Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 8.

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
ĐỀ THI SỐ 1
Cõu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2;

b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).

Cõu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :

A = (

2+ x
4x2
2− x
x2 − 3x
− 2
−
):(
)
2− x
x − 4
2+ x
2 x2 − x3

a) Tỡm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b) Tỡm giỏ trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Cõu 3: (5,0 điểm)
a) Tỡm x,y,z thỏa món phương trỡnh sau :

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b)

Cho

x y z
a b c
x2 y 2 z 2
+ + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 = 1 .
a b c
x y z
a
b
c

Cõu 4: (6,0 điểm)
Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hỡnh
chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu của C xuống đường thẳng AB
và AD.
a) Tứ giỏc BEDF là hỡnh gỡ ? Hóy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đáp án

Bài 1
a

b

2,0
1,0
0,5
0,5
2,0
1,0
0,5
0,5
5,0
3,0
1,0

3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 =
= 3x(x -2) – (x - 2)
= (x - 2)(3x - 1).
a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x =
= ax(x - a) – (x - a) =
= (x - a)(ax - 1).

Bài 2:
a
ĐKXĐ :

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

Điểm

1


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
2 − x ≠ 0
 2
x ≠ 0
x − 4 ≠ 0


⇔  x ≠ ±2
2 + x ≠ 0
 x 2 − 3x ≠ 0
x ≠ 3


2 x 2 − x 3 ≠ 0

2
2
2 + x 4x
2− x
x − 3x
(2 + x) 2 + 4 x 2 − (2 − x) 2 x 2 (2 − x)
A=(
− 2
−
):( 2
)=
.

=
2 − x x − 4 2 + x 2 x − x3
(2 − x)(2 + x )
x( x − 3)

1,0

4 x2 + 8x
x(2 − x)
.
=
(2 − x)(2 + x) x − 3
=

0,5

4 x( x + 2) x(2 − x)
4 x2
=
(2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3

0,25

4x 2
Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ 3 thỡ A =
.
x−3

0,25

b

1,0
2

Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > 0 ⇔

4x
>0
x−3

⇔ x−3> 0
⇔ x > 3(TMDKXD )
Vậy với x > 3 thỡ A > 0.

c
x − 7 = 4
x−7 = 4 ⇔ 
 x − 7 = −4
 x = 11(TMDKXD)
⇔
 x = 3( KTMDKXD )
Với x = 11 thỡ A =

121
2

9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0
⇔ 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)

Do : ( x − 1) 2 ≥ 0;( y − 3) 2 ≥ 0;( z + 1) 2 ≥ 0
Nờn : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1).
b
a b c
ayz+bxz+cxy
+ + =0⇔
=0
x y z
xyz
⇔ ayz + bxz + cxy = 0
x y z
x y z
+ + = 1 ⇔ ( + + )2 = 1
a b c
a b c
2
2
x
y
z2
xy xz yz
⇔ 2 + 2 + 2 + 2( + + ) = 1
a
b
c
ab ac bc
x2 y 2 z 2
cxy + bxz + ayz
⇔ 2 + 2 + 2 +2

=1
a
b
c
abc

Từ :

Nguồn: Sưu tầm

0,25
0,25
0,25
1,0

0,5
0,25
0,25

Bài 3
a

Ta cú :

0,25

Đt 01234646464

2

5,0
2,5
1,0
0,5
0,5
0,25
0,25
2,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
⇔

x2 y2 z 2
+
+ = 1(dfcm)
a2 b2 c2

0,25

Bài 4

6,0
H

C

B

0,25

F
O

E
A
D

K

a
Ta cú : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF
Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO ( g − c − g )
=> BE = DF
Suy ra : Tứ giỏc : BEDF là hỡnh bỡnh hành.
b
Ta cú: ABC = ADC ⇒ HBC = KDC
Chứng minh : ∆CBH ∼ ∆CDK ( g − g )
CH CK
⇒
=
⇒ CH .CD = CK .CB
CB CD
b,
Chứng minh : ∆AFD ∼ ∆AKC ( g − g )

AF AK
⇒
=
⇒ AD. AK = AF . AC
AD AC
Chứng minh : ∆CFD ∼ ∆AHC ( g − g )
CF AH
⇒
=
CD AC
CF AH
Mà : CD = AB ⇒
=
⇒ AB. AH = CF . AC
AB AC
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm).

ĐỀ SỐ 2
Cõu1.
a. Phõn tớch cỏc đa thức sau ra thừa số:

x4 + 4
( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) − 24
b. Giải phương trỡnh: x − 30x

+ 31x − 30 = 0
a
b
c
a2

b2
c2
c. Cho
+
+
= 1. Chứng minh rằng:
+
+
=0
b + c c+ a a+ b
b + c c+ a a+ b
4

Nguồn: Sưu tầm

2

Đt 01234646464

3

2,0
0,5
0,5
0,25
0,25
2,0
0,5
1,0
0,5

1,75
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
2
1  
10 − x 2 
 x
Cõu2. Cho biểu thức:
A = 2
+
+

:x −2+
x+2 
 x − 4 2− x x + 2 
a. Rỳt gọn biểu thức A.
b. Tớnh giỏ trị của A , Biết |x| =

1
.
2

c. Tỡm giỏ trị của x để A < 0.
d. Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để A cú giỏ trị nguyờn.

