với
k ∈Z
;

( )
arctan 2x l
π
= − +
, với
l ∈Z
.
Bài 22. Giải phương trình:
2
cos4 cos
6cos sin
sin
x x
x x
x

−
= +
(22)
Hướng dẫn:
Tìm điều kiện xác định, quy đồng mẫu thức, áp dụng công thức nhân
đôi, công thức lượng giác cơ bản đưa về phương trình bậc hai đối với
sin 2x
, so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình.
Lời giải:
Điều kiện xác định:
sin 0 ,x x l l
π
≠ ⇔ ≠ ∈Z
Với điều kiện trên, ta có:
(22)
2 2
cos4 cos 3sin 2 sinx x x x⇔ − = +
2 2
3sin 2 sin cos cos4 0x x x x⇔ + + − =

3sin 2 1 cos4 0x x⇔ + − =

2
2sin 2 3sin 2 0x x⇔ + =
(*)
sin 2 0
3
sin 2
2
x

x
=


⇔

= −


,
2
x k k
π
⇔ = ∈Z
Kết hợp với điều kiện xác định, ta có nghiệm của phương trình (22) là
,
2
x k k
π
π
= + ∈Z
.
22
Chú ý :
Các cách so sánh họ nghiệm
,
2
x k k
π
= ∈Z

với điều kiện xác định của
phương trình (22) :
- Cách 1: biểu diễn nghiệm và điều kiện trên đường tròn lượng giác.
Trên đường tròn lượng giác, họ
nghiệm
,
2
x k k
π
= ∈Z
được biểu
diễn bởi bốn điểm : A(1;0),
A’(-1;0), B(0;1) và B’(0;-1).
Các góc không thỏa điều kiện
,x l l
π
≠ ∈Z
được biểu diễn bởi
hai điểm A(1;0) và A’(-1;0).
Do đó, nghiệm của phương trình
(22) là số đo radian của các góc
được biểu diễn bởi hai điểm B và
B’. Vì hai điểm B và B’ có khoảng
cách bằng
π
và điểm B là điểm
biểu diễn của góc
2
π
nên chúng biểu diễn cho các góc có số đo

,
2
x k k
π
π
= + ∈Z
. Vậy nghiệm của (22) là:
,
2
x k k
π
π
= + ∈Z
.
- Cách 2: Tìm điều kiện của số nguyên k để
2
x k
π
=
thỏa điều kiện xác
định của phương trình (22).
Ta có:
2
k l
π
π
≠

⇔
2k l≠

(với
,l k∈ ∈Z Z
).
Vậy nghiệm của phương trình (22) là:
2
x k
π
=
,với
2k l≠
,
,l k∈ ∈Z Z
.
Bài 23. Giải phương trình:
2
cos4 2cos 2 cos sin .cot5x x x x x− + =
(23)
Hướng dẫn:
Tìm điều kiện xác định, nhân hai vế với
sin5x
, áp dụng công thức nhân
đôi, công thức cộng đưa về phương trình cơ bản, so sánh nghiệm với
điều kiện xác định của phương trình.
Lời giải:
Điều kiện xác định:
sin5 0 ,
5
x x l l
π
≠ ⇔ ≠ ∈Z

Với điều kiện trên, ta có: (23)
⇔
( )
2 2
2cos 2 1 2cos 2 cos sin5 sin .cos5x x x x x x− − + =
23
O
1
1
-1
-1
0
A
B’
π
2
π
y
x
.
.
XX
3
2
π
B
A’
⇔
( )
cos 1 sin5 sin .cos5x x x x− =

cos sin5 sin .cos5 sin5x x x x x⇔ − =

sin 4 sin5x x⇔ =

4 5 2
4 5 2
x x k
x x k
π
π π
= +

⇔

= − +

, với
k ∈Z

2
2
9 9
x k
x k
π
π π
= −



⇔

= +

, với
k ∈Z
.
Ta có:
*
2x k
π
= −
,
k ∈Z
, không thỏa điều kiện vì
( )
sin 5. 2 0k
π
− =
,
k ∈Z
.
*
2
9 9
x k
π π
= +
(với
k ∈Z

) là nghiệm của phương trình (23) khi:
2
9 9 5
k l
π π π
+ ≠
(với
k ∈Z
,
l ∈Z
)
1 9
2 10
l
k
−
⇔ ≠ +
( )
9 10
1
2 10
m r
k
+
−
⇔ ≠ +
, với
10l m r= +
,
m∈Z

,
r ∈¥
và
10r <
9 5
9
10
r
k m
−
⇔ ≠ +
, với
m∈Z
,
r ∈¥
và
10r <
9 4k m⇔ ≠ +
, với
m∈Z
.
Vây nghiệm của phương trình (23) là:
2
9 9
x k
π π
= +
, với
9 4k m≠ +
,

k ∈Z
,
m∈Z
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Các hoạt động, ví dụ và bài tập nêu trong đề tài giúp học sinh vừa củng cố
kiến thức về công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt
công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc
các dạng đã biết cách giải, biết cách so sánh nghiệm với điều kiện xác định của
các phương trình chứa ẩn ở mẫu. Từ đó, học sinh tự tin hơn khi giải phương
trình lượng giác, tránh được kiểu học công thức lượng giác cách máy móc,
không đạt hiệu quả khi áp dụng vào biến đổi phương trình lượng giác.
Người thực hiện
Phạm Thúy Hạnh
24
SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Trường THPT Nguyễn Trãi Độc lập Tự do Hạnh phúc
PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI
Năm học 2013 2014
Tên đề tài: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Họ và tên tác giả: PHẠM THÚY HẠNH Tổ Toán Tin học
Lĩnh vực:
Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Tính mới
 Có giải pháp hoàn toàn mới
 Có cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có
2. Hiệu quả
 Hoàn toàn mới và đã triển khai, áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả
cao
 Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ giải pháp đã có và đã triển

khai, áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao
 Hoàn toàn mới và đã triển khai, áp dụng tại đơn vị có hiệu
quả cao
 Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ giải pháp đã có và đã triển
khai, áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao
3. Khả năng áp dụng
 Cung cấp các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính
sách
Tốt Khá Đạt
 Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực
tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống
Tốt Khá Đạt
 Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng
áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng
Tốt Khá Đạt
4. Xếp loại
Tốt Khá Đạt
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tổ trưởng chuyên môn (Ký, ghi rõ họ tên và đóng dấu)