Cõu 3. Cho hỡnh vuụng ABCD, M là một điểm tuỳ ý trờn đường chộo BD. Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD.
a. Chứng minh: DE = CF
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xỏc định vị trớ của điểm M để diện tớch tứ giỏc AEMF lớn nhất.
Cõu 4.
a. Cho 3 số dương a, b, c cú tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

1 1 1
+ + ≥9
a b c

b. Cho a, b dương và a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011

Cõu

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Đỏp ỏn
a. x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2
= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)
( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)

b. x − 30x

(

(2 điểm)

+ 31x − 30 = 0 <=>
x − x + 1 ( x − 5)( x + 6) = 0 (*)
4

Cõu 1
(6 điểm)

Điểm

2

2

)

Vỡ x2 - x + 1 = (x -

1 2 3
) +
>0
2
4

∀x

(*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0

Cõu 2
(6 điểm)

x − 5 = 0
x = 5
x + 6 = 0 ⇔ x = − 6


a
b
c
c. Nhõn cả 2 vế của:
+
+
=1
b + c c+ a a+ b
với a + b + c; rỳt gọn ⇒ đpcm
2
1  
10 − x 2 
 x
Biểu thức: A =  2
+
+
:x −2+



x+2 
 x − 4 2− x x + 2 
−1
a. Rỳt gọn được kq: A =
x−2

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

4

(2 điểm)

(2 điểm)

(1.5 điểm)


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
1
1
−1
b. x =
⇒ x = hoặc x =
2
2
2
4

4
hoặc A =
3
5
c. A < 0 ⇔ x > 2
−1
d. A ∈ Z ⇔
∈ Z ... ⇒ x ∈ {1;3}
x−2

⇒A =

HV + GT + KL

(1.5 điểm)
(1.5 điểm)
(1.5 điểm)
E

A

B

(1 điểm)
F

M

D

C

AE = FM = DF
⇒ ∆AED = ∆DFC ⇒ đpcm
b. DE, BF, CM là ba đường cao của ∆EFC ⇒ đpcm

(2 điểm)
(2 điểm)

c. Cú Chu vi hỡnh chữ nhật AEMF = 2a khụng đổi
⇒ ME + MF = a khụng đổi
⇒ SAEMF = ME.MF lớn nhất ⇔ ME = MF (AEMF là hỡnh vuụng)
⇒ M là trung điểm của BD.

Cõu 3
(6 điểm)

(1 điểm)

a. Chứng minh:

b c
1
= 1+ +
a
a a

a c
1
a. Từ: a + b + c = 1 ⇒  = 1+ +

b b
b
a b
1
 c = 1+ c + c

(1 điểm)
Cõu 4:
(2 điểm)

1 1 1
 a b  a c  b c
+ + = 3 + +  +  +  +  + 
a b c
 b a  c a  c b 
≥ 3+ 2+ 2+ 2= 9
1
Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c =
3
⇒

b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1
Với a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại)
Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

5

(1 điểm)


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Đề thi SỐ 3
Câu 1 : (2 điểm)

Cho

P=

a 3 − 4a 2 − a + 4
a 3 − 7a 2 + 14a − 8

a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên

Câu 2 : (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng
chia hết cho 3.
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :
P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .

Câu 3 : (2 điểm)
a) Giải phương trình :

1
1
1
1
+ 2
+ 2
=
x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18
2

b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
A=

a
b
c
+
+
≥3
b+c−a a+c−b a+b−c

Câu 4 : (3 điểm)
Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M
sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh :
a) BD.CE=

BC 2
4

b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
c) Chu vi tam giác ADE khơng đổi.

Câu 5 : (1 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vng có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số
đo chu vi .

đáp án đề thi học sinh giỏi
Câu 1 : (2 đ)
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)
=(a-1)(a+1)(a-4)

0,5

a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 )
=( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4)
Nêu ĐKXĐ : a ≠ 1; a ≠ 2; a ≠ 4
Rút gọn P=

0,25

a +1
a−2

Nguồn: Sưu tầm

0,5

0,25

Đt 01234646464

6


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
b) (0,5đ) P=

a−2+3
3
= 1+
; ta thấy P nguyên khi a-2 là ước của 3,
a−2
a−2

mà Ư(3)= {− 1;1;−3;3}

0,25

Từ đó tìm được a ∈ {− 1;3;5}

0,25

Câu 2 : (2đ)
a)(1đ) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 .

[

0,25

]

Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) ( a 2 + 2ab + b 2 ) − 3ab =

[

=(a+b) ( a + b) 2 − 3ab

]

0,5

Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ;

[

]

Do vậy (a+b) ( a + b) 2 − 3ab chia hết cho 9

0,25

b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36
2

2

2

2

Ta thấy (x +5x) ≥ 0 nên P=(x +5x) -36 ≥ -36

0,5
0,25

Do đó Min P=-36 khi (x2+5x)2=0
Từ đó ta tìm được x=0 hoặc x=-5 thì Min P=-36

0,25

Câu 3 : (2đ)
a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;

0,25

ĐKXĐ : x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ −7

0,25

Phương trình trở thành :

1
1
1
1
+
+

=
( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18
1
1
1
1
1
1
1
−
+
−
+
−
=
x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 x + 6 x + 7 18
1
1
1
−
=
x + 4 x + 7 18

0,25

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Từ đó tìm được x=-13; x=2;

0,25

b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0

y+z
x+z
x+ y
;b =
;c =
;
0,5
2
2
2
y+z x+z x+ y 1 y x
x z
y z 
Thay vào ta được A=
+
+
= ( + ) + ( + ) + ( + ) 0,25
2x
2y
2z
2 x y
z x
z y 
Từ đó suy ra a=

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

7


Tuyển tập đề thi HSG Tốn 8
Từ đó suy ra A ≥

1
(2 + 2 + 2) hay A ≥ 3
2

0,25

Câu 4 : (3 đ)
a) (1đ)

ˆ
ˆ
Trong tam giác BDM ta có : D1 = 120 0 − M 1
ˆ
Vì M 2 =600 nên ta có

ˆ
ˆ
: M 3 = 120 0 − M 1

ˆ
ˆ
Suy ra D1 = M 3

x
E

Chứng minh ∆BMD ∾ ∆CEM (1)
Suy ra

D

BD CM
=
, từ đó BD.CE=BM.CM
BM
CE

Vì BM=CM=

BC
, nên ta có
2

b) (1đ) Từ (1) suy ra

y

A

BD.CE=

BC

4

1

0,5

2

B

1

2 3

C

M

2

0,5

BD MD
=
mà BM=CM nên ta có
CM EM

BD MD
=
BM EM

Chứng minh ∆BMD ∾ ∆MED

0,5

ˆ
ˆ
Từ đó suy ra D1 = D2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE
Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED

0,5

c) (1đ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC
Chứng minh DH = DI, EI = EK

0,5

Tính chu vi tam giác bằng 2AH; Kết luận.

0,5

Câu 5 : (1đ)
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z
(x, y, z là các số nguyên dương )
Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2)

0,25

Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có :
z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)

z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
(z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2
z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được :
xy=2(x+y+x+y-4)
xy-4x-4y=-8
(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

0,25
8

0,25


Tuyển tập đề thi HSG Tốn 8
Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là :
(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;
(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10)

0,25

ẹỀ THI SỐ 4
Cãu1( 2 ủ): Phaõn tớch ủa thửực sau thaứnh nhaõn tửỷ

A = ( a + 1)( a + 3)( a + 5 )( a + 7 ) + 15
Caõu 2( 2 ủ): Vụựi giaự trũ naứo cuỷa a vaứ b thỡ ủa thửực:

( x − a )( x − 10 ) + 1
phaõn tớch thaứnh tớch cuỷa moọt ủa thửực baọc nhaỏt coự caực heọ soỏ nguyẽn

Cãu 3( 1 ủ): tỡm caực soỏ nguyeõn a vaứ b ủeồ ủa thửực A(x) = x 4 − 3 x3 + ax + b chia heỏt cho ủa
thửực B ( x) = x 2 − 3 x + 4

Caõu 4( 3 ủ): Cho tam giaực ABC, ủửụứng cao AH,veừ phaõn giaực Hx cuỷa goực AHB vaứ phãn giaực
Hy cuỷa goực AHC. Keỷ AD vuõng goực vụựi Hx, AE vuoõng goực Hy.
Chửựng minh raốngtửự giaực ADHE laứ hỡnh vuõng

Cãu 5( 2 ủ): Chửựng minh raống

P=

Cãu
1
2ủ

1 1 1
1
+ 2 + 4 + ... +
<1
2
2 3 4
1002

ẹaựp aựn vaứ bieồu ủieồm
ẹaựp aựn
A = ( a + 1)( a + 3)( a + 5 )( a + 7 ) + 15

(
= (a
= (a
= (a

)(

0,5 ủ
0,5 ủ
0,5 ủ
0,5 ủ

)

= a 2 + 8a + 7 a 2 + 8a + 15 + 15
2

)

(

2

)

+ 8a + 22 a 2 + 8a + 120

)
+ 8a + 12 )( a
= ( a + 2 )( a + 6 ) ( a

2
2ủ

Bieồu ủieồm

2

2

+ 8a + 11 − 1

2

2

)
+ 8a + 10 )

+ 8a + 10

2

Giaỷ sửỷ: ( x − a )( x − 10 ) + 1 = ( x − m )( x − n ) ;(m, n ∈ Z )
⇔ x 2 − ( a + 10 ) x + 10a + 1 = x 2 − ( m + n ) x + mn
+
⇔ { m.+nn== a a10
m 10 +1

Khửỷ a ta coự :
mn = 10( m + n – 10) + 1

⇔ mn − 10m − 10n + 100 = 1
⇔ m(n − 10) − 10n + 10) = 1
vỡ m,n nguyeõn ta coự:
3

{

m −10 =1
n −10 =1

v

{

0,25 ủ
0,25 ủ
0,25 ủ
0,25 ủ
0,25 ủ

m −10 =−1
n −10 =−1

suy ra a = 12 hoaởc a =8
Ta coự:

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

0,25 ủ
0,25 ủ
0,25 ủ

9


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
1ủ

A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4
ẹeồ A( x)⋮ B( x) thỡ

{

a − 3= 0
b + 4 =0

⇔

{

0,5 ủ
0,5 ủ

a =3
b =−4

4
3ủ

0,25 ủ

Tửự giaực ADHE laứ hỡnh vuõng
Hx laứ phãn giaực cuỷa goực AHB ; Hy phaõn giaực cuỷa goực AHC
maứ AHB vaứ AHC laứ hai goực kề buứ nẽn Hx vaứ Hy vuoõng
goực
Hay DHE = 900 maởt khaực ADH = AEH = 900
Neõn tửự giaực ADHE laứ hỡnh chửừ nhaọt ( 1)

AHB 900
AHD =
=
= 450
2
2
Do AHE =

5
2ủ

0,5 ủ
0,25 ủ
0,25 ủ
0,25 ủ

AHC 900
=
= 450
2

2

⇒ AHD = AHE
Hay HA laứ phaõn giaực DHE (2)
Tửứ (1) vaứ (2) ta coự tửự giaực ADHE laứ hỡnh vuoõng
1 1 1
1
P = 2 + 2 + 4 + ... +
2 3 4
1002
1
1
1
1
=
+
+
+ ... +
2.2 3.3 4.4
100.100
1
1
1
1
<
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
99.100

1 1 1
1
1
= 1 − + − + ... + −
2 2 3
99 100
1
99
= 1−
=
<1
100 100

ĐỀ THI SỐ 5
Bài 1: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.

Nguồn: Sưu tầm

0,25 ủ
0,25 ủ
0,25 ủ
0,25 ủ
0,5 ủ

Đt 01234646464

10

0,5 ủ
0,5 ủ
0,5 ủ
0,5 ủ


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trỡnh:

x − 241 x − 220 x − 195 x − 166
+
+
+
= 10 .
17
19
21
23
Bài 3: (3 điểm)
Tỡm x biết:

( 2009 − x ) + ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) = 19 .
2
2
( 2009 − x ) − ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) 49
2

2

Bài 4: (3 điểm)
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A =

2010x + 2680
.
x2 + 1

Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu
vuụng gúc của điểm D lên AB, AC.
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giỏc AEDF là hỡnh vuụng.
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 6: (4 điểm)
Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho:

AFE = BFD, BDF = CDE, CED = AEF .
a) Chứng minh rằng: BDF = BAC .
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.

Một lời giải:
Bài 1:
a)

3
3
3
3
(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = ( x + y + z ) − x  −  y + z 








(

2
2
2
2
= ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x  − ( y + z ) y − yz + z





(

)

)

= ( y + z ) 3x + 3xy + 3yz + 3zx = 3 ( y + z )  x ( x + y ) + z ( x + y ) 


2

= 3 ( x + y )( y + z )( z + x ) .
b)

(

) (

x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = x − x + 2010x + 2010x + 2010

(

)

4

(

2

) (

)(

)

)

= x ( x − 1) x + x + 1 + 2010 x + x + 1 = x + x + 1 x − x + 2010 .
2

2

Bài 2:

x − 241 x − 220 x − 195 x − 166
+
+
+
= 10
17
19
21
23

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

11

2

2


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
x − 241
x − 220
x − 195
x − 166

⇔
−1+
−2+
−3+
−4=0
17
19
21
23
x − 258 x − 258 x − 258 x − 258
+
+
+
=0
17
19
21
23
1 
1 1 1
⇔ ( x − 258 )  + + +  = 0
 17 19 21 23 
⇔ x = 258
⇔

Bài 3:

( 2009 − x ) + ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) = 19 .
2
2

( 2009 − x ) − ( 2009 − x )( x − 2010 ) + ( x − 2010 ) 49
2

2

ĐKXĐ: x ≠ 2009; x ≠ 2010 .
Đặt a = x – 2010
(a ≠ 0), ta cú hệ thức:

( a + 1) − ( a + 1) a + a 2 = 19
2
( a + 1) + ( a + 1) a + a 2 49
2

a 2 + a + 1 19
⇔ 2
=
3a + 3a + 1 49

⇔ 49a 2 + 49a + 49 = 57a 2 + 57a + 19 ⇔ 8a 2 + 8a − 30 = 0
3

a = 2
2
⇔ ( 2a + 1) − 42 = 0 ⇔ ( 2a − 3)( 2a + 5 ) = 0 ⇔ 
(thoả ĐK)
5
a = −



2
4023
4015
Suy ra x =
hoặc x =
(thoả ĐK)
2
2
4023
4015
Vậy x =
và x =
là giỏ trị cần tỡm.
2
2
Bài 4:

2010x + 2680
x2 + 1
−335x 2 − 335 + 335x 2 + 2010x + 3015
335(x + 3) 2
=
= −335 +
≥ −335
x2 + 1
x2 + 1
A=

Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.

Bài 5:

ɵ
a) Tứ giỏc AEDF là hỡnh chữ nhật (vỡ E = A = F = 90 )
Để tứ giác AEDF là hỡnh vuụng thỡ AD là tia phõn
o

giỏc của BAC .
b) Do tứ giỏc AEDF là hỡnh chữ nhật nờn AD = EF
Suy ra 3AD + 4EF = 7AD
3AD + 4EF nhỏ nhất ⇔ AD nhỏ nhất
⇔ D là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn BC.
Bài 6:

C

D

F

a) Đặt AFE = BFD = ω, BDF = CDE = α, CED = AEF = β .
Ta cú BAC + β + ω = 180 (*)
0

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

A

12

E

B


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vng góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao
điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.
A
⇒ OFD + OED + ODF = 90o (1)
β E
o
F ω
Ta cú OFD + ω + OED + β + ODF + α = 270 (2)
(1) & (2) ⇒ α + β + ω = 180 (**)
o

ω

β

O

(*) & (**) ⇒ BAC = α = BDF .
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:

s

s

s

B = β, C = ω
⇒ ∆AEF ∆DBF ∆DEC ∆ABC
α
α
5BF
5BF
 BD BA 5 
 B 5BF

D
C
 BF = BC = 8
 BD = 8
 BD = 8
 BD = 8




7CE
7CE
7CE
 CD CA 7 


⇒

=
= ⇒ CD =
⇒ CD =
⇒ CD =
8
8
8
 CE CB 8 


 AE AB 5
7AE = 5AF 7(7 − CE) = 5(5 − BF) 7CE − 5BF = 24
=
=
 AF AC 7







⇒ CD − BD = 3 (3)
Ta lại cú CD + BD = 8 (4)
(3) & (4) ⇒ BD = 2,5

ĐỀ SỐ 6
Bài 1(3 điểm): Tỡm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25
b)

x − 17 x − 21 x + 1
+
+
=4
1990
1986 1004

c) 4x – 12.2x + 32 = 0

1 1 1
+ + = 0.
x y z
yz
xz
xy
+ 2
+ 2
Tớnh giỏ trị của biểu thức: A = 2
x + 2 yz y + 2xz z + 2xy
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và

Bài 3 (1,5 điểm): Tỡm tất cả cỏc số chớnh phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số
hàng nghỡn , thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào
chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.
a) Tớnh tổng

HA' HB' HC'
+

+
AA' BB' CC'

b) Gọi AI là phõn giỏc của tam giỏc ABC; IM, IN thứ tự là phõn giỏc của gúc AIC và gúc AIB. Chứng
minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.

(AB + BC + CA ) 2
c) Tam giác ABC như thế nào thỡ biểu thức
đạt giá trị nhỏ nhất?
AA' 2 + BB' 2 + CC' 2
ĐÁP ÁN

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

13


Tuyển tập đề thi HSG Tốn 8
• Bài 1(3 điểm):
a) Tính đúng x = 7; x = -3
b) Tính đúng x = 2007
c) 4x – 12.2x +32 = 0 ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0
⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = 0
⇔ (2x – 23)(2x –22) = 0 ⇔ 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0
⇔ 2x = 23 hoặc 2x = 22 ⇔ x = 3; x = 2
•

( 1 điểm )

( 1 điểm )
( 0,25điểm )
( 0,25điểm )
( 0,25điểm )
( 0,25điểm )

Bài 2(1,5 điểm):

xy + yz + xz
1 1 1
= 0 ⇒ xy + yz + xz = 0 ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
+ + =0⇒
xyz
x y z
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)

( 0,25điểm )

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)

( 0,25điểm )

Do đó: A =

yz
xz
xy
+
+
( x − y)( x − z) ( y − x )( y − z ) (z − x )(z − y)

Tính đúng A = 1
•

( 0,5 điểm )

Bài 3(1,5 điểm):

Gọi

abcd là số phải tỡm a, b, c, d ∈ N, 0 ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ 0

Ta cú:

⇔

abcd = k 2
(a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 2

Kết luận đúng
Bài 4 (4 điểm):
Vẽ hỡnh đúng
(0,25điểm)

S HBC
S ABC

(0,25điểm)

với k, m ∈ N, 31 < k < m < 100

(0,25điểm)

abcd = k 2
abcd + 1353 = m 2

⇔
Do đó: m2–k2 = 1353
⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33
m+k = 123
m+k = 41
⇒ m–k = 11
m–k = 33
hoặc
m = 67
m = 37
hoặck = 4
⇔ k = 56

a)

( 0,25điểm )

(0,25điểm)
( k+m < 200 )

(0,25điểm)

(0,25điểm)

abcd = 3136

(0,25điểm)

A

1
.HA'.BC
HA'
2
=
=
;
1
AA'
.AA'.BC
2

C’

C
D

(0,25điểm)

Đt 01234646464

A’

B

SHAB HC' SHAC HB'
=
=
;
SABC CC' SABC BB'

Nguồn: Sưu tầm

x

B’
M

I

(0,25điểm)
Tương tự:

H

N

14


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC
+
+
=

+
+
=1
AA' BB' CC' SABC SABC SABC

(0,25điểm)

b) Áp dụng tớnh chất phõn giỏc vào cỏc tam giỏc ABC, ABI, AIC:

BI AB AN AI CM IC
=
;
=
;
=
IC AC NB BI MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC
.
.
=
. . =
. =1
IC NB MA AC BI AI AC BI
⇒ BI .AN.CM = BN.IC.AM

(0,5điểm )
(0,5điểm )
(0,5điểm )

c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx

-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD
- ∆ BAD vuụng tại A nờn: AB2+AD2 = BD2
⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2
4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm)
Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2
4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2

(AB + BC + CA ) 2
≥4
⇔
AA'2 + BB'2 + CC'2

(0,25điểm)
(0,25điểm)
(0,25điểm)

(0,25điểm)

Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC
⇔ AB = AC =BC ⇔ ∆ ABC đều
Kết luận đúng
(0,25điểm)
*Chỳ ý :Học sinh cú thể giải cỏch khỏc, nếu chớnh xỏc thỡ hưởng trọn số điểm câu đó

ĐỀ SỐ 7
Bài 1 (4 điểm)

 1 − x3

1 − x2

− x :
Cho biểu thức A = 
 1 − x − x 2 + x 3 với x khỏc -1 và 1.
 1− x

a, Rỳt gọn biểu thức A.
2
b, Tớnh giỏ trị của biểu thức A tại x = −1 .
3
c, Tỡm giá trị của x để A < 0.

Bài 2 (3 điểm)
Cho

( a − b) + ( b − c) + ( c − a)
2

2

2

= 4.( a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc) .

Chứng minh rằng a = b = c .
Bài 3 (3 điểm)
Giải bài toán bằng cách lập phương trỡnh.

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thỡ sẽ
được phân số nghịch đảo của phân số đó cho. Tỡm phõn số đó.
Bài 4 (2 điểm)
4
3
2
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A = a − 2a + 3a − 4a + 5 .
Bài 5 (3 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú gúc ABC bằng 600, phõn giỏc BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung
điểm của BD, BC, CD.

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

15


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
a, Tứ giỏc AMNI là hỡnh gỡ? Chứng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tớnh cỏc cạnh của tứ giỏc AMNI.
Bài 6 (5 điểm)
Hỡnh thang ABCD (AB // CD) cú hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với
đáy AB cắt cỏc cạnh bờn AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
1
1
2
b, Chứng minh rằng
+

=
.
AB CD MN
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD.

Đáp án
Bài 1( 4 điểm )
a, ( 2 điểm )
Với x khỏc -1 và 1 thỡ :
1 − x3 − x + x2
(1 − x)(1 + x)
A=
:
1− x
(1 + x)(1 − x + x 2 ) − x (1 + x)

0,5đ

(1 − x)(1 + x + x 2 − x)
(1 − x)(1 + x)
:
1− x
(1 + x)(1 − 2 x + x 2 )
1
= (1 + x 2 ) :
(1 − x)
2
= (1 + x )(1 − x )
b, (1 điểm)
2

5
5  
5 

Tại x = − 1 = − thỡ A = 1 + (− ) 2  − 1 − (− )
3
3
3  
3 

25
5
= (1 + )(1 + )
9
3
34 8 272
2
= . =
= 10
9 3 27
27
c, (1điểm)
Với x khỏc -1 và 1 thỡ A<0 khi và chỉ khi (1 + x 2 )(1 − x) < 0 (1)
Vỡ 1 + x 2 > 0 với mọi x nờn (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 − x < 0 ⇔ x > 1
KL
=

Bài 2 (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để được
a 2 + b 2 − 2ab + b 2 + c 2 − 2bc + c 2 + a 2 + 2ac = 4a 2 + 4b 2 + 4c 2 − 4ab − 4ac − 4bc

Biến đổi để có (a 2 + b 2 − 2ac) + (b 2 + c 2 − 2bc) + (a 2 + c 2 − 2ac) = 0
Biến đổi để có (a − b) 2 + (b − c) 2 + (a − c) 2 = 0 (*)
Vỡ (a − b) 2 ≥ 0 ; (b − c) 2 ≥ 0 ; (a − c) 2 ≥ 0 ; với mọi a, b, c
nờn (*) xảy ra khi và chỉ khi (a − b) 2 = 0 ; (b − c) 2 = 0 và (a − c) 2 = 0 ;
Từ đó suy ra a = b = c

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ

0,25đ
0,5đ
0,25đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

Bài 3 (3 điểm)
0,5đ
Gọi tử số của phõn số cần tỡm là x thỡ mẫu số của phõn số cần tỡm là x+11. Phõn số cần tỡm là
x
(x là số nguyờn khỏc -11)
x + 11

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

16


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số

x−7
x + 15

0,5đ

(x khỏc -15)

x
x + 15
=
x + 11 x − 7
Giải phương trỡnh và tỡm được x= -5 (thoả món)
5
Từ đó tỡm được phân số −
6
Bài 4 (2 điểm)

0,5đ

Theo bài ra ta cú phương trỡnh

1đ
0,5đ

0,5đ
Biến đổi để có A= a 2 (a 2 + 2) − 2a (a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3
= (a 2 + 2)(a 2 − 2a + 1) + 3 = (a 2 + 2)(a − 1) 2 + 3

0,5đ

Vỡ a + 2 > 0 ∀a và (a − 1) ≥ 0∀a nờn (a + 2)(a − 1) ≥ 0∀a do đó (a + 2)(a − 1) + 3 ≥ 3∀a
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a − 1 = 0 ⇔ a = 1
KL
Bài 5 (3 điểm)
2

2

2

2

2

2

0,5đ
0,25đ
0,25đ

B

N

M

A

a,(1 điểm)
I
D
Chứng minh được tứ giác AMNI là hỡnh thang
Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hỡnh thang cõn
b,(2điểm)
4 3
8 3
cm ; BD = 2AD =
cm
Tính được AD =
3
3
1
4 3
AM = BD =
cm
2
3
4 3
Tính được NI = AM =

cm
3
8 3
1
4 3
DC = BC =
cm , MN = DC =
cm
3
2
3
8 3
Tính được AI =
cm
3

C

0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ

B

A

Bài 6 (5 điểm)
O
M

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

D 17

N

C


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
a, (1,5 điểm)

OM OD
ON OC
=
,
=
AB BD
AB AC
OD OC
Lập luận để có
=
DB AC
OM ON

⇒
=
⇒ OM = ON
AB
AB
b, (1,5 điểm)
OM DM
OM AM
Xột ∆ABD để cú
(1), xột ∆ADC để có
(2)
=
=
AB
AD
DC
AD
1
1
AM + DM AD
Từ (1) và (2) ⇒ OM.(
=
=1
+
)=
AB CD
AD
AD
1
1

Chứng minh tương tự ON. (
+
) =1
AB CD
1
1
1
1
2
từ đó có (OM + ON). (
+
)=2 ⇒
+
=
AB CD
AB CD MN
b, (2 điểm)
S AOB OB S BOC OB
S
S
=
,
=
⇒ AOB = BOC ⇒ S AOB .S DOC = S BOC .S AOD
S AOD OD S DOC OD
S AOD S DOC
Chứng minh được S AOD = S BOC

0,5đ

Lập luận để có

⇒ S AOB .S DOC = ( S AOD ) 2
Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009
Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT)

ĐỀ SỐ 8
Bài 1:

b2 + c 2 − a 2
a 2 − (b − c) 2
;y=
2bc
(b + c) 2 − a 2
Tớnh giỏ trị P = x + y + xy
Bài 2:
Giải phương trỡnh:
1
1 1 1
a,
= + +
(x là ẩn số)
a+b− x
a b x
Cho x =

(b − c)(1 + a)2
(c − a)(1 + b)2
(a − b)(1 + c)2
+

+
=0
x + a2
x + b2
x + c2
(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Bài 3:
Xác định các số a, b biết:
(3 x + 1)
a
b
=
+
3
3
( x + 1)
( x + 1) ( x + 1) 2
Bài 4: Chứng minh phương trỡnh:
2x2 – 4y = 10 khụng cú nghiệm nguyờn.
Bài 5:
Cho ∆ ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C
b,

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

18

0,5đ
0,5đ

0,5đ

0,5đ
0,5đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
ĐỀ SỐ 9
Bài 1: (2 điểm)



2 1 
1
 1
 x − 1
+ 1 + 2
3 
 2 + 1  : 3
 x
 ( x + 1)  x  x + 2x + 1  x




Cho biểu thức: A = 

a/ Thu gọn A
b/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để A<1
c/ Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để Acó giá trị nguyên
Bài 2: (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số là các số nguyên):
x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10
b/ Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2010. Hóy tớnh x2 + y2
Bài 3 (1,5 điểm):
Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức
x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1)
Bài 4 (3,5 điểm):
Cho hỡnh chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Nối D với E. Vẽ tia Dx
vng góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK.
Gọi G là giao điểm của DK và EM.
a/ Tính số đo góc DBK.
b/ Gọi F là chân đường vng góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I, G, H cùng nằm trên một
đường thẳng.
Bài 5 (1 điểm):
Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thỡ k chia hết cho
6.

ĐỀ SỐ 10
Bài 1: (3 điểm)

3   x2
1 

1
Cho biểu thức A =  + 2
+
:

2
x + 3
 3 x − 3x   27 − 3x
a) Rỳt gọn A.
b) Tỡm x để A < -1.
c) Với giỏ trị nào của x thỡ A nhận giỏ trị nguyờn.

Bài 2: (2 điểm) Giải phương trỡnh:
1
6y
2
a)
= 2
+
2
3 y − 10 y + 3 9 y − 1 1 − 3 y

 6−x 1
x 3+ x
−
1 −
.
3  2

4 = 3−

b) x − 2
2
2
Bài 3: (2 điểm)
Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B. Khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ và
vận tốc theo thứ tự là 15 km/h; 35 km/h và 55 km/h.
Hỏi lúc mấy giờ ô tô cách đều xe đạp và xe đạp và xe máy?
Bài 4: (2 điểm)
Cho hỡnh chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hỡnh chữ nhật AMPN ( M ∈ AB
và N ∈AD). Chứng minh:
a) BD // MN.
b) BD và MN cắt nhau tại K nằm trờn AC.

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

19


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Bài 5: (1 điểm)
Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4).
Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chính phương.
ĐỀ SỐ 11
Bài 1: (2điểm)

3x 2 y − 1
a) Cho x − 2xy + 2y − 2x + 6y + 13 = 0 .Tớnh N =
4xy

2

2

b) Nếu a, b, c là các số dương đôi một khác nhau thỡ giỏ trị của đa thức sau là số dương:

A = a + b 3 + c3 − 3abc
3

Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thỡ:

a
b 
 a − b b − c c − a  c
A=
+
+
+
+

=9
a
b  a − b b − c c − a 
 c
Bài 3: (2 điểm)
Một ơ tơ phải đi qng đường AB dài 60 km trong thời gian nhất định. Nửa quóng đường đầu đi với
vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 10km/h. Nửa quóng đường sau đi với vận tốc kém hơn vận tốc dự định là
6 km/h.
Tính thời gian ô tô đi trên quóng đường AB biết người đó đến B đúng giờ.

Bài 4: (3 điểm)
Cho hỡnh vuụng ABCD trờn cạnh BC lấy điểm E. Từ A kẻ đường thẳng vng góc vơi AE cắt đường thẳng
CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI
tại N.
a) Chứng minh tứ giỏc MENF là hỡnh thoi.
b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC
Bài 5: (1 điểm)
Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh:

x 6 + 3x 2 + 1 = y 4
ĐỀ SỐ 12

Bài 1:
Phõn tớch thành nhõn tử:
a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
Bài 2:
a, Cho a, b, c thoả món: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14.
Tớnh giỏ trị của A = a4+ b4+ c4
b, Cho a, b, c ≠ 0. Tớnh giỏ trị của D = x2011 + y2011 + z2011
x2 + y 2 + z 2
x2 y 2 z 2
Biết x,y,z thoả món: 2
= 2+ 2 + 2
a + b2 + c2
a
b
c
Bài 3:
1 1

4
a, Cho a,b > 0, CMR: + ≥
a b
a+b
b, Cho a,b,c,d > 0
a−d d −b b−c c−a
CMR:
+
+
+
≥ 0
d +b b+c c+a a+d
Bài 4:

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

20


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
x 2 + xy + y 2
với x,y > 0
x 2 − xy + y 2
x
b, Tỡm giỏ trị lớn nhất: M =
với x > 0
( x + 1995) 2
Bài 5:

a, Tỡm nghiệm ∈ Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y
b, Tỡm nghiệm ∈ Z của PT: x2 + x + 6 = y2
Bài 6:
Cho △ ABC M là một điểm ∈ miền trong của △ ABC . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’
là điểm đối xứng của M qua F, E, D.
a, CMR: AB’A’B là hỡnh bỡnh hành.
b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’
a, Tỡm giỏ trị lớn nhất: E =

ĐỀ SỐ 13
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a (b + c) 2 (b − c ) + b(c + a ) 2 (c − a ) + c(a + b) 2 ( a − b)
1 1 1
b) Cho a, b, c khỏc nhau, khỏc 0 và + + = 0
a b c
1
1
1
Rỳt gọn biểu thức: N = 2
+ 2
+ 2
a + 2bc b + 2ca c + 2ab
Bài 2: (2điểm)
a) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
M = x 2 + y 2 − xy − x + y + 1
b) Giải phương trỡnh: ( y − 4,5) 4 + ( y − 5,5) 4 − 1 = 0
Bài 3: (2điểm)
Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h. Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ơ
tơ, từ B đến với vận tốc 50 km/h. ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một

địa điểm cách B 20 km.
Tớnh quóng đường AB.
Bài 4: (3điểm)
Cho hỡnh vuụng ABCD. M là một điểm trên đường chéo BD. Kẻ ME và MF vng góc với AB và
AD.
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau.
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy.
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.
Bài 5: (1điểm)
Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: 3 x + 5 y = 345
2

2

ĐỀ SỐ 14
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x5 + x +1
b) x4 + 4
c) x x - 3x + 4 x -2 với x > 0
Bài 2 : (1,5điểm)
Cho abc = 2 Rỳt gọn biểu thức:

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

21

Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
a
b
2c
+
+
ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2

A=

Bài 3: (2điểm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0
ab
Tớnh: P = 2
4a − b 2
Bài 4 : (3điểm)
Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn BC lấy M bất kỡ sao cho BM < CM. Từ N vẽ đường thẳng song
song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt AC tại F. Gọi N là điểm đối xứng của M qua E F.
a) Tớnh chu vi tứ giỏc AEMF. Biết : AB =7cm
b) Chứng minh : AFEN là hỡnh thang cõn
c) Tớnh : ANB + ACB = ?
d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hỡnh thoi và cần thờm điều kiện của ∆ ABC
để cho AEMF là hỡnh vuụng.
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyờn n thỡ :
52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23.
SỐ 15
Bài 1: (2 điểm)
a) Phõn tớch thành thừa số: ( a + b + c) 3 − a 3 − b 3 − c 3
b) Rỳt gọn:

2 x 3 − 7 x 2 − 12 x + 45
3 x 3 − 19 x 2 + 33 x − 9

Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng: A = n 3 ( n 2 − 7) 2 − 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiờn n.
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước trên giếng. Nếu làm một mỡnh thỡ mỏy bơm A hút hết nước
trong 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước trong 15 giờ và máy bơm C hút hết nước trong 20 giờ. Trong 3 giờ
đầu hai máy bơm A và C cùng làm việc sau đó mới dùng đến máy bơm B.
Tớnh xem trong bao lõu thỡ giếng sẽ hết nước.
b) Giải phương trỡnh: 2 x + a − x − 2a = 3a (a là hằng số).
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có
chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vng góc với AB. Đường thẳng vng góc với IC kẻ qua C cắt Ax,
By lần lượt tại các điểm M, N.
a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN.
b) So sỏnh hai tam giỏc ABC và INC.
c) Chứng minh: gúc MIN = 900.
d) Tỡm vị trớ điểm I sao cho diện tích ∆IMN lớn gấp đơi diện tích ∆ABC.
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng số:
22499..........9100.............09 là số chính phương. ( n ≥ 2 ).
n- 2 sè 9

n sè 0

Đề SỐ 16:
Cõu 1 : ( 2 ủieồm ) Phõn tớch biểu thức sau ra thừa số
M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )

Cõu 2 : ( 4 ủieồm ) Định a và b để đa thức A = x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bỡnh phương của một đa thức
khác .

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

22


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Cõu 3 : ( 4 ủieồm ) Cho biểu thức :
 x2
6
1  
10 − x 2 
:x − 2+

P=  3
+
+
 x − 4 x 6 − 3x x + 2  
x+2 

 

a) Rỳt gọn p .
3
b) Tớnh giỏ trị của biểu thức p khi /x / =
4

c) Với giỏ trị nào của x thỡ p = 7
d) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để p có giá trị nguyên .
Cõu 4 : ( 3 ủieồm ) Cho a , b , c thỏa món điều kiện a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0
Cõu 5 : ( 3ủieồm)
Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N .
Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm)
Cõu 6 : ( 4 ủieồm ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và
AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất .

SỐ 17
Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1. x 2 + 7 x + 6
2. x 4 + 2008 x 2 + 2007 x + 2008
Bài 2: (2điểm) Giải phương trình:
1. x 2 − 3x + 2 + x − 1 = 0
2

2

2

1
1 
1 
1
2




2. 8  x +  + 4  x 2 + 2  − 4  x 2 + 2   x +  = ( x + 4 )
x
x 
x 
x




1 1 1
+ + )≥9
a b c
3. Tìm số d trong phép chia của biểu thức ( x + 2 )( x + 4 )( x + 6 )( x + 8) + 2008 cho đa thức

Bài 3: (2điểm) 1. CMR với a,b,c,là các số dơng ,ta có: (a+b+c)(

x 2 + 10 x + 21 .
Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H ∈ BC). Trên tia HC lấy điểm D
sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m = AB .
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số
đo của góc AHM
GB
HD
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
.
=
BC AH + HC

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

23


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Bài 1
1.

Câu
1.1

Nội dung
(0,75 điểm)

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

24

Điểm
2,0


Tuyển tập đề thi HSG Toán 8

x 2 + 7 x + 6 = x 2 + x + 6 x + 6 = x ( x + 1) + 6 ( x + 1)

0.5

= ( x + 1)( x + 6 )
1.2

0,5

(1,25 điểm)
x 4 + 2008 x 2 + 2007 x + 2008 = x 4 + x 2 + 2007 x 2 + 2007 x + 2007 + 1

0,25

= x 4 + x 2 + 1 + 2007 ( x 2 + x + 1) = ( x 2 + 1) − x 2 + 2007 ( x 2 + x + 1)

0,25

2

= ( x + x + 1)( x − x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1)( x − x + 2008 )
2

2

2

2

2

0,25
2,0

2.
2.1

x 2 − 3x + 2 + x − 1 = 0 (1)
+ Nếu x ≥ 1: (1) ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 (thỏa mãn điều kiện x ≥ 1).
2

0,5

+ Nếu x < 1: (1) ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ x 2 − x − 3 ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1)( x − 3) = 0
⇔ x = 1; x = 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x = 1 .

2.2

2

2

0,5

2

1
1 
1 
1

2



8  x +  + 4  x 2 + 2  − 4  x 2 + 2  x +  = ( x + 4 ) (2)
x
x 
x 
x



Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x ≠ 0
2
2
1
1 
2

 2 1   2 1  
(2) ⇔ 8  x +  + 4  x + 2   x + 2  −  x +   = ( x + 4 )
x
x  
x  
x 





0,25

2

1
1 
2
2


⇔ 8  x +  − 8  x 2 + 2  = ( x + 4 ) ⇔ ( x + 4 ) = 16
x
x 


⇔ x = 0 hay x = −8 và x ≠ 0 .
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm x = −8

0,5
0,25

3

2.0
3.1

3.2

Ta có:
1 1 1

a a b
b c c
A= ( a + b + c)( + + ) = 1 + + + + 1 + + + + 1
a b c
b c a
c a b
a b
a c
c b
=3 + ( + ) + ( + ) + ( + )
b a
c a
b c
x y
Mà: + ≥ 2 (BĐT Cơ-Si)
y x
Do đó A ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9. Vậy A ≥ 9
Ta có:
P ( x) = ( x + 2 )( x + 4 )( x + 6 )( x + 8 ) + 2008
= ( x 2 + 10 x + 16 )( x 2 + 10 x + 24 ) + 2008

0,5

0,5

0,5

Đặt t = x + 10 x + 21 (t ≠ −3; t ≠ −7) , biểu thức P(x) đợc viết lại:
2

P( x) = ( t − 5)( t + 3) + 2008 = t 2 − 2t + 1993
Do đó khi chia t 2 − 2t + 1993 cho t ta có số d là 1993

4

Nguồn: Sưu tầm

Đt 01234646464

25

0,5
4,0